3.3.1 抛物线及其标准方程（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到高考链接，覆盖抛物线定义、方程、应用等12个知识点，通过题型梯度实现概念到应用的深化，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|12个单一知识点（定义、焦半径、方程求法等）|基础辨析与计算，如定义辨析题、焦半径公式应用题| |B组能力进阶|综合应用（轨迹方程、最值问题等）|知识融合题型，如抛物线上点到焦点与定点距离最值| |C组思维拔高|开放题与数学建模|情境化问题，如抛物线形隧道限高、太阳灶模型| |拓展链接高考|高考真题|对接高考考点，如抛物线与双曲线综合题|

分层作业 3.3.1抛物线及其标准方程 参考答案 抛物线定义及辨析知识点01 1．B； 2．B； 3．A； 4．； 抛物线的焦半径公式知识点02 5．D； 6．D； 7. C； 8.A； 9.2； 由抛物线的方程求焦点或准线知识点03 10．D； 11．B； 12. B； 13．； 14. 2； 由抛物线方程求参数知识点04 15.A； 16．； 17.9； 18. 8； 由焦点或准线求抛物线方程知识点05 19.A； 20．D； 21．D； 22．D； 23．或； 根据定义求抛物线方程知识点06 24.A； 25．D； 26.； 待定系数法求抛物线方程知识点07 27. BC； 28．； 29.【答案】(1)；(2)或；(3) 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，有，，求得，， 故抛物线标准方程为或. （3）由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上， 有抛物线焦点在轴正半轴上， 又因为抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故，故抛物线标准方程为. 30.【答案】或 【详解】当焦点在y轴正半轴时，设方程为， 由题意可得，解得.所以抛物线方程为． 当焦点在y轴负半轴时，设抛物线方程为， 由题意可得，解得，所以抛物线方程为. 综上，抛物线方程为或． 抛物线上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题知识点08 31． B； 32.A； 33.C； 34．C； 35.B； 定义法求点的轨迹方程（抛物线）知识点09 36.C； 37．D； 38.C； 39.D； 直接法求点的轨迹方程（抛物线）知识点10 40. C； 41．C； 42.D； 43.D； 转移代入法求点的轨迹方程（抛物线）知识点11 44.D； 45．D； 46.D； 实际问题中的抛物线方程知识点12 47.A； 48．A； 49.B； 50.A； 1．A； 2．A； 3．A； 4．D； 5．C； 6．A ； 7.C ； 8.C； 9． AC； 10.BCD； 11.ABD； 12.ABD； 13.2 ； 14.4；6 15．【答案】（1） 或 ；（2）． 【详解】（1）由于点 在第四象限，所求抛物线以原点为顶点，且以坐标轴为对称轴， 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得 ，所以抛物线方程为 ； 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得，所以抛物线方程为 综上，所求的抛物线方程为 或 16．【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为. （2）能，理由如下： 依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使，即， 因，故此车能安全通过隧道. 17．【答案】（1）；（2）；或． 【详解】（1）根据题意双曲线方程可设为，与椭圆有公共焦点， ∴，即得， 又双曲线的离心率，故，解得． 故双曲线的方程为． （2）抛物线的准线为，过作垂直于直线，垂足为， 作于，直线与轴交于点，如图： 则轴，即，四边形是矩形， 中，， 由抛物线定义知，而 ， 则，解得，所以． （3）点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为， 则可得出反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切， 则圆心到反射光线的距离，即，解得或， 则反射直线的方程为或． 18.【答案】(1)或；(2)4 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 （2）    因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 1. C； 2．B； 3. B ； 4.或（填一个答案即可）； 5.；； 6．； 7.【答案】(1)；(2). 【详解】（1）易知：，利用抛物线的定义可知曲线为抛物线， 为其焦点，所以； （2）    如图所示作， 易知， ， ， 所以 ， 而正方形的面积为4，所以面积比为 1． D； 2．A； 3.C； 4.D； 5.D； 6.B； 7．ACD； 8.1； 9.6； 10.； 11.； 12. 5 ,； 13.； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3.1抛物线及其标准方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 抛物线定义及辨析 知识点02 抛物线的焦半径公式 知识点03 由抛物线的方程求焦点或准线 知识点04 由抛物线方程求参数 知识点05 由焦点或准线求抛物线方程 知识点06 根据定义求抛物线方程 知识点07 待定系数法求抛物线方程 知识点08 抛物线上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问 知识点09 定义法求点的轨迹方程（抛物线） 知识点10 直接法求点的轨迹方程（抛物线） 知识点11 转移代入法求点的轨迹方程（抛物线） 知识点12 实际问题中的抛物线方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 抛物线定义及辨析知识点01 知识点速记： 抛物线的定义 （1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． （2）焦点：定点F． （3）准线：定直线l． 题型巩固练： 1．（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海·期中）抛物线上任意一点都满足，则抛物线的焦点到准线的距离为__________． 抛物线的焦半径公式知识点02 知识点速记： 抛物线的焦半径公式 抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则; 抛物线方程为，为抛物线的焦点，则; 抛物线方程为，为抛物线的焦点，则; 抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则; 题型巩固练： 5．（25-26高二下·北京海淀·期中）抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（   ） A． B．1 C． D．2 7．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 由抛物线的方程求焦点或准线知识点03 知识点速记： 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 题型巩固练： 10．（25-26高二下·广西河池·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山东聊城·一模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知抛物线的焦点在直线上，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（25-26高二下·广东深圳·期末）抛物线与焦点之间的距离为____________． 14．（25-26高二下·甘肃定西·期末）若点P在抛物线上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为________． 由抛物线方程求参数知识点04 知识点速记： 由抛物线方程求参数往往需要将抛物线方程化为标准形式，准确找到的值，再利用已知条件求出参数。 题型巩固练： 15．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 16．（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线的准线方程为，则实数的值为__________． 17．（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 18．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为______． 由焦点或准线求抛物线方程知识点05 知识点速记： 由焦点或准线求抛物线方程： ⑴若焦点坐标或准线方程，则抛物线开口向右，方程为； ⑵若焦点坐标或准线方程，则抛物线开口向左，方程为； ⑶若焦点坐标或准线方程，则抛物线开口向上，方程为； ⑷若焦点坐标或准线方程，则抛物线开口向下，方程为。 题型巩固练： 19．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·重庆·期末）椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 23．抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 根据定义求抛物线方程知识点06 知识点速记： 由抛物线的定义求抛物线的方程，关键是利用抛物线的定义求出，写出抛物线的标准方程。 题型巩固练： 24．（24-25高三上·广西·阶段检测）已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 25．（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 26．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是__________________． 待定系数法求抛物线方程知识点07 知识点速记： 待定系数法求抛物线方程的步骤： ①焦点位置明确时，直接设出抛物线的标准方程； ②焦点位置不明确时，需分类讨论四种标准形式； 题型巩固练： 27．（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期中）顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的方程为_____. 29．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 30．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程． 抛物线上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题知识点08 知识点速记： 一、距离之和的最值（）: 1.当定点在抛物线内部，为椭圆的一个焦点时：利用抛物线的定义将转化为到准线的距离（为垂足），从而将问题转化为求的最值。当三点共线且时取等最小值； 2.当定点在抛物线外部时，连接与焦点，线段即为和的最小值； 二、距离之差的最值（或）: 此类问题通常利用三角形两边之差小于第三边（） 当三点共线且位于的延长线或反向延长线上（即或在与另一点之间）时，差值取得最值，最大值为，最小值为; 题型巩固练： 31．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 34．（25-26高三上·福建·开学考试）设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 35．（24-25高二下·安徽·阶段检测）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 定义法求点的轨迹方程（抛物线）知识点09 知识点速记： 利用定义法求点的关键方程（抛物线）首先分析题目中的几何关系，确认动点到定点的距离等于它到一条定直线的距离，可确定动点的轨迹为抛物线，根据条件写出方程。 题型巩固练： 36．若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 37．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 38．（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 39．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 直接法求点的轨迹方程（抛物线）知识点10 知识点速记： 直接法：设动点坐标为，根据已知条件列方程，并化简方程得到动点的轨迹方程（注意条件对或的限制）； 题型巩固练： 40．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 42．（2026·湖北武汉·三模）设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 43．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 转移代入法求点的轨迹方程（抛物线）知识点11 知识点速记： 转移代入法：当动点随已知曲线上一动点的变化而变化，则可设，用表示点的坐标，代入满足的方程即得动点的方程。 题型巩固练： 44．（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 实际问题中的抛物线方程知识点12 知识点速记： 解题步骤： 1.建立坐标系：根据图形对称性尽力适当的平面直角坐标系，通常一抛物线的顶点为原点，或以对称轴为轴，以水平跨度方程为轴，以此简化计算； 2.确定关键点：结合实际条件，找出抛物线上的关键坐标，包括顶点，与坐标轴的交点或已知的特定位置点； 3.设出方程形式：设出方程形式，利用待定系数法求解； 4.实际问题还原。 题型巩固练： 47．（25-26高二上·广西钦州·期末）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10cm，口径18cm，底径8cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 49．（25-26高二上·安徽·阶段检测）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 50．（2025·河南濮阳·二模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 1．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 3．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知点满足，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 4．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高三上·四川乐山·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期末）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 11．（多选）（25-26高二上·陕西西安·期末）已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则 C．的最小值为4 D．若点的坐标为，则的最小值为6 12．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期末）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 13．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 14．（23-24高二下·河南·开学考试）已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，则__________，是上一点，且点，则的最小值为__________. 15．（2025高二上·山西长治·专题练习）（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． （2）由题意知，点 不可能在 轴左侧．设直线 ， 则轴右侧的点到直线的距离比它到直线的距离小个单位， 等价于动点到点的距离等于它到直线的距离， 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为． 16．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）.    (1)以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程; (2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高4m，此车能否安全通过隧道？请说明理由. 17．（25-26高二下·云南昆明·期中）（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程． （2）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求． （3）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射后光线所在直线的方程． 18．（25-26高二上·江苏南通·期中）过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． (1)求直线的方程； (2)设为圆上一点，求的最小值． 1．【知识融合】（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．【数学建模】（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 3．【知识融合】（25-26高二下·上海松江·期中）已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 4．【开放题】（2025·山东潍坊·二模）若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：____________． 5．【数学建模】（25-26高二上·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为_______________，B，C两点的横坐标之差为_______________． 6．【逻辑推理】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 7．【数学建模】（25-26高二上·上海·开学考试）有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．    (1)直接写出菜地内的分界线的方程 (2)设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 9．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 10．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 11．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 12．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______． 13．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3.1抛物线及其标准方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 抛物线定义及辨析 知识点02 抛物线的焦半径公式 知识点03 由抛物线的方程求焦点或准线 知识点04 由抛物线方程求参数 知识点05 由焦点或准线求抛物线方程 知识点06 根据定义求抛物线方程 知识点07 待定系数法求抛物线方程 知识点08 抛物线上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问 知识点09 定义法求点的轨迹方程（抛物线） 知识点10 直接法求点的轨迹方程（抛物线） 知识点11 转移代入法求点的轨迹方程（抛物线） 知识点12 实际问题中的抛物线方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 抛物线定义及辨析知识点01 知识点速记： 抛物线的定义 （1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． （2）焦点：定点F． （3）准线：定直线l． 题型巩固练： 1．（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 3．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 4．（25-26高二下·上海·期中）抛物线上任意一点都满足，则抛物线的焦点到准线的距离为__________． 【答案】 【详解】由题意得点P到直线的距离等于点P到点的距离， 根据抛物线的定义可知，该抛物线焦点为，准线为， 焦点到准线的距离． 抛物线的焦半径公式知识点02 知识点速记： 抛物线的焦半径公式 抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则; 抛物线方程为，为抛物线的焦点，则; 抛物线方程为，为抛物线的焦点，则; 抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则; 题型巩固练： 5．（25-26高二下·北京海淀·期中）抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，所以，点在上且横坐标为，所以， 所以. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因的焦点为，则，解得， 由题意，点的横坐标，所以． 7．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 8．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 9．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 【答案】2 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离为，由抛物线定义可得点到直线的距离为， 即，解得. 由抛物线的方程求焦点或准线知识点03 知识点速记： 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 题型巩固练： 10．（25-26高二下·广西河池·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为. 11．（2026·山东聊城·一模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由抛物线，可得，准线方程， 则，所以． 根据抛物线的定义可得，则， 解得． 即点的横坐标为. 12．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知抛物线的焦点在直线上，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】易知抛物线的焦点坐标为， 代入直线方程可得，解得. 故选：B 13．（25-26高二下·广东深圳·期末）抛物线与焦点之间的距离为____________． 【答案】 【详解】由题得，抛物线焦点为， 抛物线即的焦点为， 所以两焦点之间的距离为. 14．（25-26高二下·甘肃定西·期末）若点P在抛物线上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为________． 【答案】2 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 所以点P到抛物线C的准线的距离为. 由抛物线方程求参数知识点04 知识点速记： 由抛物线方程求参数往往需要将抛物线方程化为标准形式，准确找到的值，再利用已知条件求出参数。 题型巩固练： 15．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【答案】A 【详解】因为，所以，其准线方程为， 根据抛物线定义，得，解得． 故选：A 16．（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线的准线方程为，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】抛物线的准线方程为，故抛物线开口向上，则， 故，则实数的值为. 17．（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 【答案】9 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 18．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为______． 【答案】 【详解】由抛物线可化为，可得其焦点为， 因为抛物线的焦点到直线的距离为，可得， 解得或（舍去），故实数的值为． 由焦点或准线求抛物线方程知识点05 知识点速记： 由焦点或准线求抛物线方程： ⑴若焦点坐标或准线方程，则抛物线开口向右，方程为； ⑵若焦点坐标或准线方程，则抛物线开口向左，方程为； ⑶若焦点坐标或准线方程，则抛物线开口向上，方程为； ⑷若焦点坐标或准线方程，则抛物线开口向下，方程为。 题型巩固练： 19．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 20．（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为抛物线的准线方程为，故该抛物线开口向下， 设该抛物线的标准方程为， 则，解得，故该抛物线的标准方程为. 故选：D. 21．（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆中心是原点，右顶点是， 它是抛物线的焦点，则，， 所以抛物线标准方程是． 故选：D． 22．（25-26高二上·重庆·期末）椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆方程可得，所以， 则由题知焦点在准线上，得到，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 23．抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【答案】或 【详解】对于直线方程， 令，得；令，得， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或. 根据定义求抛物线方程知识点06 知识点速记： 由抛物线的定义求抛物线的方程，关键是利用抛物线的定义求出，写出抛物线的标准方程。 题型巩固练： 24．（24-25高三上·广西·阶段检测）已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【详解】因为到抛物线焦点的距离为2， 所以由抛物线定义知，，解得. 故选：A. 25．（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 26．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是__________________． 【答案】 【详解】依题意，设抛物线方程为， 则，得， 故抛物线方程为． 待定系数法求抛物线方程知识点07 知识点速记： 待定系数法求抛物线方程的步骤： 1. 确定方程形式： ①焦点位置明确时，直接设出抛物线的标准方程； ②焦点位置不明确时，需分类讨论四种标准形式； 2. 代入条件求解；3.写出最终方程： 题型巩固练： 27．（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期中）顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 28．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的方程为_____. 【答案】 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，可设方程为， 代入点得，，解得， 所以抛物线的方程为. 故答案为：. 29．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1)；(2)或；(3) 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，有，，求得，， 故抛物线标准方程为或. （3）由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上， 有抛物线焦点在轴正半轴上， 又因为抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故，故抛物线标准方程为. 30．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程． 【答案】或 【详解】当焦点在y轴正半轴时，设方程为， 由题意可得，解得.所以抛物线方程为． 当焦点在y轴负半轴时，设抛物线方程为， 由题意可得，解得，所以抛物线方程为. 综上，抛物线方程为或． 抛物线上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题知识点08 知识点速记： 一、距离之和的最值（）: 1.当定点在抛物线内部，为椭圆的一个焦点时：利用抛物线的定义将转化为到准线的距离（为垂足），从而将问题转化为求的最值。当三点共线且时取等最小值； 2.当定点在抛物线外部时，连接与焦点，线段即为和的最小值； 二、距离之差的最值（或）: 此类问题通常利用三角形两边之差小于第三边（） 当三点共线且位于的延长线或反向延长线上（即或在与另一点之间）时，差值取得最值，最大值为，最小值为; 题型巩固练： 31．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 32．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的焦点为，则，则， 又，则，所以的最小值为， 故选：A. 33．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则的最小值为6． 故选：C 34．（25-26高三上·福建·开学考试）设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【详解】由周长为，若垂直于抛物线准线于，    所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12. 故选：C 35．（24-25高二下·安徽·阶段检测）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E，    由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 定义法求点的轨迹方程（抛物线）知识点09 知识点速记： 利用定义法求点的关键方程（抛物线）首先分析题目中的几何关系，确认动点到定点的距离等于它到一条定直线的距离，可确定动点的轨迹为抛物线，根据条件写出方程。 题型巩固练： 36．若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 37．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 38．（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 39．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 直接法求点的轨迹方程（抛物线）知识点10 知识点速记： 直接法：设动点坐标为，根据已知条件列方程，并化简方程得到动点的轨迹方程（注意条件对或的限制）； 题型巩固练： 40．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C 41．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【详解】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 42．（2026·湖北武汉·三模）设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】令且，则，，而， 所以，则，即且，显然为抛物线的一部分. 43．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 转移代入法求点的轨迹方程（抛物线）知识点11 知识点速记： 转移代入法：当动点随已知曲线上一动点的变化而变化，则可设，用表示点的坐标，代入满足的方程即得动点的方程。 题型巩固练： 44．（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 45．（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 46．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 实际问题中的抛物线方程知识点12 知识点速记： 解题步骤： 1.建立坐标系：根据图形对称性尽力适当的平面直角坐标系，通常一抛物线的顶点为原点，或以对称轴为轴，以水平跨度方程为轴，以此简化计算； 2.确定关键点：结合实际条件，找出抛物线上的关键坐标，包括顶点，与坐标轴的交点或已知的特定位置点； 3.设出方程形式：设出方程形式，利用待定系数法求解； 4.实际问题还原。 题型巩固练： 47．（25-26高二上·广西钦州·期末）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10cm，口径18cm，底径8cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：A 48．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 49．（25-26高二上·安徽·阶段检测）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 50．（2025·河南濮阳·二模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 1．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 2．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，即为圆心. 设切点为Q，则， 则. 由抛物线的定义知，点P到M的准线的距离为4. 3．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知点满足，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】由，得，整理得， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：A． 4．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F做PQ垂线，垂足为G， 则，则，又，准线为 则，则.故抛物线方程为：. 故选：D 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，如图，做垂直于x轴，因，， 则，，则， 将代入， 可得， 则抛物线的方程为：. 故选：C 6．已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接． 因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 当时，取最小值，即，所以的最小值为1． 故选：A． 7．（23-24高三上·四川乐山·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，设准线与轴交点为    抛物线的焦点为，准线： 又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形， 所以， 所以在中，，则，所以抛物线的方程为. 故选：C. 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 9．（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期末）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 10．（多选）（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 【答案】BCD 【详解】因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误； 准线的方程为，故B正确； 当圆心在上时，设点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得， 又因圆过点，即点到准线的距离等于圆的半径，故圆与相切，即C正确； 反之，若圆与相切，则点到准线的距离等于圆的半径，又圆过点． 即，故点在上，即D正确. 11．（多选）（25-26高二上·陕西西安·期末）已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则 C．的最小值为4 D．若点的坐标为，则的最小值为6 【答案】ABD 【详解】对于A，由，可得，解得，A正确； 对于B，因为，所以，则，故，B正确； 对于C，因为，，所以的最小值为2，C错误； 对于D，等于点到的距离，的最小值为点到的距离，且点到的距离为，D正确． 故选：ABD. 12．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期末）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】因为点在抛物线上， 所以， 解得，选项A正确. 则抛物线的标准方程为， 则焦点，，两点横坐标相等，纵坐标不同， 因此直线垂直于轴，平行于轴，选项B正确. 因为点在抛物线上，所以， 则， 因为，所以，则，即， 则， 因为，所以，选项C错误. 因为，所以， 因为，所以， 即，解得， 因为，所以， 则，即，选项D正确. 13．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 【答案】 【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足为，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 14．（23-24高二下·河南·开学考试）已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，则__________，是上一点，且点，则的最小值为__________. 【答案】 4 6 【详解】 因为的焦点到其准线的距离为4，所以. 如图，过点向准线作垂线,垂足为点，交抛物线于点,则取最小值. 理由如下：在抛物线上任取点（不与点重合），连接,过点作准线的垂线段,垂足为，则, 即此时取最小值.且最小值为 15．（2025高二上·山西长治·专题练习）（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 【答案】（1） 或 ；（2）． 【详解】（1）由于点 在第四象限，所求抛物线以原点为顶点，且以坐标轴为对称轴， 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得 ，所以抛物线方程为 ； 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得，所以抛物线方程为 综上，所求的抛物线方程为 或 （2）由题意知，点 不可能在 轴左侧．设直线 ， 则轴右侧的点到直线的距离比它到直线的距离小个单位， 等价于动点到点的距离等于它到直线的距离， 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为． 16．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）.    (1)以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程; (2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高4m，此车能否安全通过隧道？请说明理由. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为. （2）能，理由如下： 依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使，即， 因，故此车能安全通过隧道. 17．（25-26高二下·云南昆明·期中）（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程． （2）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求． （3）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射后光线所在直线的方程． 【答案】（1）；（2）；或． 【详解】（1）根据题意双曲线方程可设为，与椭圆有公共焦点， ∴，即得， 又双曲线的离心率，故，解得． 故双曲线的方程为． （2）抛物线的准线为，过作垂直于直线，垂足为， 作于，直线与轴交于点，如图： 则轴，即，四边形是矩形， 中，， 由抛物线定义知，而 ， 则，解得，所以． （3）点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为， 则可得出反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切， 则圆心到反射光线的距离，即，解得或， 则反射直线的方程为或． 18．（25-26高二上·江苏南通·期中）过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． (1)求直线的方程； (2)设为圆上一点，求的最小值． 【答案】(1)或；(2)4 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 （2）    因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 1．【知识融合】（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由题意得， 设，则，，． 因为，所以，解得， 所以． 2．【数学建模】（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    3．【知识融合】（25-26高二下·上海松江·期中）已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. 4．【开放题】（2025·山东潍坊·二模）若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：____________． 【答案】或（填一个答案即可） 【详解】依题意，抛物线的准线与直线平行，且距离为2， 故抛物线的准线方程为或， 当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的负半轴上，且，，故抛物线方程为：； 当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，，故抛物线方程为：. 综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是或. 故答案为：或（填一个答案即可） 5．【数学建模】（25-26高二上·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为_______________，B，C两点的横坐标之差为_______________． 【答案】 【详解】设桥拱所在抛物线的方程为，该抛物线过点， ，解得，故桥拱所在抛物线为①， 设所在溢流孔的抛物线方程为，该抛物线过点， ，解得，故所在溢流孔的抛物线为， 个溢流孔的轮廓线相同， ，所在溢流孔的抛物线为②， 联立①②，消元得，解得或， 所以，，则B，C两点的横坐标之差为. 故答案为：， 6．【逻辑推理】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】取 的一种情形 因为 ，且 ，所以 点 ， 在 轴上的投影分别为 又点 在直线 上的投影为 ，而直线 的方程为 ，所以 直线 经过 ，，故其方程为 直线 的方程为 因此直线 与 的交点为 设 ，则 消去参数 ，得 因为 ，所以 ． 反之，对于满足 的任意 ，取 ，均可得到相应的点 ． 故点 的轨迹方程为 7．【数学建模】（25-26高二上·上海·开学考试）有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．    (1)直接写出菜地内的分界线的方程 (2)设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）易知：，利用抛物线的定义可知曲线为抛物线， 为其焦点，所以； （2）    如图所示作， 易知， ， ， 所以 ， 而正方形的面积为4，所以面积比为 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 4．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 5．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 6．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 7．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 8．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设， 由题有，解得， 故答案为：. 9．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 【答案】 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 10．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 【答案】 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 11．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 12．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______． 【答案】 5 【详解】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 13．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 【答案】 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $