专题2.4 近似值(重难点+典题专练)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“近似值”核心知识点，系统梳理求近似值（含无理数、有理数）、判断精确度（精确到某一位与有效数字）、推断取值范围三大模块，以定义为基础、考点为脉络、易错点为突破，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 该资料通过分层设计（基础概念→高频考点→重难点突破）培养抽象能力与推理意识，结合人口普查、旅游消费等生活实例渗透应用意识，易错点警示助学生形成严谨思维。课中辅助教师高效授课，课后可通过梯度练习帮助学生查漏补缺，强化知识内化。

专题2.4 近似值 知识点一:求一个数的近似值 核心考点 + 重难点梳理 一、核心概念（基础必掌握） 1. 近似值的定义 与一个数的真实值接近但不完全相等的数，叫做这个数的近似值（也叫近似数）。 关键前提：通常针对无理数（如 、π）或位数较多的有理数（如 3.1415926），根据需求截取指定精度的数值。 2.精确度的表示方法 表示方法 含义 示例 精确到某一位（个位、十分位、百分位等） 保留到指定的数位，下一位数字用于判断取舍 精确到十分位：2.345≈2.3；1.56≈1.6 保留 n 个有效数字 从左边第一个非 0 数字起，保留 n 个数字（末尾的 0 不可省略） 保留 3 个有效数字：0.01234≈0.0123；12300≈1.23×104 3. 有效数字的定义 从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 二、核心考点（高频必考） 1. 无理数的近似值（重点：平方根、立方根、π） （1）平方根的近似值（精确到指定数位） 考点解析：利用相邻完全平方数确定整数部分，再通过 “逐步逼近法” 确定小数部分，适用于开方开不尽的数。 (2)立方根的近似值 考点解析：类似平方根，利用相邻完全立方数确定范围，逐步逼近。 （3）π 的近似值（固定取值） 考点解析：根据题目要求选取精度，常见取值：π≈3.14（精确到 0.01）、 2. 有理数的近似值（含大数、小数） （1）大数的近似值（用科学记数法表示） 考点解析：先将大数表示为 a×10n（1≤a<10），再按要求保留有效数字或精确到指定数位。 （2）小数的近似值（保留有效数字） 3. 含近似值的混合运算 考点解析：先取各数的近似值（精度比最终要求高一位，避免误差），再按运算顺序计算。 三、重难点突破 1. 易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：混淆 “精确到某一位” 和 “保留 n 个有效数字”。 易错点 2：逼近法中忽略 “差值比较” 或 “四舍五入” 规则。 易错点 3：大数近似值中，未用科学记数法导致有效数字错误。 易错点 4：混合运算中，取近似值过早导致误差过大。 易错点 5：有效数字中遗漏末尾的 0。 2 .难点：复杂无理数的估算与精度控制 *无理数的整数部分与小数部分求解 *多步运算的精度控制 （练习题） 1．0.618（精确到百分位）≈ ． 【答案】0.62． 【分析】把千分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】0.618（精确到百分位）≈0.62． 故答案为0.62． 2．用四舍五入法按要求对0.53862分别取近似值，其中错误的是（   ） A．精确到百分位得到0.54 B．精确到千分位得到0.538 C．精确到0.1得到0.5 D．精确到0.0001得到0.5386 【答案】B 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：A、（精确到百分位），故原说法正确，不符合题意； B、（精确到千分位），故原说法错误，符合题意； C、（精确到0.1），故原说法正确，不符合题意； D、（精确到）故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 3．精确到千分位是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数的求法，关键掌握四舍五入规则，精确到千分位需保留三位小数，看第四位小数（万分位）进行四舍五入 【详解】解：数字的万分位是9，且， 向千分位进一，千分位0变为1， 结果为， 故选：D 4．近似数1.9045按四舍五入法精确到百分位的结果是（   ） A．1.9 B．1.90 C．1.905 D．1.904 【答案】B 【分析】本题考查近似数，精确到百分位时，需观察千分位上的数，“四舍五入”即可． 【详解】解：近似数1.9045按四舍五入法精确到百分位的结果是1.90． 故选B． 5．截至2022年8月底，我国青少年上网人数约为60000000人，将该数字改成用“万”做单位的数（    ） A．六亿 B．六千万 C．六百万 D．六十万 【答案】B 【分析】本题考查的目的是掌握利用“四舍五入法”省略万位后面的尾数求近似数的方法．精确到万位就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字． 【详解】解：万，即六千万， 故选：B． 6．江苏省的国土面积是107200平方千米，改写成以“万”作单位的数是 平方千米；据统计，截止到2021年，江苏省的总人口数是85054000人，省略“万”后面的尾数大约是 万人． 【答案】 10.72万 8505 【分析】本题考查近似数，改写成以“万”作单位的数，需将原数除以10000，点上小数点；省略“万”后面的尾数，需将原数四舍五入到万位． 【详解】解：国土面积107200平方千米，改写成以“万”作单位：万；人口85054000人，省略“万”后面的尾数：万，四舍五入到万位，千位数字为4，小于5，故舍去，约为8505万． 故答案为：10.72万，8505． 7．期末考试，小明用计算器计算六科的平均成绩为分，用四舍五入法取近似值精确到，成绩为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了近似数，解题的关键是掌握取近似数的法则． 根据四舍五入法，精确到需看百分位数字，百分位为5，故十分位进1． 【详解】解：精确到，即保留一位小数，十分位数字为2，百分位数字为5，5等于5，故向十分位进1，十分位由2变为3，整数部分不变， 因此结果为， 故答案为：． 8.在计算器上依次按下键，屏幕上显示，在求的近似值（精确到0.001）时，应取值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数近似计算的要求，计算过程比结果的要求多一位小数即可．本题考查近似数，熟悉实数计算过程中近似数的取法是解题的关键． 【详解】解：结果精确到0.001， 应取值为1.4142， 故选：B． 9．一个数精确到百分位是，那么这个数最小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数的知识，理解并掌握“四舍五入”规则是解题关键．小数精确到百分位，要看千分位上的数字，根据四舍五入法的原则，若千分位上的数字大于等于5，就向百分位进1，若千分位上的数字小于5，就舍去千分位及其后面数位上的数，据此解答即可． 【详解】解：一个数精确到百分位是，那么这个数最小为， 故选：． 10．一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（    ） A．4.004 B．3.995 C．3.994 D．3.95 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入的知识即可求解． 【详解】解：一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是．则这个三位小数最小是 故选：B 11．昭通市第七次全国人口普查主要数据公报显示全市常住人口为5092611人．11个县（市、区）中，常住人口超过50万人的有3个，分别是镇雄县、昭阳区和彝良县．这三个县合计人口占全市总人口的54.29%．根据以上阅读材料完成以下问题 （1）横线上这个数读作 人，省略万位后面的尾数约是 万人． （2）除镇雄县、昭阳区和彝良县三个县（区）外，其他8个县（市）合计人口占全市总人口的 %． 【答案】 五百零九万二千六百一十一 【分析】（1）对于读数题，需要根据数的读法规则来读；省略万位后面的尾数求近似数，需看千位上数字的大小，利用“四舍五入”法． （2）把全市总人口看作单位“”，已知三个县合计人口占全市总人口的，用单位“”减去这三个县人口占比，就可得到其他个县（市）合计人口占全市总人口的百分比． 本题主要考查了整数的读法和近似数的求法，以及百分数的实际应用．熟练掌握整数的读法规则、“四舍五入”法求近似数的方法以及百分数的减法运算是解题的关键． 【详解】解：（1）读作：五百零九万二千六百一十一；省略万位后面的尾数是万． 故答案为：五百零九万二千六百一十一，； （2） 故答案为：③． 12．2024年五一假期，国内旅游市场在去年同期高位基础上保持稳中有增的态势，总出行人数突破295438600人次．横线上的数改写成用万作单位的数是( )万，四舍五入到亿位约是( )亿．其中泰州市共接待游客约346.7万人次，实现旅游收入约20.9亿元．估算一下，来泰州市旅游的游客人均消费约是( )元（填整百数）． 【答案】 29543.86 3 600 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．先把295438600用万作单位表示，再把千万位上的数字9进行四舍五入精确到亿位，然后20.9亿除以346.7万，结果把十位上的数字进行四舍五入后用整百数表示． 【详解】解：（万）（亿）； ， 故答案为：29543.86，3，600． 13．95号汽油8.01元，小红家的汽车加95号汽油，平均每耗油大约，按照这个耗油量，请你算一算小红家的汽车行驶大约需要 元．（保留两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，先求出小红家的汽车行驶的耗油量，再乘95号汽油的单价，再保留两位小数即可求解． 【详解】 （元）． 故答案为：． 14．下列叙述中的各数．哪些是准确值，哪些是近似值？说明你的理由． (1)教室里有24张课桌； (2)小明的身高为； (3)某本书的定价是元； (4)月球与地球之间的平均距离大约是38万千米； (5)大熊猫已经在地球上生活了800万年，是动物界的“活化石”． 【答案】(1)24是准确值，理由见解析 (2)是近似值，理由见解析 (3)是准确值，理由见解析 (4)38是近似值，理由见解析 (5)800是近似值，理由见解析 【分析】本题考查了近似数和准确数的定义，解题的关键是对经过测量的数据的把握； 准确数是一个数能表示原来物体或事件的实际数量，近似数是指与实际接近的数，经过测量的数据（含测量误差的）属于近似数，据此求解即可； （1）根据准确数和近似数的定义求解即可； （2）根据准确数和近似数的定义求解即可； （3）根据准确数和近似数的定义求解即可； （4）根据准确数和近似数的定义求解即可； （5）根据准确数和近似数的定义求解即可． 【详解】（1）解：24为准确值，理由如下： ∵24表示课桌的数目， ∴它为准确值； （2）解：是近似值，理由如下： ∵精确到， ∴为近似值； （3）解：是准确值，理由如下： ∵表示准确的价格， ∴它为准确值； （4）解：38为近似值，理由如下： ∵38万千米精确到万千米， ∴38为它为近似值； （5）解：800是近似值，理由如下： ∵800万年精确到万年， ∴800为近似值． 15．有一个三位小数，用“四舍五入”法保留整数是3，保留一位小数是3.0，保留两位小数是3.00，这个小数各个数位上的和是25，这个三位小数是 ． 【答案】2.995 【分析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．这个三位小数的整数位不可能为3，否则这个小数各个数位上的和不可能是25，所以这个三位小数的整数位为2，这个三位小数的十分位和百分位上的数字为9，最后确定千分位上的数字． 【详解】解：根据题意，这个三位小数的整数位不可能为3，否则这个小数各个数位上的和不可能是25，所以这个三位小数的整数位为2，这个三位小数的十分位和百分位上的数字为9，最后确定千分位上的数字． 这个三位小数是2.995． 故答案为：2.995． 16．（近似数）用1，3，5，7，9这五个数字组成一个五位数，近似数是5万，最大的数与最小的数的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，有理数的减法，根据题意得到最大的数是，最小的数是，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用1，3，5，7，9这五个数字组成一个五位数，近似数是5万， ∴最大的数是，最小的数是， ∴， 故答案为：． 17．【问题提出】如何对物体的长度进行更精确的测量？青岛二十六中数学组为同学们提供了一种思路，使用专业工具“游标卡尺”对数据进行更精确的测量． 【工具介绍】①是主尺（最小刻度是毫米）；②是游标尺个等分刻度）．它是套在主尺上可移动的部件；③是测量爪．移动游标尺，把被测物体夹在两测量爪之间，两爪之间的距离等于被测物体的长度． 【问题解决】 (1)图甲中，当测量爪对齐时，游标尺上的0刻线与主尺上的0刻线对齐，游标尺的第10刻线与主尺上刻线对齐，其它刻线都与主尺上的刻线不对齐，则游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少 ___________毫米． (2)如果将1张厚度为0.1mm的纸夹在测量爪间，游标尺的第1刻线与主尺刻线对齐，读数为0.1mm；如果将2张这样的纸夹在测量爪间，游标尺的第2刻线与主尺刻线对齐，读数为0.2mm；依此类推，如果将10张这样的纸夹在测量爪间，游标尺与主尺刻线对齐的情况如图乙，读数为0.1mm．如图丙，如果将一个小钢球夹在测量爪间，则这个小钢球的直径为 ___________毫米． 【结论归纳】 (3)用毫米刻度尺测量长度时，只能准确地读到毫米，而用本题中的游标卡尺测量时，就能准确地读到 ___________毫米，这个数值叫做游标卡尺的精确度．如果用表示待测物体的长度，用表示主尺的整毫米数，表示与主尺刻线对齐的游标尺上的刻线序数，表示游标卡尺的精确度，则待测物体的长度表达式可归纳为：___________． 【答案】(1)0.1 (2)3.5 (3)0.1； 【分析】（1）根据游标尺与主尺的长度求出每一格的长度，然后即可求出差； （2）主尺读数时看游标的0刻度线超过主尺哪一个示数，该示数为主尺读数，看游标的第几根刻度与主尺刻度对齐，乘以游标的分度值，即为游标读数． 【结论归纳】得出游标卡尺读数的方法，是主尺读数加上游标读数，据此即可求出． 【详解】（1）解：由图知：游标卡尺主尺的长度，与游标的10个格数的长度相等， 游标上每一格的长度为， 游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少； 故答案为：0.1； （2）如图丙，游标的0刻度线超过主尺的，游标尺的第5刻线与主尺刻线对齐，读数为； 这个小钢球的直径为； 故答案为：3.5； （3）游标卡尺测量时能准确地读到0.1毫米，根据游标卡尺读数的方法可得：． 故答案为0.1；． 知识点二.求近似数的精确度 一、核心概念（基础必掌握） 1. 精确度的定义 精确度是指近似数与真实值的接近程度，反映近似数的 “精确范围”。初中阶段主要通过两种方式描述精确度：精确到某一位和保留 n 个有效数字。 表示方式 定义 关键要点 精确到某一位 近似数保留到指定的数位（如个位、十分位、百分位等），下一位数字用于判断取舍 1. 明确数位顺序（个位→十分位→百分位→千分位…）； 2. 小数点后第 1 位是十分位，第 2 位是百分位，依次类推； 3. 大数需先确定数位再判断 保留 n 个有效数字 从近似数左边第一个非 0 数字起，保留 n 个数字（末尾的 0 为有效数字，不可省略） 1. 有效数字从左起第一个非 0 数字开始计数； 2. 开头的 0 不算有效数字，中间或末尾的 0 算有效数字； 3. 科学记数法表示的数，有效数字只看前面的 a（1≤a<10）部分 . 二、核心考点（高频必考） 1. 已知近似数，判断其精确度（精确到哪一位） **普通小数 / 整数的精确位判断 考点解析：直接观察近似数的最后一位数字对应的数位。 **科学记数法表示的近似数的精确位判断 考点解析：先将科学记数法 a×10n 还原为原数，再看 a 的最后一位数字对应的原数的数位。 **带单位的近似数的精确位判断 考点解析：先去掉单位，还原为原数，再判断最后一位数字对应的数位。 2. 已知精确度，求近似数（反向求解） （1）按 “精确到某一位” 取近似数 考点解析：找到指定数位，看其下一位数字，按 “四舍五入” 规则取舍（下一位≥5 进 1，＜5 舍去） （2）按 “保留 n 个有效数字” 取近似数 考点解析：从左起第一个非 0 数字开始计数，保留 n 个数字，第 n+1 位数字按 “四舍五入” 取舍。 3. 精确度的实际应用（结合生活场景） 考点解析：根据实际问题的需求，选择合适的精确度（如测量长度、重量时，精度需符合工具的测量范围）。 三、重难点突破 1. 易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：判断科学记数法表示的近似数的精确位时，直接看 a 的最后一位数字的数位，忽略还原原数。 易错点 2：混淆 “精确到某一位” 和 “保留 n 个有效数字” 的表述。 易错点 3：处理大数的精确度时，未用科学记数法导致数位判断错误。 易错点 4：保留有效数字时，遗漏末尾的 0。 易错点 5：带单位的近似数，未还原单位直接判断精确位。 2. 难点：含字母的近似数的精确度问题 考点解析：根据近似数的精确度，确定字母的取值范围（即真实值的取值范围）。 （练习题） 18．下面表述中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ (1)实验室里有18盏日光灯； (2)某人的身高是168厘米； (3)多媒体教室共有45台电脑； (4)世界著名海峡马六甲海峡长1080千米． 【答案】(1)准确数 (2)近似数 (3)准确数 (4)近似数 【分析】根据近似数和准确数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：实验室里有18盏日光灯，18是准确数． （2）解：某人的身高是168厘米，其中168厘米是近似数． （3）解：多媒体教室共有45台电脑，其中45是准确数． （4）解：世界著名海峡马六甲海峡长1080千米，其中1080千米是近似数． 【点睛】此题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数． 19．圆周率，如果取近似数3.14，它精确到 位，有 个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到 位，有 个有效数字． 【答案】 百分 三 千万分 八 【分析】根据数的精确度和近似数确定有效数字的方法即可解答．注意：有效数字从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止． 【详解】解：圆周率取近似数3.14，精确到百分位，有三个有效数字；如果取近似数3.1415926，精确到千万分位，有八个有效数字． 故答案为：百分，三；千万分，八． 【点睛】本题主要考查了近似数与有效数字的确定，解题关键是熟练掌握数的精确度和有效数字的知识． 20．有 个有效数字． 【答案】 【分析】本题考查的是有效数字的定义，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，解答此题的关键是熟知一个近似数的有效数字是从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字． 【详解】解：有个有效数字，分别是：， 故答案为：． 21．某校在一次助残捐款活动中，共募集31 083.58元，用四舍五入法将31 083.58精确到0.1的近似值为（   ） A．31 083 B．31 0830.5 C．31 083.58 D．31 083.6 【答案】D 【解析】把百分位上的数字8进行四舍五入即可； 【详解】用四舍五入将31083.58精确到0.1的近似值为31083.6， 故选：D． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，正确理解知识点是解题的关键． 22．下列关于近似数的说法中，正确的是（    ） A．1500精确到百位 B．1.10精确到十分位 C．2.1和2.10的精确度相同 D．3.14精确到0.01 【答案】D 【分析】本题考查近似数的精确度概念，需根据数字的最后一位判断精确到的数位． 【详解】解：A、近似数1500的精确度不明确，故该说法不一定正确，不符合题意； B、精确到百分位，而非十分位，故该说法错误，不符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，故该说法错误，不符合题意； D、有两位小数，精确到百分位，即，故该说法正确，符合题意； 故选：D． 23．某地常住人口为940.43万人，940.43万精确到（   ）位． A．百 B．十 C．个 D．万 【答案】A 【分析】本题主要考查了近似数的精确位数，熟练掌握以“万”为单位的数的还原方法是解题的关键． 将以“万”为单位的数还原，分析最后一位数字的实际数位，从而确定精确位数． 【详解】解：∵万，其中数字在百位上， ∴万精确到百位． 故选：A． 24．湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（　　） A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位 【答案】B 【分析】根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：数据亿精确到的位数是十万位． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 25．近似数 是精确到（    ） A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位 【答案】C 【分析】先将换算为，再判断的0在百位上，即可得到答案． 【详解】解： ∵的0在百位上， ∴近似数是精确到百位， 故选C． 【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的概念：经过四舍五入得到的数叫近似数． 26．近似数精确到 位． 【答案】十 【分析】本题考查了近似数，科学记数法，解题关键是掌握近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．先还原原数，再根据最后一位数字“1”的所在位置判断即可． 【详解】解：近似数精确到十位， 故答案为：十． 27．下列说法中错误的是（    ） A．近似数0.0304精确到万分位，有三个有效数字3、0、4 B．近似数2.3万精确到千位，有两个有效数字2、3 C．近似数0.030精确到千分位，有两个有效数字3、0 D．近似数精确到个位，有五个有效数字3、0、5、0、0 【答案】D 【分析】本题考查近似数及有效数字的概念，熟记相关概念是关键．近似数：指与准确数相近的一个数，即经过四舍五入、进一法或者去尾法等方法得到的一个与原始数据相差不大的一个数，有效数字是指从数字左边第一个非零的数起至最末一位数之间所有的数，判断即可． 【详解】解：A、近似数0.0304精确到万分位，有三个有效数字3、0、4，正确，不符合题意； B、近似数2.3万精确到千位，有两个有效数字2、3，正确，不符合题意； C、近似数0.030精确到千分位，有两个有效数字3、0，正确，不符合题意； D、近似数精确到百位，有三个有效数字3、0、5，错误，符合题意； 故选：D． 28．在，，，这四个数中通过四舍五入得到的近似数是35，不可能是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查四舍五入法，近似数为35时，原数应满足34.5 ≤ x < 35.5，分析各数是否在此范围内即可判断． 【详解】解：，四舍五入后为34，不符合近似数35； 且，四舍五入后为35； 且，四舍五入后为35； 且，四舍五入后为35。 故不可能是34.49． 故答案为：34.49． 29．小明和小红分别测量了一片树叶的长度，小明得出的数据是，小红得出的数据是，谁测量得准确些呢？ 【答案】小红测量的准确些． 【分析】小红测量的数据的精确度高一些，精确到了百分位． 【详解】小红测量的准确些． 因为小红测量的数据的精确度高一些． 【点睛】本题考查了对近似数和准确数定义的理解． 知识点三:近似数推断取值范围 一.核心概念（基础必掌握） **取值范围的本质 由近似数反向推导其真实值的取值区间，核心依据是 “四舍五入” 规则： 若近似数是通过 “舍” 得到的，真实值的上限为近似数 + 精确单位的一半（不包含上限）； 若近似数是通过 “入” 得到的，真实值的下限为近似数 - 精确单位的一半（包含下限）； 最终取值范围为 [近似数 - 0.5× 精确单位，近似数 + 0.5× 精确单位)（左闭右开区间，因上限值四舍五入后会得到下一个近似数）。 二.核心考点（高频必考） 1. 普通小数 / 整数（精确到某一位）的取值范围 解题步骤 确定近似数的 “精确单位”（最后一位数字对应的数位单位）； 下限 = 近似数 - 0.5× 精确单位（包含下限）； 上限 = 近似数 + 0.5× 精确单位（不包含上限）； 表示为区间：下限≤x<上限。 2. 科学记数法表示的近似数的取值范围 解题步骤 *还原科学记数法 a×10n 为原数形式，确定 “精确单位”（a 的最后一位数字对应的原数数位单位）； *按 “精确到某一位” 的方法计算下限和上限（可先对 a 求范围，再扩大 10n 倍）； *最终范围需与原数的数量级一致（可保留科学记数法表示）。 3. 保留 n 个有效数字的近似数的取值范围 解题步骤 *确定最后一位有效数字对应的 “精确单位”（从左起第 n 个有效数字的数位单位）； *下限 = 近似数 - 0.5× 精确单位（包含下限）； *上限 = 近似数 + 0.5× 精确单位（不包含上限）； *注意：保留有效数字时，末尾的 0 是有效数字，需准确判断精确单位。 4. 带单位的近似数的取值范围 解题步骤 *去掉单位，还原为原数，确定 “精确单位”（原数最后一位数字对应的数位单位）； *按 “精确到某一位” 的方法计算下限和上限； *最终范围可保留单位表示（需与原单位一致）。 三、重难点突破 1. 易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：混淆 “精确单位”，导致下限和上限计算错误。 易错点 2：科学记数法还原时出错，导致精确单位判断错误。 易错点 3：保留有效数字时，忽略末尾的 0，导致精确单位判断错误。 易错点 4：区间端点的开闭错误，将上限包含在内。 易错点 5：带单位的近似数未还原单位，直接按小数计算范围。 2. 难点：含字母的近似数取值范围综合题 （1）解题核心 根据近似数的精确度，建立关于字母的不等式，求解字母的取值范围（注意字母的实际意义，如长度、人数等需为正数）。 （练习题) 30．某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度． 根据近似数精确到十分位，是从百分位上的数字四舍五入得到的即可得出答案． 【详解】解：∵近似数是由数x四舍五入得到的， ∴数x的取值范围是， 故选：C． 31．小西同学的体重为56.4千克，这个数是四舍五入得来的，那么你认为小西的体重M千克的范围是： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入即可． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3；当百分位小于5时，十分位应是4． 故选：B． 32．某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 33．四舍五入得到的近似数表示的精确数x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】近似值是通过四舍五入得到的， 可以由大于或等于的数，4后面的一位数字，满5进1得到．或由小于的数，舍去5后的数字得到，因而 ． 【详解】解∶近似数表示的精确数x的范围是． 故选∶B． 【点睛】本题主要考查对近似数概念的理，解熟练掌握四舍五入法是解题的关键． 34．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，掌握知识点是解题的关键． 精确到百分位时，根据四舍五入法，需看千分位上的数字．近似数为，则原数最大时对应四舍情况，千分位小于5；最小时对应五入情况，千分位大于等于5． 【详解】解：设原数为三位小数（a、b、c分别为十分位、百分位、千分位数字）．精确到百分位时，若千分位，则舍去，近似数为，要求等于， 故，最大值为；若千分位，则向百分位进1，近似数为，要求等于，且进位后百分位为0、十分位为8，故，最小值为． 故答案为；． 35．已知是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是，这个两位小数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要考虑是一个两位数的近似数，有两种情况∶“五入”得到的最小是，”四舍”得到的最大是，由此解答问题即可． 此题考查了近似数，取一个数的近似数，有两种情况∶“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法． 【详解】 解：∵是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是， ∴这个两位小数最小是；最大是； ∴这个两位小数的取值范围是， 故选：B． 36．一个三位小数，四舍五入到十分位是5.0，这个数最小是（   ） A．5.499 B．5.010 C．4.999 D．4.950 【答案】D 【分析】本题考查四舍五入，根据十分位的数字为0，进而得到0是由百分位的数字四舍五入得到的，再根据求这个数最小，得到这个数的百分位为5，十分位为9，个位为4，即可． 【详解】解：∵一个三位小数，四舍五入到十分位是5.0， ∴这个数最小是4.950； 故选：D． 37．下面物体表面的面积最接近500平方厘米的是（    ） A．教室黑板面 B．教室地面 C．课本面 D．课桌面 【答案】C 【分析】根据生活经验，对面积单位和数据的大小认识，可知课本面长约25厘米，宽约20厘米，面积相对最接近500平方厘米；据此得解。 【详解】解：A、黑板的正面，长约400厘米，宽约150厘米，面积约是：（平方厘米），不符合题意； B、教室的地面，长约800厘米，宽约700厘米，面积约是：（平方厘米），不符合题意； C.课本面，长约25厘米，宽约20厘米，面积约是：（平方厘米），符合题意。 D.课桌的桌面，长约80厘米，宽约50厘米，面积约是：（平方厘米），不符合题意； 故选：C。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 近似值 知识点一:求一个数的近似值 核心考点 + 重难点梳理 一、核心概念（基础必掌握） 1. 近似值的定义 与一个数的真实值接近但不完全相等的数，叫做这个数的近似值（也叫近似数）。 关键前提：通常针对无理数（如 、π）或位数较多的有理数（如 3.1415926），根据需求截取指定精度的数值。 2.精确度的表示方法 表示方法 含义 示例 精确到某一位（个位、十分位、百分位等） 保留到指定的数位，下一位数字用于判断取舍 精确到十分位：2.345≈2.3；1.56≈1.6 保留 n 个有效数字 从左边第一个非 0 数字起，保留 n 个数字（末尾的 0 不可省略） 保留 3 个有效数字：0.01234≈0.0123；12300≈1.23×104 3. 有效数字的定义 从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 二、核心考点（高频必考） 1. 无理数的近似值（重点：平方根、立方根、π） （1）平方根的近似值（精确到指定数位） 考点解析：利用相邻完全平方数确定整数部分，再通过 “逐步逼近法” 确定小数部分，适用于开方开不尽的数。 (2)立方根的近似值 考点解析：类似平方根，利用相邻完全立方数确定范围，逐步逼近。 （3）π 的近似值（固定取值） 考点解析：根据题目要求选取精度，常见取值：π≈3.14（精确到 0.01）、 2. 有理数的近似值（含大数、小数） （1）大数的近似值（用科学记数法表示） 考点解析：先将大数表示为 a×10n（1≤a<10），再按要求保留有效数字或精确到指定数位。 （2）小数的近似值（保留有效数字） 3. 含近似值的混合运算 考点解析：先取各数的近似值（精度比最终要求高一位，避免误差），再按运算顺序计算。 三、重难点突破 1. 易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：混淆 “精确到某一位” 和 “保留 n 个有效数字”。 易错点 2：逼近法中忽略 “差值比较” 或 “四舍五入” 规则。 易错点 3：大数近似值中，未用科学记数法导致有效数字错误。 易错点 4：混合运算中，取近似值过早导致误差过大。 易错点 5：有效数字中遗漏末尾的 0。 2 .难点：复杂无理数的估算与精度控制 *无理数的整数部分与小数部分求解 *多步运算的精度控制 （练习题） 1．0.618（精确到百分位）≈ ． 2．用四舍五入法按要求对0.53862分别取近似值，其中错误的是（   ） A．精确到百分位得到0.54 B．精确到千分位得到0.538 C．精确到0.1得到0.5 D．精确到0.0001得到0.5386 3．精确到千分位是（      ） A． B． C． D． 4．近似数1.9045按四舍五入法精确到百分位的结果是（   ） A．1.9 B．1.90 C．1.905 D．1.904 5．截至2022年8月底，我国青少年上网人数约为60000000人，将该数字改成用“万”做单位的数（    ） A．六亿 B．六千万 C．六百万 D．六十万 6．江苏省的国土面积是107200平方千米，改写成以“万”作单位的数是 平方千米；据统计，截止到2021年，江苏省的总人口数是85054000人，省略“万”后面的尾数大约是 万人． 7．期末考试，小明用计算器计算六科的平均成绩为分，用四舍五入法取近似值精确到，成绩为 ． 8.在计算器上依次按下键，屏幕上显示，在求的近似值（精确到0.001）时，应取值为（    ）． A． B． C． D． 9．一个数精确到百分位是，那么这个数最小为（   ） A． B． C． D． 10．一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（    ） A．4.004 B．3.995 C．3.994 D．3.95 11．昭通市第七次全国人口普查主要数据公报显示全市常住人口为5092611人．11个县（市、区）中，常住人口超过50万人的有3个，分别是镇雄县、昭阳区和彝良县．这三个县合计人口占全市总人口的54.29%．根据以上阅读材料完成以下问题 （1）横线上这个数读作 人，省略万位后面的尾数约是 万人． （2）除镇雄县、昭阳区和彝良县三个县（区）外，其他8个县（市）合计人口占全市总人口的 %． 12．2024年五一假期，国内旅游市场在去年同期高位基础上保持稳中有增的态势，总出行人数突破295438600人次．横线上的数改写成用万作单位的数是( )万，四舍五入到亿位约是( )亿．其中泰州市共接待游客约346.7万人次，实现旅游收入约20.9亿元．估算一下，来泰州市旅游的游客人均消费约是( )元（填整百数）． 13．95号汽油8.01元，小红家的汽车加95号汽油，平均每耗油大约，按照这个耗油量，请你算一算小红家的汽车行驶大约需要 元．（保留两位小数） 14．下列叙述中的各数．哪些是准确值，哪些是近似值？说明你的理由． (1)教室里有24张课桌； (2)小明的身高为； (3)某本书的定价是元； (4)月球与地球之间的平均距离大约是38万千米； (5)大熊猫已经在地球上生活了800万年，是动物界的“活化石”． 15．有一个三位小数，用“四舍五入”法保留整数是3，保留一位小数是3.0，保留两位小数是3.00，这个小数各个数位上的和是25，这个三位小数是 ． 16．（近似数）用1，3，5，7，9这五个数字组成一个五位数，近似数是5万，最大的数与最小的数的差是 ． 17．【问题提出】如何对物体的长度进行更精确的测量？青岛二十六中数学组为同学们提供了一种思路，使用专业工具“游标卡尺”对数据进行更精确的测量． 【工具介绍】①是主尺（最小刻度是毫米）；②是游标尺个等分刻度）．它是套在主尺上可移动的部件；③是测量爪．移动游标尺，把被测物体夹在两测量爪之间，两爪之间的距离等于被测物体的长度． 【问题解决】 (1)图甲中，当测量爪对齐时，游标尺上的0刻线与主尺上的0刻线对齐，游标尺的第10刻线与主尺上刻线对齐，其它刻线都与主尺上的刻线不对齐，则游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少 ___________毫米． (2)如果将1张厚度为0.1mm的纸夹在测量爪间，游标尺的第1刻线与主尺刻线对齐，读数为0.1mm；如果将2张这样的纸夹在测量爪间，游标尺的第2刻线与主尺刻线对齐，读数为0.2mm；依此类推，如果将10张这样的纸夹在测量爪间，游标尺与主尺刻线对齐的情况如图乙，读数为0.1mm．如图丙，如果将一个小钢球夹在测量爪间，则这个小钢球的直径为 ___________毫米． 【结论归纳】 (3)用毫米刻度尺测量长度时，只能准确地读到毫米，而用本题中的游标卡尺测量时，就能准确地读到 ___________毫米，这个数值叫做游标卡尺的精确度．如果用表示待测物体的长度，用表示主尺的整毫米数，表示与主尺刻线对齐的游标尺上的刻线序数，表示游标卡尺的精确度，则待测物体的长度表达式可归纳为：___________． 知识点二.求近似数的精确度 一、核心概念（基础必掌握） 1. 精确度的定义 精确度是指近似数与真实值的接近程度，反映近似数的 “精确范围”。初中阶段主要通过两种方式描述精确度：精确到某一位和保留 n 个有效数字。 表示方式 定义 关键要点 精确到某一位 近似数保留到指定的数位（如个位、十分位、百分位等），下一位数字用于判断取舍 1. 明确数位顺序（个位→十分位→百分位→千分位…）； 2. 小数点后第 1 位是十分位，第 2 位是百分位，依次类推； 3. 大数需先确定数位再判断 保留 n 个有效数字 从近似数左边第一个非 0 数字起，保留 n 个数字（末尾的 0 为有效数字，不可省略） 1. 有效数字从左起第一个非 0 数字开始计数； 2. 开头的 0 不算有效数字，中间或末尾的 0 算有效数字； 3. 科学记数法表示的数，有效数字只看前面的 a（1≤a<10）部分 . 二、核心考点（高频必考） 1. 已知近似数，判断其精确度（精确到哪一位） **普通小数 / 整数的精确位判断 考点解析：直接观察近似数的最后一位数字对应的数位。 **科学记数法表示的近似数的精确位判断 考点解析：先将科学记数法 a×10n 还原为原数，再看 a 的最后一位数字对应的原数的数位。 **带单位的近似数的精确位判断 考点解析：先去掉单位，还原为原数，再判断最后一位数字对应的数位。 2. 已知精确度，求近似数（反向求解） （1）按 “精确到某一位” 取近似数 考点解析：找到指定数位，看其下一位数字，按 “四舍五入” 规则取舍（下一位≥5 进 1，＜5 舍去） （2）按 “保留 n 个有效数字” 取近似数 考点解析：从左起第一个非 0 数字开始计数，保留 n 个数字，第 n+1 位数字按 “四舍五入” 取舍。 3. 精确度的实际应用（结合生活场景） 考点解析：根据实际问题的需求，选择合适的精确度（如测量长度、重量时，精度需符合工具的测量范围）。 三、重难点突破 1. 易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：判断科学记数法表示的近似数的精确位时，直接看 a 的最后一位数字的数位，忽略还原原数。 易错点 2：混淆 “精确到某一位” 和 “保留 n 个有效数字” 的表述。 易错点 3：处理大数的精确度时，未用科学记数法导致数位判断错误。 易错点 4：保留有效数字时，遗漏末尾的 0。 易错点 5：带单位的近似数，未还原单位直接判断精确位。 2. 难点：含字母的近似数的精确度问题 考点解析：根据近似数的精确度，确定字母的取值范围（即真实值的取值范围）。 （练习题） 18．下面表述中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ (1)实验室里有18盏日光灯； (2)某人的身高是168厘米； (3)多媒体教室共有45台电脑； (4)世界著名海峡马六甲海峡长1080千米． 19．圆周率，如果取近似数3.14，它精确到 位，有 个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到 位，有 个有效数字． 20．有 个有效数字． 21．某校在一次助残捐款活动中，共募集31 083.58元，用四舍五入法将31 083.58精确到0.1的近似值为（   ） A．31 083 B．31 0830.5 C．31 083.58 D．31 083.6 22．下列关于近似数的说法中，正确的是（    ） A．1500精确到百位 B．1.10精确到十分位 C．2.1和2.10的精确度相同 D．3.14精确到0.01 23．某地常住人口为940.43万人，940.43万精确到（   ）位． A．百 B．十 C．个 D．万 24．湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（　　） A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位 25．近似数 是精确到（    ） A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位 26．近似数精确到 位． 27．下列说法中错误的是（    ） A．近似数0.0304精确到万分位，有三个有效数字3、0、4 B．近似数2.3万精确到千位，有两个有效数字2、3 C．近似数0.030精确到千分位，有两个有效数字3、0 D．近似数精确到个位，有五个有效数字3、0、5、0、0 28．在，，，这四个数中通过四舍五入得到的近似数是35，不可能是 ． 29．小明和小红分别测量了一片树叶的长度，小明得出的数据是，小红得出的数据是，谁测量得准确些呢？ 知识点三:近似数推断取值范围 一.核心概念（基础必掌握） **取值范围的本质 由近似数反向推导其真实值的取值区间，核心依据是 “四舍五入” 规则： 若近似数是通过 “舍” 得到的，真实值的上限为近似数 + 精确单位的一半（不包含上限）； 若近似数是通过 “入” 得到的，真实值的下限为近似数 - 精确单位的一半（包含下限）； 最终取值范围为 [近似数 - 0.5× 精确单位，近似数 + 0.5× 精确单位)（左闭右开区间，因上限值四舍五入后会得到下一个近似数）。 二.核心考点（高频必考） 1. 普通小数 / 整数（精确到某一位）的取值范围 解题步骤 确定近似数的 “精确单位”（最后一位数字对应的数位单位）； 下限 = 近似数 - 0.5× 精确单位（包含下限）； 上限 = 近似数 + 0.5× 精确单位（不包含上限）； 表示为区间：下限≤x<上限。 2. 科学记数法表示的近似数的取值范围 解题步骤 *还原科学记数法 a×10n 为原数形式，确定 “精确单位”（a 的最后一位数字对应的原数数位单位）； *按 “精确到某一位” 的方法计算下限和上限（可先对 a 求范围，再扩大 10n 倍）； *最终范围需与原数的数量级一致（可保留科学记数法表示）。 3. 保留 n 个有效数字的近似数的取值范围 解题步骤 *确定最后一位有效数字对应的 “精确单位”（从左起第 n 个有效数字的数位单位）； *下限 = 近似数 - 0.5× 精确单位（包含下限）； *上限 = 近似数 + 0.5× 精确单位（不包含上限）； *注意：保留有效数字时，末尾的 0 是有效数字，需准确判断精确单位。 4. 带单位的近似数的取值范围 解题步骤 *去掉单位，还原为原数，确定 “精确单位”（原数最后一位数字对应的数位单位）； *按 “精确到某一位” 的方法计算下限和上限； *最终范围可保留单位表示（需与原单位一致）。 三、重难点突破 1. 易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：混淆 “精确单位”，导致下限和上限计算错误。 易错点 2：科学记数法还原时出错，导致精确单位判断错误。 易错点 3：保留有效数字时，忽略末尾的 0，导致精确单位判断错误。 易错点 4：区间端点的开闭错误，将上限包含在内。 易错点 5：带单位的近似数未还原单位，直接按小数计算范围。 2. 难点：含字母的近似数取值范围综合题 （1）解题核心 根据近似数的精确度，建立关于字母的不等式，求解字母的取值范围（注意字母的实际意义，如长度、人数等需为正数）。 （练习题) 30．某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．小西同学的体重为56.4千克，这个数是四舍五入得来的，那么你认为小西的体重M千克的范围是： A． B． C． D． 32．某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 33．四舍五入得到的近似数表示的精确数x的范围是（   ） A． B． C． D． 34．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 35．已知是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是，这个两位小数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．一个三位小数，四舍五入到十分位是5.0，这个数最小是（   ） A．5.499 B．5.010 C．4.999 D．4.950 37．下面物体表面的面积最接近500平方厘米的是（    ） A．教室黑板面 B．教室地面 C．课本面 D．课桌面 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $