2.1 坐标法-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

2.1　坐标法 　 第二章　平面解析几何 知识层面 1.理解平面直角坐标系中的基本公式．　 2.理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用． 素养层面 通过学习实数与数轴上的点的对应关系，培养直观想象的核心素养；借助距离公式和坐标法的应用，培养数学运算和数学建模的核心素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称．相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系，如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系．两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系． 二维的直角坐标系是由两条相互垂直、O点重合的数轴构成的．在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的．在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系．采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确地表达出来．几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式． 问题导思 问题　(1)当x1≠x2，y1＝y2时，|AB|＝？ 提示： |x1－x2|　 (2)当x1＝x2，y1≠y2时，|AB|＝？ 提示：|y1－y2|　 (3)当x1≠x2，y1≠y2时，|AB|＝？ 提示： 新知构建 平面上两点间的距离公式建立在数轴上两点间的距离公式的基础上，将既不平行也不垂直于坐标轴的线段进行分解，转化成垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理推出．这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想方法．　　 微提醒 知识点二　坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过__________等解决问题的方法称为坐标法． 代数运算 1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为 A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 √ 自主检测 2．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 √ 3．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于 ，则实数m＝ A．－1 B．4 C．－1或4 D．－4或1 √ 4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于 √ 返回 合作探究 返回 　 已知点A(2，3)，B(x0，y0)，AB的中点M关于原点的对称点为N(－1，－2)，则x0＝__________，y0＝__________． 解得x0＝0，y0＝1. 0 1 思路点拨　利用中点坐标公式求解． 例1 题型一 中点坐标公式 方法技巧 利用中点坐标公式求解时，应与对称点结合求解． 　　 对点练1．(1)已知数轴上A(－3)，B(2)，且A关于B的对称点为C，则C的坐标为__________． 7 (2)已知A(x，－3)，B(1，y)，中点坐标为(3，2)，则x＝____，y＝____． 5 7 题型二　两点间距离公式 　 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 思路点拨　利用两点距离公式求边长，由勾股定理判定． 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰直角三角形． 例2 方法技巧 计算两点间距离的方法 1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ . 2．对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　　 对点练2．已知点A(－3，4)，B(2， )，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设点P的坐标为(x，0)，则有 由|PA|＝|PB|， 题型三　坐标法 　 △ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形． 思路点拨　 建系 — 代数 运算 — 译成 结果 证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 例3 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0). 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|BC|， 所以由距离公式可得 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即(b＋d)(b－d)＝(d－b)(c－d). 又d－b≠0， 故－b－d＝c－d， 即－b＝c. 所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形． 方法技巧 解决此类问题的三步曲 1．建立坐标系，用坐标表示有关的量． 2．进行有关代数运算． 3．把代数运算结果“翻译”成几何关系．　　 对点练3．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平 面直角坐标系，证明：AM＝ BC. 证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标系，建立如图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c). 易错点　建系不当致使解析法证题致错 　　 证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半． 正解　如图所示，△ABC中D，E分为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝c.又由中点坐标公式， 典例 易错精析 易错探因　由于建系不当，致使A、B、D、E中某些点的坐标不易求出，使得题目无法证明． 误区警示　建系时，尽量使A、B、D、E中的坐标含零量多． 返回 课时测评 返回 1．若点A(1，3)与点B(m，7)之间的距离等于5，那么实数m的值为 A．4 B．－2 C．－4或2 D．4或－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则AB的长为 A．10 B．5 C．8 D．6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知三点A(3，2)，B(0，5)，C(4，6)，则△ABC的形状是 A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)已知A(3，1)，B(－2，2)，在y轴上的点P满足PA⊥PB，则P的坐标为 A．(0，4) B．(0，1) C．(0，－1) D．(0，－4) 设P点坐标为(0，y)，由PA⊥PB，则|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，即9＋(y－1)2＋4＋(y－2)2＝25＋1，解得y＝4或－1. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是 A．(1，2) B．(2，4) C．(4，2) D．(2，1) √ 取平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当点M在线段AC上时取等号；同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当点M在线段BD上时取 等号． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．设A(3，4)，在x轴上有一点P，使得|PA|＝5，则P点坐标为______________． (0，0)或(6，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|取最小值，则点M的坐标为__________． (1，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋ ＋2的图象关于点A(0，1)对称， 则解析式f(x)＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求下列两点间的距离： (1)A(2，0)，B(0，8)； (2)A(1，3)，B(－2，1)； (3)A(5，0)，B(－1，0)； 解：由于点A，B均在x轴上，所以|AB|＝|－1－5|＝6. (4)A(a，3)，B(a，－3). 解：由于直线AB⊥x轴，所以|AB|＝|－3－3|＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)已知点A(－1，2)，B(2， )，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设所求的点为P(x，0)，于是有 由|PA|＝|PB|得x＝1，所以所求点为P(1，0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝ A．－5 B．14 C．－14 D．5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)点P与x轴及点A(－4，2)的距离都是10，则P的坐标为_____________________． 当y＝10时，x＝2或－10；当y＝－10时，无解． 则P(2，10)或(－10，10). (2，10)或(－10，10) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，P为三角形内一点，且S△PAB＝S△PBC＝S△PCA.求证：|PA|2＋|PB|2＝5|PC|2. 证明：设|CA|＝m，|CB|＝n，以点C为原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系如图． 则A(m，0)，B(0，n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以|PA|2＋|PB|2＝5|PC|2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是多少？ 解：如图，设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(－3，4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)， 则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|. 当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ| ＝ ＝10； 当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10. 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值10. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 知识点一　平面直角坐标系中的基本公式 1．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x2－x1，y2－y1)，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|＝||＝__________________． 2．中点坐标公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，则＝，从而可以 得到在平面直角坐标系内的中点坐标公式：x＝_______，y＝_______． 因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.由两点间距离公式，得BC＝＝， 可得D，E，所以|DE|＝＝，所以|DE|＝|AB|，即三角形中位线的长度等于底边长度的一半． x＋(x≠0) 14．(5分)(新情境)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得y＝＋的最小值为 A．4 B．2 C．＋ D．3＋ $