专题17 相似三角形性质与判定的综合问题（9大题型）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，通过9类典型题型系统构建相似三角形性质与判定的应用体系，强化图形变换与代数运算的融合，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|识别/构造相似、相似比转化、分类讨论关键|从性质与判定基础原理到综合应用方法| |题型归纳|9题型（每题型含典例+变式）|旋转/折叠背景找等角、线段/面积计算用相似比、函数结合建方程|按背景（旋转/折叠）→目标（求比值/长度/面积/最值）递进| |压轴挑战|15题|综合运用设参列方程、几何直观与代数验证|复杂情境下知识迁移与高阶思维训练|

专题17 相似三角形性质与判定的综合问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、旋转背景下相似三角形的综合问题 题型2、折叠背景下相似三角形的综合问题 题型3、利用相似三角形性质与判定求线段比值 题型4、利用相似三角形性质与判定求线段长 题型5、利用相似三角形性质与判定求面积比 题型6、利用相似三角形性质与判定求三角形面积 题型7、利用相似三角形性质与判定求最值 题型8、相似三角形与函数图象的综合 题型9、相似三角形分类讨论问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形性质与判定的综合问题，要同时运用判定定理与性质定理；常见背景包括旋转、折叠、函数图象、最值等，关键是识别或构造相似，建立比例关系；求线段比、线段长、面积比、面积等问题，常通过相似比转化；分类讨论要注意对应顶点不同、图形位置不同、参数范围不同等情况；综合压轴题要善于设参、列方程，并结合几何直观与代数运算双重验证． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、旋转背景下相似三角形的综合问题 典例1 （25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，矩形纸片的对角线相交于点，如果将形状大小相同的另一矩形纸片的顶点放在点，并将它从虚线位置开始绕点逆时针旋转，那么在旋转过程中，两个矩形纸片重叠部分的面积（   ） A．不变 B．先变小再变大再变小 C．先变小再变大 D．变小 题型模版 1.特征：在旋转背景下，通过旋转产生等角、等线段，进而构造或判定相似三角形． 2.方法：利用旋转角相等、对应边相等找等角；识别共顶点的相似三角形；用相似比建立线段关系． 变式1-1 （25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式1-2 （25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，中，，D、E分别在边上， ，，将绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为，．当点落在线段上时，连接，此时的长为__________． 变式1-3 如图1，中，，．点是斜边中点，连接．点为上一动点（不与端点，重合），连接．将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． (1)求证：． (2)如图2，过点作交于点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点．过点作于点．设． ①当时，求的值． ②当时，k的值与问（2）①所求的值相等，求的比值． 题型2、折叠背景下相似三角形的综合问题 典例2 如图，在矩形中，．点是边上的一动点，将沿折叠，点落在点处． (1)若，当落在对角线上时，求的长； (2)若，连接．若为等腰三角形，求所有符合条件的的长； (3)若，在点运动的过程中，线段的中点为．求当的面积取得最大值时，点到点的距离，同时探讨能否为，若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 题型模版 1.特征：在折叠背景下，利用折叠前后的对称性寻找等角、等线段，构造相似． 2.方法：确定折痕为对称轴；利用折叠前后对应角相等、对应边相等；结合平行线或公共角判定相似． 变式2-1 如图，在菱形中，点E在上，连结，作点A关于直线的对称点，连结交于点F，若点恰为的中点，则与的面积比为_____________． 变式2-2 在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接； 步骤2：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点． 【实践操作2】折法：如图2． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接． 步骤2：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕． 【问题解决】 (1)在实践操作1中，猜想的形状，并说明理由． (2)在实践操作2中，若，求的长． 变式2-3 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）【驱动背景】 在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为O1． 【前情感知】 （1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】 （2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O，与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】 （3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 题型3、利用相似三角形性质与判定求线段比值 典例3 如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：综合运用相似三角形的性质与判定求两条线段的比值． 2.方法：找出包含这两条线段的相似三角形；利用对应边成比例写出比值；注意约分与对应顺序． 变式3-1 （25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，当时，则_____． 变式3-2 （25-26九年级下·浙江杭州·期中）在矩形中，是边的中点，连接，过点作于点，射线与直线交于点，设． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，当点恰好与点重合时，试确定的值； (3)作点关于直线的对称点，连接，延长交直线于点．当时，求的值，并直接写出相应的值． 变式3-3 如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，设，将沿折叠得到，连接并延长交于点． (1)用含的代数式表示． (2)求证： ①； ②． (3)如图2，当时，求的值． 题型4、利用相似三角形性质与判定求线段长 典例4 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点E，于点F，分别过点A，B作于点G，于点H． (1)已知，求弧的度数． (2)求证：． (3)已知，，求的长． 题型模版 1.特征：综合运用相似三角形的性质与判定求某条线段的长度． 2.方法：设未知线段为x；找相似三角形列比例式；解方程并检验是否符合图形约束． 变式4-1 如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______． 变式4-2 在正方形中，点，分别在边，上，连接，交于点，已知． (1)如图，线段与垂直吗？请说明理由． (2)如图，过点的圆交于点，交于点．求证：． (3)如图，在（）的条件下，当，点是线段的中点时，求的值． 变式4-3 如图1，内接于，是直径上的一点，满足，连接并延长交于点，连接，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点．设． (1)用含的代数式表示和的大小； (2)如图1，若，求证：； (3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长． 题型5、利用相似三角形性质与判定求面积比 典例5 （25-26九年级下·浙江金华·期中）如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为________． 题型模版 1.特征：利用相似三角形面积比等于相似比的平方求面积比． 2.方法：确定相似比；利用面积比=相似比²计算；注意区分相似三角形与等积变换． 变式5-1 如图，在中，点为上一点，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在的中点处，延长交于点，则与四边形的面积比为________． 变式5-2 如图，在中，，以为直径作交于点，是上一点，连接交于点，连接，，． (1)若，求的长． (2)若，． ①求证：． ②记和的面积分别为和，求的值． 题型6、利用相似三角形性质与判定求三角形面积 典例6 如图，已知在中，，是上的高线，点是上的一点，交于点．过点作交于，连接，若，的面积为，则的面积为______． 题型模版 1.特征：已知相似比或边长关系，求三角形的面积． 2.方法：先求相似比；利用面积比=相似比²得到目标面积；必要时用底高公式辅助计算． 变式6-1 某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（）．先将纸片折出折痕，再在边上取点P，将沿折叠得．记与的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段时，恰好平分，则长度应取________． 变式6-2 在一次数学思维拓展课上，小绍和小台对一道几何题进行了合作探究．已知：如图，四边形 的两条对角线，相交于点P，且满足． (1)基础尝试：小绍通过观察图形，提出这两个三角形相似．请你帮小绍指出哪两个三角形相似，并写出证明过程． (2)拓展计算：小台在小绍证明的基础上，添加了特殊条件：若对角线，且测得 ， ，． ①请你求出线段的长； ②请你求出的面积． 变式6-3 如图，等腰三角形中，．以点B为圆心，长为半径作弧分别交，于点D，E，延长交的延长线于点F． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)若D为的中点．，求的面积． 题型7、利用相似三角形性质与判定求最值 典例7 如图1，内接于，作直径交边于点，平分，连接，． (1)若，求的度数． (2)如图2，作于点，交于点， ①求证：． ②若，且，求的最小值． 题型模版 1.特征：结合相似三角形与函数思想，求线段或面积的最值． 2.方法：用相似比把目标量表示为某变量的函数；根据函数性质或几何不等式求最值；注意自变量范围． 变式7-1 如图，中，点、分别是、上的点，且，将、、的周长分别记作、、，则的最大值为______． 变式7-2 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，、是以为直径的上的两个动点（点、不与、重合），在运动过程中，弦的长度始终保持不变，是的中点，过点作弦于点．若，，则面积的最大值是__________． 变式7-3 如图，在菱形中，，点E为菱形内部一点，将绕B点顺时针旋转，使边与重合，得到，且点M、A、E在同一直线上．延长交射线于G点，延长交射线于F点． (1)求的度数． (2)若，，求的长． (3)当E在内部运动时，求的最小值． 题型8、相似三角形与函数图象的综合 典例8 如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．点在该函数图象上 题型模版 1.特征：相似三角形与函数图象（一次、反比例、二次函数）结合的综合问题． 2.方法：从函数图象中提取坐标与数量关系；用相似比建立方程；注意坐标与线段长度的转化． 变式8-1 如图，点为的重心，当动点从点出发沿的边逆时针运动一周，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 变式8-2 如图1，点是以为直径的半圆上的一个动点，过点作于点，是的中点，连结，．设，的面积为，的面积为．函数，关于的图象如图2所示，其中点为两个图象的交点，则下列结论错误的是（     ） A． B．点一定落在函数图像上 C．点的坐标是 D．当时， 变式8-3 （25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，在中，，，，点D在上，，点E，F分别在边上（不与端点重合），且设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．的面积的最大值为0.96 D．点在该函数图象上 题型9、相似三角形分类讨论问题 典例9 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】 在学习了图形的旋转后，数学课上同学们围绕以下问题展开讨论：如图①，绕点A逆时针旋转度（）得到（点B，C的对应点分别为点，），连接，．同学们发现：． 【类比探究】 （1）芳芳将上述问题一般化后，提出了新的问题：如图②，已知，可以看成是绕点A逆时针旋转度（），再进行相似变化得到的，连接，． ①和是否仍然相似？如果相似，请证明：如果不相似，请说明理由． ②若，，，求的值． 【拓展应用】 （2）如图③，四边形为正方形，在正方形内部（不包括边上），，，，连接，求的值． 题型模版 1.特征：由于对应关系不确定或图形形状不唯一，需要进行分类讨论． 2.方法：明确分类标准（对应顶点不同、点在线段或延长线上、图形开口方向等）；逐类画图、判定相似并求解；最后汇总答案． 变式9-1 （25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图（1），直线与轴、轴分别交于点和点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，是否存在使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究） 变式9-2 （24-25九年级上·上海普陀·期中）在中，垂足为．且点是边上一动点(点不与点A、点C重合)，连接，过点作交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求的面积． (3)若交线段于点，连接，且与相似，请直接写出的长． 变式9-3 （25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，A、B两点的坐标分别是，点P由点B出发沿方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿（O为坐标原点）方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接，若设运动时间为秒．解答如下问题： (1)当时，求点P的坐标； (2)当与点A、Q、P三点构成的三角形相似时，求点Q的坐标； (3)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论： ①的长为10；②的周长为18；③；④的长为5，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图象上 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），，，，，P是边上的一动点，点C绕点P按逆时针方向旋转得点，则______．若点落在射线上时，则______． 5．如图，正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，延长小正方形的对角线交边于点，且．在的延长线上取点，使，分别以，为边在的外侧构造正方形，图中构成的阴影部分的面积分别记为，，则_____．若，则的长为_____． 6．如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则_________（用含的代数式表示）． 7．数学课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究．将矩形纸片沿折叠，点的对称点为点，与相交于点． (1)如图，求证： (2)如图，连接并延长，交的延长线于点． ①猜想四边形的形状，并说明理由． ②当时，求的值． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图1，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点、、的对应点分别为、、，延长交于点，连结． (1)求证：平分； (2)如图2，，，当在的延长线上时，求的值； (3)如图3，连结，，当点落在上时，、、共线，求的值． 9．如图，是的半径上一点，点关于点的对称点为，过点作交的一侧于点，射线交于另一点，交射线于点． (1)求证：． (2)判断与的数量关系，并说明理由． (3)若，当为何值时，有最大值，最大值是多少？ 10．如图1，四边形内接于，是的直径，连接交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，过点作交于点，若，，求的长． 11．如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，当时，求的取值范围． 12．如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点． (1)如图，当，时， ①求证：； ②连接，，若，求的值． (2)如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连接，．若，且是等腰三角形，求的长． 13．（25-26九年级上·浙江金华·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，．    (1)如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)在纸片绕点旋转过程中，连接，，试探究当与一个内角相等时，求的长． 14．如图（1），已知正方形，矩形，其中，B在边上，D在边上，正方形的边长为2．设矩形的边，（a，b均为小于等于2的正数）．将矩形的两个角翻折，使G落在边上点N处，E落在边上点M处，为折痕，连接． (1)若M，N分别为的中点，求的长． (2)若，求矩形的面积． (3)如图（2），连接，若恰好经过点C，求证：． 15．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值； (4)直接写出点B关于直线的对称点落在边上时t的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题17相似三角形性质与判定的综合问题 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、旋转背景下相似三角形的综合问题 题型2、折叠背景下相似三角形的综合问题 题型3、利用相似三角形性质与判定求线段比值 题型4、利用相似三角形性质与判定求线段长 题型5、利用相似三角形性质与判定求面积比 题型6、利用相似三角形性质与判定求三角形面积 题型7、利用相似三角形性质与判定求最值 题型8、相似三角形与函数图象的综合 题型9、相似三角形分类讨论问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆ 夙解题通法一明晰核心解法，功力能力迁移 相似三角形性质与判定的综合问题，要同时运用判定定理与性质定理；常见背景包括旋转、折叠、函 数图象、最值等，关键是识别或构造相似，建立比例关系：求线段比、线段长、面积比、面积等问题，常 通过相似比转化：分类讨论要注意对应顶点不同、图形位置不同、参数范围不同等情况：综合压轴题要善 于设参、列方程，并结合几何直观与代数运算双重验证 ◆◆ 夙题型归纳一精讲典型题法，奇尖解题根透 1/143 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型1、旋转背景下相似三角形的综合问题 典例1(25-26九年级上浙江台州期末)如图，矩形纸片1BCD 的对角线相交于点 O,AB=1,BC=3 ，如 果将形状大小相同的另一矩形纸片的顶点放在点O,并将它从虚线位置开始绕点O逆时针旋转60°，那么 在旋转过程中，两个矩形纸片重叠部分的面积() ○ A.不变 B.先变小再变大再变小 C.先变小再变大 D.变小 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，设两矩形旋转过 程中交于点E,F两点，过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥BC于点N,则OMBN是矩形，证明 即可得到Pw=3 M,然后分为0sx≤号和<≤1两种情况，表示四边形OBBr的面 1 aOEM∽aONF' 积，根据函数的性质解答即可 【详解】解：设两矩形旋转过程中交于点E,F两点，过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥BC于点N, 则OMBN是矩形， :ABCD是矩形， ..OA=OB=OC=OD .BV-OM-nc BM=AM=ON-748- 2 2/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠EOF=∠MON=90°， ∴.∠MOE=∠NOF, 又：OM⊥AB,ON⊥BC, .∠OME=∠OWF=90°， ∴.AOEMAONF, ÷a8m方，即N-9w. FN ON 1 3 设AE=x, 当0sxs分时，E=1-g,BM-x, aw-方Eow+rov--k+5x5 +一× 26x+ 3, :、3 6 <0. S边0旷随×的增大而逐渐减小， 当2x≤1时，BE=1-x,BM=x- 2 w》 .5m-OM.oN) 22*30+x -X- x-3x+3 2 6 +1 3 <0. 6 3/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 S四边形OEBF 随的增大而逐渐减小， A E 综上所述， S四边形OEBF 在旋转过程中逐渐减小， 故选：D 题型模版 1.特征：在旋转背景下，通过旋转产生等角、等线段，进而构造或判定相似三角形 2方法：利用旋转角相等、对应边相等找等角：识别共顶点的相似三角形；用相似比建立线段关系。 变式1-1(25-26九年级上·浙江绍兴期末)如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,将△ABC绕着 AC边中点O旋转得到△DEF,EF、ED分别交AB于点M、N,若AB∥DF,则MN的长为() 12 18 4 32 A.5 B.5 c.5 D.5 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、关键是灵活应用 知识点解题， 由旋转可得MF=AO=4,EF=AB=10则EM=EF-MF=6,然后利用AB∥DF可证△EMN△EFD得 到比例关系，则MN可求， 【详解】解：令AC,EF的交点是P, .∠C=90°， 4B=VAC2+BC2=10 ,将△ABC绕着AC边中点O旋转得到△DEF, 4/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷EF=AB=10,DF=AC=840= 4c- x8=4,∠F=∠A AB∥DF, ∴.∠A=∠AOF, .∠F=∠AOF, ..FP=OP, 同理：AP=MP, .AP+OP=MP+FP .MF=A0=4, .EM=EF-MF=10-4=6, ,AB∥DF, ∴.△EMN∽aEFD. MN EM :.DF EF' MN 6 即：810 :Mw=24 故选：C E M 9D 变式1-2(2526八年级下浙江绍兴阶段检测如图，△MBC中，∠C=90,∠1BC=3094CV万，D.B 分别在边ACBC上，CD=1，DE‖AB,将△CDE绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为D', E'.当点E落在线段AD'上时，连接BE',此时BE'的长为 5/143 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B 【答案】35 CD CE CD'CE 【分析】作CH⊥BE',设AC交BE于0，推导出CACB,得到CA=CB ,可证明出△ACDCF,得到∠CDE=∠CMB=∠D=60° AB=2AC=27 BC=21 求出 推导 出cE=V3,EH=)CE- 2，CH=3 ,根据勾股定理，求出BH=5 2,即可求出 BE'=HE'+BH =33 【详解】解：如图，作CH⊥BE'于H,设AC交BE于O A OH D'1 由旋转，得CD=CD',CE=CE',∠ACB=∠D'CE=90°， ∠ACB=90°，∠ABC=30°， .∠CAB=60°， :DEI∥AB .△CDE∽△CAB,∠CDE=∠CAB=∠D'=6O°， .CD_CE CA CB CD'CE :CA CB' ·∠ACB=∠D'CE' .∠ACD'=∠BCE, 6/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ACD'∽ABCE', ∴.∠D'=∠CE'B=∠CAB=60° 在Rt△ACB中， :∠ACB=90°AC=V7∠ABC=30° .AB=2AC=27 BC=AB2-AC2=21 CD CE CA CB' 1 CE 721 ∴.CE=V3 ∠CHE'=90°∠CEH=∠CAB=60°CE'=CE=V5 .∠E'CH=30°， .EH-1CE 2 Γ2， CH=VE'C2-EH=3 BH-BC2-CI-21-95 -4-2, BE'-HE'+BH=33 变式1-3如图1，△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°.点O是斜边AC中点，连接OB.点D为AB上一 动点（不与端点A,B重合），连接OD.将OD绕点O逆时针旋转12O°得到OD',连接DD'交OB于点 M. 7/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E' BEF B (图1) (图2) (备用图) AO AD (I)求证：BDBM· (②)如图2，过点D作DE‖AC交BC于点E,连接OE,将OE绕点O逆时针旋转120°得到OE',连接EE 交OC于点N.过点O作OF⊥BC于点F.设k=ON:OM. ①当AD=BD时，求k的值. ②当AD≠BD时，k的值与问(2)①所求的值相等，求AD:AB的比值. 【答案】(1)见解析 7-13 (2)①2②6 【分析】(1)证明△AOD∽△BDM,即可求证： ②O根据三角形中位线定理可得OD1BC.OB=OC,OD=)BC,从面得到AOBC为等边三角2 21 OD=∠OBC,OD=,BC再证明AODM为直角三角形，在RAODM中，可得OM=,OD,从而得 到0M-号0D-C,再证明0N-6:CGN=EN,可物ON-0c-C,即可来解，@设BcC-2a 可得4C=4和，MB=2V5a,01=0B=0C=2 ,由O得：k=2,则ON=20M,设EF=x,过点E作 OB BE ON OE EG∥OE',交OC于点G.根据EGNAE'ON,AOBEAECG:可得EC=CG=NG=EG,然后分两 种情况：当E在BF上时，当E在CF上时，解答即可， 8/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由旋转性质：OD=OD,∠D0D'=120°， .∠D'=∠ODM= 80°-120° =30° 2 在Rt△ABC中，O为AC中点， ..OA=OB. .∠A=∠OBD=30° .∠D'=∠OBD,∠AOB=180°-∠A-∠AB0=120°， ∴.∠AOB=∠DOD ∴.∠AOD=∠MOD', .'∠BMD=∠OMD', .∠BDM=∠D'OM. ∴.∠BDM=∠AOD. ∴.△4ODABDM, AO AD BD BM (2)解：①如图， E B 由(1)得：∠0DM=30°，∠C=90°-∠A=60°， ,点O为AC的中点，AD=BD, OD/BC.OB-0C,OD-C &AOBC为等边角形，∠BOD=∠OBC,OD=BC 2 .∠BOD=∠OBC=60°，BC=OC=OB, 9/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OMD=180°-∠ODM-∠DOM=90°，即△ODM为直角三角形， 在RtAODM中，∠ODM-30°， :0w=0D, :.OM-T0D-1BC-10B 2 4 4 .DE AC, BE BD ·CEAD =1,即BE=CE=)BC, ·OE⊥BC, ∠EON=1∠B0C=30° 2 由旋转的性质得：OE=OE,∠EOE=120° :∠OEN=180°-∠EOE 2 =30°=∠EON .∠CEN=90°-30°=60°=∠EC0,ON=EN, ..CN=EN. ON-0C-B8C 2 2 :02 -=2 OM 1 OB: 4 ②设BC=2a, 根据题意得：AC=4a, :1B=2V5a,01=0B=0C=2a 由①得：k=2,则ON=2OM, 设EF=x, 过点E作EG∥OE',交OC于点G. 10/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E' BEF .∠OEG=180°-∠EOE'=60°，aEGW∽aE'ON, ON OE'OE ·NG EGEG' :∠OEG+∠CEG=∠OEC=∠BOE+∠OBC,∠OBC=60° .LBOE=∠GEC. ∠OBE=∠ECG=60°， ∴.△OBE∽aECG. OB BE OE ∴EC CG EG’ OB BE ON OE ·EC CG NG EG, 当E在BF上时，BE=a-x,EC=a+x, 2a=a-x “a+xCG’ .CG=-x2 2a 0G=3a2+x 2a 2a ON :0B_0N,即a+x3a+-ON, EC NG 2a 0W=x2+3a2 x+3a, DEI‖AC, BD BE 23a-AD a-x ·DCE,即 AD a+x 11/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :D=B(a+x).BD=5(a-) AO AD 由(1)得：BDBM: 2a ,5(a+x) ∴.3(a-x) BM, :m--) 2a, .OM =OB-BM =3x+a 2a, 由①得：ON=2OM, :*3 =2x3r2+ad2 x+3a 2a 化简得： x3x2+8ax+d2）=0 解得：x=0或x=4a+B 3 ,均不符合题意； 当E在CF上时，BE=a+x,EC=a-x 2a,0G=3a2+ 同理CG=-x2 ,0w=r+3a2 0M=3r2+a2 2a 3a-x 2a, 由①得：ON=2OM, +30-2x3x+d .3a-x 2a, 整理得：(3r2-8ar+d)=0 解得： a或x=4+ x=0(舍去)或x=4-13 3 a(舍去)， 此时BE=a+x-7-3。BE_7-3 34, BC6 AD:AB=BE:BC=7-3 61 12/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型2、折叠背景下相似三角形的综合问题 典例2如图，在矩形ABCD中，AB=4.点E是边AB上的一动点，将△CBE沿CE折叠，点B落在点B 处. B M (1)若BC=3,当B落在对角线AC上时，求BE的长； (2)若BC=3,连接B'D.若△ABD为等腰三角形，求所有符合条件的BE的长： (3)若BC=2,在点E运动的过程中，线段B'D的中点为M,求当△B'AE的面积取得最大值时，点M到点 A的距离，同时探讨∠EMB能否为90°，若可以，请求出此时AE的长；若不可以，请说明理由. 【答案】)2 72+15W11 72-15119-35 (2)43 或43 或2或V3 ⑨当。BA让的面积取得最大值时，AM=5:∠BMB可以为g0:此时证= 【分析】(1)由勾股定理可计算出AC=5,由折叠的性质可得B'C=BC=3,BE=B'E, ∠C=∠c=90,则AB=4C-BC=2:容易证明△Ar∽△C:计算得BE 2,因此 3 (2)分三类讨论，当AD=AB时，过点B作CD的垂线，交CD于点F,交AB于点G,设AG=a, B'G=b,利用AB=CB=3,结合勾股定理构造方程组，可以求出a与b的值.在R1△BEG中，利用勾 股定理构造方程，解得E=日+6+16-8a 8-2a，将a与6的值代入即可：当4D=B'D时，容易得到 BD=BC:则Dr=CP-CD=2,从面求出a56的他，代入B的表达式即可：当=BD时.存易 2 13/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 t△AB'G≌RIADB'F(HL 证明 ,从而求出与的值，代入BE的表达式即可： (3)先分析△BAE面积最大的情况，过点B'作CD的垂线，交CD于点F,交AB于点G,设AG=a, BE=x SAMAE =y ',则BG=4-X-a,AE=4-x,利用△BC△BG可计算得 a=4r2-8r+16 平+4，进而得到心=4利用三角形面积公式可得少 4x2 8x2-2x3 2+4,则 2-y=2r3-6x2+8 x2+4,利用分组分解法可相2-y=（x一2)（x十)≥0 x2+4 0,因此当x=2时，y取得最大值 2,容易计算得此时 = 5:再分析∠EMB能否为90°，假设∠EMB=90°，容易证明 5 △DEM≌aB'EM(SAS),则DE=B'E=x'在Rt△ADB中，利用勾股定理构造方程，解得x=2,因此 3 【详解】(1)解：如图， ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°. 在RIABC中，AC=VB2+BC2-V④+3=5 由折叠的性质可得，B'C=BC=3,BE=B'E,∠EB'C=∠ABC=90°， ∴.∠AB'E=180°-∠EBC=90=∠ABC,AB=AC-B'C=2, :∠BAE=∠BAC, .△AB'E∽△ABC, 14/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B'E AB'B'E 2 ·BC=AB,即3=4 B'E=3 2 .BE B'E E=3 (2)解：①当AD=AB时，如图，过点B作CD的垂线，交CD于点F,交AB于点G,设AG=a, B'G =b, GEB D ,四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=3,∠BAD=∠ADC=90°， .'AB'=AD=3. :B'F⊥CD, ∴.四边形ADFG是矩形， .DF=AG=a,FG=AD=3,∠FGM=90°， .B'F=FG-B'G=3-b,CF=CD-DF=4-a,∠FGB=180°-∠PGA=90°， 在RL△AGB'中，AG+B'G2=AB2, :a+P=90 由折叠的性质可得，B'C=BC=3,BE=BE, 在Rt△B'CF中，CF2+B'F2=B'C2, :(4-a'+(3-b)2=9② 联立①与②，得， 15/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [a2+b2=9 (4-a2+(3-b)}=9, 20-311 20+311 a= 10 a= 10 解得 b= 15+4v或 15-411 b= 10 10 在Rt△B'EG中，EG=AB-AG-BE=4-a-BE,BE=B'E, EG2+B'G2=B'E2, :(4-a-BE2+6=BE2 化简，得B=日+P+16-82 8-2a .a2+b2=9, 此=25-9=4 7 8-2a 8-2a 当9=20-3 B=72+15 10时， 43, 当？=20+3 E=72-15i 0时， 43: ②当AD=B'D时，如图，过点B'作CD的垂线，交CD于点F,交AB于点G,设AG=a,B'G=b, B D AD B'D =3,B'C=BC=3. .B'D=B'C, B'F⊥CD :DF-CF-]CD-2, 2 16/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RaB'D 中，BF=VBD-=3-g=5 ,四边形ADFG是矩形， ..AG DF =2=a,FG=AD=3, :.BG-/G-MF=3-5-b 由①可知，E= a2+b2+16-8a 8-2a “BE=9-3V5 2 ③当AB=B'D时，如图，过点B作CD的垂线，交CD于点F,交AB于点G,设AG=a,B'G=b, B B ▣ F :四边形ADFG是矩形， ∴.∠FGA=∠DFG=90°，AG=DF=a,FG=AD=3, 在RI△AB'G和RIADB'F中， AG=DF AB'=B'D Rt△AB'G≌Rt△DB'F(HL) &G=m=3G=&=b, 3 2 由折叠的性质可得，B'C=BC=3,BE=B'E, 在cr中，=c-F-月9 :1G=F=D-0r=4-33 2=a 由O可知，E=a+B+16-8a 8-2a 17/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :E=v5 72+15W1i72-15119-3W5 综上所述，符合条件的BE的长为43或43或2或V3: (3)解：先探究△B'AE面积最大的情况， ①当点B在矩形ABCD的内部或边界时，如图，过点B作CD的垂线，交CD于点F,交AB于点G,设 MG=a,BE=x,5e=y,则G=4-X-a,4B=4-x。 M ,四边形ADFG是矩形， .'DF=AG=a,AD=FG=2. ∴.CF=4-a, 由折叠的性质可得，BE=B'E=x,BC=B'C=2,∠CBE=∠CBE=90°， :B'G⊥CD,ABIICD, ∴.∠CFB=∠B'GE=90°， ,∠CB'F+∠EB'G=∠B'EG+∠EB'G=90°， ∴.∠CB'℉=∠B'EG, ∴.△B'CF∽△EB'G, EG B'G B'EX ∴BF=CF=BC=2: BF-24-x-a.BG=4-a), .PFG=BG+B℉=2， 4-)+24-a-)=2, 变形，得a=4r2-8x+16 x2+4 18/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 s0-4-小- -8服0-4-小， 2-y=2-8222-6+82-2jx+ x2+4 x2+4 x2+4, (x-2y≥0.x+1>0,x+4>0. 62-y220.s2. x2+4 当且仅当x=2时，y取得最大值2： ②当点B'在矩形ABCD的外部时，如图，过点B作CD的垂线，交CD于点F,交AB于点G,设AG=a, BE=XS△BE=y 则BG=X+a-4,AE=4-x E G.---- B B 同理①可得，△B'CF∽△EB'G, EG B'G B'EX ·B℉=CFBC2' BF-24-x-a),BG=54-a), .FG B'G-B'F 2, 54-)24-a-刘=2， 变形，得a=4r2-8x+16 x2+4 B'G=(4-a)= 4x2 2 x2+4’ 19/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=Sa6=号B:BG= 8x2-2x3 2 x2+4 :2y 2x-2+,0 x2+4 y<2 综上所述，当且仅当x=2时，y取得最大值2： 如图， E B D M B 当x=2时，a= 4x2-8x+16=2, x2+4 :BF=2（4-x-a)=0,即点分落在边CD上 ∴.B'D=AE=2, :点M是B'D的中点， :图=专m=1 在RIADM中，MW=VAD+DM=V2+P-5 再探究∠EMB'=90°的情况， 假设∠EMB'可以等于90°，如图，连接DE,设BE=B'E=x,则AE=4-x, A B :∠EMB'=90°， .∠EMD=180°-∠EMB'=90°=∠EB', :点M是B'D的中点， 20/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DM=BM, 在△DEM和△B'EM中， DM=B'M ∠EMD=∠EMB' EM=EM △DEM≌AB'EM(SAS) ∴DE=B'E=x, 在Rt△ADE中，AD+AE=DE2, :22+(4-= 解到 B=4-x=3 假设成立，当∠BMB=90时，G= 1 题型模版 1特征：在折叠背景下，利用折叠前后的对称性寻找等角、等线段，构造相似。 2方法：确定折痕为对称轴；利用折叠前后对应角相等、对应边相等；结合平行线或公共角判定相似， 变式21如图，在菱形ABCD中，点E在AD上，连结BE,作点A关于直线BE的对称点A',连结AE交 BD于点F,若点A恰为DC的中点，则△BEF与△ABE的面积比为 D 【答案】50.4 【分析】延长EA'交BC延长线于点G,取BD中点O,连接A'O,连接AB,先证明 aBDA≌△GCA(AAS),则DE=CG=x”AE=4G,然后证明GE=GB,则8-2x=4+x:求出x= 3 21/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EF DE 可得A'O为aDBC中位线，则可证明△DEF∽△OAF,则F=AO,再将共高三角形面积比化为底之比 求解即可. 【详解】解：延长EA交BC延长线于点G,取BD中点O,连接A'O,连接AB, G D 设菱形的边长为4，DE=x, 则由菱形可得AD=DC=BC=4,ADI BC, ·.AE=4-x,∠DEA'=∠G,∠EDA'=∠GCA',∠BEA=∠EBG, ,点A为DC的中点， ..DA'=A'C. △EDA'≌AGCA(AAS) .DE=CG=x,A'E=A'G, 对称， :.AE=AE=AG=4-x.∠BEA=∠BEA SAREA=SAEx ∴.GE=A'E+A'G=8-2x,∠EBG=∠BEA ∴.GE=GB .8-2x=4+x 4 解得x :点A'为DC的中点，点O为DB中点， :.40=BC=2,4O//BC ∴.A'O∥DE. .△DEF∽△OA'F EF DE ·AFA0 22/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 A'F 23 EF_2 A'E 5 SAMEE SABEE EF2 ·SAABE SAABE E5· 变式2-2在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数 学的奥秘 【实践操作1】折法：如图1. 步骤1：将正方形ABCD对折，得到折痕EF,连接CE 步骤2：将正方形沿CE折叠，使点B翻折至点H处，CH交EF于点G. 【实践操作2】折法：如图2. 步骤1：将正方形ABCD对折，得到折痕MN,连接CM. 步骤2：将正方形折叠，使点P落在C以上，得点A,得到折痕CP B M B 图1 图2 【问题解决】 (I)在实践操作1中，猜想△GEC的形状，并说明理由. (2)在实践操作2中，若BC=2,求BP的长。 【答案】(I)△GEC是等腰三角形，理由见解析 (②BP=5-】 【分析】(I)由EF∥BC得∠GEC=∠ECB,由折叠得∠ECB=∠ECG,可得∠GEC=∠ECG,由等角对 等边可得结论： 2由折叠得M=MDAD=l,过点p作PO/AD交MC于点T:交CcD于点0得T0 CMDC, MD_T≌-1 得出CDC02,设I0=x,则C0=2x由勾股定理得出CT=V5x,证明PT=CT=V5x,四边形 23/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PBCO 是矩形，符P0=BC=PT+70=5x+x=2,求出的值即可解决问题。 【详解】(1)解：猜想：△GEC是等腰三角形，理由如下： ,正方形ABCD对折得到折痕EF, ∴.EF∥AD,且EG垂直平分AB,EF∥BC, ∴.∠GEC=∠ECB」 由折叠得：∠ECB=∠ECG, ∴.∠GEC=∠ECG, .GE=GC, ∴.aGEC是等腰三角形： (2)解：，四边形ABCD是正方形，BC=2, ∴.AB=BC=CD=AD=2,∠B=∠BCD=∠D=90°，ABIICD, 由折叠得MN垂直平分AD, .M为AD的中点， :AM=MD-24D=1. 如图，过点P作PO∥AD交MC于点T,交CD于点O, M B .ATOCAMDC,∠TQC=∠D=90°， MD TO 1 ·CDCg2' .C0=219. 设T0=x,则Cg=2x, .CT=T'+cO=+(2x)=5x :P2∥AD,ADI BC, .Pe∥BC, 24/143 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠QPC=∠PCB ∠PCB=∠PCB 由折叠得 ∠QPC=∠PCB .PT=CT=5x .PQ∥BC,AB∥CD :四边形PBCQ是平行四边形， 又∠B=90° “四边形PBCO是矩形， PQ=BC-PT+T0-5x+x2 解得x=V5-1 2 CQ=5-1 :BP=CQ=5-1 变式2-3(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)【驱动背景】 在⊙O中，将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，使得弧AB恰好过圆心O,圆心O关于直线AB的对称点 为O1. D D D O 图1 图2 图3 图4 【前情感知】 (I)如图1，连接OA,OB，∠4OB的度数为： 【问题探究】 (2)如图2，若点D是优弧AB上的任意一点，连接AD交折叠后的弧于点C,连接BC,BD 25/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①∠ACB的度数为：猜想BC与BD的数量关系_： ②如图3，若弧AB(翻折后)不经过圆心O,BC与BD的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由. 【拓展生长】 (3)如图4，若AD为⊙O直径，将第一次折叠后的弧AB(弧AC部分)沿AC向下翻折交弦AB于点 E,连接CE,若AD=I0,OC=1,请直接写出线段CE的长. 【答案】(1)120° (2)①120°，BC=BD;②成立，理由见解析 (3)2V5 【分折1(d连接o0,交AB于点义符ON-00.2O4N=∠O8v:∠4OB即可求解： (2)①因为∠DCB+∠ACB=180°，且∠DCB=∠T,结合∠D+∠T=180°，得到∠DCB=∠D,即可求解： ②结合四边形AC"BD是⊙0的圆内接四边形，∠D+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，即可求解： ()证明D8HaBM,符到B册=4，由BD=DM+=20,符BD=2 ,证明 AREC≌△ADB(AMS),即可求解. 00 【详解】解：（如图1，连接心，交1B于 于点N, 01 图1 ,圆心O关于直线AB的对称点为O, OO⊥ABOA=OA∠OAB=∠OAB OA=0A 又… △OAO 是等边三角形， 26/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A00=∠OA0=60° ∠OAB=∠OAB=30° .OA=OB, ∴.∠OAW=∠OBNW=30°. ∴.∠A0B=180°-30°-30°=120° (2)①如图2，∠ACB=∠AOB=120°， D 图2 设翻折前点C对应的点为T,连接AT、CT, 则∠DCB+∠ACB=180°，而∠DCB=∠T, 即∠T+∠ACB=180° .∠D+∠T=180°， ∴.∠DCB=∠D, 即BC=BD: ②成立，理由如下： 设折叠前点C的对应点为点C”,连接AC',BC,如图3. D 图3 由折叠可知，∠ACB=∠ACB :四边形AC"BD是⊙O的圆内接四边形， .∠D+∠AC'B=180° :∠BCD+∠ACB=180°， 27/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠D=∠BCD. .BC=BD: (③)补出第一次折叠后上面的4B弧所在周0，补出第二次折叠后从4到B到C的4C弧所在圆0， 由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的直径AD=10, 故设圆直径均为10，半径均为5，过B作BH⊥CD于H, R B A八E 图4 由(2)知BC=BD :CH=DH=CD OA=OD=5,C0=1, 则CD=4,AC=6, CH-DH-7CD-2.AHl=AC+CH=2+6-8 :∠D+∠DBH=∠D+∠DAB=90°， ∴.△DBHr△BAH, BH DH ·AHBH,即BH=DH·AH BH2=2×8=16,则BH=4, ÷BD=Dr+BH=20,则BD=25 作圆的直径E,则月 02 ER=AD=10 在圆中，∠R=∠BAD 则∠ECR=∠ABD=90°， 28/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ER=AD. REC≌AADB(AAS) 则 E=BD=25 则 【点睛】本题为圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质、图形的翻折等， 正确确定三角形相似是解题的关键。 题型3、利用相似三角形性质与判定求线段比值 典例3如图，在正方形ABCD中，点E在A仍边上且E=BM,连接CB·点F为BC边上一点，过点F 作GF⊥CE于点H,交AD于点G,点K在AB边上，连接DH,KG,KH,若AB=DH,∠KGF=45°， KH 则CH的值为() G 刀 H V34 V34 V34 34 A.4 B.5 c.6 D.10 【答案】C 【分析】先设出正方形边长，过点D作DN∥GF交EC于点K,通过正方形中的内十字模型，平行四边形的 性质得出EC=DN=GF,再用相似三角形的性质求出CK的长度，由等腰三角形的三线合一求出CH的长， 进而求出CF、HF的长，从而得到G点是三等分点：过点K作KM⊥GF于点M,过点M作PMI‖AD, 连接GN交PM的延长线于点Q,由一线三垂直得出KM,GM的长，再由勾股定理即可求出KH的长， 从而得出比值： 【详解】解：设正方形ABCD的边长为3a, 29/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c-4 ..BE=a, 在Rt△CBB中，CE=VBC2+BE=V(3a'+d=V0a 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD=3a,∠B=∠BCD=90°、 过点D作DN//GF交EC于点K, .GF⊥CEDN∥GF GDIFN ∴.DN⊥EC,四边形GFND是平行四边形， ∴.∠NDC+∠DCK=90°，∠DCK+∠ECB=90°，GD=FN, ∴.∠NDC=∠ECB. G D K M K C:.△ECB≌NDC ASA DN=EC=GF=10a CN=a ∴.∠B=∠CHF=∠CKN=90° .'∠BCE=∠HCF=∠KCN ∴.AEBC∽AFHC∽NKC BE HF KN 1 ·BC CH CN3, .CK=30a 10 DH=DC,DN⊥EC, .CHI=2CK-30a 5 .a.FC-2a 5 30/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :GD=FN=a, AG=2a」 过点K作KM⊥GF于点M,过点M作PMI‖lAD,连接GN交PM的延长线于点O, :GD=NC GDNC∠BCD=90° ∴.四边形GNCD是矩形， .∴GN ICD‖AB :∠A=90°，AG∥P2」 ∴四边形AP2G是矩形， ∴.PQ=AG=2a∠MPK=∠GQM=90° .KM⊥MG,∠KGM=45°， ∴.KM=GM∠PMK=∠QGM .APMK≌QGM(ASA) ∴.PM=GQ .MO 1 PM 3 .GQ-PM-3a,MQ-1a a 2 24 .KM=GM=1 a, 2 ∴.HM=GF-HIF-GM= 10 ..KH=V 5, KH 34 CH 6 【点睛】本题考查了正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、相似三角形的判定与性质，平行四边形的 判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，几何法的核心是通过模型转化（正方形中的内十字模 型、一线三垂直模型、等腰直角三角形等)将分散的条件集中到可计算的直角三角形中。 题型模版 31/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：综合运用相似三角形的性质与判定求两条线段的比值 2方法：找出包含这两条线段的相似三角形：利用对应边成比例写出比值：注意约分与对应顺序。 变式3-1(25-26九年级下·浙江杭州期中)如图，己知AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,OE=BE 点P是劣弧AD上任意一点（不与点A,D重合），CP交AB于点M,AP与CD的延长线相交于点F, AM 当∠F=3∠PCD时，则BM M E D B 3 【答案】 【分析】设圆的半径是r,OM=x,由∠AFE=3∠PCD,求出a=15°，得到∠POB=90°，因此OPI‖CE, 推出△POM∽aCEM,得到OM:EM=OP:CE,代入有关数据即可求出OM的长，得到AM,BM的长， 即可得到答案 【详解】解：连接OD,BD,PO, M E D :弦CD⊥AB于点E,OE=BE, ..OD=BD, .OD=OB. .△ODB是等边三角形， .∠BOD=60°. .∠PCD=a, 32/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠POD=2a, .∠POB=60°+2a, .∠A=7∠P0B=30°+a, 2 .∠AFE=90°-∠A=60°-a ,∠AFE=3∠PCD, ∴.60°-a=3a. .a=15°， .∠POD=2∠PCD=30°， ∴.∠POB=90°. ..OPCE ∴.aPOM∽aCEM. ∴.OM:EM=OP:CE, ·直径AB⊥CD, .DE=CE, ∴.OM:EM=OP:ED. 设圆的半径是r,OM=x, EM-Tr-DE= 传小， x=(2-5)r :oM=(2-v3)r :.AM=40+OM-3r-3r BM=0B-OM=3r-r AM_3r-3r=5 ∴.BMV3r-r 变式3-2(25-26九年级下·浙江杭州期中)在矩形ABCD中，E是BC边的中点，连接AE,过点B作 33/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD BF⊥AE于点F,射线BF与直线CD交于点P,设AB =k D(P)A O B B E E E 图① 图② (备用图) (I)如图①，若k=1,求证：AE=BP: (2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定k的值： BF (3③)作点B关于直线AE的对称点B,连接AB',延长AB交直线CD于点H·当DM=2DP时，求FP的值， 并直接写出相应k的值。 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是矩形， .∠ABC=∠C=90°，AD=BC,AB=CD ∴.∠BAE+∠AEB=90°， ,BF⊥AE, ∴.∠BFE=90°、 :.∠AEB+∠CBP=90°， .∠BAE=∠CBP, AD=k=1, :AB ∴AB=AD=BC 在△ABE和△BCP中， ∠BAE=∠CBP AB=BC ∠ABC=∠C· △ABE≌△BCP(ASA) .AE=BP: 34/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 g岭 k-26 BF 3 k=3时，=5当 k=25 (3) 时，m= 【分析】(1)由矩形的性质可得，∠ABC=∠C=90°，AD=BC,当k=1时，AB=AD=BC,由同角的 余角相等可得∠BME=∠CBP,从而证明 △ABE≌△BCP(ASA) ,因此AE=BP BC CD 同理可得，A4 BEABCD:则ABBE,结合4B=CD,AD=BC,BE=)BC 2 AD=2,即k=2 AB (3)设B=2,则4D=8C=2水，E=k,使用勾股定理计算得1B=VR+4,由面积法可得 Br 2k BF =B'F 2k √k2+4.根据轴对称的性质可得， √k+4,同理(2)可得△ABE∽△BCP,计算 P=+2k即=足 BF 2 得CP=2，B即=kNk2+4,进而计算出V2+4， √2+4，因此P=2+2.分两 类讨论，当点P在CD边上时，H=DP=2-k,容易判断点B在BP上，由平行可判定 △MB∽△g,计算得k=2 BF 3 3，此时P=亏：点p在CD的延长线上时，则Pm=3Dp=3k2-6' 利用△m∽△m计算出太-2压 BF 5 、5,此时p= 【详解】(1)略： (2)解：同理(1)可得，∠ABC=∠C=90°，∠BAE=∠CBP, ∴.△ABE∽ABCD BC CD ·ABBE,即AB.CD=BC.BE, 35/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=CD,AD=BC, 又：E是BC边的中点，即BE=)BC=AD. 2 2 .4=4D AD :.AB =2,即k=2 (3)解：设AB=2,则AD=BC=2k, :E是BC边的中点， :BE-BC-k, 在RIABE中，E=VAB+E=VP+4 8e4B8服=4BR, B那=B·B 2k AE Vk2+4, :点B和点B关于AE对称， 2k BF BF= BB⊥AE, Vk+4, 4k BB'2BF .点B在BP上， √k2+4, 同理(2)可得，△ABE△BCP, BP CP BC ·A==B=, .CP kBE k2 BP=kAE=k24 3+2k FP=BP-BF=- BP=BP-BB=足 k2+4, Vk2+4, BF 2 m=k2+2 36/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BF⊥AE, .∠ABP<90°， ∴点P在射线CD上， ①当点P在CD边上时，如图， D H E .'.DP=CD-CP=2-k2, .DHI 2DP, ∴.PH=DP=2-k2, :AB∥CD .△ABB'∽△HlPB', AB BB' PH=BP,即ABBP=PH.BB, 2xR=(2-k2X27 .Vk2+4 整理，得2-4 39 2W3 BF 2 3 解得k= 3 (负值，舍去)，此时FP2+25 ②当点P在CD的延长线上时，如图， D H B E .DP=CP-CD=k2-2, .DH 2DP, 37/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.PH=3DP=3k2-6, 同理①可得，△ABB'∽△HPB', AB BB' ∴PHBP,即AB.BP=PH·BB 2× ∴V2+4 =(32-6)x4k Vk2+4, 整理，得2=2 5 解得k=2v15 BF 2 5 5 (负值，舍去)，此时FP尺+2 综上所述，当k=25 变式3-3如图1，在菱形ABCD中，∠C=60°，E是对角线BD上一点，连接AE,设∠EAB= (0°<a<30）, 将△ABE沿AE折叠得到△AGE,连接DG并延长交BC于点H D (图1) (图2) (I)用含C的代数式表示∠DAG, (2)求证： ①∠BDH=∠BAE: ②BH=BE. (3)如图2，当DG:GH=2:1时，求DE:BE的值. 【答案】(1)60°-2a (2) 证明：①，菱形ABCD, .AD=AB, 由折叠可知， AG=AB, 38/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=AG :∠ADG=180°-∠DAG 60°+a :DAB=60° ∴，△ABD为等边三角形， .∠ADB=60°， :.∠BDH=∠ADH-∠ADB=a=∠EAB, ②.ADI BC, .∠ABC=180°-∠DAB=120°. 菱形ABCD, ZEBA=∠DBH)∠ABC=6O ,△ABD为等边三角形， .AB=DB, :∠BDH=∠BAE, △ABE≌ADBH(ASA) .'BH =BE; ③DE:BE=1+V6 【分析】(1)根据菱形的性质得到∠DAB=∠C=60°，根据折叠的性质得到∠GAE=∠BAE=a,进而可 求∠DAG: (2)①根据等边对等角及三角形内角和得到∠ADG=60°+α，根据等边三角形的判定和性质证明即可： ②根据菱形的性质得到∠EBA=∠DBH=6O°，根据等边三角形的性质得到AB=DB,证明△ABE≌△DBH, 即可证明BH=BE; (3)连接EH,延长EG交CD于K,作KM⊥DB于M,根据等边三角形的判定和性质得到 阳：BE:GE证明A0GK∽AGE,得到CG6品-2，设B1=BE=GB=x,根据30P角的 性质得到 M=,根据狗段定建得到KM=5,=)6r,求出D=+,6,即可求出DE:85的位 【详解】(1)解：菱形ABCD, 39/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAB=∠C=60°， ·折叠， ∴.∠GAE=∠BAE=, .∠DAG=∠DAB-∠GAE-∠BAE=60°-2a; (2)略 (3)解：如图，连接EH,延长EG交CD于K,作KM⊥DB于M. D B 由(2)得BH=BE,∠EBH=60°， ∴，△BEH为等边三角形， ∴.EH=BE=GE, .∠BHE=∠C=60°. .EH∥CD. :.△DGK∽△HGE, DK_KG_DG=2 .EH GE GH 设EH=BE=GE=x, DK=KG=2x,KE=KG+GE=3x. 在RtADMK中， .∠BDC=60°， ∴.∠DKM=30° 2.DM-7DK-x. KM=3DM=3x ME=KE2-MK2=6x DE=DM+ME=x+6x 40/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE:BE-1+6 题型4、利用相似三角形性质与判定求线段长 典例4如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆，交AC于点E,BC于点F,分别过点A,B 作AG⊥EF于点G,BH⊥EF于点H. (1)已知∠C=65°，求弧AE的度数. (2)求证：∠BAC=2∠GAE (3)已知AG=3,GE=2,求BH的长. 【答案】(1)80°： (2) 证明：连接AF、BE, G :AB为⊙O的直径， .∠AEB=90°，∠AFB=90°， .∠GEA+∠BEH=90°， 又，∠G=90°， :.∠GAE+∠GEA=90°， ∴.∠GAE=∠BEH, ,∠BEH=∠BAF, 41/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠GAE=∠BAF, 又：AB=AC,AF⊥BC, 、∠CAF=∠BAF=7∠CAB .∠BAC=2∠GAE .24 3)5 【分析】(1)利用等腰三角形和圆的性质，找到弧AE所对的圆心角或圆周角，从而求出弧的度数： (2)根据直径所对的圆周角是直角求出∠AEB=90°，∠AFB=90°，结合圆的性质，证出∠GAE=∠BAF, 再结合等腰三角形的性质即可得证： BF GE 2 (3)先证出AGEA∽△ABF,得到AFAG3,再根据勾股定理即可求出. 【详解】(1)解：连结AF, E oH ,AB=AC,∠C=65」 .∠C=∠ABC=65°， ∴.∠CAB=50°」 .BE=100° AB=80 (2)略 (3)解：过点O作OM⊥GH于点M,则ME=MF, F2 3m 2m .OM‖AG BH,AO=OB, 42/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OB HM .OA GM ..MG=MH, .'FH=GE=2. .∠2=∠3. .△GEAP△ABF, BFGE2 .AFAG3· 设BF=2m,AF=3m, :∠1=∠2， .'BF=EF, 在Rt△AGF中，AG2+GF2=AF2, 13 32+(2+2m)2=(3m)2,解得m=-1,%= 5, 26 24 BH Rt△BHF中， -4= 5 5 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的基本性质，相似和勾股定理，熟练掌握相关的知识是解决问 题的关键。 题型模版 1.特征：综合运用相似三角形的性质与判定求某条线段的长度。 2方法：设未知线段为x:找相似三角形列比例式：解方程并检验是否符合图形约束， 变式41如图，点P是边长为1的正方形ABCD的边AB上一动点，连接DP,交对角线AC于点E,作 △ADP的外接圆OO,交AC于点P.连接PF,则∠DPF的度数为一：若AE=2CF,则AP= D B 43/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-1 【答案】 45° 2 【分析】由正方形的性质可得∠CAD=∠CAB=45°，再结合圆周角定理即可得出∠DPF的度数：连接DF, 由圆周角定理可得∠DFP=9O°，则△DFP为等腰直角三角形，进而可得DF=PF,作FM⊥CD于点M, 延长MF交AB于点V,证明四边形BCMN为矩形，得出CM=BW,证明 △DFM≌AFPN(AAS) 得出 DM=FN,MF=PN,证明△FCM为等腰直角三角形，得出CM=FM=PN=BN,设 CM=FM=PN=BN=a CF=2a DM=NF=1-a AP=1-2a AF=2-2a ,则 ,再证明 2-2a:再结合4B=2Cr:求出a=35 1-2a △DAF∽AEAP'求出AE= 4，即可得出结果。 【详解】解：，四边形ABCD为正方形， ∴∠CAD=∠CAB=∠DCA=45°，AB=CD=BC=AD=1,ABIICD,AC=VAB2+BC2=V2 连接PF, D E A P N B ·DF=DF .∠DPF=∠DAF=45°： 连接DF, :DP为⊙O的直径， .∠DFP=90°， ∴，△DFP为等腰直角三角形， ..DF =PF, 作FM⊥CD于点M,延长MF交AB于点N, 44/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :ABII CD, .MN⊥AB ∴.∠DMF=∠FNP=∠DFP=∠MNC=90°， :四边形BCMN为矩形， ..CM=BN, .∠DFM+∠FDM=∠DFM+∠PFN=90°， .∠FDM=∠PFN, △DFM≌AFPN(AAS) .DM=FN,MF PN, .∠DCA=45°，FM⊥CD, ∴.△FCM为等腰直角三角形， ∴.CM=FM=PN=BN, CM-FM-PN-BN=a CF-VCM+MF2-a DM-NF=1-a.AP-1-2a .AF=AC-CF=-a AD=AD, ∴.∠DFA=∠EPA, .∠DAF=∠EAP=45°， ∴.△DAFP△EAP, DAAE .AF AP' 1 AE ∴.2-V2a1-2a' .'AF = 1-2a V2-√2a' .AE=2CF, 1-2a=2×N2a, .2-2a 解得：a=3+v5 4 (不符合思意，舍去)或a=3-5 4， 45/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AP=1-2a=1-2x 3-55-1 42 【点睛】本题考查了圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角 形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助 线是解此题的关键 变式42在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,AD上，连接AC,FE交于点H,已知CF=CE」 D 0 0 B B 图1 图2 图3 (1)如图1，线段AC与FE垂直吗？请说明理由. AK KE (②)如图2，过点A,E,F的圆交CF于点P,EP交AC于点K·求证：ACCE· (3)如图3，在(2)的条件下，当AB=1,点K是线段AC的中点时，求CE的值. 【答案】(I)解：AC⊥EF, 理由如下： :四边形ABCD是正方形， .CD=CB,∠D=∠B=90°，∠DCA=∠BCA=45°， ..CF=CE RIACDF≌RIACBE(HL) .∠DCF=∠BCE. :AC是正方形对角线，平分∠BCD,即∠DCA=∠BCA=45°， ∴.∠DCA-∠DCF=∠BCA-∠BCE. ∴.∠FCA=∠ECA, 即AC平分∠ECF, .CF=CE ∴由等腰三角形三线合一得：AC⊥EF: (2) 证明：过点K作KM⊥AB于点M. 46/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 O C B CB⊥ABKM⊥AB .KM II BC .△AMK∽△ABC, AK KM ·ACCB' :∠PEA+∠PFA=180°，∠PFA+∠DFC=180° .∠KEM=∠DFC. .CF=CE,CD=CB. RtACDF≌RtACBE(HL) ∴.∠DFC=∠BEC, ∴.∠KEM=∠BEC, .∠KME=∠B, ∴.△KEM∽ACEB KE KM ··CECB AKKE AC CE 9 【分析】(I)先由正方形性质与C℉=CE证直角三角形全等，推出角相等，再结合对角线平分直角得出 AC平分∠ECF,依托等腰三角形三线合一证明AC垂直EF: (2)作KM⊥AB，,先由平行线证△AMK∽△ABC,再结合圆内接四边形性质与全等三角形推导等角，证 △KEM∽aCEB,通过两组比例等量代换得证； (3)借用前问相似比例，结合K为AC中点得线段比例，设参表示各线段，由正方形边长求出参数，再 用勾股定理求CE 【详解】(1)略 (2)略 47/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：过点K作KM⊥AB于点M. D 力 由(2)得△KEM∽aCEB, ME KE BE CE' AK KE :ACCE· ME AK BE AC :K为AC中点，KMBC, ME AK 1 .BE AC 2 AM=BM 设ME=a,则BE=2a, .AM BM=ME+BE=a+2a=3a, :正方形对角线AC平分∠DAB,即∠CAD=∠CAB=45°， ∴.∠MKA=∠CAB=45 .KM =AM =3a. :AB=1, .AB=CB=6a=1. 1 解得a= 6 BE=2a=2x1-1 63 在RIABCE中， CE=BC2+BE2 变式4-3如图1，△ABC内接于OO,D是直径AB上的一点，满足AC=AD,连接CD并延长交OO于点 48/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,连接BE,点F在弦BC上，且BF=DE.过点F作FG⊥CE,交AB于点G,交CD于点H.设 ∠CAB=a GDō B A G万 E 图1 图2 图3 (I)用含a的代数式表示∠ABE和∠FGB的大小： (2)如图1，若CF=CD,求证：GF=G0: (3)如图3，若⊙0的半径为1，点D在OB上，且OD=2AG,求AC的长. 【答案】90°-20：20 1 (2)证明：如图，连接OF,OE ∠CEB,LCAB,CB 为”所对的圆周角， .LCEB=∠CAB=a, ,AB为直径， ∴.∠ACB=90°， .∠ABC=90°-a, :LEBD=∠ACD=90°-1。 :∠CBE=∠ABC+LEBD=90°-a+90°- 20=180°- 2a, .CD=CF,BF=DE, ∴CE=CB, :∠CEB=LCBE=180°_ 20, 49/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理：∠CAB=∠CEB, a=180°3 O 2 解得：a=72°， .∠CAB=∠CEB=LCBE=72°， 20-36° BC0EI809-729-729369,ZG81 .∠BOE=2∠BCD=72°， .OB=OE. ∴.LOBE=∠OEB=54°， .∠0ED=∠OBF=72°-54°=18°， △OED≌△OBF(SAS) EOFB=∠0DE=LADC=LACD=90°Qa=54,∠DOE=B0E .∠DOE+∠BOE=180°， ∴.∠BOF+∠BOE=180°， .E,O,F三点共线， ∴.∠G0F=∠B0E=72°， .∠GF0=180°-∠FG0-∠GOF=72°=∠GOF, ∴.GF=G0 3)7-4V2 【分折】山由等鞭三角形的性质可得乙4CD=乙0C-0s0-)=90-0,结合圆周角定理与直 角三角形的两锐角互余可得答案. 3周.接0F,0:表示4C能=+0=180-子，证明cE-Cn:可得0=1w 、Q 2, 求解a=72°，证明 △OED≌△OBF(SAS) ， 再进一步证明即可. (3)如图，连接AE,OE,证明∠FGB=∠DAE,△BDE△BEO,可得BE=BD.BO,证明 50/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △FGB≌△DAE(AAS) ,可得ME=BG,设4C=D=x,再进一步建立方程求解即可 【详解】(1)解：：∠CAB=a,AC=AD, :4D=4c=0s0-=90w-0 ~∠ABE,∠ACE为A 所对的圆周角， ∠ABE=LACD=90°- -Q 2 .GF⊥CE, .∠FGB=90°-∠ADC=90°- (2)略 (3)解：如图，连接AE,OE, B ∠ACB=90°， ∠ACD=∠ADC=90°- 2, 、BCE=5x—∠PGB 1 同理：∠DAE=∠BCE=。a 2, ∴.∠FGB=∠DAE, 结合(1)可得：∠ACD=∠ADC=∠EDB=∠OBE=∠OEB. :∠EBD=∠OBE, ∴.ABDE△BEO, BD BE BE=BO,即BE2=BDBO 同理可得：∠AED=∠FBG, BF=DE, 51/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△FGB≌ADAE(AAS) .AE=BG, 设AC=AD=x, A0=1, .AB=2,BD=2-x,OD=x-1, .OD=2AG, :AG=七1 2 ..AE=BG=2-X-1_5-x 22 .BE2 BD.BO=2-x, ,AB为直径， ∴.∠AEB=90°， 2-24 .x2-14x+17=0, 解得： x=7-4W5x=7+4W2 大于直径，舍去)， :4C的长为7 7-4V2 题型5、利用相似三角形性质与判定求面积比 典例5(25-26九年级下浙江金华期中)如图，在口ABCD中，O为对角线AC上一点，线段AB与线段 AA'1 B关于过点0的直线1对称，点A的对应点在线段AD上，AD3,AB与CD相交于点E,连接 OA',且OA'∥CD,则四边形ECOA'与口ABCD的面积之比为 52/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】16 【分析】设直线I与AD、BC相交于点G、F,连接CB,由题意可得直线I⊥AD,B、C、B三点共线， AG OG AO 1 设AA=k,则A'D=3k,AD=BC=4k,证明△AG0aCF0,得出CF=OFOC3,设0G=a,则 OF上3a,GF=4a由对称性面得。AG三k故CF=,求出BF=R'F-2,C=,证明 2 △ADE△B'CE,得出AA'DE的边AD上的高为4 Gf=3a,求出Srore=3ak,S.m=BC-GF=16ak. 即可得解. 【详解】解：设直线I与AD、BC相交于点G、F,连接CB,如图： ,线段AB与线段A'B关于过点O的直线I对称，点A的对应点A在线段AD上， ∴，直线I⊥AD,B、C、B三点共线， AA'1 :D3 .OA'∥CD. AO AA'1 OC-AD-3. ∴设AA=k,则AD=3k,AD=BC=4k, ADI BC. ∴.△AGOACFO AG OG AO 1 ·CF=0F0C3 设0G=a,则OF=3a, 53/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.GF=4a, 由对称性可得，AC=2,故CF=3 2 BF=B'F=BC-CF=5 5 2 ∴B'C=B'F-CF=k, ADlI B'C, .△A'DESAB'CE, &ADE与ABCE的对应高之比为BC3 DG的边初上的商为0你=山 8ms-4D-3a=9 1 Snwmorke=S.soe-S.rog-S.moBC.GF-ak--ak =3ak.S =BC.GF=16ak. 2 2 四边形0MBC与。ABcD的面积之比为3ak:16ak= 16 题型模版 1.特征：利用相似三角形面积比等于相似比的平方求面积比 2方法：确定相似比：利用面积比=相似比2计算：注意区分相似三角形与等积变换 变式51如图，在ABCD中，点E为BC上一点，将△DEC沿DE翻折得到△DEF,点C的对应点F恰好 落在AE的中点处，延长DF交AB于点G,则△AFG与四边形BEDG的面积比为 【答案】15 【分析】设EC=x,根据折叠的性质和三角形等积变化可以求出AD=BC=2EC=2x,再利用中点模型倍 1 长中线模型证明ME=AD,由此可得BGBM HGAD2进而求dSSS,再结合图 形求面积即可. 54/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，延长DG交C CB延长线于M,连接BD、BF,设EC=X,Sre=a, D 由折叠可知：EC=FE=x,CD=FD,△DEC≌aDEF, SADEC =SDEF=a AF=EF=x, :m=从g=aS4m=2a 又在ABCD SOABCD =2S.AED=4a 中， .S.an=2.4ao-2a, S.BED=SADEC=a .BE=EC=x, ∴.AD=BC=2EC=2x, ,在oABCD中，AD=BC,ADII BC, .∠EAD=∠AEM,∠ADM=∠M, Sa=5ac=a,8m=及w-8m=0 又，AF=EF, .△ADF≌aEMF(AAS). .'.ME=AD=BC=2x, ∴.MB=EC=x, .ADlI BC. .△ADG∽aBMG. AG AD .BGBM· AG=2, :.BG 55/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 211 111 S.AGF= 31 =32a=60, 1,12 S边形BG=S,BF+S.Gr=2+6a 63a, 2 5 :.S两动形6HnG=S网边形BHG+S,Dr=了a+a=了a, 3 3 15 六△AFG与四边形BEDG的面积比为3a:3a=1:5 变式5-2如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙0交AC于点D,E是⊙0上一点，连接 ED交AB于点F,连接EB,BD,AD=3. (1)若∠A=60°，求DC的长. (2)若∠A=2∠ABE BE=2V5 ①求证：BE=DE. ②记AAFD和ABED的面积分别为S和S,求S,的值. 【答案】(1)CD=9 9 (2)①见解析：②44 【分析】(1)由圆周角定理可得∠ADB=90°，利用直角三角形两锐角互余可得∠ABD=∠ACB=30°，再 利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差即可解答： (2)①设∠ABE=x°，则∠ADE=∠ABE=x°，∠A=∠E=2x°，利用角的和差可得∠EDB=90°-x°，进 而得到∠EBD=9O°-x°，即∠EDB=∠EBD;再利用等角对等边即可证明结论：②如图：连接EO并延长 交BD于点G,先说明OG是AB4D的中位线可得OG=)AD=) 2 2,AD川EG.设OE=OB=r,利用勾股 理方程可得汽明A4DAB可终冬、可笑S为：再围 5 56/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =9 △AFDAEFB可得SA S△D= 20,即SA2-20S4m:最后代入SA8】 S△D SAFB+S△ 一求解即可 【详解】(1)解：：AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90° ∠ABC=90°，∠A=60°，AD=3, .∠ABD=∠ACB=30°， AD=3, .AB=2AD=6,AC=2AB=12. .CD=12-3=9 (2)①证明：设∠ABE=x°，则∠ADE=∠ABE=x°，∠A=∠E=2x°， .∠EDB=90°-x°， ∠EBD=180°-(90°-x）-2x°=90°-x° ∴.∠EDB=∠EBD, ∴.EB=ED ②解：如图：连接EO并延长交BD于点G. .EB=ED, .EG⊥BD,BG=DG O是AB的中点，BG=DG ∴.OG是△BAD的中位线， :0G=)4D=3 2 2,AD EG. 设OE=OB=r,则有 c--+=r- :ADI‖EG .△AFDn△OFE, 57/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF AD 3 6 .F0E02.55 AF6 3 .BF11+58 S%m=4E_3 8 SABD BF=8,即SAD= 3 BD=BD, ∴.∠BED=∠FAD, ,∠BFE=∠AFD, .△AFD∽△EFB. SAAFD AD )2 329 :S.EFB BE 25-20,即Samw= 9 S△AD= S△AFD SAAFD 9 一= .SAFDR S△BFB+S△BFD 8 ,20 SAAFD 44 9 题型6、利用相似三角形性质与判定求三角形面积 典例6如图，已知在△ABC中，AB=AC,AG是BC上的高线，点D是AG上的一点，BD交AC于点F. 过点D作DEAB交AC于E,连接CD,若CF=2EF,△ABC的面积为2，则△ADF的面积为一· B G 【答案】 3-V5 3 【分析】根据等腰三角形三线合一可得AG平分∠BAC,S,4co Sm,根据平行线的性质结合角平分 2 58/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线的性质等量代换即可证得AE=DE,设EF=x,则CF=2EF=2x,证明△FDE∽aFBA,根据相似三 角形的对应边成比例可得AE的长，进而可得AC,AF的长，过点G作GK‖BF交AC于点K,利用平 AD 行线分线段成比例定理求出AG的值，最后利用面积公式求解即可. 【详解】解：AB=AC,AG是BC边上的高线，△ABC的面积为2， 1 AG平分∠BAC,S4c=2 S.=1, .∠BAD=∠CAD .DEI∥AB .∠BAD=∠ADE, ∠CAD=∠ADE, .AE=DE, 设EF=x,则CF=2EF=2x, .AB=AC=AE+EF+CF=AE+3x, DEllAB .△FDE∽AFBA. EF DE AE :AFAB,即AE+xAE+3x 整理得AE2=3x2, AE>0,x>0, ..AE =3x .AC=3x+3x=(3+3)x AF=AE+EF=x+x=3+1)x 如图，过点G作GK‖BF交AC于点K, D G :G是BC的中点， 59/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.K是CF的中点， :FK-KC-1CF-x, 2 AK=4R+FK=(5+1x+x=(3+2】 ..DFIGK (5+小-5+1=5-1， AG AK 3+2)xV3+2 S匹=4D-5-1, S.ACG AG S,c=(3-1)S.icG=3-1 S匹-AF_（5+pB+1-5 ScAC(N3+3x5+33, 8m-9m-55--35 3 题型模版 1.特征：已知相似比或边长关系，求三角形的面积。 2方法：先求相似比：利用面积比=相似比2得到目标面积必要时用底高公式辅助计算. 变式6-1某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为4V2cm,长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片 MBCD(MB=4W2cm),先将纸片折出折痕BD,再在边4D上取点P,将△MBP沿BP折叠得△MBP.记 AP与BD的交点为O,在折纸过程中，当点O平分线段AP时，AB恰好平分∠DBC,则AD长度应取 cm D 60/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】7 【分析】延长PA交BC于点E,过点P作PF⊥BC于点F,通过翻折的性质和角平分线的性质得出相等 的边和角，证明△A'BO≌△ABE,得出相等的边，结合矩形的性质证明△DPO∽aBE0,得出相似比，设 PO=AO=AE=x ，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可. 【详解】解：如图所示，延长PA'交BC于点E,过点P作PF⊥BC于点F, D B.∠PFB=∠PFE=90° ~四边形ABCD为矩形， ∠A=∠ABC=90°，ADI BC, ∴.四边形ABFP为矩形， ∴.PF=AB=4N2cmBF=AP 根据折叠可得，∠BA'0=∠A=90°=∠BA'E,A'B=AB=42cm, AB平分∠DBC, .∠ABQ=∠A'BE, 又AB=AB, ∴.△ABQ≌AA'BE(ASA) ∴.AQ=AE」 :点O平分线段AP, :.PO=A'O ∴PQ=AQ=AE, :AD‖BC, .△DPQ∽△BEQ 61/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..PD_Po 1 BEQE2· 设PO=AO=A'E=x, 则PE=3x,BF=AP=AP=2x, 由勾股定理得BE=VAB+AE-V2+r .EF BE-BF=32+x2-2x 由勾股定理得PF2+EF2=PE2, 即32+32+2-2x°=9， 解得x=2(负值已舍)， AD=AP+PD=4+3=7. 变式6-2在一次数学思维拓展课上，小绍和小台对一道几何题进行了合作探究.已知：如图，四边形 ABCD的两条对角线AC,BD相交于点P,且满足∠ADB=∠BCA. B ()基础尝试：小绍通过观察图形，提出这两个三角形相似.请你帮小绍指出哪两个三角形相似，并写出证 明过程。 (②)拓展计算：小台在小绍证明的基础上，添加了特殊条件：若对角线AC⊥BD,且测得AP=3,PD=4 ,PC=8 ①请你求出线段BD的长： ②请你求出△ABC的面积. 【答案】(I)解：△ADPABCP 证明：∠ADB=∠BCA,∠APD=∠BPC, .△ADPABCP 62/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①10：②33 【分析】(I)△ADPPABCP,根据∠ADB=∠BCA,∠APD=∠BPC可证明： (2)①由△ADPPABCP可求出BP=6,从而可求出BD的长； ②求出AC=1山，运用三角形面积公式可求解. 【详解】(1)略 (2)解：①，△ADP∽aBCP, AP PD ·BPPC :AP=3,PD=4,PC=8, 34 :BP 8' .BP=6, .BD=PD+BP=4+6=10: ②：AC⊥BD,AC=AP+PC=3+8=11,BP=6,且BP是△ABC中AC边上的高， 5×4CxBP=x1x6=3 变式63如图，等腰三角形ABC中，AB=AC.以点B为圆心，BC长为半径作弧分别交AC,AB于点 D,E,延长ED交BC的延长线于点F. E (1)若∠A=20°，求∠F的度数. (2)求证：CD=CF 若D为AC的中点. BC=2V2 aDC 的面积 【答案】(1)40 (2)证明：连接BD,如图 63/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .H 有BC=BD=BE, 设∠A=x, :AB=AC,∠A=x, :乙ABC=∠4CB=1809-x=90- 2 2, .BD=BC, ∴∠BDC=∠ACB=90°- 2, .∠DBC=180°-2× 2x, :∠EBD=∠ABC-∠DBC=900- 2, BE BD; :∠BDE=∠BED=)(180°-∠EBD)=45°+3x 2 4 .“∠CDF=180-∠BDE-∠BDC=45°-4x.∠F=180°-∠FBE-∠BEF=45o1 4x. .∠CDF=∠F, ..CD=CF: V14 3)2 【分析】)连接BD:有BC=BD=BE,根据三角形的内角和求出∠ABC=∠4CB=180,20°=80°， 2 得到∠BDC=∠ACB=80°，推导出∠DBC=20°，得到∠EBD=60°，推导出△BED是等边三角形，得到 ∠BED=60°，即可求出∠F=40°； 64/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)连接BD:设∠A=x,根据三角形的内角和求出∠ABC=∠ACB=90° 2,得到 ∠BDC=∠ACB=90°- ，推导出∠D8C=x,得到∠BD=90 一2x，继而推导出 ∠BD5=∠BD=8+子，得到<CnF=∠F=45- 4x,则CD=CF: 东推特出C-2C0.0=C-25.得到i08=4Bc-∠0 ABCABDC ,证明出 ，设 CD=a CD=CF=2 DH⊥BFH DH2=BD2-BH CD2-CH2 ,求出 ,过D作 于“，根据勾股定理，得到 √2 V 求出CH= 2 继而求出DH 2 2,最后根据三角形的面积公式求解即可。 【详解】(1)解：连接BD,如图 有BC=BD=BE, :AB=AC,∠A=20°， :∠ABC=∠ACB=180°-20 2 =80°， BD=BC, ∴∠BDC=∠ACB=80° .∠DBC=180°-80°-80°=20°， .∠EBD=∠ABC-∠DBC=80°-20°=60° :BE=BD,∠EBD=60°， ∴.△BED是等边三角形， .∠BED=60° .∠F=180°-∠FBE-∠BEF=40° 65/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 (3)解：：D是AC中点， .AC=2CD AB=AC BD=BC=22 ∴.∠ACB=∠ABC=∠BDC, ∴.△ABCABDC. AC BC ·BCCD 设CD=a,则AC=2a, BC=2 2a2W2 ∴.2W2a 化简，得a2=4, 解得a=2(负值已舍去)， 由(2)得CD=CF,即CD=CF=2, 过D作DH⊥BF于H,如图 E D HC BH =BC-CH=22-CH DHP=BDP-BH2=8-(2-CH),DH2=CD:-CH2=4-CH2, :8-(22-CH=4-CH2 解得CH= 2 66/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DH= 14 4 02 2 S.oo-CF.DH=1x2x 2 2 22 题型7、利用相似三角形性质与判定求最值 典例7如图1，△ABC内接于OO,作直径AD交边BC于点G,OB平分∠ABC,连接CD,BD. 图1 图2 (1)若∠DAC=50°，求∠BAD的度数. (②)如图2，作CE⊥AB于点E,交AO于点F, ①求证：∠DCF=∠DFC. ②若OF=OG+1,且FG≥2，求DG的最小值. 【答案】(1)20° (2)①见解析②1 【分析】(1)由AD为直径得∠ABD=90°，求出∠ABC=40°，由BO平分∠ABC得∠ABO=∠OBC=20° 根据OB=OA可得结论： (2)①设∠AB0=a,则∠EBC=2a,证明∠DFC=∠DCF=90-C即可：②证明△BOGACDG,得 BO OG DC=DG,设OG=x,DG=y,则OF=x+1,DC=DF=y+2x+1l,B0=D0=x+y,代入比例式得 x+yx +2x+1少：整理得y2=22+x,求得x≥) 2，根据二次函数的性质得。=1从而得出y的最小值为 1,即DG的最小值为1. 【详解】(1)解：：AD为直径， 67/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABD=90°， :∠DBC=∠DAC=50°. :.∠ABC=90°-∠DBC=40°， :BO平分∠ABC, ∴.∠AB0=∠OBC=20°， .OB=OA, ∴.∠BAD=∠ABO=20° (2)解：①证明：设∠AB0=a,则∠EBC=2a, .OB=0A, ∴.∠BAO=∠ABO=&, CE⊥AB .∠AFE=90-a=∠DFC,∠BCE=90-2a, :∠BCD=∠BAD=a., .∠DCF=∠BCD+∠BCE=a+90-2a=90-a, .∠DFC=∠DCF ②由①得，DF=CD. ,∠BAD=∠ABO=∠OBC,∠BAD=∠BCD, ∴.∠OBC=∠BCD ∴.OB∥CD. ∴.△BOGACDG, BO OG ·DCDG' OG=x,DG=y,OF=x+1,DC=DF=y+2x+1,BO=DO=x+y. x+y_x y+2x+1y” 〔121 y2=2x2+x=2x+ 整理得 (48 .FG=2x+122, 1 x22 68/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 又y>0, ∴.y的最小值为1，即DG的最小值为1. 题型模版 1.特征：结合相似三角形与函数思想，求线段或面积的最值 2方法：用相似比把目标量表示为某变量的函数：根据函数性质或几何不等式求最值：注意自变量范围 变式7-1如图，口ABCD中，点E、F分别是AC、AB上的点，且∠CAD=∠CDE=∠AEF,将△AEF、 C△MBr+C△cDE △CDE、△ABC的周长分别记作C.r、C.c、C.BC,则CaMC 的最大值为 【答案】4 【分析】利用平行四边形的性质和已知角相等，证明△CDE∽△ACB和△AEF∽△ACB,将周长比转化为对 应边之比：再利用△ACD∽aDCE得到线段比例关系，构建关于边长比的二次函数求最值. 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， :.ABIICD,ADI BC,AB=CD ,∠BAC=∠ACD,∠CAD=∠ACB, .·∠CAD=∠CDE=∠AEF, .∠CDE=∠ACB,∠AEF=∠ACB. .△CDE∽△ACB. C.CDE=CD ÷CcAC :·∠EAF=∠CAB,∠AEF=∠ACB, .△AEF∽△ACB, .C匹=AE C.e AC :∠CAD=∠CDE,∠ACD=∠DCE. 69/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ACDADCE, CD AC CE CD' ..CE=CD2 AC, ·AE=AC-CE=AC-CD C· CAAFE +CACDE CAABC =CD.AE AC+AC =CD AC_CD2 AC AC =CD +1-C AC AC CD =1 设AC C4+C△=-2+1+1=-02+ :.CAABC 4 -1<0 1 ·当1=2时， 十C△C取最大值，最大值为 C△MBC 变式7-2(25-26九年级上浙江金华期末)如图，C、D是以AB为直径的⊙0上的两个动点（点C、D 不与A、B重合)，在运动过程中，弦CD的长度始终保持不变，M是CD的中点，过点C作弦CQ⊥AB 于点P.若CD=8,AB=17,则△CPM面积的最大值是 O B 【答案】16 【分析】连接D0,作OH LCD于H,根据已知条件利用垂径定理可得P为CO的中点，再由M为CD中 70/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，得出PM为aCDO的中位线，从而证得△CPM∽△C2D,由相似比的平方等于面积比得到 Sacw=4 SAcOn,进而得到当S.cD最大时，S.M有最大值，根据两点之间线段最短及垂线段最短可得 QH≤QM≤00+0M-名片-16，当点M~Q:0三点共线时，QH取0大值16，从而求得△CPM的 22 面积最大值， 【详解】解：如图，连接D0,作QH⊥CD于H,连接OM、M0、O2、OD, D H.s 0 :AB⊥CO,AB为圆的直径， 由垂径定理可知，P为CQ的中点， :M为CD中点， .PM为△CDQ的中位线， ·PMIIDO,PM=Dg, .∠CPM=∠COD,∠CMP=∠CDg, .ACPM∽ACOD S.CPM PM 1 :.S.coD DO 4, SACPM-4SACOD. 当8m最大时 S.cPw有最大值， :点M是CD的中点，OM过圆心，CD=8, ∴.OM⊥CD,DM=4, 71/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OM=JOD-DM 2 42= 2, 据两点之间线段最短及垂线段最短可得册≤QM≤00+0M=，+号=16，当点M、O、0三点共 22 时，H取最大值16， .Sacn0r-2CD.C2=2×8x16=64, :SCTM=4Sa0=16,即△CPM的面积最大值为16， 故答案为：16 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角形中位线定理，两点之间线段最 短.熟练掌握相似三角形的判定与性质解题的关键. 变式7-3如图，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点E为菱形ABCD内部一点，将△BCE绕B点顺时针旋转 6O°，使边BC与AB重合，得到△BAM,且点M、A、E在同一直线上.延长BE交射线AD于G点，延 长CE交射线AD于F点. A (1)求∠FEG的度数. (2)若FE=2,EC=4,求AF的长. FG+FD (3)当E在内部运动时，求AF一的最小值. 【答案】(1)60° ②25 (3)2 【分析】(I)利用旋转的性质，菱形的性质得出∠MBA=∠EBC,BE=BM,AB=BC,证得 72/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ECB≌AMAB(SAS) 从而得出结果： (2)连接AC,利用菱形的性质得出∠DAC=∠BAC=60°，从而通过邻补角的定义求得∠AEF=60°，进 而证得△AFE∽aCFA,利用相似三角形的性质即可求得结果： (3)由旋转的性质结合邻补角的定义可得出点A,E,C,B四点共圆，由(2)的结论证得△EFA∽△AFC, 设AF=k,AD=CD=AC=BC=I,利用勾股定理表示出相关线段的表达式，再证明△FEG△CEB,从而 FG+FD 得到 AF k-2 4 当k=时，则FG+FD有最小值2 AF 【详解】(1)解：由题意知，BE=BM,∠EBM=60°， .△MEB是等边三角形， ∴.∠M=∠MEB=60°， 在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠ADC=60°， .∠EBM=∠ABC=60°， ∴.∠MBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC=60°， ∴.∠MBA=∠EBC, 在△ECB和△MAB中， MB=EB ∠MBA=∠EBC AB=BC △ECB≌△MAB(SAS) .∠CEB=∠M=60°， ∴.∠FEG=∠CEB=60° (2)解：如图，连接AC, 73/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 在菱形ABCD中，∠ADC=60°， .∠DAB=180°-∠ADC=120°， :AC平分∠DAB, .∠DAC=∠BAC=60° .∠AEF=180°-∠MEB-∠CEB=60°， :∠AFE=∠CFA,∠FEA=∠FAC=60°， ∴.△AFE∽aCFA, EF AF .AF CF, .FE=2,EC=4, ∴.FC=FE+EC=6, :4F=F-F=2x6=25 (3)解：由题意知，∠MAB=∠ECB, ∠MAB+∠EAB=180°， ∴.∠ECB+∠EAB=180° 点A,E,C,B四点共圆， 由(2)可知，∠AEF=∠ABC=60°， .∠AFE=∠CFA, .△EFA∽△AFC, EF AF AE .AF CF AC, AF=k,AD=CD=AC=BC=1, 如图，过点F作FH⊥AC交AC于点H, 74/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H G D 在Rt△AFH中，∠FAH=60°， ∴h=经，则m=Ff-m-5 :CH=AC-AH=1-泰 2, 在R△FHC中，FC=FH+HC=R-k+ EFAF EF k ∴由4FCF可得：kV2-k+1, k2 CB=CF-EF=F-k+1-辰一ki k2 EF=- Vk2-k+1, :ADI BC,∠FEG=∠CEB, ∴.△FEGr△CEB, FG EF BC CE FG k2-k+1 k2k2 六1-k+1- k2 K2-k+1-k21-k, k2-k+1 :FG=2 1-k 2 FG+FD_1-k .AF 1-2k2-2k+1=-2--k-2 k k-k2 75/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 -2 -=2 11211 当k=2时，则 G+FD AF 有最小值为 224. 题型8、相似三角形与函数图象的综合 典例8如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DB向终点B 运动，同时点Q从点B出发，沿折线B-C-D向终点D匀速运动，两点同时到达终点.设运动时间为x秒， PO E(2,m) 为y.如图2，y关于x的函数图象经过最低点 下列说法不正确的是（） D m 23.5 n x 图1 图2 A.n=7 B.m=25 C.k=147 4 D.点(4,28)在该函数图象上 【答案】B 【分析】连接AC,交BD于点O,过点Q作QH1DB于点H,结合菱形的性质得BD=DC=BC, OH BO BH ∠DBC=60°，OC⊥BD,进一步判定△BCOABOH,有COBC=BO,根据题意可知点O以每秒2 个单位的速度沿折线B-C-D向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点 O,=0035,则BD=200=7:则0C=23和0B=3,结合图2阿知点n=7,此时吉P与点B 重合，点O与点D重合，进而分：点Q在线段BC运动时，解得BH=x、OH=VSx和PH=PB-BH, 76/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 利用勾股定理求得P四为7(x-2+21,即可得到点卫的信息：当点Q在线段DC运动时，同理可得 PD=x,PB=7-X,DQ=14-2x,DH=7-和QH=75-3x,则PH=2x-7,利用勾股定理求得 Pg=7x2-70x+196,代入点即可. 【详解】解：连接AC,交BD于点O,过点O作QH⊥DB于点H,如图， :菱形ABCD中，∠ABC=120° ∴.∠ABD=∠DBC=60°，DC=BC,OC⊥BD,DO=OB. ∴△BCD为等边三角形. 则BD=DC=BC, :OC⊥BD,QH⊥DB .OC∥OH, ∴.∠BDH=∠BCO,∠BHQ=∠BOC, .aBCO∽aBQH, OH BO BH CO BC BO' 则点Q以每秒2个单位的速度沿折线B-C-D向终点D匀速运动， 由图2的对称性可知，当点O运动至点C、点P运动至点O时，x=D0=3.5,则BD=2D0=3.5×2=7, 7 那么，0C名30B=7,由图2可知点n=7,此时点P与点B重合，点Q与点D重合， 当点O在线段BC运动时， .'PD=x,PB=7-x,BO=2x, 77/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OH 2x BH 25735.解 BH=x'OH=x PH=PB-BH=7-x-x=7-2x, PO2 y=PH2+HO2 那么， 为 =(7-2x}+V3x) =7x2-28x+49 =7(x-2+21 当x=2时即为图2的点E,m=y=21, 当x=35时，k=y=147 4 当点Q在线段DC运动时， ○ 同理可得PD=x,PB=7-x,DQ=14-2x, ÷0w-0-2-7x,0m-90- 4-2x)=75-5x. PH=PD-DH=x-(7-x)=2x-7 那么，P吧为J=PH+H0 为 =(7-2x}+(73-V3x2 =7x2-70x+196 当x=4时，y=28, 故选：B. 78/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题 的关键是应用动态的思想找到菱形的边长 题型模版 1特征：相似三角形与函数图象（一次、反比例、二次函数）结合的综合问题. 2方法：从函数图象中提取坐标与数量关系：用相似比建立方程：注意坐标与线段长度的转化， 变式8-1如图1，点O为△ABC的重心，当动点P从点A出发沿△ABC的边逆时针运动一周，设点P的运动 路程为x,OP2为y,y关于x函数的部分图象如图2所示，则下列说法中正确的是() m 25 n 0410 图1 图2 A.n-3 B.m=50 BC=145 D AABC 的面积为30 【答案】C 【分析】根据图2可知，当x=0时，OA=5,当x=10时，点P运动到点B:当x=4时，此时OP1AC, 利用勾股定理求出OP、OB,取AB的中点M,连接CM,过点C作CH⊥AB于点H,证明 △MHC∽aMPO,进而得到CH=3OP=9,MH=3MP=3,利用勾股定理求出BC,最后再利用 24B:CH进行判断即可。 S.ABC= 【详解】解：由图2可知：当x=0时，y=25,即OP2=O2=25, 0A=5或-5（舍去）， 当x=10时，y达到最大值m,且为第一段图象的终点，说明点P运动到点B, :.AB=10,此时 y=OB2=m 当x=4时，即AP=4,y取得最小值n,此时OP⊥AB 在Rt△MOP中，由勾殷定理得：OP=VOM-AP=VS-4=3 .n=OP2=9,故A选项错误： 79/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=10,AP=4, ∴.PB=AB-AP=10-4=6」 在Rt△OPB中，由勾股定理得：OB2=OP2+PB2=32+62=45, ∴.m=45,故B选项错误； 取AB的中点M,连接CM, C 图1 :点O为△ABC的重心， ∴点O在中线CM上，且CM=3OM, :AM=4B=5,AP=4: 2 .PM=AM-AP=5-4=1. 过点C作CH⊥AB于点H, .OP⊥AB .OP∥CH, .AMHC∽AMPO CH MH CM =3 OP MP OM .CH=30P=9.MH=3MP=3. .AH=AM-MH=5-3=2 .HB=AB-AH=10-2=8, 在Rt△BHC中，由勾股定理得： BC=VCH+HB=-9+8=45,故C选项正确： AB=10,CH=9, SmB.C1=10x9=45,故D选联箭误 变式82如图1，点C是以AB为直径的半圆上的一个动点，过点C作CD⊥AB于点D,E是CD的中点， 80/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连结MC,BE.设AD=ADC Y△BDE 的面积为， 的面积为.函数片，”关于的图象如图2所 示，其中点P为两个图象的交点，则下列结论错误的是() P m 图1 图2 5 A.m=2 B.点 2 定落在y函数图像上 45Y 8 C.点P的坐标是(34 X= D.当△ADC∽△BDE时， 3 【答案】C 【分析】根据题意得出AD=BD,此时点D在圆心位置，利用面积确定m=2,即可判断A；得出圆的半 径为2，直径为4，然后当x=1时，结合图形求出相应面积即可判断选项B;根据题意得出BD=4-x,利 用面积相等得出x=3,然后再求面积即可判断C选项；利用相似三角形的性质即可判断D选项. 【详解】解：根据慰意得：当X=m时，片=2，乃=1 :425 ,E是CD的中点， ÷DE=DC, 2 由题意得：片=2AD.CD=2y=2x)BD.CD 2 .'AD=BD ∴此时点D在圆心位置， ∴.AD=BD=CD=m, 81/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2m2-2 解得m=2(负值舍去)，故A正确，不符合题意： .圆的半径为2，直径为4， 当x=1时，即AD=1,BD=3, 设圆心为0，连接OC,如图所示： B D O .OD=1, :CD=VC02-0D2=V3 24DxCD= 3 , 3 ÷点2 定落在y函数图像上，选项B正确，不符合题意： .AD=x, .BD=4-x, :点P为两个图象的交点， 此时男=⅓，即2xCD4-对CD. 1 2 2 整理得2x=4-x, 解得：X=3 3时，OD=2-42 4 当x= 33 CD=co-op 3, 为0xc0*g柜8 Γ233-9 82/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48√2 ∴点p的坐标是39， 故选项C错误，符合题意： .△ADC∽△BDE, AD_DC=2 ·BDDE =2, .4-x 8 解得：x=了，故选项D正确，不符合题意。 变式8-3(25-26九年级上浙江绍兴期末)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=4,点D 在B上，D=4BD,点E,F分别在边BC,4C上（不与端点重合》，且DE1DF设BC=0<x<2列 △EC前面积为，'头于产的面数图象如图2所示，景高点为69)，且经过Ma08和a084） 和 两点.下列选项正确的是() y D G 0.84 M m p n 图1 图2 A.p=1.2 B.n=1.4 C.△ECF 0.3,0.52) 的面积的最大值为0.96 D.点 在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，勾股定理，矩形的判定与性质等知 识点，难度大，解题的关键是正确求出函数解析式。 过点D分别作DX⊥BC,DY⊥AC,垂足为X,Y,可得四边形DXCY是矩形， DE DX 1 △BXD∽△BCA,△AD∽△ACB,求出DX,DY,然后证明△DXE∽△DYF,则得到DF=DY-2,再由 勾股定理求解表示出C℉，然后建立二次函数关系式，再根据二次函数的图象与性质求解即可. 83/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：过点D分别作DX⊥BC,DY⊥AC,垂足为X,Y, B :∠ACB=90°，即AC⊥BC, .DX∥AC,DY∥BC,四边形DXCY是矩形， △BXD∽△BCA,△AYD∽△ACB,DX=CY,DY=CX∠XDY=90° AD=4BD BX BD 1 AY AD 4 XC AD 4 AC AB 5 .BC=2,AC=4, ar-c-号c=r-2号，4w-g4c-9cn-nm-4白9 5 Γ55， .DE⊥DF,∠XDY=90 .∠1=∠2=90°-∠3. ,∠DXE=∠DYF=90°， .△DXE∽△DYF A4 DE DX51 :.DF=DY82, 5 ∴.DF=2DE, EF-DE+DR-5DE 84/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CF=VEF2-CE=4x2-16x+16=2k-2 0<x<2, ∴.CF=4-2x, 1 :y=ECxCF=)x(4-2x)=-+2.x=-(x-12+1, 2 2 -1<0 ÷当x=1时， ymax =1 ÷顶点为 ,即P=山g=,故A、C错误： 当*=0.3 y=0.32+2×0.3=0.51≠0.52 时， 0.3,0.52) 点 不在该函数图象上，故D错误： 当y=0.84时，则(x-刂+1=0.84 解得x=1.4或x=0.6,结合函数图象可得m=0.6,n=1.4,故B正确， 故选：B. 题型9、相似三角形分类讨论问题 典例9(25-26九年级上·浙江杭州期末)综合与实践 【问题背景】 在学习了图形的旋转后，数学课上同学们围绕以下问题展开讨论：如图①，△ABC绕点A逆时针旋转度 (0<a<180°)得到△AB'C'(点B,C的对应点分别为点B,C'),连接BB,CC.同学们发现： △ABB'∽△ACC' 85/143 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 【类比探究】 (1)芳芳将上述问题一般化后，提出了新的问题：如图②，已知△ABC∽△AB'C',△AB'C'可以看成是 △ABC绕点A逆时针旋转a度(0°<a<180°)，再进行相似变化得到的，连接BB',CC. B 图② ①△ABB和△ACC是否仍然相似？如果相似，请证明：如果不相似，请说明理由. ②若∠BAC=90°，AB=3,BC=5,求BB':CC'的值. 【拓展应用】 (2)如图③，四边形ABCD为正方形，△AEF在正方形内部（不包括边上），AE=EF,∠AEF=90°， ∠BAF<∠BAE,连接DE,CF,求CF:DE的值. B 图③ 【答案】 (1)①①△ABB'∽△ACC',理由如下： ,△ABCAAB'C, AB AC ∴∠BAC=∠BAC'，ABAC, ∴.∠BAB'=∠BAC-∠BAC=∠B'AC'-∠B'AC=∠CAC', .△ABB'∽△ACC': ②BB':CC=3:4;(2)CF:DE=V2:1 86/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质， AB AC (1)①由△ABCAABC',推出∠BAC=∠BAC',AB=AC,得到∠BAB'=∠CAC', 利用相似三角形 的判定定理即可求解： ②利用勾股定理求得AC=4,再利用相似三角形的性质求解即可： AF AC =√2， (2)连接AC,求得AE=AD ∠CAF=∠DAB,可证明△CAF∽△DAE,据此求解即可. 【详解】(1)解：①略： ②：LBAC=90°，AB=3,BC=5, AC=BC2-AB=4 .△ABB'∽△ACC, BB'AB3 .CC AC 4' .BB':CC=3:4; (2)连接AC, :四边形ABCD为正方形， AC=2 ∴.∠ADC=90°，∠CAD=45°，AD :AE=EF,∠AEF=90°， .∠EAF=45°， =2 ·∠CAF=45°-∠CAE=∠DAE:AE AF AC=2 :.AE AD :∠CAF=∠DAE, .△CAF△DAE, 87/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF_F-2,即CF:DE=2:1 DE AE 题型模版 1.特征：由于对应关系不确定或图形形状不唯一，需要进行分类讨论 2方法：明确分类标准（对应顶点不同、点在线段或延长线上、图形开口方向等）；逐类画图、判定相似 并求解；最后汇总答案， 变式91(2526九年级上浙江宁波期中)如图(1)，直线)=-x+3与轴、》轴分别交于点 B(3,0) 和 CQ,3),经过B、C两点的抛物线=+x+C与产轴的另一个交点为4，顶点为P。 (1) 2) (3) (1)求该抛物线的解析式与点P的坐标； (2)当0<x<3时，在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值： (3)连接AC,点N在x轴上，是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所 有符合条件的点N的坐标：若不存在，请说明理由.（图(2）、图(3)供画图探究) 【答案】()'=r-4r+3(2,) 6别 【分析】(1)将点 (,0),C03)代入=+伽+c,求出b,c,即可得到抛物线解折式，配方解析式 即可得到顶点： (2)在抛物线上取点E,连接CE,BE,过E作x轴的垂线，交BC于点F,设出点E,F的坐标，列出 88/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 函数，根据函数的性质即可得到答案： (3)根据B,C,P三点坐标即可得到∠CBA=∠ABP=45°，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两 类边对应成比例列式解方程即可得到答案： 【详解】(1)解：将 点B(3,0),C0,3到代入y-+c+c得， e=3 c=3 19+3b+c=0,解得： b=-4, y=2-4x+3 :y=r-4x+3=(x-2}2-1 2,-1) ∴.顶点P的坐标为 (2)解：在抛物线上取点E,连接CE,BE,过E作x轴的垂线，交BC于点F, 设点F伍-+3)，则点(4+列 .EF=-x2+3x, SACBE =SACEF +SABEF 2+ 8, 89/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴当=2时，△CBE的面积有最大值， 时，点8的坐标为2：】 (3)解：存在，理由如下， N(n,0) 连接BP,设 当y=0时，x2-4x+3=0, 解得51与=3 :400) B3,0)C(0,3) ∴.C0=B0=3 :∠CBM=∠0CB=450BC=3W2 同理∠ABP=45°，BP=2 BN BC ①当BP=BA时，AABCAPBN,如图， 3-n3v2 V22, 解得”=0，所以点N的坐标为 N,(0,0) 90/143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BN BA ②当BP=BC时，AABCAPBN,如图， 3-n2 .√232 7 n= 解得3，所以点N的坐标为 候上述，点N的坐标为0,000 【点睛】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的 性质，解题的关键是根据条件列函数或方程 变式9-2(24-25九年级上·上海普陀期中)在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D.且AD>BD点 E是边AC上一动点（点E不与点A、点C重合），连接DE,过点C作CF⊥DE交线段AD于点F. B B D 图① 图② (I)如图①，求证：CD·BC=BF.CE (②)如图②，若FC=FB,BD=2,CD=3,求aDCE的面积. (3)若BD=l1,CD=2,CF交线段ED于点G,连接EF,且△EFG与△CDG相似，请直接写出CE的长 【答案】() 证明：∠ACB=90°，CD⊥AB. 91/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=90°-∠BCD=∠DCE, CD⊥AB,CF⊥DE. .∠BFC=90°-∠FDE=∠CDE, ..ADCESAFBC. CE CD ..BC BF .CD·BC=BF.CE 54 (②13 85-√5 (3)4或2 【分析】本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和分论讨论思想的应用. (I)证明△DCE∽aFBC,对应边成比例即可解决问题； (2)设DE交CF于K,由△DCE∽aFBC:BF=CF,可得CD=DE=2,设BF=CF=m,则 DF=BF-BD=m-2,可符m-2+2=m,即可解得BF=CF,DF=m-2,求出DK,CK,由三 角形面积公式即可解决问题： (3)△EFG与△CDG相似，只需∠CDG=∠FEG或∠CDG=∠EFG,分两种情况讨论：①当 ∠CDG=∠FEG时，②当∠CDG=∠EFG时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题. 【详解】(1)略 (2)解：设DE交CF于K,如图： D 由(I)知△DCE∽aFBC, DE CD ..CF BF :BF=CF, ∴CD=DE=3, 设BF=CF=m,则DF=BF-BD=m-2, 92/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIACDF中，DF2+CD2=CF2, .(m-2)}+32=m2 所利m-号 :.BF=CF=13 DF=m-2=5 4 2SAcr=CD·DF=CF.DK 3x2=1 44 DK :DK=15 13 :--- 36 =1 S.mer -DE.CK=x3x 654 2 2 1313 54 :aDCE的面积为13： (3)解：∠CGD=∠EGF, :aEFG与△CDG相似，只需∠CDG=∠FEG或∠CDG=∠EFG, ①当∠CDG=∠FEG时，此时如图：EF∥CD, A .BD=1 CD=2 CDLAB BD=1 CD=2 BC=BD2+CD2=+22=5 :∠B=90°-∠BCD=∠ACD,∠BDC=90°=∠CDA, ABDCOACDA. BD CD BC CD AD AC 93/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1-2V5 ∴.2ADAC AD=4 AC=2/5 EF∥CD DF CE ..AD AC DFCE .425 DF=25 CE 5 设CE=x' 则DF=2 -x 5 由(I)知：ADCEAFBC, CE CD ∴.BCBF 2 房1425 解得：x=v85-V 4 (负值舍去) CE=85-5 ②当∠CDG=∠EFG时，如图： E G D SA:CF⊥DE CDLAB ∴.∠CDG=90°-∠GDF=∠DFG. ∴.∠EFG=∠DFG. :∠DGF=90°=∠EGF,GF=GF, ∴.△DGF≌AEGF(ASA) ..DG=EG, 94/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CF是DE的垂直平分线， ..CE=CD=2, V85-V5 综上所述，CB的长为4P或2 变式93(2526九年级上浙江金华阶段检测D如图，A8两点的坐标分别是⑧0小(06)，点P白点8 出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO(O为坐标原点) 10 t0<t< 方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ,若设运动时间为 3秒.解答 如下问题： ←—QA衣 )当=3时，求点P的坐标， (2)当△AOB与点A、Q、P三点构成的三角形相似时，求点Q的坐标； △AQP (3)设 的面积为S,求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值. 【答案】)(43) 84,0 023成00 8= (3)所以 9r+6d0<1< 10 3) S取得最大值5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理等等，熟知相似三角形的性质 与判定条件是解题的关键， 5 (1)根据题意可得(=3时，P在AB中点处即可求解： 95/143 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)分△AOB∽△APO和△AOB∽△AQP两种情况进行讨论，结合相似的性质即可求解； (3)过P作PH⊥OA,利用解直角三角形，得到PH,根据面积公式结合二次函数的最值即可求解。 【详解】(1)由题知AB=VOA+OB=10 3时，BP=31=5: 所以此时P在AB中点处 (8,0)(0,6) 又A、B两点的坐标分别是 4,3) 所以点P的坐标为 (2)设时间‘后，△AOB与点A、Q、P三点构成的三角形相似， 则AP=10-3t,AQ=21, 当△AOB∽△APO时， ,即 404B 810 A AP AO 10-3t2t 销行1-8.此时0=8-2- 84 23 84,0 所以点Q的坐标为 23 当△AOB∽△AQP时， ，即 :0、AB 8-10 AO AP 2t10-3t 96/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得(=7，此时00=8-21=4 20 11 48,0 所以点Q的坐标为 1 84 综上，当点Q的坐标为 (3)过P作PH⊥OA, y B P 由(2)知AP=10-3L,AQ=2t, sin /OAB=OB PH 6 3 AB AP 105 所以PH=(10-3刘. 8=40-mx20-刘=号+6 =0-+ 5 即当=3时，S取的最大值5， s=-92+60<1< 10 所以5 3 S取得最大值5. ◆◆ 97/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一文克离障压轴，突威思维上保 1.周，布芝形4CD中，∠4C=2,B=5.:是C延长线1方，4交D于点儿连接 中， BF并延长交DE于点G,则线段BG长度的取值范围是() D G B 3 A.V3<BG≤2B.2 <BG≤2 C.1<BG≤2 2BGs1 2 【答案】A 【分析】延长AD,BG交于点M,连接BD,过点D作DH⊥BC于点H,过点B作BN⊥CD于点N, BC CF CF CE DHBN交于点O,证明ABCF∽AMDF,△ADF∽△ECF,得出DMDF,DF=AD,证明 △BDM∽aECD,得出∠EDC=∠M,证明∠CBF=∠EDC,说明B、C、G、D四点共圆，求出△BCD外接 圆的直径为2，即可得出答案。 【详解】解：延长AD,BG交于点M,连接BD,过点D作DH⊥BC于点H,过点B作BN⊥CD于点 N,DH、BN交于点O,如图所示： D O XG-- B C E ,四边形ABCD为菱形， :.AD-CD=BC-AB-3 ADIIBC ABICD ZABC=120P ∴.∠BCD=180°-∠ABC=60°， ∴.△BCD为等边三角形， ∴.BD=BC=CD,∠DBC=∠BCD=60°， .ADlI BC. 98/143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BCF∽aMDF,△ADF∽△ECF, BC CFCF CE DM DF'DF AD' BC CE :DM AD' .AD=BC=CD, BD CE :DM CD' BD DM 即CEDC' .ADI BC, .∠BDM=180°-∠DBC=120°， .∠ECD=180°-∠BCD=120°， ∴.∠BDM=∠ECD, ∴.△BDMECD, :.∠EDC=∠M, .ADII BC, .∠CBF=∠M, :.LCBF=∠EDC, ∴B、C、G、D四点共圆， :△BCD为等边三角形，DH⊥BC,BN⊥CD, ÷∠0x60=30,m-c=员 2 5 ..BO=BH cos30 2=1 2 ∴.△BCD外接圆的直径为2， ∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2， ∴.BG的最大值为2， E是BC延长线上一点， .∠BDE>∠BDC, 99/143 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即∠BDG>∠BDC, .BG>BC. .BG> <BGs2 2.(25-26九年级下·浙江杭州阶段检测)如图1，有一张矩形纸片ABCD,已知AB=10,AD=12,现 将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图 2);然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上 (如图3)，给出四个结论： BG 3 ①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③GF=4;④GH的长为5，正确的个数是() B B B E C H E C 图1 图2 图3 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】过G点作MN∥AB,交AD、BC于点M、N,可知四边形ABEF为正方形，可求得AF的长， 可判断①，且△BNG和△FMG为等腰三角形，设BN=x,则可表示出GN、MG、MD,利用折叠的性质 可得到CD=DG,在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x,再利用△MGD∽aNHG,可求得NH、GH和 HC,则可求得BH，即可判断②③④，可得出答案 【详解】解：如图，过点G作MN∥AB,分别交AD、BC于点M、N, G 四边形 为矩形， B N H E C ABCD .AB=CD=10.BC=AD=12. 100/143