第10章 数的开方（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册第10章“数的开方”培优冲刺单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，考查算术平方根、无理数等核心知识，适配单元复习，培养运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|算术平方根（题2）、无理数概念（题5）|结合数轴考查实数表示（题10），培养几何直观| |填空题|5/15|平方根计算（题12）、立方根应用（题14）|设置取值范围问题（题11），发展抽象能力| |解答题|8/75|新定义“舒适区间”（题23）、代数式最值（题9）|设计数值转换器（题6）与纠错情境（题22），提升创新意识与应用能力|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第10章数的开方·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 3 6 8 9 10 A B B D C A A D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.2 12.±1 13.5 14.4 15.-c 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】(1)解：-2+327 =2+3 =5.(4分) (2)解：2×旧2+2 =2×9/2+92×2 =2+2V2.(8分) 17.(8分) 【详解】(1)解：2x3=16 x3=8 ∴.X=2:(4分) (2)解：x-22=9 x-2=±3， .∴.X-2=3或x-2=-3, 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.x=5或x=-1.(8分) 18.(8分) 【详解】令x=Va,y=|b|,则必然有x≥0，y20, ·根据题意可得[3x5y=7① S=2x-3y②1 (2分) 将①×2得：6x+10y=14 将②×3得：6x-9y=3S, 14-3S 两式相减消去x得19y=14-3S,即y=19 ：(3分) 同理消y得19x=21+5S,即x=21+5S (4分) 19 x≥0，y20, 21+5S20 21 :{19 S≥ 14-3S2 解得：{ 5 (7分) 14 19 Ss 3 21 14 ∴.S的取值范围是一 5 ≤S 3 ,(8分) 19.(8分) 【详解】解：根据题意得乙 整理得乙(2分) 因此x+y=199 将x+y=199代入原等式右边，得x-199+y·199-x-y=6.V0=0 原等式化为3x+5y-2-m+V2x+3y-m=0(4分) .(5分) x=2m-6 解得：y=4m (6分) 又x+y=199 ∴.2m-6+4-m=199(7分) 解得m=201.(8分) 20.(10分) 【详解】(1)解：.5a+2的立方根是3,3a+b-1的算术平方根是4， 2/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .5a+2=33=27,3a+b-1=42=16(2分) 解得：a=5,b=2:(4分) .16<17<25, .4<17<5, ·c是V17的整数部分， .c=4:（5分) (2).a=5,b=2,c=4, ∴.2a+b+4c=2×5+2+4×4=28,(8分) ∴.2a+b+4c的平方根为±V28=±2/7.(10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：：m2+n=0, .∴m=n=0;(4分) (2)解：根据题意得3x-5+1-2x=0,(6分) 解得x=4,(7分) 1-只/x=1-V4 =1-2 =-1(10分) 22.(11分) 【详解】(1)解：小陇的错误：小陇在去绝对值符号时出错了，(2分) 原式=2-3+3-1=1；(5分) (2)解：原式=V2-1+3-V2+2-3+5-2++2026-V2025-2026 =9V2026-1-2026 =-1.(11分) 23.(12分) 【详解】(1)解：由条件可知4<a+3<9, .∴.1<a<6,(1分) ∵a为偶数， ∴.a=2,4,(2分) 若a=2,则a+1=3,1<3<2,因此小数部分为3-1；(4分) 3/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若a=4,则a+1=5,2</5<3,因此小数部分为/5-2： .Va+1的小数部分为3-1或5-2；(6分) (2)解：由条件可知35-x+y≥0，x-y-35≥0， ∴.x-y≤35，x-y235;(8分) ∴.x-y=35,(9分) .右边=V35-x+y+Vx-y-35=0, .x-2y-2m=-2x-y+m, 两边立方得：x-2y-2m=-2x-y+m, ∴.3x-3y=m,(10分) .∴.m=105 10<105<112,(11分) .-11<-9/105<-10, .-m的“舒适区间”为-11，-10.(12分) 4/4 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第10章 数的开方·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 2．有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 3．实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 5．下列关于“”的说法： ①它是一个无理数； ②在数轴上距离原点个单位长度的点所表示的数是； ③若，则整数为2； ④它表示面积为的正方形的边长． 其中正确的是（     ） A．① B．②④ C．①③④ D．①②③④ 6．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 7．与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 8．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．代数式的最小值是（     ） A． B． C． D． 10．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若为正整数，且满足，则的值为______． 12．如果，则的平方根是_________． 13．计算：___________． 14．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 15．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1)． (2)． 17．（8分）利用平方根或立方根的定义，求下列各式中x的值． (1)； (2) 18．（8分）若，满足，求的取值范围． 19．（8分）若m满足关系式，试确定m的值． 20．（10分）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 21．（10分）解答下列各题 (1)若两个数，满足，则________，________； (2)若与互为相反数，求的值． 22．（11分）小陇在一本数学资料上看到这样一道题：计算．小陇的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小陇检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算：． 23．（12分）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第10章 数的开方·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，，正数大于一切负数， 、、都大于， ，，， ， 因此比小的数是． 2．有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，算术平方根一定为非负数． 【详解】∵． ∴的算术平方根是． 3．实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】通过平方数的范围确定无理数的取值区间，从而确定该实数的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分是． 4．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，错误． B．，错误． C．，错误． D．，正确． 5．下列关于“”的说法： ①它是一个无理数； ②在数轴上距离原点个单位长度的点所表示的数是； ③若，则整数为2； ④它表示面积为的正方形的边长． 其中正确的是（     ） A．① B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题根据无理数的定义，实数与数轴的对应关系，无理数估算，算术平方根的几何意义，逐一判断各说法的正误即可得到答案. 【详解】解：①是开方开不尽的数，属于无理数，故①正确； ②数轴上距离原点个单位长度的点有两个，所表示的数是和，故②错误； ③因为，所以，结合，可得整数，故③正确； ④正方形的面积等于边长的平方，因此面积为的正方形的边长为，故④正确； 综上，正确的说法是①③④． 6．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意：有理数不输出，有理数不输出，为无理数，输出， 所以输出的是． 7．与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵与是该正数的两个平方根 ∴ 解得 ． 8．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 9．代数式的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∵算术平方根随被开方数增大而增大， ∴，当时取等号， ∴， 即原代数式的最小值是． 10．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图示判断出，，，然后化简进行计算即可． 【详解】解：∵a在0的左边，b在0的右边，且， ∴，，， ∴, , , ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 12．如果，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，求出，的值．代入代数式计算出结果后，再求该结果的平方根即可． 【详解】解：由题意可得，， ， ∴，， 解得，． 将，代入得：． ， 的平方根是． 13．计算：___________． 【答案】5 【详解】解： ． 14．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义求出的值，代入得到的值后，再计算其算术平方根即可． 【详解】解： 的立方根是， ， 解得， 将代入，得， 的算术平方根是， 的算术平方根是． 15．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 【答案】 【分析】首先由数轴得到，，然后化简求解即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，， ∴ ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）分别化简绝对值、立方根，再求和； （）用乘法分配律展开算式，化简计算． 【详解】（1）解： ．（4分） （2）解： ．（8分） 17．（8分）利用平方根或立方根的定义，求下列各式中x的值． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ， 或， 或．（8分） 18．（8分）若，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】令，，根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得，，将已知条件转化为方程组，分别用含的式子表示，再利用的范围列关于的不等式组即可． 【详解】令，，则必然有，， ∴根据题意可得 ，（2分） 将①得： 将②得：， 两式相减消去得，即； （3分） 同理消去得，即，（4分） ∵，， ∴ 解得： （7分） ∴的取值范围是．（8分） 19．（8分）若m满足关系式，试确定m的值． 【答案】 【分析】先根据被开方数非负求出的值，再根据非负数和为零的性质列方程组求解． 【详解】解：根据题意得 整理得（2分） 因此 将代入原等式右边，得 原等式化为（4分） ∴（5分） 解得：（6分） 又 ∴（7分） 解得．（8分） 20．（10分）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后利用无理数的估算求得c的值即可； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ，（2分） 解得：；（4分） ， ， 是的整数部分， ；（5分） （2），，， ，（8分） 的平方根为．（10分） 21．（10分）解答下列各题 (1)若两个数，满足，则________，________； (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1)0，0； (2) 【分析】（1）根据平方的非负性，即可得出结果； （2）根据两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，得到，求出的值，再进行计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴；（4分） （2）解：根据题意得，（6分） 解得，（7分） .（10分） 22．（11分）小陇在一本数学资料上看到这样一道题：计算．小陇的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小陇检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算：． 【答案】(1)小陇在去绝对值符号时出错了，式子的结果应是1 (2) 【分析】（1）小陇在去绝对值符号时出错，取绝对值后进行加减运算即可； （2）去绝对值后，进行加减运算即可. 【详解】（1）解：小陇的错误：小陇在去绝对值符号时出错了，（2分） 原式；（5分） （2）解：原式 ．（11分） 23．（12分）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）求出，分两种情况进行解答即可； （2）求出，由即可得到答案． 【详解】（1）解：由条件可知， ，（1分） 为偶数， ，（2分） 若，则，，因此小数部分为；（4分） 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或；（6分） （2）解：由条件可知，， ，；（8分） ，（9分） ∴右边， ， 两边立方得：， ，（10分） ， ，（11分） ， 的“舒适区间”为．（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第10章 数的开方·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 2．有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 3．实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 5．下列关于“”的说法： ①它是一个无理数； ②在数轴上距离原点个单位长度的点所表示的数是； ③若，则整数为2； ④它表示面积为的正方形的边长． 其中正确的是（     ） A．① B．②④ C．①③④ D．①②③④ 6．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 7．与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 8．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．代数式的最小值是（     ） A． B． C． D． 10．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若为正整数，且满足，则的值为______． 12．如果，则的平方根是_________． 13．计算：___________． 14．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 15．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1)． (2)． 17．（8分）利用平方根或立方根的定义，求下列各式中x的值． (1)； (2) 18．（8分）若，满足，求的取值范围． 19．（8分）若m满足关系式，试确定m的值． 20．（10分）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 21．（10分）解答下列各题 (1)若两个数，满足，则________，________； (2)若与互为相反数，求的值． 22．（11分）小陇在一本数学资料上看到这样一道题：计算．小陇的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小陇检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算：． 23．（12分）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $