3.3.1 抛物线及其标准方程（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 题型一：根据抛物线方程求焦点或准线 1．抛物线的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】化成标准方程即可求解. 【详解】由可得， 所以焦点坐标为． 故答案为：. 2．抛物线的准线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的方程，根据准线的概念与方程，可得答案. 【详解】易知抛物线的焦点在y轴上，开口向下，且，则准线方程. 故选：A． 3．已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，所以点A到抛物线焦点的距离为. 故选：A 4．已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则 ． 【答案】4 【分析】由抛物线方程可得顶点坐标与焦点坐标，建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则其顶点为，焦点，由题意可得，解得. 故答案为：. 5．抛物线的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】由题意可得，求得的焦点，利用平移关系可得的焦点. 【详解】由，令， 由，可得的焦点坐标为， 所以的焦点坐标为. 故答案为：. 题型二：根据几何条件求抛物线标准方程 1．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 2．请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】分析出抛物线的开口方向，即可得出满足题意的抛物线的标准方程. 【详解】由题意， 抛物线与直线无公共点， ∴抛物线开口向左，满足的抛物线的标准方程可以为：， 故答案为：.（答案不唯一） 3．已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义：抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解. 【详解】根据题意作图如下： 因为抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3， 又抛物线上一点到焦点的距离等于其到准线的距离， 所以，解得. 故选：C 4．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 5．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出p，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点， 则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； 题型三：根据抛物线的方程求参数 1．已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点坐标代入抛物线的方程，从而求得的值. 【详解】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A 2．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】将点代入抛物线方程求得，即得到结果. 【详解】将点代入，可得， 故的焦点到其准线的距离为1． 故选：B. 3．若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则 . 【答案】2 【分析】根据抛物线方程及抛物线定义有，求参数即可. 【详解】由题设及抛物线定义知：且. 故答案为： 4．若抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，求得，将点)在抛物线方程，即可求解. 【详解】由题意，抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍， 可得，解得，所以， 又由点)在抛物线上，代入得，解得. 故选：A. 5．设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 题型一：根据抛物线定义求动点轨迹 1．在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 2．若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【详解】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 3．已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 【答案】或 【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得. 【详解】设点，依题意，，即，整理得， 所以的轨迹方程是或. 故答案为：或 4．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心坐标为，依题意可得，化简整理即可得解. 【详解】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C 5．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设 ，运用复数加、减运算及复数模的公式计算即可. 【详解】设 ，则， 所以，， 所以， 又，所以，即， 所以复数在复平面内对应点的轨迹为抛物线. 故选：D. 题型二：抛物线上的点到定点和焦点距离和最值 1．已知点，设点是抛物线上任一点，是抛物线的焦点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形和抛物线的定义，求出的最小值. 【详解】根据题意，过点作垂直准线于点，如图所示： 根据抛物线的定义，抛物线上的点到抛物线的焦点的距离等于到它的准线的距离， 所以，当三点共线时取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 2．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 【答案】12 【分析】原条件转换为取得最小值10，由此即可列方程求解. 【详解】设点M在C的准线上的射影为D，则，要使取最小值，即取得最小值， 当D，M，P三点共线时，取得最小值，由，得. 故答案为：12. 3．已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义可求则到的距离与到准线的距离之和的最小值. 【详解】设为抛物线的焦点，则， 如图，设，为到准线的距离且为垂足， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 4．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由周长为，若垂直于抛物线准线于，结合抛物线定义得，进而确定周长最小值. 【详解】由周长为，若垂直于抛物线准线于， 所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12. 故选：C 5．已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 题型三：抛物线上的点到定点和焦点距离差最值 1．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解. 【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则， 当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”， 所以的最大值为. 故选：A 2．（多选）设抛物线C：的焦点为F，准线为l，为C上一动点，点，则下列结论正确的是（    ） A．焦点到准线的距离是8 B．当时，的值为5 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】CD 【分析】对于AB，根据抛物线的方程和定义即可判断；C选项，利用抛物线定义得到，当三点共线时和最小，求出最小值；D选项，作出辅助线，找到. 【详解】，所以， 所以焦点到准线的距离是，故选项A错误； 当时，，的值为，故选项B错误； 如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，C正确； 由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，D正确. 故选：CD. 3．抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作与抛物线的准线垂直，垂足为，，当P，Q，F共线时，取得最大值，由此计算可得． 【详解】如图，过作与抛物线的准线垂直，垂足为，连接，则抛物线上一点P到直线的距离， ∴当P，Q，F（Q在P,F之间）共线时，取得最大值， ∵， ∴， 故选：B． 4．（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则（   ） A．当时， B．当时，在点处的切线方程为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】当时，求出判断A； 设切线与抛物线联立使求出切线方程判断B； 利用抛物线的定义转化求解的最小值可判断C； 根据三角形两边之差小于第三边判断D． 【详解】因为抛物线，所以准线的方程是. 对于，当时，，此时，故A正确; 对于B，当时，，令切线方程为:，与联立得 ， 令，解得，即切线方程为:，即，故B错误; 对于C，过点分别作准线的垂线，垂足为 则，所以的最小值为故C正确. 对于D，因为焦点，所以， 所以的最大值为故D正确. 故选：ACD 5．点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解. 【详解】 如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：， 所以，而 所以. 当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1. 故选：B 1．抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 2．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D． 【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D． 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【答案】 5 【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求. 【详解】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 4．已知A，B是抛物线上的两点，且线段AB的中点横坐标为7，则的最大值是（    ） A．34 B．29 C．26 D．17 【答案】C 【分析】设，，可得，由可求最大值. 【详解】由抛物线， 可得，焦点坐标为， 设，，则， 所以， 当弦AB过焦点时取得最大值 故选：C. 5．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 6．已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程； （2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为()，所以，所以， 所以抛物线的方程为． （2）设，，则两式相减， 得，即， 所以直线的斜率． 因为点是的中点，所以，所以． 所以直线的方程为，即． 7．已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值. 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【详解】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线及其标准方程 题型一：根据抛物线方程求焦点或准线 1．抛物线的焦点坐标为 . 2．抛物线的准线方程（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 4．已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则 ． 5．抛物线的焦点坐标为 . 题型二：根据几何条件求抛物线标准方程 1．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 2．请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 3．已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 题型三：根据抛物线的方程求参数 1．已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则 . 4．若抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（ ） A． B． C． D． 5．设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 题型一：根据抛物线定义求动点轨迹 1．在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 2．若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 4．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型二：抛物线上的点到定点和焦点距离和最值 1．已知点，设点是抛物线上任一点，是抛物线的焦点，则的最小值为 ． 2．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 3．已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 . 4．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 5．已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型三：抛物线上的点到定点和焦点距离差最值 1．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（多选）设抛物线C：的焦点为F，准线为l，为C上一动点，点，则下列结论正确的是（    ） A．焦点到准线的距离是8 B．当时，的值为5 C．的最小值为3 D．的最大值为 3．抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则（   ） A．当时， B．当时，在点处的切线方程为 C．的最小值为 D．的最大值为 5．点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2 B．3 C．4 D．8 3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 4．已知A，B是抛物线上的两点，且线段AB的中点横坐标为7，则的最大值是（    ） A．34 B．29 C．26 D．17 5．（多选）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 6．已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 7．已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $