3.3.2 抛物线的简单几何性质（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“抛物线的简单几何性质”为核心，通过A、B、C组三级分层设计，实现从基础巩固到思维拔高再到高考衔接的递进式知识巩固，突出数学思维与应用能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|涵盖范围、对称性等9个基础知识点|以选择、填空题为主，结合期末真题，强化概念理解与基本运算| |B组能力进阶|抛物线与圆、双曲线综合应用|通过多曲线交汇问题（如抛物线与圆交于两点求参数），培养知识迁移能力| |C组思维拔高|抽象建模与探究性问题|设置酒杯抛物面与玻璃球位置关系等情境题，发展数学建模与创新思维| |拓展链接高考|高考核心考点|整合近5年高考真题（如2021天津卷），衔接高考题型与难度|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.3.2抛物线的简单几何性质 参考答案 知识点01 抛物线的范围 1.C: 2.C 3.A: 知识点02 抛物线的对称性 4.A: 5.D: 6.2√2； 7.y2=4x; 知识点03 直线和抛物线的位置关系 8.ACD; 9.D 10.BD: 11.3: 知识点04 抛物线的切线方程 12.C 13.D: 14.B: 15.4 16. 【答案】(1)y=8x:(2)y=x+2或y=-x-2 【详解】(1)抛物线C:y=2px(p>0)的准线与x轴相交于点M(-2,0), 所以-？=-2，则p=4,抛物线方程为y-8x: (2)当直线l的斜率不存在时，也抛物线y=8x无交点，不合要求， 当直线1的斜率存在时，设为y=k(x+2),与抛物线y2=8x联立， 1/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得kx+(4k2-8)x+42=0,因为直线1与抛物线C相切， 所以△=(42-8-42,4k=0,解得k=-1或k=1, 所以切线方程为y=x+2或y=-x-2. 知识点05 根据韦达定理求参数 17.B; 18.A: 19.【答案】(1x+y+1=0或x-y+1=0:2)2 【详解】(1)y=4x的准线方程为：x=-1,故M(-1,0): 易知直线I的斜率存在，设直线上：y=k(x+), [k≠0 联立4、少-yk=0,由直线与c相切，可得A10 解得k=±1，故直线l的方程为x+y+1=0或x-y+1=0 (2)设A(x,),B(:,),易知直线1的斜率存在，设直线上y=k(x+), 空红圳，身扩-+6-0，知信-0男-套=4 「k≠0 因为MB=2MA,所以2(x+山y)=(x+l,),即有=2： 代入上式可得3y名片-2，解得=士2 3,即y+为2=士32： FA+FB=(s+1)+(5,+)=上+生+2 44 4+⅓'-22+2=9 4 2 2/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M 20. 【答案】(1)y2=2x,P(2,2):(21x-2y-3=0 x-2y+2=0 【详解】(1)由=2px,消去x整理得y-4m+4p=0), 所以△=(4p-16p=0,解得p=1或p=0(舍)， 所以抛物线C的方程为y2=2x, 将p=1代回(*)式，得y-4y+4=0,解得y=2,所以x=2,即P(2,2). (2)由题易知直线L的斜率存在且不为0，直线L不过点P(2,2), A M 设x=m(y+2)-1(m≠0)，A(x,y),B(x,), y2=2x 联立x=m0+2）-1消去整理得y-2mw-4m+2=0' ∴.△'=4m2-4(4m+2)>0,解得m<-2-N6或m>V6-2, 12-(-2) 又直线，不过点P22引即品产2号，即m+子 3 3 所以m<-2-V6或v6-2<m 4或m> 4 则y+2=2m,2=2-4m, 当pM1x输时，》=2，即m2满足思意， 2 所以直线L的方程为x=2(y+2)-1,即x-2y-3=0. 3/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点06 抛物线的焦点弦 21.B: 22.D: 23.BD: 24.BC: 25.14: 26.±2； 27. y2=2x: 28. 【答案】(1)x=1或y=0或y=x-1:(2)8 【详解】(1)若直线的斜率不存在，则的方程为x=1,与抛物线C只有一个公共点，符合题意： 若直线1的斜率存在，设1的方程为y=k(x-), y=k(x-1) 联立女=4y消去y得-4+4k=0' 因为直线与抛物线C只有一个公共点， 所以△=16k2-16k=0,解得k=0或k=1, 此时直线I的方程为y=0或y=x-1. 综上，直线l的方程为x=1或y=0或y=x-1 (2)因为直线1过点P(,0),又过点(0，)，所以直线1的方程为y=-x+1, y=-x+1 设Ak,)小B(5)联立女=4y消去x得y-6y+1=0则片+，=6 因为点(0，)为抛物线C的焦点，故4B=片+片+2=8， 即线段AB的长为8 知识点07 弦长和面积 29.B: 30.3: 31.2: 32. 【答案】(12：2)y=22x+4 【详解】(1)将M(2,)代入C:x2=2y,得%=2，其中p=1, 4123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以MF=6+2=2+1-5 2 22 (2)直线I的斜率显然存在，设直线：y=c+m,A(x,)、B(x,2), (y=kx+m 由x=2y得：X-2-2m=0 .x+x2=2k,x62=-2m,△=4k2+8m>0, F为=手4=兰 足号 所以kk=上上=2.2=5=-”=-2 2 解得m=4, 即直线1方程为：y=cx+4,所以直线1恒过定点(0,4)， 原点O到直线的距离d=十反， ∴SAo=5×d×AB 2 =x4+R玉+}-4， 2V14+K =2W4k2+32=16, .4k2+32=64,解得k=±2√2， 所以直线l方程为：y=±2V2x+4. B A 33. 【答案】(1)y=4x:2)85; 【详解】(1) 5/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 42 因为点P(k,2）在抛物线上，所以2=2m,得元=2pp 因为抛物线C:y=2px(p>0)的准线方程为x=-号，且PH=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x: (2)由1)知，F(1,0),P(1,2), 易知过点F的直线AB斜率不为O,设其方程为x=my+1, 将x=m+1代入y2=4x,得到y2-4my-4=0, 设A(x,y),B(x,),则y+为=4m,yy2=-4, x+x2=(my+l)+(my2+1)=m(y+2)+2=4m2+2, xg2=(m+1)(my2+1)=m2y2+m(y+2)+1=1, PA=(x-1y-2),PB=(x-1y2-2), 因为P在以AB为直径的圆上， 所以PAPB=(:-1)(x-)+(-2)(2-2)=0, 即x5-(x+x)+1+y-2(+)+4=0, 化简得：m2+2m=0,解得：m=0或m=-2. 当m=0时，直线为x=1,此时A(,2),B(1,-2)但A与P(山，2)重合，舍去 当m=-2时，直线为x=-2y+1,此时y+乃=8，%=4， 则ABl=V1+mV(y+2)}-4y2=V1+4V64+16=20, 点PL,2)到直线x+2y-1=0的施离：d=儿+2x2-_45 V12+225 6/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以。ABP的面积为S= 46xd-×20x45=85 5 知识点08 中点弦 1 34.C: 35.3 36.12x-6y-5=0; 知识点09 定点、定值问题 37.【答案】(1)y=4x:(2)答案见解析 [2=2pt 【详解】(1)依题意， PF=1+2=5得=4， 所以抛物线C的方程为 (p=2 2=4x y2=4x 证明：设1：y= )x+m联立 1 2+m”得 1 y=- y2+8y-8m=0 B 由△=82-4x1×(-8m）=64+32m>0,得m>-2. 设4(，y),B(x,乃)，则y+y=-8,y2=-8m. ÷k+点=占4+4-为4+片4=4+4=4+%+8》=0 由(1)知， P(4,4) 4名-4X-4发-4+4h+4(0仍+4+4 4 4 所以k+及为定值， 38.【详解】(1) 由题可设直线I的方程为y=k(x-2)(k≠0)， y=k(x-2), 与抛物线方程联立得 y2=2x. 7/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 消去y可得k2x2-2(2k2+)x+42=0 其中△=4(22+1)-4K2.42=16k2+4>0, 由根与系数的关系得=4，即5为定值 2) 因为=2x,2=2x,所以2=4xx2=16 又因为》2<0，所以yy2=4」 设OM,ON的斜率分别为k,k2, 则=安，与安有华=安经-子山，则w1N 39.【答案】(1)2；(2)答案见解析 【详解】（由M=+号=2+号=3， 2 得P=2,即抛物线C的焦准距为2. (2)如图， y O/F B 由(1)知C:y2=4x,直线OA方程为y=x, y=x, x=4 由y=4x,解得y=4:即得4(4,4)： 因Ex轴，故在y=4x中令y=-小解得=在，即得B好-0。 所以直线AB方程为4x-3y-4=0, 焦点F(L,O)在直线AB上，即直线AB经过点F. 40.【答案】(1)x2=4y:(2)答案见解析 【详解】（④）因为M的最小值为1，放号-1，即p=2,所以抛物线方程为r=4y 8/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=kx+b (2)显然直线4B的斜率存在，设方程为y=x+b:则女2=4y' 即x2-4-4b=0,设A(x,乃)，B(x,),由韦达定理得x+为2=4k,x2=-4b,则 y2=(a+b)(2+b)=k2xx2+(x+x)+b2=k2(4b)+kb×4k+b2=b2, 因为0A⊥0B,所以0AOB=52+y2=-4b+b=0,解得b=0(舍)，b=4,故AB的方程为： y=a+4,故恒过点(0,4)： 41. 【答案】(1)5：(2)答案见解析 【详解】(1)过点F(山，0)，且直线1的斜率为2的直线为y=2(x-), 设A(,),B(), y2=4x 联立 =2x-2得2-3x+1=0'+x=3 AB=x+x2+p=3+2=5: (2)设过点F(1,0)的直线1：x=my+1, y2=4x 联立 x=my+1:得y-4my-4=0',=-4 则xx=16 0A.0B=xx2+yy2=1-4=-3 0 B组 能力进阶 1.A; 2.B: 3.C: 4.D: 5.B; 6.D; 7.C;8.A: 9.B: 10.BCD; 11.BD: 12.ABC; 13.ABC; 14.ABD; 15.5: 16.2: 17.【答案】(1)x2=4y:(2)答案见解析 9123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)因为点A(-2,),C(2,)关于y轴对称，抛物线E也关于y轴对称， 所以点A(-2,),C(2,1)在E上， 将点A(-2,1)代入抛物线E:x2=2py(p>0)得，4=2p,即p=2, 所以抛物线E的方程为：x2=4y: (2)由题意可知，直线MN的斜率一定存在，则设直线MN的方程为y=x+m, (y=kx+m 由2=4y消y得：X-4收-4m=0 由韦达定理得xx2=-4m=-4→m=1, 所以直线MN:y=ac+l,显然恒过定点(O,). B 18. 【答案】(1)y=4x:(2)8:(3)答案见解析 【难度】0.85 【详解】(1)抛物线T:y2=2px的焦点为F(1,0), 则号-1，即=2，所以抛物线为子=4红 y2=4x (2)直线4B的方程为1：y=x-1?联立抛物线T和直线1的方程： AB y=x-1 得x2-6x+1=0.△=32>0，设A(x,y),B(2,y2), 由韦达定理得x+x2=6, 故AB=x+x+p=6+2=8 (3)证明如下： 由题意可知AB所在直线斜率不为O,AB所在直线方程x=my+n 10/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B y2=4x 联立抛物线T和直线，的方程： AB x=m+n:化简可得：y-4m-4n=0 则△=16m2+16n>0.由韦达定理可得yy=-4n, a4k6=4.五=片h=1616 =-2 又由已知 xx322少24n，则 16 n=2 此时直线AB:x=my+2恒过点(2,0) 19.【详解】(1)设直线l的方程为x=2y+n, 代入y=2px得y2-4py-2pn=0, 设点A(x,)B(x,),则y+=4p,y=-2pn 而线段AB中点级坐标为4，则”士”=4，解得p=2, 故T的方程为y2=4x。 (2)()法一：由(1) 片+y2=8.1x-21_x2-2 ,=4n,且k片-4'G-4 ,11_2y+n-2,2y2+n-2 则Kk片-4 y2-4 =4yy-8(4+2)+(n-2)3+2)-8(n-2) (-4)(0y2-4) 4y2+(n-10)y+2)-8(n-2）=-16n-64=4 yy2-4(y+y2)+16 -4n-16 11=4 所以衣+店 法二：设直线方程为m(x-2)+n(y-4)=1, 抛物线的方程y2=4x可表示为(0y-4)+8(y-4)-4(x-2)+8=0, 11/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m(x-2)+n(y-4)=1 由0-4+8(0y-4)-4(x-2)+8=0' +-2m+ 4a+-o, ∴.(8n2+8n+1）k2+(8m-4n+16mn）k+8m2-4m=0. 8m2-4m ∴.k+k=2。,,kk2=8n2+8n+1’ 8n2+8n+1 1 直线的斜率为2n=-2m ∴k+k=4n-8m-16mm-32m2-16m 8n2+8n+132m2-16m+1 1+1_k+k_32m-16m=4 k k2 kkz 8m2-4m ()法一：如图，作出符合题意的图形， A B 11 由已知得kk -+=4 设直线BC的方程为x=my+t,B(x,2),C(,⅓) x=my+t 联立Y=4x，可得y-4my-4=0 ∴y2+3=4m,y2=-41, 6 3-2, 1+_m+-2,m,+-2 kk -42-4 2my+-4m-20凸+)-8-2）=4. 2y-4(y2+)+16 12/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得4m2-2t-14m+mt+12=0, 即(m-2)(t+4m-6)=0. 当m=2时，直线AB与直线BC重合，舍去 ∴.t+4m=6,∴.直线BC的方程x=my+6-4m, 直线BC过定点(6,4) 11 法二：由已知得无 -=4 :+-+=n8m-16m-m2m-4m=4 kk2 kk2 8m2-4m 2m2-m ∴.8m2+4mn-2m-n=0,.(2m+n(4m-1=0. 六n=-2m（舍)或m=4 :直线BC的方程是(x-6+n0-4)=0, ∴直线BC过定点(6,4) 20.【答案】(1)P=2,准线方程为x=-1 (2)(①)x+V2y-1=0或x-V2y-1=0,i)32 【详解】(1)解法一：设抛物线y=2p匹与直线y=2x-3交于P(x,y),(s,), y=2x-3 联立方程组y=2px,整理得y-y-3p=0 所以+为=p:因为w=当”=1，所以p=2: 2 则抛物线方程为y=4x,准线方程为x=-1: 解法二：设抛物线y2=2px与直线y=2x-3交于P(x,),Q(x,2), 因为截得的弦的中点M的纵坐标为1，故x≠x2,+2≠0， 则份作若得2之以+为)=2p. yi=2px x-x2 x-x2 2p 所以如0十)2，国为y+=2:所以p=2 则抛物线方程为y=4x,准线方程为x=-1: 13/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解法一：（①依题意设直线AB的方程为x=my+1,m≠0，A(s,乃），B(x,4), x=my+1 3+y4=4m 联立方程组 y=4x,整理得y-4my-4=0,故y=4, 所以AB=AF+BF=x+1+x4+1=my,+1+1+my4+1+1 =m(y+y4)+4=4m2+4=12,解得m=±2， 所以直线马的方程为x=±V√2y+1, 即x+V2y-1=0或x-V2y-1=0: 因为B1D:h-4m+4,同理可得C0是+4 所us=4网m-4m+4(年+小=2+m+)2+2@品=2， 当且仅当m,即m=士1时，取等号， 所以四边形ABCD面积S的最小值为32. 解法二：（①依题意设直线AB的方程为y=kx-),k≠0，A(:,),B(x4,y4)」 七+x=2+F、 联立方程组-D,整理g-2+4+-0放= y2=4x 所以M=M+B=与+1式+1=4+是=12，解得太= 2 所以直线1的方程为y=±，-)， 即x+V2y-1=0或x-V2y-1=0; c因为B1CDh8=4+是，同理可得C=4状+4， 所us-D-4+4食+4-2++82*2k2日=2， 当且仅当=存，即k=士1时，取等号， 所以四边形ACBD面积S的最小值为32. 14/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.【答案】(1y=4x:(2102x-y-4=0,②存在，（-2,0) 【详解】(1)由题意点F到其准线的距离为2，则P=2, 所以抛物线H的标准方程为y2=4x. (2)①设直线， 方程+2年小停答】 AB Y A T B x=my+2 联立y=4x，得y-4my-8=0 所以y+y2=4m,》2=-8, 设直线FB的方程为x=少+1， x=y+1 联立y=4x,得y-4-4=0所以丛=-4 所以可得%：所以活 所以TA 会+手-5，化p时+230s-10-0:架得=16 又因为点A在第一象限，所以y=4,则A(4,4),代入到x=my+2中， 1 所以4m+2=4:解得m=2 15/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以直线AB的方程为2x-y-4=0 ②假设存在这样的9，设(，%)，片+=（以+）了-2yy2=16m2+16, 所以知+e=为五+冬-业=0 0w年-5小为年小-0 化简得(y+%)-(+%)一安(+)+2%=0， 即-2×4m-4mx。-4y%(m2+1+2xo。=0, 即-8-4)m-4ym2-4+2x。=0对任意m∈R恒成立， -8-4x=0 所以了 %=0 ,解得」x=-2」 -4y%+2xy%=0 (%=0 所以假设成立，即存在Q(-2,0) C组 思维拔高 1.D:2.B: 3.A;4.A: 5.【答案】山0x=2y:(2y=2x-2,y=0: 【详解】(1)解：因为抛物线C:x2=my(m≠0)经过点4√2，)，可得m=(2'=2, 所以C的方程为x2=2y. (2)解：当直线I的斜率为1时，可得直线！的方程为y-1=x-1,即y=x, [x2=2y x=0「x=2 联立方程组 =x,解得y=0或y=2即M0,0,N2,2) 由)2，得y=x,所以点N处的切线的斜率为2， 则C在点N处的切线方程为y-2=2x-2),即y=2x-2, 所以点M处的切线的斜率为0，则C在点M处的切线方程为y-0=0(x-O),即y=0, 16123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以C在点M处的切线方程为y=O, 综上可得，C在点N和M处的切线方程分别为y=2x-2和y=0. (3)解：由题可知I的斜率存在，设：y-1=kx-),即y=x-k+1,M(x,y)且N(x,2), [x2=2y 联立方程组 y=-k+1整理得2-2+2k-)=0 则△=4k2-8(k-)>0且x+x2=2k,x为=2(k-), 当k=1时，I:y=x,此时点B为线段MN的中点， 过点B作的垂线，其方程为y=-x+2, 31 与直线y=x-1的交点即为D22 满足DB平分∠MDN: 下面证明点D 31 22满足题意： 当直线0N的斜率不存在时，小？)。 时1：y-+则如(》直线0的斜率为0 可得∠MDB=∠NDB=45°，所以DB平分∠MDN, 根据对称性，当直线DN的斜率为O时，直线DM的斜率不存在， 同理可得DB平分∠MDN: 当直线D八的斜率存在且不为0时，k≠4， 及直线DMy(-引直线Dwy(- 11 + 点到直线， 的距离分别为d,= + DM DN V1+ V1+ 1 又6=门 3 3 3 方22x-2 x2 +合小++术-+O-3-G--24+-+ 4 9 52(x+)+4 2k-2-32k+ 9 2 17/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -k 4 1 =1成立， 1 11+1 1 1 所以4= 2 2k22 k2+ 2 2 =d2, V1+k V1+k3 所以平分 DB ∠MDN 31 综上，直线y=x-1上存在定点D22使得DB平分∠MDN 拓展 链接高考 1.A:2.ABD; 3.ABD; 4.ABD; 5.AC: 6.ACD; 7.BCD; 8.②④： 9.5 10.【答案】(1y2=4x:(2)AB:x=V2y+4. 【详解】（①）揽物线的准线为x=一号，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为， 此时MFp+号-3，所以p=2: 2 所以抛物线C的方程为y2=4x； (2)方法一]：【最优解】直线方程横截式 段答小年为小4菩小蓉 直线MN:x=my+I x=my+1 由y=4x可得y-4my-4=0:△>0，yy=4: 由斜率公式可得 w=长=4k=为长= 上_y吃y+2, y3+y4, 44 44 18/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线MD:x=- 2y+2,代入抛物线方程可得少_45-2y-8=0, △>0，y=-8,所以为=2y,同理可得y4=24, 4 4 所以kB= +y42(+y2)2 又因为直线WB的顿斜角分别为2，B,所以ks=mB=-amg 22 若要使a-分最大，则B0引.设人m26u2>0:则 tana-tan B k 1 tan()=1+tan ctanB 1V2 -≤ +2k 2k:2k 1 4， 当且仅当22法即k= 2时，等号成立， 所以当a-B最大时，k=2,设直线4B:x=V2y+n' 代入抛物线方程可得y2-4W2y-4n=0, △>0,3y4=-4n=4yy2=-16,所以n=4, 所以直线AB:x=√2y+4. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线N的斜率存在 设M(,),N(,),A(,),B(xy4),直线MN:y=k(x-1) y=k(x-1) 由 y=4x得：2x2-(2k2+4）x+2=0:=1同理，=4 直线4D:y产2红-2刘，代入抛物线方可得：5=4月里，=4 代入抛物线方程可得：y=-8,所以为=2y2,同理可得y4=2y, 由斜率公式可得： 411 (下同方法-)若要使。-B最大，则B©(0，)】 19/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n(a-月-ang-tamE-k 1√2 设 则 1+tanatan B1+27 -1k 4, kM =2kin=2k>0 +2k2k k 当且仅当22张即k- 1 2时，等号成立， 所以当。-B最大时，ka= 2,设直线AB:x=√2y+n: 代入抛物线方程可得y2-4W2y-4n=0,△>0，yy4=-4n=4yy=-16,所以n=4,所以直线 AB:x=V2y+4. [方法三]：三点共线 设年小年小答菩 设PE0若R.aMN三点共线，由PW-(算Pm-(年-】 所以（年小（年-小，化前得 反之，若=-41，可得MW过定点(，0) 因此，由M、N、F三点共线，得y=-4, 由M、D,A三点共线，得乃=-8， 由N、D、B三点共线，得y4=8 则=4y=-16,AB过定点(4,0) (下同方法-)若要使a-B最大，则Ac(0)】 1 设 测a-叭1r +2k2k 2k 4 ky =2kin=2k>0 k 当且仅当22k即k= 1 2时，等号成立， 所以当。-B最大时，k加= =2，所以直线AB:x=2y+4 1【1daG6号-1.Gy=x 20/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)：F(c,0),AB⊥x轴且与椭圆C相交于A、B两点， 则直线AB的方程为x=C, x=C 联立 +6=1,解得 x=c 62’则 262, a2=b2+c2 y=t 4B= a a y C MA x=c 抛物线c的方程为y=4cx'联立1y=4ex, x=c 解得y=t2c'CD=4c lD=,即4c- 3a’2b2=3ac' 即2c2+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=0, 0<e<1解得e=2,因此，椭圆C的离心率为： (2)[方法一]：椭圆的第二定义 MFL=e 由椭圆的第二定义知工-为， 则有|MF上e a2 c=a-eto 所以a 26=5,即x=2a-10. 又MF上+c=5,得=5-号 2 从而2a-10=5- 2,解得a=6 所以c=3,a=6,b=3V3,p=6. 21/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与抛物线C的标准方程分别是6+)7=L, [方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式 以F(C,O)为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 2c 由(1)知a=2c:又由圆锥曲线统一的极坐标公式MrF1-c0s0:得2c=5-5c0s0:由 1 2 ×3c MF=- ,得 ，两式联立解得 3c=10+5cos0 C=3 x2. 故G的标准方程为36+，，C的标准方程为P=2 [方法三]：参数方程 由a)知g-2b-<:稀顺G的方程为名+名-1， (x=2c·c0s0, 所以C的参数方程为y=V3c·sin9（e为参数)： 将它代入抛物线C2:y=4x的方程并化简得3cos20+8cos0-3=0, 解得cos9=3或cos0=-3(舍去)， 所以sin0=2v2 2c 2v6c 即点M的坐标为 3 33 叉1MFE5,所以由抛物线焦半径公式有x+c=5,即、+c=5,解得c=3 数C的标准方程为6+方，C的标准方程为y-2 [方法四]【最优解】：利用韦达定理 x2 由(1)知a=2c'b=5e,椭圆C的方程为C+3C=1, (y2=4cx 关之x之2，消里得寻 y 3x2+16cx-12c2=0 2 解得x=3C或x=6c（舍去)， 22/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 5c 由抛物线的定义可得M-亏c+c=)=5,解得。=3 因此，曲线C的标准方程为36+271， 曲线C2的标准方程为y2=12x 23/23 分层作业 3.3.2抛物线的简单几何性质 目 录 A组 巩固过关 知识点01 抛物线的范围 知识点02 抛物线的对称性 知识点03 直线和抛物线的位置关系 知识点04 抛物线的切线方程 知识点05 根据韦达定理求参数 知识点06 抛物线的焦点弦 知识点07 弦长与面积 知识点08 中点弦 知识点09 定点、定值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 抛物线的范围知识点01 知识点速记： 抛物线的范围是； 抛物线的范围是； 抛物线的范围是； 抛物线的范围是； 题型巩固练： 1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记点，，则， 所以， 由，所以，当且仅当时，取最小值. 即点到点的距离的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 抛物线的对称性知识点02 知识点速记： 椭圆的对称性 抛物线关于轴对称； 抛物线关于轴对称； 抛物线关于轴对称； 抛物线关于轴对称； 题型巩固练： 4．（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 5．（2026·广东·一模）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 6．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 7．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 【答案】 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 直线和抛物线的位置关系知识点03 知识点速记： 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、 相切和相交． 设直线与抛物线相交于，两点，将代入，消去并化简，得． ①时，直线与抛物线只有一个交点； ②时， ⇔直线与抛物线 相交⇔有两个公共点． ⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． ⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 题型巩固练： 8．（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 9．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 10．（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 11．（25-26高二下·上海·期中）过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 【答案】 【详解】过点且斜率不存在的直线，与抛物线无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立， 得：， 当直线与抛物线只有一个公共点， 当时，，得：， 则直线方程为或与抛物线相切， 即此时与抛物线有且只有一个公共点； 当时，直线方程为， 轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线有且只有一个公共点. 抛物线的切线方程知识点04 知识点速记： 过一点作抛物线的切线，可设出切线方程，和抛物线方程联立，利用求得参数。 题型巩固练： 12．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【详解】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C 13．（24-25高二下·福建莆田·阶段检测）已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】易知切线的斜率存在且不为0，设切线方程为， 联立，，由得， 又，解得. 故选：D 14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 15．（24-25高二下·广西·阶段检测）已知为坐标原点，是抛物线的准线，是与轴的交点，若是上的一点，则的最大值为_________． 【答案】 【详解】易知，当直线与相切时，取得最大值， 设此时直线的方程为，联立，得， 解得，即的斜率为，倾斜角为或，所以的最大值为． 16．（24-25高二上·吉林·期末）已知抛物线：的准线与轴相交于点， (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）抛物线：的准线与轴相交于点， 所以，则，抛物线方程为； （2）当直线的斜率不存在时，也抛物线无交点，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，与抛物线联立， 得，因为直线与抛物线相切， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 根据韦达定理求参数知识点05 知识点速记： 直线与抛物线交点相关问题，联立方程组，根据一元二次方程根的判别式及韦达定理进行求解。 题型巩固练： 17．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 18．（24-25高二上·辽宁大连·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，直线的斜率必存在，故设直线方程为：. 联立方程组，消去并整理得. ， 设，，则，. ，，即. 由韦达定理得. 联立方程组，解得或. . 故选：A. 19．（25-26高二上·广西北海·期末）设抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点M，直线l过点M. (1)若直线l与C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且，求. 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）的准线方程为：，故; 易知直线l的斜率存在，设直线l: , 联立，，由直线l与C相切，可得， 解得，故直线l的方程为或. （2）设，易知直线l的斜率存在，设直线l: , 联立，，则，； 因为，所以，即有； 代入上式可得，解得，即； . 20．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知直线：与抛物线：相切于点. (1)求的方程以及点的坐标； (2)过点的直线与交于，两点，的中点为，当轴时，求的方程. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）由，消去整理得（*）， 所以，解得或（舍）， 所以抛物线的方程为， 将代回（*）式，得，解得，所以，即. （2）由题易知直线的斜率存在且不为0，直线不过点， 设，，， 联立，消去整理得， ，解得或， 又直线不过点，即，即， 所以或或， 则，， 当轴时，，即，满足题意， 所以直线的方程为，即. 抛物线的焦点弦知识点06 知识点速记： 抛物线焦点弦的几何性质： 设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则 （1）与相关的性质： ①焦半径公式：，； ②弦长公式：，特别地通径长公式：（通径最短）. ③，； （2）与相关的性质 ①焦半径长公式：（在轴上方，在轴下方） ②焦点弦长公式：． ③ 的数量关系：，． ④三角形AOB的面积：. （3）与几何位置相关的性质 ①点三点共线；点三点共线． ②以为直径的圆与准线相切． ③以为直径的圆必过焦点F （）． 题型巩固练： 21．（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 22．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】抛物线C：的焦点，准线为， 设准线与轴交于点， ∵，由与相似得：， ∵，∴. 23．（多选）（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【详解】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 24．（多选）（24-25高二下·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【详解】    对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 25．（25-26高二上·山西长治·期末）为抛物线的的焦点，直线过与交于、两点，且，则__________. 【答案】 【详解】对于抛物线，，则， 因为直线过与交于、两点， 由抛物线的焦点弦长公式可得，解得. 26．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________ 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 27．抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为________________． 【答案】 【详解】，， 抛物线的方程为. 故答案为：. 28．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知抛物线，过点作直线. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； (2)若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 【答案】(1)或或；(2) 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，与抛物线只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在，设的方程为， 联立消去得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程为或或. （2）因为直线过点，又过点，所以直线的方程为， 设、，联立消去得，则， 因为点为抛物线的焦点，故， 即线段的长为.   弦长和面积知识点07 知识点速记： 设，. （1）两点距离公式． （2）若在直线上，代入化简，得； （3）若所在直线方程为，代入化简，得； （4）抛物线的弦长公式： 若直线与抛物线相交于两点，弦长； 若直线过焦点，与抛物线相交于两点，则弦长. 题型巩固练： 29．（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 30. 过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____． 【答案】3 【详解】抛物线的准线方程为. 设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′， 则有， ∵M到y轴距离为1，∴， 所以． 31．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则的面积为_____． 【答案】2 【详解】 抛物线的焦点为， 焦点，准线为， 设点，则，解得， ，解得， 或， 横坐标相同， 轴，故直线的方程为，故点， ，解得， 或， ， ． 故答案为：2． 32．（25-26高二上·北京·期末）已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）将代入，得，其中， 所以； （2）直线的斜率显然存在，设直线，、， 由得：， ，，， 由于 所以， 解得， 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得， 所以直线方程为：. 33．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． 【答案】(1);(2); 【详解】（1）    因为点在抛物线上，所以，得， 因为抛物线的准线方程为，且， 由抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，，， 易知过点F的直线斜率不为0，设其方程为， 将代入，得到， 设，，则，， ， ， ，， 因为P在以为直径的圆上， 所以， 即， 化简得：，解得：或. 当时，直线为，此时但与重合，舍去. 当时，直线为，此时，， 则, 点到直线的距离：， 所以的面积为. 中点弦知识点08 知识点速记： 椭圆，以为中点的弦的两个端点为， 则，两式相减得，则，即，即； 题型巩固练： 34．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 35．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 【答案】 【详解】根据题意，点在直线上，所以，解得. 设点， 则，两式作差得， 整理得， 又，且，解得. 36．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 【答案】 【详解】显然直线不垂直于轴，如图所示，故设直线的方程为, 联立直线的方程与抛物线方程得,消去得, 由弦AB的中点为，结合韦达定理和中点坐标公式得， 此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 定点、定值问题知识点09 知识点速记： 求解定点、定值问题的步骤： （1）设直线方程为（注意斜率不存在的情况）或（注意斜率为0的情况），交点坐标（注：有时可以先利用特殊情况得到定点或定值，再证明一般情况也适合）； （2）和椭圆方程联立，得到韦达定理或； （3）根据已知条件结合韦达定理得到的关系，从而得到定点或定值． 题型巩固练： 37．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． 证明：设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 38．（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【详解】(1) 由题可设直线l的方程为（）， 与抛物线方程联立得 消去y可得， 其中， 由根与系数的关系得，即为定值． (2) 因为，，所以． 又因为，所以． 设，的斜率分别为，， 则，，有，则． 39．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知抛物线焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的焦准距； (2)若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 【答案】(1)2；(2)答案见解析 【详解】（1）由， 得，即抛物线的焦准距为2. （2）如图， 由（1）知，直线方程为， 由解得，即得， 因轴，故在中令，解得，即得， 所以直线方程为， 焦点在直线上，即直线经过点. 40．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 41．（20-21高三上·西藏日喀则·阶段检测）设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． 【答案】(1)5；(2)答案见解析 【详解】（1）过点，且直线的斜率为2的直线为， 设，， 联立，得，， ； （2）设过点的直线，    联立，得，， 则， . 1．（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点．若点在第一象限，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，抛物线的焦点为, 过点作轴于点， 设点的横坐标为，则，由抛物线的性质得， 因为直线的斜率为1，所以，是等腰直角三角形， 所以，即，解得， 故选：B 3．（24-25高二下·广西桂林·阶段检测）双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由对称性可得，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以 故，所以，所以双曲线的离心率. 故选：C 4．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 5．已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【详解】设点，则，解得，所以， 因此，所以直线， 与抛物线方程联立可得，即， 所以，， 所以， 因此，， 所以. 6．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 7．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆,得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 8．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 9．（2025·陕西咸阳·三模）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 10．（多选）（25-26高三上·新疆·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BCD 【详解】对于AB，由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，A错误，B正确； 对于C，由及，得，则，C正确； 对于D，依题意，，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 11．（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 12．（多选）（24-25高二下·陕西咸阳·阶段检测）已知是抛物线的焦点，，P是C上的任意一点，则（   ） A．的最小值是2 B．以P为圆心且过F的圆与C的准线相切 C．的中点轨迹方程为 D．使面积为5的点P有4个 【答案】ABC 【详解】抛物线的焦点，则抛物线的方程为， 对于A，设且，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，点到抛物线的准线距离等于，因此以P为圆心且过F的圆与C的准线相切，B正确； 对于C，设线段中点坐标为，则点在抛物线上，即， 整理得，因此的中点轨迹方程为，C正确； 对于D，，当的面积为5时，点到直线的距离， 直线的斜率，设与直线平行，且距离为的直线方程为， 于是，解得或，当时，把与联立， 消去得，，即直线与抛物线相切， 该直线上有且只有1点（切点）符合题意，而直线上最多两点符合题意， 因此抛物线上最多有3点符合题意，D错误. 故选：ABC 13．（多选）（25-26高二上·浙江衢州·期末）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 【答案】ABC 【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 14．（多选）（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．线段的长度为10 C．抛物线上恰有三个点，使得为等腰三角形 D．抛物线上恰有三个点到直线的距离为 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点在x轴正半轴上，且直线与x轴的交点为， 由题意可知：抛物线的焦点坐标为，即，即，故A正确； 对于选项B：可知抛物线方程为，设， 联立方程，消去可得，则， 所以，故B正确； 对于选项C：由图可知：线段的中垂线与抛物线必有2个交点， 此时，符合题意； 以为圆心，为半径的圆与抛物线至少有一个异于点的交点， 此时，符合题意； 以为圆心，为半径的圆与抛物线至少有一个异于点的交点， 此时，符合题意； 综上所述：使得为等腰三角形的点不止3个，故C错误； 对于选项D：设与平行的直线方程为， 则，解得或， 若，则直线为， 联立方程，消去y可得，解得， 可知直线与抛物线有且仅有一个交点； 若，则直线过点， 且点在抛物线内部，直线的斜率不为0， 可知直线与抛物线有2个交点； 综上所述：抛物线上恰有三个点到直线的距离为，故D正确； 故选：ABD. 15．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 【答案】5 【详解】不妨设点在第一象限内，，则， 代入，解得，即， 所以直线的方程为，即， 由得，则， 所以， 所以根据抛物线的定义可知，. 16．（24-25高二上·云南保山·期末）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若的最小值为9，则______． 【答案】2 【详解】，设直线的方程为， 将其代入中，得， 设，则，， ， 当且仅当时等号成立，∴由的最小值为得． 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点． 18．（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)；(2)8；(3)答案见解析 【难度】0.85 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 19．已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. (2)（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 20．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) ，准线方程为 (2)（i）或；（ii）32 【详解】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32．    21．已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限. ①直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； ②是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)①；②存在， 【详解】（1）由题意点到其准线的距离为，则， 所以抛物线的标准方程为. （2）①设直线的方程为，，，，    联立，得， 所以， 设直线的方程为， 联立，得，所以， 所以可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得， 所以直线的方程为.   ②假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在. 1．【直观想象】（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    2．【知识融合】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可得，准线：，设，    将代入中得，则， ,,, 因为， 所以，化简得，即， 因为， 所以. 3．【数学抽象】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 4．【数学建模】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或. 所以，所以. 圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零. 由，得. 所以，即. 整理得：，解得. 综上的取值范围为. 故选：A. 5．【探索性问题】已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)，；(3)存在定点 【详解】（1）解：因为抛物线经过点，可得， 所以的方程为． （2）解：当直线的斜率为1时，可得直线的方程为，即， 联立方程组，解得或，即， 由，得，所以点处的切线的斜率为2， 则在点处的切线方程为，即， 所以点处的切线的斜率为，则在点处的切线方程为，即， 所以在点处的切线方程为， 综上可得，在点和处的切线方程分别为和. （3）解：由题可知的斜率存在，设，即，且， 联立方程组，整理得， 则且， 当时，，此时点为线段的中点， 过点作的垂线，其方程为， 与直线的交点即为，满足平分， 下面证明点满足题意： 当直线的斜率不存在时，， 此时，则，直线的斜率为， 可得，所以平分， 根据对称性，当直线DN的斜率为0时，直线DM的斜率不存在， 同理可得平分； 当直线的斜率存在且不为时，， 设直线，直线， 点到直线，的距离分别为， 又 成立， 所以， 所以平分． 综上，直线上存在定点，使得平分． 1．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 2．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 3．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 4．（多选）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 【答案】ABD 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 5．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    6．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 7．（多选）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 8．（2026·天津·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 【答案】②④ 【详解】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等. 设抛物线上任意两点，其中. 当时，直线的斜率， 则直线方程为， 令，则直线与轴的交点横坐标 特别地，当时，， 此时直线垂直于轴，也成立， 因此，直线与轴的交点横坐标（）. ①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为， 故由式可得，即，故①错误； ②由题意直线与直线交轴于点， 则由式可得点横坐标， 可得，故②正确； ③由题意直线交轴于点，直线交轴于点， 则由式可得 ， 则， 故，故③错误； ④由式可得， 当点或为原点时，则点也重合于原点，此时； 当点与均不为原点时，即，且， 则结合②结论可知，， 则有，故④正确； ⑤由，可知，则， ， 如图，当时，不成立，故⑤错误； 故答案为：②④ 9．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 10．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN的斜率存在. 设,直线 由 得：，,同理，. 直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，. 代入抛物线方程可得:,所以，同理可得， 由斜率公式可得： （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. [方法三]：三点共线 设， 设,若 P、M、N三点共线，由 所以，化简得， 反之，若,可得MN过定点 因此，由M、N、F三点共线，得，       由M、D、A三点共线，得，       由N、D、B三点共线，得， 则，AB过定点（4,0） （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，所以直线. 11．（2020·全国II卷·高考真题）已知椭圆C1：的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且. （1）求的离心率； （2）设M是与的公共点，若，求与的标准方程. 【答案】（1）；（2），. 【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点， 则直线的方程为， 联立，解得，则，    抛物线的方程为，联立， 解得，， ，即，， 即，即， ，解得，因此，椭圆的离心率为； （2）[方法一]：椭圆的第二定义 由椭圆的第二定义知，则有， 所以，即． 又由，得． 从而，解得． 所以． 故椭圆与抛物线的标准方程分别是． [方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式 以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． 由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得． 故的标准方程为，的标准方程为． [方法三]：参数方程 由（1）知，椭圆的方程为， 所以的参数方程为（为参数）， 将它代入抛物线的方程并化简得， 解得或（舍去）， 所以，即点M的坐标为． 又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得． 故的标准方程为，的标准方程为． [方法四]【最优解】：利用韦达定理 由（1）知，，椭圆的方程为， 联立，消去并整理得， 解得或（舍去）， 由抛物线的定义可得，解得. 因此，曲线的标准方程为， 曲线的标准方程为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3.2抛物线的简单几何性质 目 录 A组 巩固过关 知识点01 抛物线的范围 知识点02 抛物线的对称性 知识点03 直线和抛物线的位置关系 知识点04 抛物线的切线方程 知识点05 根据韦达定理求参数 知识点06 抛物线的焦点弦 知识点07 弦长与面积 知识点08 中点弦 知识点09 定点、定值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 抛物线的范围知识点01 知识点速记： 抛物线的范围是； 抛物线的范围是； 抛物线的范围是； 抛物线的范围是； 题型巩固练： 1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 抛物线的对称性知识点02 知识点速记： 椭圆的对称性 抛物线关于轴对称； 抛物线关于轴对称； 抛物线关于轴对称； 抛物线关于轴对称； 题型巩固练： 4．（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东·一模）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 6．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 7．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 直线和抛物线的位置关系知识点03 知识点速记： 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、 相切和相交． 设直线与抛物线相交于，两点，将代入，消去并化简，得． ①时，直线与抛物线只有一个交点； ②时， ⇔直线与抛物线 相交⇔有两个公共点． ⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． ⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 题型巩固练： 8．（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 10．（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 11．（25-26高二下·上海·期中）过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 抛物线的切线方程知识点04 知识点速记： 过一点作抛物线的切线，可设出切线方程，和抛物线方程联立，利用求得参数。 题型巩固练： 12．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 13．（24-25高二下·福建莆田·阶段检测）已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（24-25高二下·广西·阶段检测）已知为坐标原点，是抛物线的准线，是与轴的交点，若是上的一点，则的最大值为_________． 16．（24-25高二上·吉林·期末）已知抛物线：的准线与轴相交于点， (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 根据韦达定理求参数知识点05 知识点速记： 直线与抛物线交点相关问题，联立方程组，根据一元二次方程根的判别式及韦达定理进行求解。 题型巩固练： 17．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 18．（24-25高二上·辽宁大连·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·广西北海·期末）设抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点M，直线l过点M. (1)若直线l与C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且，求. 20．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知直线：与抛物线：相切于点. (1)求的方程以及点的坐标； (2)过点的直线与交于，两点，的中点为，当轴时，求的方程. 抛物线的焦点弦知识点06 知识点速记： 抛物线焦点弦的几何性质： 设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则 ①焦半径公式：，； ②弦长公式：，特别地通径长公式：（通径最短）. ③，； ①焦半径长公式：（在轴上方，在轴下方） ②焦点弦长公式：． ③ 的数量关系：，． ④三角形AOB的面积：. ①点三点共线；点三点共线． ②以为直径的圆与准线相切． ③以为直径的圆必过焦点F （）． 题型巩固练： 21．（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 23．（多选）（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 24．（多选）（24-25高二下·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 25．（25-26高二上·山西长治·期末）为抛物线的的焦点，直线过与交于、两点，且，则__________. 26．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________ 27．抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为________________． 28．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知抛物线，过点作直线. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； (2)若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 弦长和面积知识点07 知识点速记： 设，. （1）两点距离公式． （2）若在直线上，代入化简，得； （3）若所在直线方程为，代入化简，得； （4）抛物线的弦长公式： 若直线与抛物线相交于两点，弦长； 若直线过焦点，与抛物线相交于两点，则弦长. 题型巩固练： 29．（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 30. 过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____． 31．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则的面积为_____． 32．（25-26高二上·北京·期末）已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 33．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． 中点弦知识点08 知识点速记： 椭圆，以为中点的弦的两个端点为， 则，两式相减得，则，即，即； 题型巩固练： 34．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 36．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 定点、定值问题知识点09 知识点速记： 求解定点、定值问题的步骤： （1）设直线方程为（注意斜率不存在的情况）或（注意斜率为0的情况），交点坐标（注：有时可以先利用特殊情况得到定点或定值，再证明一般情况也适合）； （2）和椭圆方程联立，得到韦达定理或； （3）根据已知条件结合韦达定理得到的关系，从而得到定点或定值． 题型巩固练： 37．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 38．（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 39．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知抛物线焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的焦准距； (2)若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 40．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 41．（20-21高三上·西藏日喀则·阶段检测）设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． 1．（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点．若点在第一象限，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西桂林·阶段检测）双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 4．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 6．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 7．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西咸阳·三模）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 10．（多选）（25-26高三上·新疆·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 11．（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 12．（多选）（24-25高二下·陕西咸阳·阶段检测）已知是抛物线的焦点，，P是C上的任意一点，则（   ） A．的最小值是2 B．以P为圆心且过F的圆与C的准线相切 C．的中点轨迹方程为 D．使面积为5的点P有4个 13．（多选）（25-26高二上·浙江衢州·期末）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 14．（多选）（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．线段的长度为10 C．抛物线上恰有三个点，使得为等腰三角形 D．抛物线上恰有三个点到直线的距离为 15．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 16．（24-25高二上·云南保山·期末）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若的最小值为9，则______． 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 18．（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 19．已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 20．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 21．已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限. ①直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； ②是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 1．【直观想象】（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 2．【知识融合】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．【数学抽象】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．【数学建模】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．【探索性问题】已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 3．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 4．（多选）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 5．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 6．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 7．（多选）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 8．（2026·天津·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 9．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 10．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 11．（2020·全国II卷·高考真题）已知椭圆C1：的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且. （1）求的离心率； （2）设M是与的公共点，若，求与的标准方程. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $