第二十五章 一元二次方程（4核心+6题型+5难点+复习讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学单元复习讲义以“定义-解法-应用”为主线构建知识体系，通过表格梳理复习要点与重难点，用分步解析呈现一元二次方程的定义、解法（配方法、公式法等）、根与系数关系及实际应用，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与转化思想渗透，如通过“根据判别式判断根的情况”题型培养推理意识，用“矩形车棚面积问题”引导建立方程模型发展应用意识。每个知识点配典型例题与迁移练习，基础题巩固方法，难点题突破配方法、换元法等，助力教师实施分层教学，提升学生解题能力与数学思维。

第二十五章 一元二次方程 复习要点 1. 理解一元二次方程的定义、一般形式 `ax²+bx+c=0 (a≠0)`，能准确区分各项系数及判别式 `Δ=b²-4ac` 的作用。 2. 掌握配方法、公式法、因式分解法解方程，深入理解“降次”的转化思想，能根据方程特点灵活选择适当方法。 3. 掌握根的判别式与根与系数的关系，能利用它们判断根的情况并解决有关问题。 4. 掌握列一元二次方程解决实际问题的完整步骤（审、设、列、解、验、答），能根据实际意义检验并取舍根。 复习重难点 重点 灵活选用适当方法解一元二次方程，并运用方程模型解决实际问题。 难点 从实际问题中抽象等量关系建立方程模型，以及理解“降次”思想，熟练完成配方与公式推导。 知识点 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 要点速测 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 知识点 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 要点速测 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 5．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 知识点 解一元二次方程 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 要点速测 6．（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 7．（25-26八年级下·山东威海·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 因式分解： ； （2）解： 配方法： ． 知识点 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 = ，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 要点速测 8．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 知识点 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 要点速测 9．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】(1) (2)每平方米草莓平均利润下调元 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 题型1 一元二次方程的定义与一般形式 ▌例1 （25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 解题要点 1. 严格判定：解题先看方程是否“整式、只含一个未知数、最高次数为2”，必须满足二次项系数a≠0，这是判定与含参问题的易错点。 2. 标准变形：解题时将所有项移项至等号左边，合并同类项化为ax²+bx+c=0（a≠0）的标准形式，再准确对应a、b、c的值，避免符号错误。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 题型2 一元二次方程的解求参数的值 ▌例2 （2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 解题要点 1. 直接代入法：若已知方程的一个根，直接将根代入原方程（或一般形式），转化为关于参数的方程，解之即得参数值。 2. 判别式约束：若已知方程有实数根、相等根或无实数根等条件，需利用判别式Δ=b²-4ac建立不等式或方程求解，并确保二次项系数a≠0。 ▌迁移练2-1（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 满足一元二次方程， 将代入方程得， 整理得， 移项得． ▌迁移练2-2（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． ▌迁移练2-3（25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 题型3 解一元二次方程 ▌例3 （25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴或， 解得； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 解题要点 1. 方法选择策略：先观察方程特征。缺项（b=0）用直接开平方，二次项系数为1且一次项为偶数优先考虑配方法，一般形式首选公式法，易于因式分解则用因式分解法。 2. 计算核心步骤：无论何种方法，必须先将方程化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）。用公式法时，先算判别式Δ=b²-4ac判定根的情况，再代入求根公式，最后结果需化简。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解： ， ， ，． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， 解得：，． ▌迁移练3-3（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ▌例4 （2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 解题要点 1. 化为标准式并计算Δ：先将方程化为ax²+bx+c=0（a≠0），准确找出a、b、c，代入判别式Δ=b²-4ac求出具体数值。 2. 根据Δ符号下结论：Δ＞0⇔两个不等实根；Δ＝0⇔两个相等实根；Δ＜0⇔无实数根。含参问题还需结合a≠0及题目条件（如“有实根”则Δ≥0）建立不等式求参范围。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． ▌迁移练4-2（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，结合一元二次方程根的判别式求解参数的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ． 方程有两个相等的实数根， ， 变形得， 解得或， 又， ． ▌迁移练4-3（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 题型5 利用一元二次方程根与系数的关系求值 ▌例5 （25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 解题要点 1. 先验根与化标准：前提是方程必须有实数根（即Δ≥0），且必须化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0），再准确得出x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。 2. 灵活变形与整体代入：将所求代数式（如x₁²+x₂²、1/x₁+1/x₂、|x₁-x₂|等）用两根和与积表示，再整体代入求值，避免单独求根。注意含参问题需先由Δ≥0确定参数范围。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． ▌迁移练5-2（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据根与系数关系得到，再利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ▌迁移练5-3（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为完全平方公式的展开形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中，，， 由根与系数的关系可得：，， 将所求代数式变形得：， 代入计算得：， 故的值为． 题型6 用一元二次方程解决实际问题 ▌例6 （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 解题要点 1. 审题设列：仔细审题，找准等量关系，设未知数。将条件转化为方程，务必化为标准形式ax²+bx+c=0。注意单位统一，并检验方程是否符合实际背景。 2. 验根取舍：解方程后，必须检验根是否满足题意。舍去负根、零根或使实际问题无意义的根（如人数、长度不能为负），最后写出完整答语。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·浙江台州·期末）黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初．据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元． (1)当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ (2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明． 【答案】(1)18元 (2)解：不能达到，理由如下： 假设杨梅每千克降价元，采摘基地每天所获得的销售额能达到6500元． 由题意得． 整理得． ， ∴方程没有实数根，该采摘基地每天所获得的销售额无法达到6500元． 【分析】（1）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程求解即可； （2）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程，再根据一元二次方程的判别式确定是否有解． 【详解】（1）解：设杨梅每千克降价元． 由题意得． 解得，． 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）． 答：当杨梅每千克定价为18元时，每天能获得6300元的销售额． （2）略 ▌迁移练6-2（25-26八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． ▌迁移练6-3（25-26八年级下·广西百色·期末）请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 【答案】(1)10月份至12月份报名人数的月平均增长率为； (2)降低团费后每人的团费为元. 【分析】（1）设月平均增长率为，10月人数为基础量1000人，连续增长两个月到12月1440人，根据平均增长率公式：列一元二次方程求解，舍去负增长率． （2）设每人团费降低元，则单人团费变为元；每降元多人，每组人数变为人．总团费=单人团费每组人数，列方程求解后，结合限制条件每人团费元筛选合理解． 【详解】（1）解：设10月份至12月份报名人数的月平均增长率为． 由题意得方程：， 两边同除以1000：， 解得或（增长率不能为负，舍去）， 月平均增长率为． （2）解：设每人团费降低元（为正整数）， 则降低后单人团费：，每组报名人数：． 由总团费元列方程： ， 解得：，． 根据限制条件每人团费不能低于600元检验： ①当时，单人团费元，符合要求； ②当时，单人团费元，，不符合要求，舍去． 降低团费后每人的团费为600元． 难点一 利用配方法的求最值问题 1. 配方构造的“恒等变形”障碍 学生易陷入“硬凑完全平方”的误区，忽视代数式的内在约束。尤其是面对含参系数、分式或复合函数时，需先提取二次项系数，再巧妙添补常数项。此过程的难点在于确保每一步变形均为等价恒等变换，同时洞察非标准形式（如双变量或隐含约束）下的转化路径，避免因机械套用公式导致构造失败。 2. 最值取得的“条件等价”认知偏差 配方后，学生常默认平方项为零时即为最值，却忽略定义域或参数范围的限定。难点在于将代数最值问题升维为“在可行域内求平方项极值”的约束问题。需深刻理解：配方仅提供形式上的下界（或上界），而实际最值必须在变量允许范围内验证，并处理边界情形，否则易产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2) ，理由如下： ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）略 2．（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 3．（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵，可配方成（，为整）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 难点二 换元法解一元二次方程 1. 整体构造的识别障碍 难点在于从复杂多项式中敏锐识别出可重复替换的“整体模块”，如互为倒数或平方关系的代数式。学生易被表面形式迷惑，难以完成从“旧元”到“新元”的等价映射，导致换元失败。 2. 还原求解的等价疏忽 引入新元后，常忽视对定义域（如分母不为零）的等价转换，且解出新值后，易遗漏“回代”求解原未知数的关键步骤，或因反向代入复杂方程而产生运算错误。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 难点三 判别式和根与系数的关系综合问题 1. 双重条件的兼容性陷阱 学生易孤立使用韦达定理求参，却忽略判别式需保证方程有实根的前提。难点在于必须联立“Δ≥0”与“两根和、积”的代数条件，并求交集，否则极易产生使方程无解的增根。 2. 代数变形的非等价转化 利用两根和积构造关系式（如求最值、证明不等式）时，难点在于将目标多项式灵活变形为含“x₁+x₂”与“x₁x₂”的对称式，并严格注意变形过程中参数取值范围的变化，避免非等价放缩导致结论失真。 难点精练 1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1)实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 3．（25-26八年级下·北京通州·期末）已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ． ∵ ∴． ∴取任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先根据根与系数的关系求出和，再整理，代入和列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵方程有两个实数根，， ∴根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴，整理得：，即， 解得：，． 难点四 用一元二次方程解决动态几何问题 1. 运动状态的代数化建模障碍 难点在于将几何图形中的动点路径、速度与时间关系，精准转化为线段长度或面积的代数表达式。学生易忽略运动过程中图形形状的变化（如点在线段或延长线上），导致方程定义域界定失准。 2. 方程解的几何合理性检验 解出方程后，难点在于既要验证解是否满足运动时间范围，又要结合图形几何性质（如边长非负、三边关系）剔除增根。此双重检验极易被遗漏，造成答案与几何实际情境不符。 难点精练 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 难点五 一元二次方程中新定义型综合问题 1. 新概念的等价转化障碍 难点在于快速捕捉题目自定义运算或特殊规则的数学本质，并将其等价转化为常规的方程形式。学生易受陌生表述干扰，难以剥离表象，从而无法建立有效方程模型。 2. 嵌套条件的分类讨论疏漏 新定义往往嵌套附加条件（如整数根、特定范围），求解时须按参数或根的性质分层讨论。难点在于需兼顾新定义规则与判别式、韦达定理的隐性约束，分类时极易出现重复或遗漏，导致解集失准。 难点精练 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 基础达标 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. ：是一元一次方程，不符合条件； B. ：只含有一个未知数，且的最高次数为2，是一元二次方程； C. ：含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件； D. ：含有两个未知数和，且乘积项的次数为2，是二元二次方程，不符合条件； 故选：B． 2．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3， B．3，1 C．3， D．3，0 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，将方程整理为一般形式，确定各项系数即可求解． 【详解】解：原方程移项得：， ∴方程的一般形式为，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次项系数和一次项系数分别是和， 故选：C． 3．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方法将方程转化为完全平方形式，进而确定正确选项． 【详解】解：， 配方得：， 整理方程：， 故选：D． 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．通过计算各选项对应的一元二次方程根的判别式，判断是否有两个相等实数根即可． 【详解】A．判别式 ，有两个不等实根，不符合题意； B．判别式 ，有两个不等实根，不符合题意； C．判别式 ，此时方程有两个相等实根，符合题意； D．判别式 ，无实根，不符合题意． 故选：C． 5．矩形的周长为，其中一边长为，面积为，则列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键；先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积长宽，出方程． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边为，则长方形的另一边长为， 根据题意得， 故选：C． 二、填空题 6．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x代入到方程中求出关于a、b的等式． 根据题意，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ∴ 故答案为：2025． 7．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 8．原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经调查发现，每件该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元．设将该商品每件降价x元，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“总利润 = 每件利润×销售量”这一数量关系是解题的关键，涉及知识点有利润问题的基本数量关系、一元二次方程的实际应用 ．先分析降价元后每件商品的利润以及销售量，再根据“总利润 每件利润销售量”的关系来列方程． 【详解】解：原来每件商品利润为元，降价元后，每件商品利润为元；原来一天销售件，降价元销量增件，降价元后，销量为件． ∵总利润 每件利润销售量，且总利润为2250元， 故答案为： ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况： ． 【答案】有两个实数根 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，根据新的运算法则列出一元二次方程，再用因式分解法直接求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：可化为， 解得：， ∴关于x的方程有两个实数根． 故答案为：有两个实数根． 三、解答题 11．解下列方程： (1)． (2)（用配方法）． (3)（用公式法）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法等是解题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：移项，得． 两边同时除以4，得． 开平方，得， ∴． （2）解：次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得， 即． 开平方，得， ∴． （3）解：， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴． 12．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 13．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留宽的门（门不用木栏）．已知建成后所用木栏总长为，当的长是多少时，矩形苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当的长为时，矩形苗圃的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得S与x的关系成为解题的关键． 设矩形苗圃的面积为，它的一边的长为，则的长为，若它的面积为，然后利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设矩形苗圃的面积为，它的一边的长为，则的长为， ． ， 当时，S随x的增大而减小， ， ． ， 当时，S有最大值，． 答：当AB的长为时，矩形苗圃ABCD的面积最大，最大面积为． 14．已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系，得到，再根据相反数的定义得到，即可求出的值． 【详解】（1）证明：， 其中，，， ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根 （2）解：设方程的两个根为和， ， 该方程的两个实数根互为相反数， ， ， ． 15．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线．， 解得，（舍去）， 答：从节省成本的角度看，增加4条生产线． 能力进阶 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0求出m的值，代入方程后解方程即可． 【详解】解：∵方程常数项为， ∴由题意得，解得：， ∵， ∴， ∴方程为：， 提公因式得：， ∴或， ∴方程的两个根为，， 故选：D． 2．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 3．若关于的一元二次方程方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．，且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再结合根的判别式确定的取值范围． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负，联立解不等式组即可． 【详解】由题意得：， ∴ 由得：， 解得： 由得：， ∴的求值范围为：且， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接开配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 因此， 故答案为：． 5．已知、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解题的关键是根据根与系数的关系得到，． 根据根与系数的关系可得出，，代入并利用完全平方公式变形计算即可得出结论． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：0． 6．定义，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法-公式法以及新定义运算，正确运用新定义化简方程是解题的关键． 利用题中的新定义化简所求方程，然后再运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， ∵， ∴，整理得：， 这里， ∵， ∴，即． 故答案为：． 三、解答题 7．用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征正确寻找解方程的方法． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程可化为， 即， 或， ，； （2）解：， 原方程可化为， 或， ，； （3）解：， 原方程可化为， 其中，，， ， ， ，． （4）解：， 原方程可化为， ， 或， ，． 8．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 9．某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少． (1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①____________ ②____________ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)填表见解析 (2) (3)每件售价应定为52元 【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可； （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据四月份人数和六月份的人数列出方程求解即可； （3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据商家想要达到日利润432元，列出方程求解即可． 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了，且该景区4月份的游客人数为万人， ∴该景区5月份的游客人数为万人， ∴6月份的游客人数为万人． ∴五月的人数为万人，六月的人数为万人； 填表如下： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a （2）解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为； （3）解：设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为尽快销售完该款商品 ∴． 答：每件售价应定为52元． 10．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； (2)一元二次方程 的两个根为，，求 的值； (3)若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系； （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出的值，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两根为，， 则：，； （2）解：∵一元二次方程 的两个根为，， ∴，， ∴； （3）解：∵，是关于x的方程的两个实数根 ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， 解得：， ∴不符合题意，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 复习要点 1. 理解一元二次方程的定义、一般形式 `ax²+bx+c=0 (a≠0)`，能准确区分各项系数及判别式 `Δ=b²-4ac` 的作用。 2. 掌握配方法、公式法、因式分解法解方程，深入理解“降次”的转化思想，能根据方程特点灵活选择适当方法。 3. 掌握根的判别式与根与系数的关系，能利用它们判断根的情况并解决有关问题。 4. 掌握列一元二次方程解决实际问题的完整步骤（审、设、列、解、验、答），能根据实际意义检验并取舍根。 复习重难点 重点 灵活选用适当方法解一元二次方程，并运用方程模型解决实际问题。 难点 从实际问题中抽象等量关系建立方程模型，以及理解“降次”思想，熟练完成配方与公式推导。 知识点 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是 ；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个 ； ③未知数的最高次数是 ． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成 ． 要点速测 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 知识点 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的 是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 要点速测 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_________． 5．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 知识点 解一元二次方程 1、解一元二次方程- 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用 解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 2、解一元二次方程- （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程- （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程- （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 要点速测 6．（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 7．（25-26八年级下·山东威海·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 知识点 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2 = ，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= ，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 要点速测 8．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 知识点 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 ． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为 ，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1． ：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2． ：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3． ：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5． ：检验所求出的根是否符合所列方程 要点速测 9．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 题型1 一元二次方程的定义与一般形式 ▌例1 （25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1. 严格判定：解题先看方程是否“整式、只含一个未知数、最高次数为2”，必须满足二次项系数a≠0，这是判定与含参问题的易错点。 2. 标准变形：解题时将所有项移项至等号左边，合并同类项化为ax²+bx+c=0（a≠0）的标准形式，再准确对应a、b、c的值，避免符号错误。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 题型2 一元二次方程的解求参数的值 ▌例2 （2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 解题要点 1. 直接代入法：若已知方程的一个根，直接将根代入原方程（或一般形式），转化为关于参数的方程，解之即得参数值。 2. 判别式约束：若已知方程有实数根、相等根或无实数根等条件，需利用判别式Δ=b²-4ac建立不等式或方程求解，并确保二次项系数a≠0。 ▌迁移练2-1（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． ▌迁移练2-2（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． ▌迁移练2-3（25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 题型3 解一元二次方程 ▌例3 （25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 解题要点 1. 方法选择策略：先观察方程特征。缺项（b=0）用直接开平方，二次项系数为1且一次项为偶数优先考虑配方法，一般形式首选公式法，易于因式分解则用因式分解法。 2. 计算核心步骤：无论何种方法，必须先将方程化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）。用公式法时，先算判别式Δ=b²-4ac判定根的情况，再代入求根公式，最后结果需化简。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程 (1)； (2)． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) ▌迁移练3-3（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ▌例4 （2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 解题要点 1. 化为标准式并计算Δ：先将方程化为ax²+bx+c=0（a≠0），准确找出a、b、c，代入判别式Δ=b²-4ac求出具体数值。 2. 根据Δ符号下结论：Δ＞0⇔两个不等实根；Δ＝0⇔两个相等实根；Δ＜0⇔无实数根。含参问题还需结合a≠0及题目条件（如“有实根”则Δ≥0）建立不等式求参范围。 ▌迁移练4-1（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． ▌迁移练4-2（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． ▌迁移练4-3（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 题型5 利用一元二次方程根与系数的关系求值 ▌例5 （25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 解题要点 1. 先验根与化标准：前提是方程必须有实数根（即Δ≥0），且必须化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0），再准确得出x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。 2. 灵活变形与整体代入：将所求代数式（如x₁²+x₂²、1/x₁+1/x₂、|x₁-x₂|等）用两根和与积表示，再整体代入求值，避免单独求根。注意含参问题需先由Δ≥0确定参数范围。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． ▌迁移练5-2（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． ▌迁移练5-3（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 题型6 用一元二次方程解决实际问题 ▌例6 （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 解题要点 1. 审题设列：仔细审题，找准等量关系，设未知数。将条件转化为方程，务必化为标准形式ax²+bx+c=0。注意单位统一，并检验方程是否符合实际背景。 2. 验根取舍：解方程后，必须检验根是否满足题意。舍去负根、零根或使实际问题无意义的根（如人数、长度不能为负），最后写出完整答语。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·浙江台州·期末）黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初．据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元． (1)当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ (2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明． ▌迁移练6-2（25-26八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ ▌迁移练6-3（25-26八年级下·广西百色·期末）请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 难点一 利用配方法的求最值问题 1. 配方构造的“恒等变形”障碍 学生易陷入“硬凑完全平方”的误区，忽视代数式的内在约束。尤其是面对含参系数、分式或复合函数时，需先提取二次项系数，再巧妙添补常数项。此过程的难点在于确保每一步变形均为等价恒等变换，同时洞察非标准形式（如双变量或隐含约束）下的转化路径，避免因机械套用公式导致构造失败。 2. 最值取得的“条件等价”认知偏差 配方后，学生常默认平方项为零时即为最值，却忽略定义域或参数范围的限定。难点在于将代数最值问题升维为“在可行域内求平方项极值”的约束问题。需深刻理解：配方仅提供形式上的下界（或上界），而实际最值必须在变量允许范围内验证，并处理边界情形，否则易产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 2．（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 3．（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 难点二 换元法解一元二次方程 1. 整体构造的识别障碍 难点在于从复杂多项式中敏锐识别出可重复替换的“整体模块”，如互为倒数或平方关系的代数式。学生易被表面形式迷惑，难以完成从“旧元”到“新元”的等价映射，导致换元失败。 2. 还原求解的等价疏忽 引入新元后，常忽视对定义域（如分母不为零）的等价转换，且解出新值后，易遗漏“回代”求解原未知数的关键步骤，或因反向代入复杂方程而产生运算错误。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 难点三 判别式和根与系数的关系综合问题 1. 双重条件的兼容性陷阱 学生易孤立使用韦达定理求参，却忽略判别式需保证方程有实根的前提。难点在于必须联立“Δ≥0”与“两根和、积”的代数条件，并求交集，否则极易产生使方程无解的增根。 2. 代数变形的非等价转化 利用两根和积构造关系式（如求最值、证明不等式）时，难点在于将目标多项式灵活变形为含“x₁+x₂”与“x₁x₂”的对称式，并严格注意变形过程中参数取值范围的变化，避免非等价放缩导致结论失真。 难点精练 1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 3．（25-26八年级下·北京通州·期末）已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 难点四 用一元二次方程解决动态几何问题 1. 运动状态的代数化建模障碍 难点在于将几何图形中的动点路径、速度与时间关系，精准转化为线段长度或面积的代数表达式。学生易忽略运动过程中图形形状的变化（如点在线段或延长线上），导致方程定义域界定失准。 2. 方程解的几何合理性检验 解出方程后，难点在于既要验证解是否满足运动时间范围，又要结合图形几何性质（如边长非负、三边关系）剔除增根。此双重检验极易被遗漏，造成答案与几何实际情境不符。 难点精练 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 3．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 难点五 一元二次方程中新定义型综合问题 1. 新概念的等价转化障碍 难点在于快速捕捉题目自定义运算或特殊规则的数学本质，并将其等价转化为常规的方程形式。学生易受陌生表述干扰，难以剥离表象，从而无法建立有效方程模型。 2. 嵌套条件的分类讨论疏漏 新定义往往嵌套附加条件（如整数根、特定范围），求解时须按参数或根的性质分层讨论。难点在于需兼顾新定义规则与判别式、韦达定理的隐性约束，分类时极易出现重复或遗漏，导致解集失准。 难点精练 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 基础达标 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3， B．3，1 C．3， D．3，0 3．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 5．矩形的周长为，其中一边长为，面积为，则列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 7．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 8．原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经调查发现，每件该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元．设将该商品每件降价x元，根据题意，可列方程为 ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 10．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况： ． 三、解答题 11．解下列方程： (1)． (2)（用配方法）． (3)（用公式法）． 12．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 13．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留宽的门（门不用木栏）．已知建成后所用木栏总长为，当的长是多少时，矩形苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 14．已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 15．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 能力进阶 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 2．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 3．若关于的一元二次方程方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．，且 C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 5．已知、是方程的两个实数根，则 ． 6．定义，则方程的解为 ． 三、解答题 7．用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 8．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 9．某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少． (1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①____________ ②____________ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 10．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； (2)一元二次方程 的两个根为，，求 的值； (3)若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $