专题2.1 平方根（14题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“平方根”核心知识点，以算术平方根的定义、表示及性质为基础，逐步延伸至平方根的概念、表示与性质，进而衔接开平方运算，构建从基础概念到运算应用的学习支架，明确平方与开平方的互逆关系。 资料通过“即学即练”即时巩固概念，“典例+变式”分层训练思维，结合实际应用问题（如距离估算、图形面积）培养学生抽象能力（符号意识）、运算能力与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

函学科网·上好课 平方根 1.理解平 教学目标 2.掌握平 平方根。 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.1平方根 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01算术平方根 知识点02平方根 2.知识清单 知识点03开平方 题型01算术平方根概念理解 题型02求一个数的算术平方根 题型03利用算术平方根的非负性解题 题型04求算术平方根的整数部分和小数部分 题型05利用算术平方根的性质化简 题型06与算术平方根有关的规律探索题 题型07算术平方根的实际应用 3.题型精讲 题型08平方根概念理解 题型09求一个数的平方根 题型10已知一个数的平方根，求这个数 题型1求代数式的平方根 题型12利用平方根解方程 题型3算术平方根与平方根综合问题 题型14平方根的实际应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 方根与算术平方根的概念，能正确表示一个数的平方根与算术平方根。 方根的性质：正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根是0，负数没有 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 3.能运用平方根与算术平方根的概念求一个数的平方根及进行简单计算。 重点： 1.平方根与算术平方根的概念及其表示方法。 2.平方根的性质（正数、0、负数的平方根情况）。 教学重难点 教学难点： 1.正确理解与区分平方根与算术平方根的概念，避免混淆。 2.求一个非负数的平方根时，注意开平方运算与平方运算的互逆关系。 知识清单 知识点01算术平方根 x2=a, (1)定义：一般地，如果一个正数x的平方等于4，即： 那么这个正数x就叫做a的算术平方根， 记 va ,读作“根号a”, a (2)表示方法：非负数a的算术平方根记作 ,读作根号4， V0=0 (3)性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即 ；③负数没有 Va 算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【即学即练1】下列各数没有算术平方根的是() A.0 B.(-3)2 C.(-2) D.21 【即学即练2】4的算术平方根是 【即学即练3】计算√36的结果为」 知识点02平方根 x2=a,」 ±Va (1)定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即： 那么数x就叫做a的平方根，记作 读作“正负根号a”, 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ±Wa (2)表示方法：一个数a(≥0)的平方根记作 (a20),读作根号a,“正负根号a”, (3)性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【即学即练1】用式子表示“9的平方根等于3”正确的是() A.V9=-3 B.V5=3 C.V9=±3 D.±V9=3 【即学即练2】下列说法正确的是() A.-4是16的平方根 B.0没有平方根 C.25的平方根是5 D.V49=±7 【即学即练3】求下列各数的平方根： (1)81: (2)25 121: (3)1.69: 422 9: 知识点03开平方 (1)定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； √a2与√a)2(a≥0)的性质： (2) a(a>0), Va=Ja=20(a=0). -a(a<0), (1) (a)2=a(a≥0) (2) 3) √a2与(Va)2的区别与联系 a a ≥0 区别：取值范围不同： 中a为任意实数； 中a: a2 a 被开方数不同： 中被开方数为： 中被开方数为a: 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 运算顺序不同： 先平方再开方： 先开方再平方。 (a a(va) 联系： 结果为非负数： 中心0时， 【即学即练1】实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简Vc2+a+b-V(a-c得 b c 0 a 【即学即练2】探究发散： (1)完成下列填空①√3=3，②V0.5=0.5,③V(-6}= (2)根据上述计算结果，若a<b,则V(a-b)= (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示. a 0 b c 化简：V(b-c2-a+bl+a+c 题型精讲 题型01 算术平方根概念理解 【典例1】下列说法正确的是() A.√25表示25的算术平方根 B.-√2表示2的算术平方根 C.2的算术平方根记作±√2 D.2是V2的算术平方根 【变式1】算术平方根是它本身的数是() A.0和1 B.1和-1 C.2和-2 D.0和±1 【变式2】如果2-6a有算术平方根，那么a可以取的值为() 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.2 C.1 D.0 题型02求一个数的算术平方根 16 【典例2】49的算术平方根是 【变式1】0.09的算术平方根是一。 ⊙ 【变式2】 的算术平方根是 题型03利用算术平方根的非负性解题 【典例3】已知x,y为实数，且x-2+Vy+1=0,则y的值为 【变式1】已知有理数a,b满足la-+va+b-3=0,则(a-b)5 【变式2】若a,b,c是△ABC的三边，且la-8+(仍-15)}'+Vc-17=0,则△4BC的面积为 题型04求算术平方根的整数部分和小数部分 【典例4】若设4+V3的整数部分为a,则a的值为. 【变式1】V3的整数部分是a,小数部分是b,则a-b的值是 【变式2】己知：m、n为两个连续的整数，且m<V10<n,则m-n=_ 题型05利用算术平方根的性质化简 【典例5】实数a在数轴上的位置如图所示，则化简Va+V(-a}的结果为。 0 【变式1】已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简：V(a-b)+V(b-c}+3V(a+c. a 0b 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式21计算5。-：-：分=：0 (2)根据(1)中的计算结果可知，√匠=」 (3)利用上述规律计算：实数a、b在数轴上的位置，化简V匠-V万-√(a-b 题型06与算术平方根有关的规律探索题 【典例6】观察下表，并解决问题. 0.0004 0.04 4 400 40000 a 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表， 可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右 (或向左)移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左)移动一一一位 (2)已知V0.2≈0.4472，V2≈1.414，则V20≈ (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知0.3≈0.6694,3≈1.442,30≈3.107，则300≈_ 【变式1】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算V5×9+4=:V16×20+4= (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：-· (3)计算：V1×5+4-V2×6+4+V3×7+4-√4×8+4+…+√2021×2025+4， 【变式2】(1)填表： 1000 m 0 … 0.000001 0.0001 0.01 100 0 √m 0 … 0.001 0.1 1 100 … (2)规律归纳： ①若正数m的小数点向左（或右）移动 位，则√m的小数点就相应地 移动 位； ②当m>1时，若正数m越大，则Vm也越大。 6/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)尝试运用：已知V169=13,√m=1300,求m的值： (4)灵活应用：当m≥0时，比较Vm和m的大小. 题型07算术平方根的实际应用 【典例】天气晴明时，一个人能看到大海的最远距离：（单位：千米）可用公式-15来估计，其中力 8 (单位：米)是眼睛离海平面的高度， (1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A,已知小天眼睛离观望台地面的高度是1.6米，他想看到距离岸边大约 10千米处的一个货轮B,则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 【变式1】在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为400cm的正方形框架，该同学计划用同 样长的一根铁丝围一个面积为300cm的长方形框架，且长与宽的比为5：3. (1)求正方形框架的边长. (2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断。 【变式2】小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系. 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间： 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间2. 己知一个物体从高处自由下落时，下落高度h(米)和下落时间t(秒)可以用公式1=5 来表示 (1)请利用公式，求的值. (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间2刚好是你记录的时间的一半，”小悦说：“你一定是记录 错了.”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由 题型08 平方根概念理解 【典例8】下列哪个数没有平方根() A.1.21 B.-4 C.0 D.（-2) 【变式1】下列说法正确的是() A.0的平方根是0 B.4的平方根是2 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.负数有2个平方根 D.正数只有1个平方根 【变式2】下列说法中，正确的是() A.√4的平方根是2 B.（-3)的算术平方根是-3 C.0的平方根与算术平方根都是0 D.带根号的数都是无理数 题型09求一个数的平方根 81 【典例】16的平方根是 【变式1】化简：±V4=一 【变式2】16的平方根是一；2的算术平方根是 题型10已知一个数的平方根，求这个数 【典例10】已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3-4a,则这个正数是 【变式1】一个数的两个平方根分别是2a-1与-a+2，,则这个数是 【变式2】若3a-7和a+3是某正数m的两个平方根，则这个正数m为 题型11求代数式的平方根 【典例11】若a是V90的整数部分，b是3的小数部分.则a+b-V3+1的平方根是 【变式1】若Vx+2+y+8=01,则V的平方根为 【变式2】已知实数x,y满足y=Vx-3+V3-x+2，,则y的平方根为 题型12利用平方根解方程 【典例12】求下列各式中x的值. (1)4x2=9: (2)(x-2=16 8/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】求x的值：(x-1)2-36=0 【变式2】解方程：(2x-1)2-64=0 题型13 算术平方根与平方根综合问题 【典例13】已知2a-1的平方根是3，a+3b-1的算术平方根是4. (1)求a、b的值： (2)求ab+5的平方根. 【变式1】已知3a+3的平方根为3，a+2b的算术平方根为4. (1)求，b的值： (2)求b-3a的平方根. 【变式2】已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和4-3n. (1)求m和n的值： (2)若a-4+历+(c-n=0,求a+b+c的算术平方根. 题型14 平方根的实际应用 【典例14】如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形. (1)大正方形的边长为cm: (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3且面积为 48cm2? 【变式1】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1cm的小正方形纸片剪拼成一个面 积为ncm的大正方形.下面是他们探究的部分结果： 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)如图1，当n=2时，拼成的大正方形ABCD的边长为. cm: (2)如图2，当n=5时，拼成的大正方形AB,C,D的边长为 cm; (B)小李想沿着正方形纸片AB,CD,边的方向能否裁出一块面积为2.42（©m)的长方形纸片，使它的长宽之 比为2：1？他能裁出吗？请说明理由. 【变式2】观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1. 图1 图2 (1)如图1，求阴影正方形ABCD的面积和边长： (2)图2是4×4的正方形方格，请在图2中画出长为V10的线段，并说明理由. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下河北邢台期末)有下列说法：①-3是81的一个平方根：②-7是(-7)的算术平方 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根：③25的平方根是±5：④-9的平方根是±3：⑤0没有算术平方根：⑥V16的平方根为±2：⑦平方根 等于本身的数有0,1.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末)下列计算正确的是() A.V9=±3 B.±V-9=3 C.V-3=-3 D.V-3)}=3 3.(25-26七年级下湖北襄阳期末)已知一个数的两个不同的平方根是a-4和2a-5,则这个数是 () A.1 B.3 c.-1 D.-3 4.(25-26七年级下内蒙古呼和浩特期末)若V135≈11.62,1.35≈1.162，Va≈0.1162，则a的值为 () A.0.0135 B.0.135 C.0.427 D.13.5 二、填空题 5.(25-26七年级下湖南长沙期末)13的平方根是 6.(25-26七年级下辽宁鞍山期末)若a,b为实数，且(a+1+Vb-3=0,则(a+b)}2= 7.(25-26七年级下重庆期末)已知实数a,b满足a=V2-b+b-2+5,则a-b的值为一. 8.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第1行 1V2 第2行 √525 √6 第3行 √7√8310 i√2 第4行 √13 V14√154√17√18√19 √20 根据数阵的规律，第8行第6个数是 三、解答题 9.(26-27八年级·上海暑假作业)求下列各数的平方根： (1)81: 、16 (225 (3)0.49 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(26-27八年级·上海·暑假作业)化简： (1)-V0.0016: (2)144: 64 a81· 11.(25-26七年级下·江西南昌期末)已知正数x的两个不相等的平方根为m和m+n. (1)当n=8时，求x的值： (2)若m2x+(m+n)x=32,求x的值. 12.(25-26七年级下·安徽芜湖期末)阅读素材： (1)初步探究： ①填空： V81 89 ②计算： (2)迁移应用： 计算：、 写+ 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下·西藏林芝·期中)下列说法中，正确的是() A.64的平方根是8 B.V4的平方根是2和-2 C.(-3没有平方根 D.16的平方根是4和-4 2.(25-26七年级下河北邯郸期末)下列运算中错误的个数是() )6=4:(2)40±6 ±9：3)厚-3：④=-3：5)±F-3 A.4 B.3 C.2 D.1 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 3.(25-26八年级下安徽马鞍山期末)若n为整数，n<V50<n+1,则n的值为（) A.5 B.6 C.7 D.8 4.(25-26七年级下北京期中)若Vx-3+(x+y-2=0,则x-2y的值是() A.5 B.3 C.1 D.-13 5.(25-26七年级下·安徽芜湖·期中)秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九 章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一，这个公式设三角形的三边长分别为a,b,c,记 p=a+b+c 2,则其面积S=Vp(p-a)(p-b)(p-c).若某三角形的三边长分别为a=6'b=10'c=8, 则此三角形面积为() A.15v2 B.24 C.165 D.36 二、填空题 6.(25-26七年级下福建厦门期末)直接写出结果： (1)±√25= -:(2)V(-3)= 7.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期中)已知实数x,y满足y=Vx-5+V5-x+2,则x= 8.(25-26七年级上山东烟台~期中)已知实数a,b在数轴上的对应点如图所示，化简V(a-b)-口+b 的结果是 a 0b 9.(25-26七年级下山东滨州期中)将、√2、5、V4、…按如图方式排列，若规定(x,)表示第 x排从左向右第y个数，若V2028在(a,b),则a-b的值为一. 第1排 √45√2 第2排 56√7√⑧ 第3排 651432i10 →第4排 …… 第5排 10.(2026河南平顶山三模)观察下列一组算式的特征及运算结果：①V1×5+4=9=3,② √2x6+4=6=4,③V3×7+4=V25=5,…, 请根据规律计算 √1×5+4-√2×6+4+√3×7+4-V4×8+4+…-V2026×2030+4的值为. 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26九年级上·全国课后作业)解方程：48-3(x-2)=0 12.(25-26七年级下四川南充期中)己知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的平方根是±4，c是 V13的整数部分，求a-b+2c的平方根. 13.(25-26七年级下·安徽芜湖期中)已知正数m的两个不同的平方根分别是a+4和-2a-3. (1)求a的值. (2)求2m-a的算术平方根. 14.(25-26七年级下·福建南平·期中)如图，用两个边长为V18cm的小正方形纸片剪拼成一个大正方形. (1)求大正方形的边长： (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为3：2且面积为12Cm'的长方形纸片， 若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽：若不能，请说明理由. 15.(25-26七年级下·河北沧州期中)先填写表格，通过观察后再回答问题. 0 0.0001 0.01 1 100 10000 √a 0 0.01 1 y 100 (1)表格中x= (2)从表格中探究a与Va数位的规律：当被开方数a每扩大100倍时，√a扩大 倍，利用这个规律 解决下面两个问题， ①已知V7≈2.65，√70≈8.37，则V700≈ ②已知√m=12.34,Vn=1.234,用含m的式子表示n. 16.(25-26七年级下·安徽阜阳·期末)对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果 也能将算术平方根符号去掉，例如： ⑨分召-器 上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：√10-6)}= 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ V11-13) (2)当a>b时， a-b=:当a<b时，Va-b= 3)计算： G可g+a 15/15 专题2.1 平方根 教学目标 1. 理解平方根与算术平方根的概念，能正确表示一个数的平方根与算术平方根。 2. 掌握平方根的性质：正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。 3. 能运用平方根与算术平方根的概念求一个数的平方根及进行简单计算。 教学重难点 重点： 1. 平方根与算术平方根的概念及其表示方法。 2. 平方根的性质（正数、0、负数的平方根情况）。 教学难点： 1. 正确理解与区分平方根与算术平方根的概念，避免混淆。 2. 求一个非负数的平方根时，注意开平方运算与平方运算的互逆关系。 知识点01 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【即学即练1】下列各数没有算术平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，分别计算出选项B、C、D中的数值，根据负数没有算术平方根解答即可． 【详解】解：，，根据负数没有算术平方根得C选项符合题意． 故选：C． 【即学即练2】4的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的非负性，根据正数的算术平方根为正数即可求解． 【详解】解：4的算数平方根是， 故答案为：． 【即学即练3】计算 的结果为 ． 【答案】6 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：6． 知识点02 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【即学即练1】用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可. 【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为； 故选：D. 【即学即练2】下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意； B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意； C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意； D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【即学即练3】求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)1.69； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】此题考查了求平方根． （1）根据平方根的定义进行解答即可； （2）根据平方根的定义进行解答即可； （3）根据平方根的定义进行解答即可； （4）根据平方根的定义进行解答即可； （5）根据平方根的定义进行解答即可； （6）根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∴81的平方根是． （2） ∴的平方根是． （3）， ∴1.69的平方根是． （4） ∴的平方根是． （5）， 的平方根是． （6） ∴的平方根是． 知识点03 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【即学即练1】实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴原式 ， 故答案为：． 【即学即练2】探究发散： (1)完成下列填空①，②，③___________． ④，⑤，⑥___________． (2)根据上述计算结果，若，则___________． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）先确定乘方的符号，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：③；⑥； （2）解：由（1）总结归纳可得： 当，则； （3）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ． 题型01 算术平方根概念理解 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确； B、不是2的算术平方根，故B错误； C、2的算术平方根为，故C错误； D、是2的算术平方根，故D错误； 故选：A． 【变式1】算术平方根是它本身的数是（    ） A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质，进行判断即可． 【详解】解：算术平方根是它本身的数是0和1； 故选A． 【变式2】如果有算术平方根，那么可以取的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据负数没有平方根，即可解答此题． 【详解】解：∵有算术平方根， ∴， 解得：， 可以取的值为0． 故选：D． 题型02 求一个数的算术平方根 【典例2】的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 【变式1】的算术平方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的定义．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根；据此进行求解即可． 【详解】解：∵ 的算术平方根是． 故答案为：． 【变式2】的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的概念计算即可． 【详解】解：， 的算术平方根是． 故答案为：． 题型03 利用算术平方根的非负性解题 【典例3】已知，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，乘方运算，掌握非负数原理是解题的关键． 根据非负数原理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：1． 【变式1】已知有理数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性和二次根式的非负性． 先根据绝对值的非负性和二次根式的非负性求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2】若是的三边，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 题型04 求算术平方根的整数部分和小数部分 【典例4】若设的整数部分为，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，涉及算术平方根的大小比较，熟练掌握“夹逼法”确定无理数的取值范围是解题的关键．先确定的取值范围，再据此推出的取值范围，从而得到其整数部分 ． 【详解】解：∵ ，，， ∴， 在不等式两边同时加，可得， 即， ∴的整数部分 ． 故答案为： ． 【变式1】的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分，再进一步表示出其小数部分，最后代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】已知：、为两个连续的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小等知识点，先估算的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵、为两个连续的整数，且 ∴，， ∴． 故答案为：． 题型05 利用算术平方根的性质化简 【典例5】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查数轴上的数的大小，算术平方根的求法等，理解题意，熟练掌握算术平方根的化简方法是解题关键． 根据数轴得出，根据算术平方根化简即可得． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 【变式1】已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，根据数轴可得，据此计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ， ∴ ． 【变式2】（1）计算 ； ； ； （2）根据（1）中的计算结果可知，__________． （3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ． 【答案】（1）3，6，，0；（2）；（3） 【分析】（1）根据算术平方根的定义分别计算即可； （2）根据计算结果归纳可得； （3）根据数轴得到a，b的关系和符号，再结合（2）中结论去绝对值化简． 【详解】解：（1）3，6，，0； （2）由计算结果可知：； （3）由数轴可得：a＜0＜b， ∴a-b＜0， ∴ = = = 题型06 与算术平方根有关的规律探索题 【典例6】观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 【变式1】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 【变式2】（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 题型07 算术平方根的实际应用 【典例7】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度． (1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 【答案】(1)5千米 (2)米 【分析】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义． （1）将代入，即可求解； （2）根据题意代入求出h的值，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以（舍）或， 答：能看到5千米远； （2）解：当时，可得， 解得， （米）． 则观望台至少离海平面高为米． 【变式1】在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为． (1)求正方形框架的边长． (2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2)不能围出这个长方形框架，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用平方根解方程求出，比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得正方形框架的边长为； （2）解：不能围出这个长方形框架，理由如下： 由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为，得 ， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， ∵， ∴不能围出这个长方形框架． 【变式2】小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)小涵说得对． 【分析】本题考查算术平方根的应用． （1）把代入进行计算即可； （2）根据求出，即可判断． 【详解】（1）解：当米时， ， 答：小悦从80米高处释放小球，小球下落时间； （2）解：小涵说得对．理由：由（1）得， 当0米时，， 即小涵从20米高处释放小球，小球下落时间， ∵， ∴， 所以小涵说得对． 题型08 平方根概念理解 【典例8】下列哪个数没有平方根（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键．根据平方根定义进行求解即可． 【详解】解：，， ∵负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选：B． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【答案】A 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【变式2】下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．带根号的数都是无理数 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数 【分析】本题考查了实数的相关概念，注意带根号的数不一定是无理数，负数没有平方根． 根据平方根、算术平方根及无理数的定义逐一判断选项即可解答． 【详解】解：A、 的平方根是，故该选项错误； B、 的算术平方根是3，故该选项错误； C、 0的平方根与算术平方根都是0，故该选项正确； D、 带根号的数不一定都是无理数，如，故该选项错误． 故选C． 题型09 求一个数的平方根 【典例9】的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 【变式1】化简：＝ ． 【答案】±2 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】±＝±2， 故答案为：±2． 【变式2】16的平方根是 ；2的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可得． 【详解】解：16的平方根是， 2的算术平方根是， 故答案为：，． 题型10 已知一个数的平方根，求这个数 【典例10】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴一个正数的两个不同的平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：． 【变式1】一个数的两个平方根分别是与，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义． 根据平方根的定义列方程求出a的值，即可求出原数． 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故答案为：． 【变式2】若和是某正数m的两个平方根，则这个正数m为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平方根的定义，一元一次方程的求解，由和是某正数m的两个平方根得，求出a的值，进而求出m的值． 【详解】解：和是某正数m的两个平方根， ， 解得：， ， ， 故答案为：16． 题型11 求代数式的平方根 【典例11】若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ． 【答案】/3和/和3 【分析】根据可得，即可得到的整数部分是9，小数部分是，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，, ∴的整数部分是9，则，的小数部分是，则， ∴， ∴9的平方根为． 故答案为：． 【变式1】若|，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性、平方根和算术平方根等知识，根据算术平方根和绝对值的非负性得到，先求出，再求出的平方根即可． 【详解】解：因为， 所以0，， 解得， 所以， 所以的平方根为： 故答案为：． 【变式2】已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】先利用被开方数有意义的条件求出x的值，代入后求y的值即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 题型12 利用平方根解方程 【典例12】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得：，； （2）解： 或， 解得，； 【变式1】求x的值： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程；移项得，由平方根定义得，即可求解． 【详解】解：移项得：， 则有， 解得：或． 【变式2】解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 题型13 算术平方根与平方根综合问题 【典例13】已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【变式1】已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解：， ， 的平方根为 【变式2】已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根． （1）根据平方根的意义可直接列方程求解； （2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）依题意得：， 解得：， ； （2）∵ ∴， ∴， ， 的算术平方根为3． 题型14 平方根的实际应用 【典例14】如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的应用、算术平方根的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意计算即可得解； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意得出，求出，再结合题意判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，大正方形的边长为； （2）解：不能，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为． 【变式1】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【知识点】算术平方根的实际应用、平方根的应用 【分析】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 【变式2】观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1． (1)如图1，求阴影正方形的面积和边长； (2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)画图见解析；理由见解析 【知识点】平方根的应用、勾股定理与网格问题 【分析】题目主要考查算术平方根的应用及网格与勾股定理． （1）利用网格与勾股定理求出的平方即正方形的面积，再利用算术平方根即可求出边长的值． （2）利用网格与勾股定理画出的线段即可． 【详解】（1）解：因为， 所以阴影正方形的面积是5； 边长长为． （2）解：如图，线段就是长为的线段． 理由： 一、单选题 1．（25-26七年级下·河北邢台·期末）有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根非负，负数没有平方根的性质，化简各选项即可判断对错． 【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为，即，A错误； B、被开方数，负数没有平方根，无意义，B错误； C、，C错误； D、，计算正确． 3．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方根的基本性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，先根据该性质列方程求出的值，再计算得到原数即可. 【详解】解：∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 将代入其中一个平方根，得 ， ∴ 这个数为 . 4．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 二、填空题 5．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴13的平方根是． 6．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）若，为实数，且，则__________． 【答案】4 【分析】根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·重庆·期末）已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得， 解不等式组得． 将代入，得． 则． 8．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 三、解答题 9．（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴81的平方根是； （2）解：∵， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是． 10．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 11．（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 【答案】(1)①；② (2)23 【分析】（1）①总结题中规律，即可解答； ②根据①中规律解答即可； （2）总结题中规律，即可解答； 【详解】（1）解：①∵，，，…， ∴（是正整数，且）； ∴； ②根据①中规律可得：当时，， ∴ ． （2）解：∵，，，…， ∴ （是正整数，且）； 最后一项中，，符合规律， ∴ ． 一、单选题 1．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据算术平方根有意义的条件以及平方根、算术平方根的定义，即可判断． 【详解】解：（1），故（1）正确； （2），故（2）错误； （3）无意义，故（3）错误； （4），故（4）错误； （5），故（5）错误； 综上所述，错误的共个． 3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过找到与50相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵为整数，且满足 ， ∴． 4．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，， ∴． 5．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．若某三角形的三边长分别为，，，则此三角形面积为（   ） A． B．24 C． D．36 【答案】B 【分析】先求出p，再代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ． 二、填空题 6．（25-26七年级下·福建厦门·期末）直接写出结果： （1）________；（2）________． 【答案】 【分析】（1）根据平方根的定义，求出25的正负平方根； （2）先计算平方，再依据算术平方根结果为非负数化简求值． 【详解】解：（1）； （2）． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的非负性求出的值，再代入求出的值，最后计算幂得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可得，，， 解得且， ， ， ． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是______． 【答案】 【分析】由数轴可知，且，然后可判定，再化简绝对值，再合并即可． 【详解】由数轴可知，且， ， 则． 9．（25-26七年级下·山东滨州·期中）将、、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为_____． 【答案】 【分析】先观察排列规律，得出第排有个数，且奇数排从左到右递增、偶数排从左到右递减；再计算前排的总个数，确定所在的排数，最后根据该排的排列方向确定其位置，进而求出的值． 【详解】解：由图可得第排有个数， ∴前排的数的总个数为：． ∵，， ∴前排共有个数，前排共有个数． ∵（即）， ∴在第排，即． 由图可得偶数排从左到右递减，第排的数从开始，依次为， ∴第排从左数第个数为． ∵， ∴， 解得． ∴． 10．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程： 【答案】或． 【分析】整理后，利用平方根的性质求解即可． 【详解】解：整理得， 开方得， 解得或． 12．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围求出c的值，进而求出 的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵ 的平方根是， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴ 的平方根为． 13．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)的值为 (2)的算术平方根为 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可得：，解方程即可求出的值； （2）根据的值求出的一个平方根的值，即可求出的值，把和的值代入求值，再求出它的算术平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 的值为； （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 14．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 15．（25-26七年级下·河北沧州·期中）先填写表格，通过观察后再回答问题． 0 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，，则________； ②已知，，用含的式子表示． 【答案】(1)0.1；10 (2)10；①26.5；② 【分析】（1）通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当被开方数的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，①根据从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案；②根据题意可得，进一步得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得，，． （2）解：根据表格可得规律：当被开方数每扩大100倍时，相应地扩大倍． ①， ； ②， ， ． 16．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，．观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：_________；_________； (2)当时，_________；当时，_________； (3)计算：． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）根据算术平方根的意义仿照题干作答即可； （3）仿照题干去掉算术平方根符号，进而计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）解：原式 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $