第3章 圆 单元测试 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上册第3章“圆”单元卷，通过文化情境（如折扇问题）与动态探究（如点运动路径），覆盖圆的核心知识，适配单元复习，提升推理与几何直观素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|圆周角定理、切线性质、扇形面积|结合基础概念，如第5题切线与圆周角关系| |填空题|6/18|弧长计算、坐标几何、中点轨迹|第16题动态中点距离最小值，考查空间观念| |解答题|8/72|切线证明、动态几何、阴影面积|24题三问梯度设计，从证明到路径长，培养推理能力与创新意识|

2026-2027学年苏科版九年级数学上册第3章圆单元卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共30分） 1,(本题3分)如图，A、B、C是⊙0上的点，若∠A0B=60°，则∠ACB的度数为() A.60° B.50° C.40° D.30° 2.(本题3分)如图，⊙0中，若∠A0C=150°，那么∠ABC=() B A.150° B.125° C.105° D.100° 3.(本题3分)如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，连接AC,CD,OC,BD.若OC∥BD,且 ∠DBA=50°，则∠BDC的度数为() D A B A.105° B.115o C.120° D.125° 4.(本题3分)如下图所示，A,C为⊙0上两点，且AC=OA=2,弦BC⊥OA于D点，则弦BC的长为 () 第1页，共3页 A A.V3 B.3 c.25 D.4 5.(本题3分)如图，PA、PB分别与⊙0相切于A、B,∠P=60°，C为⊙0上一点，则∠ACB的度数 为() A B A.110° B.120° C.125° D.130 6.(本题3分)如图⊙0中，OA1BC,∠A0C-50°，则∠ADB的度数为() A.15° B.25° C.30° D.50° 1 7.(本题3分)如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的2，那么所得扇形的面积为原 来的() A.4倍 B.1倍 C.2 D.2 8.(本题3分)折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日，”这 里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇.如图，一折扇的骨柄长为21cm,折扇张开后为扇形，圆 心角40B为120°，则的长为（) 第2页，共3页 21cm 0 A.7ncm B.14πcm .cm C.4 7r cm D.9 9.(本题3分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB垂足为点M,连接OC,DB.如果OC∥DB, OC=4,那么图中阴影部分的面积是() 8 5 A. B.2π C.3π D.4π I0.(本题3分)如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于点D,DP⊥AC,垂足为P, DH1C,垂足为H,有下列结论：DCH=C,@D=D,国4P=:@=BC.其中一定成 立的结论有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（共18分） 11.(本题3分)如图，AD是⊙O的直径，点B,C在⊙O上，若∠ADB=15°，则∠BCD的度数为 第3页，共3页 D 12.(本题3分)已知圆周角为50°，所对的弧长为5π，则这个圆的半径长为一 13.(本题3分)如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,如果∠BOC=68°，那么∠BAD= 14.(本题3分)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC、BC,CD平分∠ACB交⊙O于点D, 若⊙0的半径是4，则AD的长度是一 15.(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点，点1的坐标为60.⊙P 的半径为B.则点P的坐标为 A(6,0) 16.(本题3分)如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=5,D是以点A为圆心，5为半径的 第4页，共3页 圆上一点，连接BD,M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为 D B 三、解答题（共72分） 17,（本思8分)如图，B为O0的直轻，射线4D交O0于点R,点C为劣证酽的中点，过点C作 BF CE⊥AD,垂足为E,连接AC D ⊙ (1)求证：CE是⊙0的切线； (2)若∠BAC=30°，AB=4,求阴影部分的面积. 18.(本题8分)如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，AC为⊙O的直径，且AB=BC,连接AB, BC,BD,CD,过点A作AE⊥BD,垂足为E. 第5页，共3页 B 0 (1)求∠BDC的度数： ②若BB=2,求CD的张长 19.(本题8分)如图，△ABC是以AB为直径的OO的内接三角形，BD与OO相切于点B,与AC的延长 线交于点D,E是BD的中点，延长EC,交BA的延长线于点F. B E FC⊙O (1)与有怎样的位置关系并说明理由 EF 3 2)若BD=8:BE=2,求BF的长和o0的半径. 第6页，共3页 20.(本题8分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙0上一点，过点C的切线交BA延长线于点P, 且PC=BC B (I)求证：AP=AC: (②)过点C作CD∥AB交⊙O于点D,若AB=8,求CD的长. 2L,(本题9分)已知，如图，AB是O0的直径，直线DC,DA分别切⊙0于点C,点A,连接BC, OD D (1)求证：BC∥OD: (2若∠0DC=35.AB=12 BC 求出心的长。 第7页，共3页 22.(本题9分)如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB=PA, 射线PO交O0于C、D两点， D 6 (I)求证：PB是⊙O的切线： (2)求证：AC平分∠PAB: 8创岩o0的直径是6，B=25,则点D与4PM 的内切圆上各点之间距离的最大值为一· 23.(本题10分)如图，已知1B是o0的直径，点P,C在o0上.PA=FC D (1)线段PA与线段PC的数量关系是 若连接AC,则直线PO与AC的位置关系是 (2)求证：POBC: 第8页，共3页 ⑧过点'作0的切线，过点4作D11于点D.载都题意补全图形.老PD=25,C=2, ⊙O ,求 的半径 24.(本题12分)已知，在半圆O中，直径AB=8,点C,D在半圆AB上运动，弦CD=4. 0 C D B 0 图1 图2 图3 (I)如图1，当∠DAB=∠CBA时，求证：△CAB≌△DBA: (2)如图2，若∠DAB=15°时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积： (3)如图3，取CD的中点M,点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M 到AB的距离的最小值是 ②直接写出点M的运动路径长 第9页，共3页 参考答案 题号 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 D C B B B C B A C 1.D 【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=)∠AOB,即可直接得出答案。 【详解】解：：∠AOB=60°， :∠ACB=)∠A0B=30 2.C 【分析】在优弧AC上取点D,连接AD、CD,根据圆周角定理可得∠D=75°，再根据圆内接四边形对 角互补可得∠ABC的度数， 【详解】解：如图，在优弧AC上取点D,连接AD、CD, D B .∠AOC=1509 2∠A0C=75° ·D= ∴.∠ABC=180°-75°=105° 3.B 【分析】连接OD,由OB=OD得∠ODB=∠DBO=50°，由OC∥BD,根据两直线平行，内错角相等得 ∠COD=∠ODB=50°，再由OC=OD求出∠ODC,然后根据∠BDC=∠ODC+∠ODB即可求解. 【详解】如图，连接OD, ·OB=OD,∠DBA=50° 答案第1页，共2页 .∠ODB=∠DB0=50°， .·OC∥BD .∠COD=∠ODB=50°， ..OC =OD E20DCI80-∠C0D)=6S9 .∠BDC=∠ODC+∠ODB=65°+50°=115° 4.C 【分析】根据垂径定理得出BC=2CD,由AC=OA=2,知△OAC是等边三角形，∠OCD=30°，从而得 出00-0C,再由勾股定理计算得出CD即可 【详解】解：AC=OA=2,OC=OA, .△OAC是等边三角形， .∠COD=60°， :BC⊥OA. ∴.∠OCD=30°， :0D=0c=1, 2 在Rt△ODC中， 根据勾股定理得CD=V0C2-OD=V5 :BC⊥OA」 .BC=2CD=25 5.B 【分析】连接OA,OB，,在优弧AB上取点D,连接AD,BD,根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四 边形的性质，进行求解即可 【详解】解：如图所示，连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD, 答案第2页，共2页 A D 、 是 切线， B .AP BP ⊙0 .∠OAP=∠OBP=90° .∠A0B=360°-90°-90°-60°=120°， :∠ADB=1∠A0B=60° 2 又，圆内接四边形的对角互补， ∴.∠ACB=180°-∠ADB=180°-60°=120° 6.B 【分析】连接OB,利用垂径定理及圆周角定理即可求解. 【详解】解：如图，连接OB, :OA⊥BC,∠AOC=50° ∴.∠AOB=∠AOC=50° ·∠ADB= F2<A0B=250 7.c 【分析】根据扇形面积公式计算判断即可 【详解】解：扇形面积S= 360,圆心角变为2m，半径变为2， 2 2nπ r2 变化后的扇形面积为： 2 2m: 4 1 nnr2 1 =-S 360 36023602 8.B 120×π-21=14πcm 【详解】解：AB的长=180 答案第3页，共2页 9.A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明△OCM≌△BDM,从而推出这两个三角形的面积相等，即可 知道三角形的面积即是扇形OCB的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出∠COB=2∠OCD,即可知 道∠COB度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积. 【详解】解：：OC∥DB」 ∴.∠OCD=∠BDC, CD⊥AB, ∴.CM=DM,∠CMO=∠DMB=90° ∴.OCMBDM. ∴.S.OCM=SBDM ·阴影部分的面积 S扇形0CB :∠OCD=∠BDC,∠COB=2∠BDC, ∴.∠COB=2∠OCD .·∠CM0=90° .∠C0B=60°， 0C=4, nmr260元×428元 .阴影部分的面积为S扇形ocB= 360360 3 10.C Rt△DPC≌Rt△DHC(HL) 【分析】通过角平分线性质定理证明 即可判断O；然后连接BD,证明 △DPA≌△DHB(AAS) ,即可判断②③. 【详解】解：，CD平分∠ACH,DP⊥AC,DH⊥BC ∴.DP=DH DC=DC Rt△DPC≌Rt△DHC(HL) ∴.CH=CP,故①正确； 连接BD, 答案第4页，共2页 D B .DP⊥AC,DH⊥BC .∠DPA=∠DHB=90° ∠I=∠2，DP=DH △DPA≌△DHB(AAS) .'DB=DA,AP=BH AD-BD ,故②、③正确： 现有条件不足以判断④，故④错误， .正确的有3个. 11.105° 【分析】根据题意可得∠ABD=90°，则可求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得答案. 【详解】解：，AD是⊙O的直径， .∠ABD=90° .∠BAD=90°-∠ADB=75° ,四边形ABCD是圆内接四边形， .∠BCD+∠BAD=180°. .∠BCD=105° 12.9 【详解】解：设圆的半径长为r, ,圆周角为50°，所对的弧长为5π， ∴弧所对的圆心角为100°， 100×π×T=5元，解得r=9 .180 即这个圆的半径长为9. 13.34° 答案第5页，共2页 BC=BD 【分析】由垂径定理可知 ，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答. 【详解】解：AB是⊙O的直径，弦CDL AB, :BC=BD :.∠BAD=1∠B0C=1x68°=34 1 2 14.2π 【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义求出∠ACD的度数，根据圆周角定理得 到∠AOD=90°，根据弧长公式计算即可. 【详解】解：连接OD, C 是 的直径， :AB⊙O ∠ACB=90°， :CD平分∠ACB, .∠ACD=45°， .∠AOD=90° 90π×4 则D的长度是180 =2 15.(3,2) 【分析】过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的 长，故可得出答案 【详解】解：过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP, D A(6,0) :A(6,0)PD⊥OA 答案第6页，共2页 :0D=0A=3 在RtOPD中OP=Vi3OD=3 .PD=VOP2-0D2=V13-9=2 ∴.P(3,2) 16.4 【分析】取AB的中点E,连接EM、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中 位线定理求得CE和EM的长，即可求解. 【详解】解：取AB的中点E,连接EM、CE,AD,如图所示： M B 在直角△ABC中，AB=VAC2+BC=22+5=13 ,E是直角△ABC斜边AB上的中点， :CE=)4B=65. M是BD的中点，E是AB的中点， 1 ME2 AD=2.5' M轨迹为以E为圆心，2.5为半径的圆， ∴当点M在线段CE上时，CM最小，且线段CM长度的最小值为6.5-2.5=4. 17.(1)证明：连接BF,OC, 答案第7页，共2页 ,AB是⊙O的直径， .∠AFB=90°，即BF⊥AD, CE⊥AD, .BF∥CE, BF 点C为劣弧 的中点， .OC⊥BF, .BF∥CE. .OC⊥CE, .0C是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线. 2 (②)3π 【分析】(I)连接BF,证明BF∥CE,连接OC,证明OC⊥CE即可得到结论： (2)连接OF,求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积， 【详解】(1)略 (2)解：连接OF,CF, D B .OA=OC,∠BAC=30°. .∠BAC=∠OAC=30° 答案第8页，共2页 .∠B0C=60°， :点C为劣弧的中点， .FC-BC ∴.∠FOC=∠BOC=60°， ..OF=OC, .△FOC是等边三角形， .∠0CF=60°， ∴.∠OCF=∠BOC, .CF∥AB, SAACE =SACOF S1些=S扇形FOC ,AB=4, ..OF=OC=OB=2, 60.π×222 ∴，S扇形OC= 360 ， 2 即阴影部分的面积为3π. 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法 是解答此题的关键。 18.(1)45° (2)2 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，根据等角对等边及三角形内角和得 ∠BAC=∠BCA=45°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； (2)如图，过点C作CK1BD于点K,根据等角对等边推出DK=CK,证明 △BCK≌△ABE(AAS) 得 CK=BE=2 ，然后根据勾股定理可得答案. 【详解】(1)解：，AC为⊙0的直径， 答案第9页，共2页 .∠ABC=90° .AB=BC. 2BAC=∠BC1-=2080-∠AC)-2x180e-90r)-=45. ⊙0 ,在 中 BC所对的圆周角为∠B1C、∠BDC ∠BDC=∠BAC=45°： (2)解：如图，过点C作CK⊥BD于点K, AE⊥BD, .∠CKD=∠BKC=∠AEB=90° 由(1)知：∠ABC=90°，∠BDC=45°， .∠CBK=90°-∠ABE=∠BAE, ∠DCK=90°-∠BDC=90°-45°=45°=∠BDC, .DK=CK, 在△BCK和△ABE中， 「∠CBK=∠BAE ∠BKC=∠AEB BC=AB △BCK≌AABE(AAS) CK=BE= DK=cK=2 在RIACDK中，CD=VDK2+CK=V+(2=2, 即CD的长为2. 答案第10页，共2页 19.(1)解：FC与⊙0相切.理由如下： 如图，连接OC, B D :BD与⊙O相切于点B,, OB⊥BD,即∠OBD=90°， .AB为⊙O的直径， .∠ACB=∠DCB=90°， ,E是BD的中点， CE=BE-BD .∠ECB=∠EBC, .OB=OC .∠OCB=LOBC, .∠OCE=∠OBD=90°，OC⊥FC, .0C是⊙0的半径， .FC与O0相切： 45 (2)BF=2V5,⊙0的半径为5 【分析】(1)连接OC,证明∠OCE=∠OBD-90°，OC⊥FC,可得证： (2)根据题查，求得EF=6,BF=VEF-BE=25,设OC=x,则OF=BF-OB=25-x,利用勾股 定理解答即可. 【详解】(1)略 (2)解：BD=8,∠DCB=90°，E是BD的中点， :CE-BE-1BD=4 2 答案第11页，共2页 EF 3 :BE2' EF=6, .FC=EF-EC=6-4=2, 在RtAFBE中，BF=VEF2-BE=V6-4=2W5 由(1)得∠OCF=∠ABD-90°， 设OC=x,则OF=BF-OB=25-x. .OF2=0C2+FC2 :(25-x=x+2 4V5 解得： x= 5, 4W5 .⊙0的半径为5· 20.(1)证明：连接0C, 0 A ,点C为⊙O上一点，过点C的切线交BA延长线于点P, .∠OCP=90°，即∠OCA+∠PCA=90°， :AB是⊙0的直径， ∴∠ACB=90° .∠OCA+∠BC0=90°， ∴.∠BCO=∠PCA, .PC=BC, .∠P=∠B, .OB=OC. 答案第12页，共2页 .∠B=∠BCO. .∠P=∠PCA, .AP=AC: (2)4 【分析】(1)连接OC,证明∠ACB=90°，LBC0=∠PCMA,∠P=∠B,进一步可得∠B=∠BC0=∠P, 可得∠P=∠PCA,可证明AP=AC: (2)连接OD,证明△AC0与△COD是等边三角形，即可得到答案， 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OD, .∠0CP=90°， .∠P+∠POC=∠PCA+∠OCA=90°， ∠P=∠PCA, .∠POC=∠OCA. .AC=AO 又OC=OA. :.△ACO是等边三角形， .∠A0C=60° CD∥AB, ∴.∠OCD=∠AOC=60°， 0C=0D=号4B=4 ∴.△COD是等边三角形， .'CD=CO=4 21.(1)证明：连接0C, 答案第13页，共2页 D C 直线 分别切于点， DC DA ⊙0 c ∴.CD=AD, 在△AD0与△CDO中， 「CD=AD OC=OA OD=OD' .△ADO2aCDO(SSS) ∴.∠AOD=∠COD 1 ∴.∠AOD= 2 ∠AOC :B=21 ∠AOC .∠B=∠AOD .BC∥OD; 7 (2)BC的长=3π. 【分析】(1)连接OC,根据切线长定理可知CD=AD,证明△1DO≌△CDO(SS) 可知 ∠40D=A0C,根据圆周角定理得到☑B-A0C,即可证明C∥OD: 2 (2)根据全等三角形的性质得到∠ADC=2LCD0=70°，可知∠A0C=110°，进而得到∠B0C=70°，根 据弧长公式计算即可. 【详解】(1)略： (2)解：△ADO2aCD0」 .∠ADC=2∠CD0=70° .∠AOC=180°-∠ADC=110°， 答案第14页，共2页 .∠B0C=70° AB=12, .0B=6, 70.π×67 BC的长= 18037 22.(1)证明：如图1中，连接OAOB 是切线， B 图1 .PA .PA⊥OA, ∠PA0=90°， 在△PAO和△PBO中， PA=PB PO=PO OA=OB' ∴△PAO≌aPBO(SSS) .∠PB0=∠PAO=90°， ∴.PB⊥OB OB为半径， :PB是⊙O的切线. (2)证明：如图1中，设∠PAC=a, D B 图1 答案第15页，共2页 :∠PA0=90°， .∠0AC=90°-a, 0A=0C. .∠OCA=∠OAC=90°-a, .PA=PB,OA=OB. PO垂直平分AB, ∴.∠CAB=90°-∠AC0=90°-(90°-a)=a .∠PAC=∠CAB .AC平分∠PAB. (3)7 【分析】(1)证明△PAO2aPB0,推出∠PB0=∠PA0=90°，可得结论； (2)设∠PAC=&,通过导角计算证明∠CAB=a,即可解决问题； (3)图2中，设AB交OP于点M,PA、PB是⊙O的切线，推出OP平分∠APB,因为AC平分∠PAB, 推出点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆OC交PC于H,点D到OC上各点的最大距离为DH,求出 DH即可解决问题. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图2中，设AB交OP于点M. 是 的切线， B 图2 PA,PB⊙O ∴OP平分∠APB, :AC平分∠PAB, 点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆⊙C交PC于H, :⊙0的直径为6， OA=3, 答案第16页，共2页 .OP AB,AB=2√5 垂直平分 .AM BM=5 :.0M=VO2-AM2=V32-(√5)=2 0C=3 CH=CM=3-2=1, :点D到⊙C上各点的最大距离为DH, ∴最大距离DH=CD+CH=6+1=7, 23.(1)相等；互相垂直 (2)证明：延长PO交AC于点H, D 由(1)可得，PO垂直平分AC,即HA=HC, ..OA=OB, OH是△ABC的中位线， .OHBC,即PO‖BC: (3)补全图形如图： 的半径为3 ⊙0 【分析】(1)先根据弧与弦之间的关系求解：再根据线段垂直平分线的判定证明PO垂直平分AC即可： (2)延长PO交AC于点H,证明OH是△ABC的中位线，再由中位线的性质求解即可： (3)先根据题意补全图形，然后连接AC,延长PO交AC于点H,然后证明四边形PDAH是矩形，再由 圆周角定理得到∠ACB=90°，最后对Rt△ABC运用勾股定理求解. 答案第17页，共2页 【详解】（山）解：：在O0中，PA=-PC」 :.PA=PC, ∴线段PA与线段PC的数量关系是相等； 连接AC, .PA=PC,OA=OC ∴.PO垂直平分AC ∴，直线PO与AC的位置关系是互相垂直； (2)略 (3)解：如图，连接AC,延长PO交AC于点H, 由(2)可知∠PHA=90°，HA=HC :直线l是⊙O的切线，AD⊥1， .∠PDA=∠DPH=90°， ∴.∠PDA=∠DPH=∠PHA=90°， ∴.四边形PDAH是矩形， :.AH=PD=22 AC=24H=4 AB是⊙O的直径， 、∠ACB=90°， 答案第18页，共2页 .AC2+BC2 AB2, AB=V4W2+22=6, 1 半径为24B=3 24.(1)证明：，AB是直径， .∠ACB=∠BDA=90°. .∠DAB=∠CBA, ∴，AC=BD(相等的圆周角所对的弦相等)， AC=BD 在Rt△CAB和RteDBA中， AB=BA, ∴△CAB≌△DBACHL): (2)3π+4 4v3 6)0v5②3π 【详解】(1)略 (2)解：如图，过D作DH⊥AB于H H B ,半圆O中，直径AB=8, ..OA=OD=4, ,∠DAB=15°， .∠AD0=15°， .∠DOB=∠DAB+∠ADO=30°、 DH-0D=-2,Sem-050 30m×42 3元， .S.wm-OAxDH-x4x2=4. 1 2 2 答案第19页，共2页 4 .S影部分=S形D0a+S.40D=3元+4， (3)解：①如图2，连接OC,OD,OM,过M作ME⊥AB于E. D 图2 :直径AB=8,弦CD=4, ∴.OC=OD=CD=4. :.△COD是等边三角形， M是CD的中点， :.CM-CD-2.OMLCD 2 :0M=V0C2-CM=25 ME=JOM2-0E=12-0F2 ∴当OE最大时，ME最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图3. D (C)% B 图3 :△COD是等边三角形，M是CD的中点， .∠MOC=30°」 :ME=)OM=5,即点M到AB的距离的最小值是5： ②如图4. 答案第20页，共2页 O M (C) 图4 0M=23 由①知， , M的轨迹是以O为圆心， 2V3 为半径的弧， 当C与A重合时，∠AOM=30°， 同理，当D与B重合时，∠BOM'=30°， .∠M0M'=180°-30°-30°=120°， 120m×2√54V5 ∴点M的运动路径长为180 3元 答案第21页，共2页