专题3.1 圆的相关概念【导图+知识卡片+知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦苏科版九年级上册“圆的相关概念”核心知识点，系统梳理圆的描述与集合定义、点与圆的位置关系（d与r的数量关系）、弦/弧/圆心角等相关概念及确定圆的条件，构建从基础定义到位置关系、概念辨析再到确定条件的完整学习支架。 资料含思维导图助力知识结构化，9个题型讲练（典例精讲+变式训练）通过推理证明（如直径是最长弦）和运算培养数学思维，中考真题与分层练（基础夯实+培优拔高）发展应用意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升几何直观与创新意识。

专题3.1 圆的相关概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 圆的定义 2 知识点二 点与圆的位置关系 3 知识点三 与圆有关的概念 3 知识点四 确定圆的条件 4 题型讲练 5 题型一 圆的基本概念辨析 5 题型二 求圆中弦的条数 5 题型三 求过圆内一点的最长弦 6 题型四 圆的周长和面积问题 6 题型五 判断点与圆的位置关系 7 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 7 题型七 点与圆上一点的最值问题 7 题型八 圆心角概念辨析及简单运算 8 题型九 求圆弧的度数 8 中考真题演练 9 难度分层训练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 14 知识点一 圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点二 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 知识点三 与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 知识点四 确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 题型一 圆的基本概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，中，，以底边为直径的分别交，于点，，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·广东广州·期末）在中，，，以为边作一个等边，则的最大值是_____ ． 题型二 求圆中弦的条数 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【变式训练】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（2025九年级上·福建泉州·专题练习）正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为___________． 题型四 圆的周长和面积问题 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（    ）厘米    A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁本溪·开学考试）一个米一周的标准跑道，如果跑道的宽度为1米，进行米比赛时，起跑时第二道比第一道向前移____米． 题型五 判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，D为BC边上的中点，以D为圆心，为半径作，则点A与的位置关系为（） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 【变式训练】（25-26九年级上·全国·寒假作业）数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t，半径为4．若点A在外，则（　　） A．或 B． C．或 D． 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式训练】（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 题型七 点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）在矩形中，，，点是平面内（可以在矩形外部）一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最小值是__________． 题型八 圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式训练】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是______． 题型九 求圆弧的度数 【典例精讲】（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【变式训练】如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）． A．35° B．55° C．70° D．125° 【真题演练1】（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，为的高，，，点是上一动点，连结，取的中点，连结．若的半径为2，则长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．8 【真题演练2】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，点和点是平面内两动点，满足，且，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·浙江金华·中考真题）如图，点是半径为2的圆上一点，内接于该圆，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与圆的另一个交点记为，连接，，则线段的取值范围为__________． 【真题演练4】（2025·海南海口·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则______，线段的最小值为______． 【真题演练5】（2025·广东广州·中考真题）在等腰中，，点为底边上一点（不与端点，重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接． (1)如图1，若，，连接，试探究以下问题： ①求的度数； ②过点作，交的延长线于点，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．请用等式表示线段与的数量关系，并证明． (2) 如图2，若，，，连接，．当取得最小值时，在直线上取一点（不与点重合），连接，关于直线的轴对称图形为，连接，求线段的最大值． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）点在半径为的内，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知：正方形边长为2，点为中点．点在正方形的边上，逆时针方向沿正方形的四条边运动，连接，以为对称轴将线段翻折，得到线段，连接，则线段的最大值为___________． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 6．（25-26九年级上·广东东莞·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点，，两点均在轴上，且，的最大值为______． 7．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 8．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为． (1)尺规作图：作出旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点，分别在边，上，，连接，，． 求的值； 当时，是否存在一个圆同时经过点，，，，若存在，请求出该圆的半径；若不存在，请说明理由． 9．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使． (1)求证：； (2)如图2，连结，若，． ①求的半径． ②求的面积． 10．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，是的直径，过点A作射线，P是射线上一点，连接，过点B作，交于点D，连接． (1)请补全图形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，，垂足为点C，，，点M是平面内的一个动点，且满足，则线段的最大值为（   ） A．10 B．8 C． D． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，，，E为的中点．点D在平面内运动，且满足，取的中点F，连接，则的最大值与最小值的和是（    ） A．6 B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，的半径为，正方形内接于，点在上运动（不与点重合），连接，作，垂足为，连接，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，的半径为2，点在上，连接、，则的最小值为______． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，，，为中点，是 上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_______． 6．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，E，F分别是边，上的动点，且，为的中点，为上的一动点，则的最小值为__________． 7．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是________． 8．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，正方形的边长为，是正方形内一动点，连接，． (1)如图1，连接，若，， ①的度数为______； ②如图2，射线与的平分线相交于，求的长； (2)如图3，为上一点，，连接，，．若，求面积的最小值． 9．（25-26九年级上·天津西青·期末）已知正方形的边长为4，点是正方形内一点，，，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，连接，求的长以及的大小； (2)如图②，当点，，在一条直线上，且点在正方形外部时，求线段的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段长度的最大值和最小值． 10．（25-26九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和轴上的点，给出如下定义：将线段绕点旋转可以得到的弦（分别为的对应点），则称线段为以点为中心的“关联线段”．    (1)如图，已知点，在线段中，以点为中心的“关联线段”是__________． (2)已知点，线段是以点为中心的“关联线段”，求点的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点，使得线段是以点为中心的“关联线段”，直接写出的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题3.1 圆的相关概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 圆的定义 2 知识点二 点与圆的位置关系 3 知识点三 与圆有关的概念 3 知识点四 确定圆的条件 4 题型讲练 5 题型一 圆的基本概念辨析 5 题型二 求圆中弦的条数 7 题型三 求过圆内一点的最长弦 7 题型四 圆的周长和面积问题 10 题型五 判断点与圆的位置关系 12 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 13 题型七 点与圆上一点的最值问题 14 题型八 圆心角概念辨析及简单运算 16 题型九 求圆弧的度数 18 中考真题演练 19 难度分层训练 28 【基础夯实】 28 【培优拔高】 39 知识点一 圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点二 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 知识点三 与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 知识点四 确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 题型一 圆的基本概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，中，，以底边为直径的分别交，于点，，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质可知，，，根据三角形内角和定理可得，再根据平角的定义可得结果． 【详解】解：中，，， ， 又， ，， ，， ． 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·广东广州·期末）在中，，，以为边作一个等边，则的最大值是_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先理解题意，在直线的上方作等边三角形，连接．结合等边三角形的性质，证明，故点D的运动轨迹是以O为圆心，以长为半径的圆，当D、O、A共线时，的值最大，最大值为，即可作答． 【详解】解：如图，在直线的上方作等边三角形，连接． ∵，都是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心，以长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，的值最大，最大值为． 故答案为：5． 题型二 求圆中弦的条数 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 【变式训练】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 题型三 求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（2025九年级上·福建泉州·专题练习）正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取的中点，连接、，根据题意得，根据等边三角形的性质得到，，，根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理得到，再根据两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵的半径为，是上动点， ∴， ∵正的边长为，点是的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题设的中点为点，则以为圆心，为半径作圆，点就在这个圆上，作点关于直线的对称点，连接交圆于点，交于，连接，，通过两点之间线段最短，和轴对称的知识，分析得到，根据矩形的性质和勾股定理得到的长度，根据中点和轴对称知识得到，然后即可求解； 【详解】解：设的中点为点，则以为圆心，为半径作圆，点就在这个圆上，作点关于直线的对称点，连接交圆于点，交于，连接，，如图： ∴，， ，， ∴， ∵是矩形内部一动点，为边上的一个动点，两点之间线段最短， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴圆的半径， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∴， ∴， 故答案为：； 题型四 圆的周长和面积问题 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（    ）厘米    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积，勾股定理，解题的关键是确定点的轨迹．设的半径为，的半径为，根据面积比面积大平方厘米，列式可得，再根据点在外经过的路径为半圆，可得，进而可求得的长． 【详解】解：设的半径为，的半径为， 根据题意得，即， ， 点在外经过的路径为半圆， 点的轨迹为以点为圆心，半径为的半圆，，， ∴， 如图所示，    ，即， ，解得（负值已舍去）， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁本溪·开学考试）一个米一周的标准跑道，如果跑道的宽度为1米，进行米比赛时，起跑时第二道比第一道向前移____米． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的周长公式的应用．熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 我们需要求出两个半圆弯道的长度差，也就是第二道比第一道在弯道部分多跑的距离，这个距离就是起跑时第二道比第一道向前移的距离． 【详解】解：圆的周长公式为，那么半圆的周长就是， ∵跑道一周400米，进行200米比赛， ∴比赛跑半圈， 第一道弯道（半圆）的长度：， 第二道弯道（半圆）的长度，， 两者的长度差为：， 取，所以长度差约为米， 故答案为：． 题型五 判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，D为BC边上的中点，以D为圆心，为半径作，则点A与的位置关系为（） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判断方法，关键在于比较点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系．由于已知中，D是边上的中点，且以D为圆心，为半径作圆，因此需要判断点A到点D的距离与半径的大小关系，从而确定点A在圆内、圆上或圆外． 【详解】是的中点，是以为直径的圆． 当时，即， 点A在以为直径的圆的内部． 故选A 【变式训练】（25-26九年级上·全国·寒假作业）数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t，半径为4．若点A在外，则（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，实数与数轴，根据题意可得点A表示的数为，则，根据点A在外得到，据此求解即可． 【详解】解：∵以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t， ∴点A表示的数为 ∵点B表示实数16， ∴． ∵半径为4．点A在外， ∴， ∴， ∴或 解得或， 又∵运动时间要大于或等于0， ∴或， 故选：A． 题型六 利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系． 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 题型七 点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）在矩形中，，，点是平面内（可以在矩形外部）一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的最值问题，涉及勾股定理，矩形的性质，三角形的中位线，斜边中线性质；求出点N的运动轨迹是解题的关键；连接，取的中点O，连接，根据中位线可得，可得点N在以O为圆心，1为半径的圆上运动，当N在线段上时，线段长度最小，根据矩形的性质，勾股定理，斜边中线性质求出，即可得解． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， N为的中点， 为的中位线， ， 点N在以O为圆心，1为半径的圆上运动， 当N在线段上时，线段长度最小， 四边形是矩形， ，, O是的中点， ， 的最小值为． 题型八 圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是______． 【答案】/60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 题型九 求圆弧的度数 【典例精讲】（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 【变式训练】如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）． A．35° B．55° C．70° D．125° 【答案】C 【分析】根据三角形内切圆、圆心角和圆周角定理、四边形的性质分析，即可完成解题． 【详解】连接OD，OF，如下图所示 ∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F ∵∠DEF＝55° ∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110° ∵四边形ADOF ∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360° ∵AD，AF是圆的切线 ∴∠ADO＝∠AFO＝90° ∴∠A＝360°-90°-90°-110°＝70° 故选：C． 【真题演练1】（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，为的高，，，点是上一动点，连结，取的中点，连结．若的半径为2，则长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】连结，根据等腰三角形的三线合一得到，由勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，当取最大值时，长度最大，求出的最大值，即可求解． 【详解】解：如图，连结， ， 为等腰三角形， 为的高， 为的中点， ， 在中，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， 当取最大值时，长度最大， 点是上一动点， 当过圆心时，最大， 此时， 长的最大值为． 故选：． 【真题演练2】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，点和点是平面内两动点，满足，且，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质．先求得，取的中点O，点P在以O为圆心，为直径的上，连接交于点P，此时最小，延长交于点P，此时最大，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取的中点O， ∴， ∴点P在以O为圆心，为直径的上，连接交于点P，此时最小，延长交于点P，此时最大， ∵在矩形中，， 在中， ∵，，， ∴． ∴， ∵， 当点和点都在矩形内时，线段长度有最小值， 当点和点都在矩形外时，线段长度有最大值， ∴． 故选：D． 【真题演练3】（2025·浙江金华·中考真题）如图，点是半径为2的圆上一点，内接于该圆，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与圆的另一个交点记为，连接，，则线段的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．利用勾股定理的逆定理求得，根据瓜豆原理求得点的轨迹是一个圆，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则点就是点运动轨迹的圆心，半径为的长，当点在直径的延长线上时，线段有最大值，当点在直径上时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴点的轨迹是一个圆，则点的轨迹是一个圆，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则点就是点运动轨迹的圆心，半径为的长， ∵， ∴， ∴点在同一直线上，且为的直径， ∴， ∴， 当点在直径的延长线上时，线段有最大值，最大值为， 当点在直径上时，线段有最小值，最小值为， ∴线段的取值范围为， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·海南海口·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则______，线段的最小值为______． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出，由三角形内角和定理得到的度数，先判断出点F的运动轨迹，取的中点为，连接，此时点的位置为，与的交点为，此时为的最小值，由直角三角形斜边中线的性质得到的长度，由勾股定理求出的长度，由三角形三边关系定理得，即可得到的最小值． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据，可判断点的轨迹为以为直径的半圆， 故当点、与中点共线时，最小， 令的中点为，连接，此时点的位置为，与的交点为，此时为的最小值，如下图所示： ∴， 结合勾股定理，可得， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：；． 【真题演练5】（2025·广东广州·中考真题）在等腰中，，点为底边上一点（不与端点，重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接． (1)如图1，若，，连接，试探究以下问题： ①求的度数； ②过点作，交的延长线于点，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．请用等式表示线段与的数量关系，并证明． (2)如图2，若，，，连接，．当取得最小值时，在直线上取一点（不与点重合），连接，关于直线的轴对称图形为，连接，求线段的最大值． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①利用，，得，证明，得，， ②连接，根据得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （2）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小，过点E作延长线的垂线，垂足为H，进而勾股定理确定，根据轴对称的证可得，得出在以为圆心为半径的圆上运动，进而求得的最大值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ②解：，理由如下： 如图，连接， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （2）解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 过点E作延长线的垂线，垂足为H． 则，， ∴ 在中，， ∵关于直线的轴对称图形为， ∴ ∴在以为圆心为半径的圆上运动， ∴的最大值为． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）点在半径为的内，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟知当该点在圆内时，半径大于点到圆心的距离是解题的关键．根据点与圆的位置关系即可作答． 【详解】解：点在内，的半径为， ， 只有不符合题意， 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆的有关性质，三角形中线的性质，连接，设与交于点，证明，所以，又为中点，则有，然后求得，所以，故，则要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，再由三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，如图， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：． 4．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知：正方形边长为2，点为中点．点在正方形的边上，逆时针方向沿正方形的四条边运动，连接，以为对称轴将线段翻折，得到线段，连接，则线段的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用三角形的三边关系求最值是解题的关键．由正方形的性质和中点定义可得，连接，再根据勾股定理可得，由折叠的性质可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，最后根据三角形的三边关系求最值即可． 【详解】解：∵正方形边长为2， ∴，， 又∵点为中点， ∴， ∵将沿翻折，得到点B的对称点， ∴， 又∵点在正方形的边上，逆时针方向沿正方形的四条边运动， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 当点在上时，如图：连接，则， ∵， ∴当E、、D共线时，在延长线时，最大，且最大值为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 【答案】/65度 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）及圆的半径相等的性质，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，结合直角三角形内角和逐步推导相关角度． 先计算出的度数；由圆的半径相等得，求出的度数；进而求出的度数；再结合求出的度数． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东东莞·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点，，两点均在轴上，且，的最大值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，一点到圆上一点的最值问题，根据勾股定理分别求出，进而可得；由勾股定理得到，进而得到，故当O、C、P三点共线，且点C在线段上时有最大值，即此时有最大值，据此求出的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵P在以点为圆心，以1为半径的圆上， ∴当O、C、P三点共线，且点C在线段上时有最大值，即此时有最大值， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及线段最值问题，解题关键是确定点的运动轨迹，利用“点圆位置关系”求最值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得． 绕点顺时针旋转得到， ， ，． 是的中点， ． 由题意，点在以为圆心、为半径的圆上运动， 根据线段的最值性质，(当且仅当、、三点共线且在延长线上时取等号)， 的最大值为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为． (1)尺规作图：作出旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点，分别在边，上，，连接，，． 求的值； 当时，是否存在一个圆同时经过点，，，，若存在，请求出该圆的半径；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2) ；存在一个圆同时经过点，，，，理由见解析，该圆的半径为． 【分析】（）根据作线段，作一个角等于已知角的方法即可； （）设与交于点，连接，先证明是等边三角形，可得，，然后证明，由全等三角形性质可得，，再证明是等边三角形，则，所以，最后由勾股定理即可求解； 连接，延长交于点，证明，所以，则有，当点，，，四点共圆时，，则以为直径的圆上，，设直径，则，，由是垂直平分线，可得，由得，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，设与交于点，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 存在一个圆同时经过点，，，，理由如下， 如图，连接，延长交于点， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点，，，四点共圆时，， ∴以为直径的圆上，， ∴， ∴， 设直径，则，， ∵是垂直平分线， ∴， 由得，， ∴，解得， ∴该圆的半径为． 9．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使． (1)求证：； (2)如图2，连结，若，． ①求的半径． ②求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查圆的基本概念，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据题意，，，根据等腰三角形的性质和对顶角相等，可证明，结合，命题得证； （2）①设，表示出、、，在直角中，使用勾股定理构造方程并求解即可； ②过点作于点，先利用三角形面积公式计算出，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设，则， ， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）． ∴． ∴圆O的半径为； ②如图，过点作于点， ，即． ∴， ∵， ∴． 10．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，是的直径，过点A作射线，P是射线上一点，连接，过点B作，交于点D，连接． (1)请补全图形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，平行线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）以点O为圆心，的长为半径，画弧，交，于点E，F，再以点B为圆心，的长为半径，画弧，交于点H，最后以点H为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D，连接即可； （2）连接，根据平行线的性质和圆周角定理求出，根据全等三角形的判定推出（），即可得证． 【详解】（1）解：如图，，即为所作， （2）证明：如图，连接， ， ， ∴， ∴， ， ， 在和中， ， ， 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，，垂足为点C，，，点M是平面内的一个动点，且满足，则线段的最大值为（   ） A．10 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】如图，，， ，， ， 即点M在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于点， B，O，三点共线，此时的值最大， ，， ． ， 在中， ， 即的最大值为8， 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，，，E为的中点．点D在平面内运动，且满足，取的中点F，连接，则的最大值与最小值的和是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、点的轨迹（圆）以及线段最值问题．掌握中位线性质将转化为，并利用点D在以A为圆心、为半径的圆上运动，通过几何位置关系求的最值是解题的关键． 【详解】解：如图1，作于G点， ∵，， ∴，， ∴，． ∵点D在平面内运动，且满足， ∴点D的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆上， 图2中最小等于， 图3中最大等于， ∴则的最大值与最小值的和是， 故选B． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，的半径为，正方形内接于，点在上运动（不与点重合），连接，作，垂足为，连接，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、正方形的性质，取的中点，以为直径作半圆，由直角三角形的性质可得，由正方形的性质可得，从而得出，由勾股定理得出，最后由计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，以为直径作半圆． ， ， ∵， ，即点在半圆上运动． 正方形的外接圆的半径为， ， ． ， ． ， ， 的最小值为， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，的半径为2，点在上，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质，勾股定理的应用，点到圆上距离的最小值，掌握相关定理，得到是解题的关键．取的中点为，过作交于，连接，由勾股定理得到，再结合点到圆上距离的最小值问题即可求解． 【详解】解：取的中点为，过作交于，连接,， ，，， ，， ， 当在连线上时，取得最小值， 的最小值为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，，，为中点，是 上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的轨迹动点问题，全等三角形的判定和性质，圆上点的最值问题等，能够作出辅助线并判断出点E的运动轨迹是解题的关键． 先通过旋转的性质得到，，再连接，过点作，，连接，证明，推出点的运动轨迹是在半径为的上运动，然后以为圆心，为半径作，延长，作交于点，连接与交于点，当三点共线时，有最小值，此时为所在位置，最后证明四边形为正方形，得到，，根据勾股定理求解，即可解出的最小值． 【详解】解：∵，，为中点， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， 如图，连接，过点作，，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴随着点的运动，，那么，即点是上的动点， 如图，以为圆心，为半径作，延长，作交于点，连接与交于点， ∵， 即当三点共线时，，有最小值，此时为所在位置， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵中， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，E，F分别是边，上的动点，且，为的中点，为上的一动点，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查结合矩形的性质考查轴对称求最短路径问题以及点圆最值问题，分析出点的运动轨迹是解决问题的关键．作点关于的对称点，利用轴对称性质得，将转化为．在中，为中点，由直角三角形斜边中线性质得，故在以为圆心、2为半径的圆上，根据两点之间线段最短，；结合圆的性质，圆外一点到圆上点的最小距离为该点到圆心的距离减去半径，因此的最小值为． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，则， ∴． ∵为直角三角形，为中点，， ∴，即点在以为圆心、为半径的圆上， ∴当三点共线时，取得最小值，且最小值为的最小值． ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为， 即的最小值为； 故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，正方形的边长为，是正方形内一动点，连接，． (1)如图1，连接，若，， ①的度数为______； ②如图2，射线与的平分线相交于，求的长； (2)如图3，为上一点，，连接，，．若，求面积的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出，从而证是等边三角形，即可得到 ，再根据三角形内角和定理和等边对等角求出，最后根据求解即可； ②先证明，连接，设，则，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）将绕点顺时针旋转得到，得出，，根据得出是直角三角形，则，进而可得，从而得出在以为圆心为半径的上运动，过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值，再勾股定理求得的长，根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； ②∵ ∴ ∵，是的平分线 ∴垂直平分 ∴ ∴ 如图，连接， 在中， ∵是等边三角形， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 方法二，如图，过点作于点， 同理可得， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴ （2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴ 如图，以为斜边作等腰直角，则，以为圆心为半径作圆， ∴ ∴ ∴，即在以为圆心为半径的上运动， 过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值 如图，过点作的平行线，分别交的延长线于点，连接， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵正方形的边长为，， ∴, 在中，， ∵，则， ∴， ∴ ∴， 同理可得 ∴ 设，则 在中， ∴ 解得： ∴ ∴面积的最小值为 ． 9．（25-26九年级上·天津西青·期末）已知正方形的边长为4，点是正方形内一点，，，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，连接，求的长以及的大小； (2)如图②，当点，，在一条直线上，且点在正方形外部时，求线段的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段长度的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2) (3)长度的最大值为，最小值为 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，圆外一点到圆上的距离的最值问题； （1）根据旋转的性质可得，，进而求得的长，的大小； （2）连接，根据勾股定理，即可求解； （3）根据题意可得点在以为圆心为半径的圆上运动，进而求得最大值与最小值． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵将绕点旋转得到， ∴，， ∴， （2）解：如图，连接， 依题意，，， ∴ （3）解：如图， ∵， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动， ∴长度的最大值为 ，最小值为 10．（25-26九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和轴上的点，给出如下定义：将线段绕点旋转可以得到的弦（分别为的对应点），则称线段为以点为中心的“关联线段”．    (1)如图，已知点，在线段中，以点为中心的“关联线段”是__________． (2)已知点，线段是以点为中心的“关联线段”，求点的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点，使得线段是以点为中心的“关联线段”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】（1）由题知“关联线段”是关于M成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点M中心的“关联线段”． （2）由与点关于M点成中心对称，且M点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，M点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围． （3）设，，根据中心对称得到、的坐标，由在上得到与的关系，再结合在上的条件，将问题转化为直线与圆有交点的问题，通过距离公式求出的取值范围。 【详解】（1）解：如图，    ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”， 则与关于M点成中心对称， 则， 而的坐标只能是， ∴不可能在上， ∴线段不是以点中心的“关联线段”， 综上，以点M中心的“关联线段”是和， 故答案为：和． （2）解：∵与点关于M点成中心对称，且M点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴点的坐标为，M点坐标为． ∵是的弦， ． ∵与F点关于对称， ． （3）解：设， ∵为与的中点 ∴ ∵在上 ∴， ， ， ， ∵为与的中点， ∴， ∵在上， ∴代入得， ， ， ∵直线上存在点满足条件， ∴关于的方程有实数解，判别式， ， ∴， ∴m的取值范围为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $