2.1 坐标法（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦“坐标法”核心知识点，先以数轴上向量坐标公式为基础，推导距离及中点坐标公式，再延伸至平面直角坐标系中两点距离、中点坐标公式的推导与应用，构建从数轴到平面、从公式推导到几何问题解决的学习支架。 该资料通过“即学即练”与“变式训练”设计，如光线反射路程计算、函数最值的数形转化等实例，培养学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维推导公式逻辑，用数学语言表达代数与几何的联系。课中辅助教师分层教学，课后通过不同难度习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2.1 坐标法 教学目标 1.掌握数轴上向量的坐标公式，会用向量法推导出数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式。 2.了解并掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式及其推导过程。 3.能用坐标法解决几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）两点之间的距离公式、中点坐标公式； （2）坐标法。 2.难点 用坐标法解决相关问题。 知识点01 平面直角坐标系中的基本公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1)； (2)|AB|＝||＝； (3)x＝，y＝． 【即学即练】 （25-25高二上·河北唐山·期中）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，________. 知识点02 坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法． 【即学即练】 （2026春•西华县校级期末）在平面直角坐标系中，点、、．以线段，为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（　　） A． B． C． D． 题型01 坐标轴上的公式 【典例1】（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【变式1】（24-25高二上·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【变式2】（24-25高二上·北京房山·期中）在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二·全国·随堂练习）已知数轴上的点P到的距离是它到的距离的2倍，求点P的坐标． 题型02 直角坐标系中的基本公式的应用 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【变式2】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为______． 1.（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为__________. 2.（25-26高二·全国·课后作业）已知数轴上，，且，求x的值. 3.（2025秋•拱墅区校级期末）已知点和点关于原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．2 4.（2025秋•北京期中）已知三角形的三个顶点，，，则过点的中线长为（　　） A． B． C． D． 5.（2025秋•天津校级期中）已知点，，则（　　） A．26 B．18 C． D． 6.（2025秋•环县校级月考）已知点到点的距离为5，则实数的值为（　　） A．5 B． C．5或 D．无解 7.（2025秋•浦北县期中）已知、，点在轴上，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 1.（24-25高二上·吉林白城·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是平行四边形的三个顶点，请确定该平行四边形第四个顶点的坐标，并求出平行四边形两对角线的平方和． 3.（24-25高二上·全国·课后作业）△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用解析法证明：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 坐标法 教学目标 1.掌握数轴上向量的坐标公式，会用向量法推导出数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式。 2.了解并掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式及其推导过程。 3.能用坐标法解决几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）两点之间的距离公式、中点坐标公式； （2）坐标法。 2.难点 用坐标法解决相关问题。 知识点01 平面直角坐标系中的基本公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1)； (2)|AB|＝||＝； (3)x＝，y＝． 【即学即练】 （25-25高二上·河北唐山·期中）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，________. 【答案】 【分析】设，，利用中点坐标公式即可得出a，b， 【详解】设，， ∵P为AB中点，∴， 解得，， 即，， 所以 故答案为：. 知识点02 坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法． 【即学即练】 （2026春•西华县校级期末）在平面直角坐标系中，点、、．以线段，为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出，的坐标，然后结合向量加法及减法的平行四边形法则及向量模长的坐标表示可求． 【解答】解：，， 则，， 所以，， 故较长的对角线长为． 故选：． 题型01 坐标轴上的公式 【典例1】（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【答案】C 【分析】应用距离公式即可求解. 【详解】解：因为点，，所以， 所以，则. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·北京房山·期中）在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可. 【详解】由题可知中点的坐标为. 故选：A 【变式3】（25-26高二·全国·随堂练习）已知数轴上的点P到的距离是它到的距离的2倍，求点P的坐标． 【答案】或 【分析】设点，可得，求解即可 【详解】由题意，设点 故 即 解得：或 故点P的坐标为或 题型02 直角坐标系中的基本公式的应用 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 【变式1】（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 【变式3】（25-26高二上·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为______． 【答案】 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解. 【详解】， 可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差. ， 所以的最大值为. 故答案为： 1.（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 2.（25-26高二·全国·课后作业）已知数轴上，，且，求x的值. 【答案】2 【分析】根据数轴上两点数量的坐标表示，即可求解. 【详解】因为数轴上,且, 所以， 解得：. 3.（2025秋•拱墅区校级期末）已知点和点关于原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．2 【分析】根据中点坐标公式求解即可． 【解答】解：点和点关于原点对称， 可得且，解得且， 则． 故选：． 4.（2025秋•北京期中）已知三角形的三个顶点，，，则过点的中线长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，设的中点为，由的坐标计算可得的坐标，进而由两点间距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设的中点为， 又由，，则的中点坐标为， 则； 故选：． 5.（2025秋•天津校级期中）已知点，，则（　　） A．26 B．18 C． D． 【分析】根据题意，运用两点间的距离公式求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：，， ． 故选：． 6.（2025秋•环县校级月考）已知点到点的距离为5，则实数的值为（　　） A．5 B． C．5或 D．无解 【分析】利用两点间的距离公式求解即可． 【解答】解：因为点到点的距离为5， 由两点间的距离公式可得， 所以，解得或． 故选：． 7.（2025秋•浦北县期中）已知、，点在轴上，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及三点共线的性质，即可求解． 【解答】解：如图， 点关于轴的对称点为， 则当点为与轴的交点时，取得最小值， 故． 故选：． 1.（24-25高二上·吉林白城·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】存在，， 【分析】设，根据坐标运算可转化为关于的二次函数，利用二次函数的最值求解即可. 【详解】假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图，    则， 因为，所以当，即点P的坐标为时， 取得最小值，且最小值为. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是平行四边形的三个顶点，请确定该平行四边形第四个顶点的坐标，并求出平行四边形两对角线的平方和． 【答案】当点的坐标为时，对角线的平方和为； 当点的坐标为时，对角线的平方和为； 当点的坐标为时，对角线的平方和为. 【分析】设平行四边形的第四个顶点坐标为，分平行四边形为，和，三种情况讨论，分别求得坐标，结合两点间距离公式，即可求解. 【详解】解：因为是平行四边形的三个顶点， 设平行四边形的第四个顶点坐标为， 当平面四边形为时，由与的中点重合，可得， 解得，即点，此时两对角线的平方和为； 当平面四边形为时，由与的中点重合，可得， 解得，即点，此时两对角线的平方和为； 当平面四边形为时，由与的中点重合，可得， 解得，即，此时对角线的平方和为. 综上可得：当点的坐标为时，对角线的平方和为； 当点的坐标为时，对角线的平方和为； 当点的坐标为时，对角线的平方和为. 3.（24-25高二上·全国·课后作业）△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用解析法证明：. 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法证明即可. 【详解】如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，以垂直于AC且经过B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则，，，， 则 ， ， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $