第25章 一元二次方程单元复习（5大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版九年级数学上学期培优讲义

该初中数学单元复习讲义通过表格对比和思维导图系统梳理一元二次方程知识体系，涵盖概念、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，按“概念-解法-应用”逻辑构建脉络，突出四种解法对比、判别式与根的关系等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如增长率问题方程构建，培优题型如韦达定理代数式求值，压轴题型如几何面积综合与新定义“同一根方程”问题，培养运算能力与模型意识。配套易错点提醒和解题技巧，助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准分层教学。

第25章 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的相关概念 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 需同时满足三个条件：是整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数为2。 2.一般形式 一元二次方程的一般形式为（）。 其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 注意：确定各项系数时需连同符号，且是一元二次方程的必要前提。 3.方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 知识点2：一元二次方程的解法 四种基本解法对比如下： 解法名称 适用方程形式 核心步骤 特点 直接开平方法 形如或（） 直接开平方，转化为两个一元一次方程求解 运算简便，仅适用于特殊形式方程 配方法 所有一元二次方程 ①移项；②二次项系数化为1；③两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；④开平方求解 通用性强，是求根公式的推导基础，步骤较多 公式法 所有一元二次方程 ①化为一般形式，确定；②计算；③时代入求根公式 万能方法，直接套用公式，计算量较大 因式分解法 方程右边为0，左边易于分解为两个一次式的乘积 ①移项使右边为0；②将左边因式分解；③令每个一次式为0，分别求解 计算简便，是解题首选，仅适用于易分解的方程 解题优选顺序：优先尝试直接开平方法、因式分解法，其次用公式法，配方法多用于代数式变形与证明。 知识点3：根的判别式 1.定义 对于一元二次方程（），把叫做一元二次方程根的判别式。 2.根的情况与判别式的对应关系 判别式符号 方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 3.核心应用：不解方程直接判断根的情况；根据方程根的情况，求参数的取值范围。 知识点4：根与系数的关系（韦达定理） 1.定理内容 若一元二次方程（）的两个实数根为，则 注意：使用前提是方程有实数根，即必须满足。 2.常见代数式变形 知识点5：一元二次方程的实际应用 1.解题一般步骤：审→设→列→解→验→答，核心思想是数学建模。 2.常见题型及数量关系 问题类型 核心数量关系 传播问题 起始传染源数为，每轮每人传染个，两轮后总感染数为 增长率/降低率问题 起始量，平均变化率，两次变化后终止量，则 销售利润问题 总利润=单件利润×总销量；单件利润=售价-进价 几何面积问题 通过平移转化为规则图形，利用面积公式列方程 循环计数问题 单循环总场次：；双循环总场次： 【基础必考题型】 【题型1】一元二次方程的定义与一般形式辨析 1.核心知识点: 一元二次方程的三要素；一般形式的化简；二次项系数不为0的隐含条件 2.解题方法技巧: ①判断方程是否为一元二次方程，依次验证整式方程、一个未知数、最高次数为2，三个条件需同时满足； ②化为一般形式时，先去括号、移项、合并同类项，使方程右边为0； ③已知方程是一元二次方程求参数时，令最高次项次数为2，且二次项系数不为0，列不等式组求解。 【例题1】.（25-26八年级下·浙江·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式题1-2】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式题1-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 【题型2】直接开平方法与因式分解法解方程 1.核心知识点: 平方根的意义；提公因式、公式法因式分解；降次转化思想 2.解题方法技巧: ①直接开平方法：先将方程化为的形式，仅当时有实根，开方后取正负两个值； ②因式分解法：务必先移项使方程右边为0，再对左边分解因式； ③禁止两边同时除以含未知数的式子，避免丢失根。 【例题2】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）解方程： (1)． (2)． 【变式题2-3】.（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 【题型3】配方法解方程与配方变形 1.核心知识点: 完全平方公式；配方法的标准步骤；代数式最值求解 2.解题方法技巧: ①解方程时，先将二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方； ②求代数式最值时，将二次三项式配方为的形式，根据平方的非负性判断最值； ③配方时等式两边需同时加常数，保持等式成立，注意移项时的符号变化。 【例题3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）用配方法求解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【题型4】公式法解方程与根的估算 1.核心知识点: 求根公式；根的判别式；无理数的大小估算 2.解题方法技巧: ①先将方程化为一般形式，准确确定的符号，再计算判别式； ②只有时才能代入求根公式，可直接判断无实数根； ③估算根的范围时，先估算根号部分的大小，再计算整个根的取值区间。 【例题4】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）解方程：（公式法） 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南周口·期中）用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【题型5】利用根的判别式判断根的情况 1.核心知识点: 根的判别式计算；判别式与根的对应关系 2.解题方法技巧: ①先确定方程的，代入计算； ②根据的符号对应判断根的情况，注意“两个相等的实数根”也是两个根； ③含参数的判别式计算，可利用完全平方式的非负性直接判断符号。 【例题5】.（2026·安徽·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式题5-2】.（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式题5-3】.（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 【题型6】基础实际问题列方程与求解 1.核心知识点: 传播、增长率、循环问题的数量关系；列方程解应用题的基本步骤 2.解题方法技巧: ①增长率问题找准起始量、终止量和增长次数，直接套用公式列方程； ②传播问题区分“总感染人数”和“新增感染人数”，明确等量关系； ③循环问题先判断单循环还是双循环，再对应公式列方程；解出结果后检验是否符合实际意义。 【例题6】.（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一家服装店销售某种款式的衬衫，平均每天可售出15件，每件盈利50元，为扩大销售、增加盈利，该店决定降价销售，在每件盈利不少于30元的前提下，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． (1)若降价4元，则平均每天销售数量为 件． (2)当每件衬衫降价多少元时，该服装店每天销售利润为950元？ 【培优高频题型】 【题型7】根与系数的关系代数式求值 1.核心知识点: 韦达定理；代数式恒等变形；判别式的前提验证 2.解题方法技巧: ①先确认方程有两个实根（），再使用韦达定理写出两根和与两根积； ②将所求代数式通过完全平方、通分等变形，转化为含和的形式，整体代入计算； ③遇到含根的高次代数式，利用方程根的定义降次，再结合韦达定理求解。 【例题7】.（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【变式题7-1】.（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·四川南充·期末）已知关于x的二次方程． (1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值； (2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值． 【题型8】销售利润类实际应用 1.核心知识点: 总利润的数量关系；价格与销量的反向变化；解的实际意义取舍 2.解题方法技巧: ①通常设涨价或降价的金额为，分别表示出单件利润和对应销量； ②根据“总利润=单件利润×销量”列一元二次方程； ③若题干有“让顾客得实惠”“尽量减少库存”等要求，选择对应符合条件的解；注意价格上限、销量下限等限制条件。 【例题8】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． (1)商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ (2)商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0．2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 问题解决： (1)任务一：求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； (2)任务二：若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 【变式题8-2】.（2026·安徽合肥·一模）根据以下素材，探索完成任务． 背景 徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色． 素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨元/件． 问题解决 (1)该木雕月销售量为________件；（用含的代数式表示） (2)该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？ 【变式题8-3】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）“山西博物馆”以每件元的批发价进了一批纪念品，国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价元，每天能卖出件，若每件定价每上涨元，其销售量将减少件． (1)若每件纪念品售价为元，求这些商店每天销售这种纪念品的利润； (2)这些商店为了实现每日共有：元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件纪念品的售价应上涨多少元？此时售价为多少元？ 【题型9】几何面积类实际应用 1.核心知识点: 矩形、三角形等面积公式；平移法转化图形；墙长限制条件 2.解题方法技巧: ①甬道、边框类问题，通过平移将有效区域整合为一个规则矩形，简化面积表达式； ②靠墙围栏问题，设垂直于墙的边长为，表示平行于墙的边长，注意门的宽度需计入篱笆总长； ③解出结果后必须检验：边长为正，且平行于墙的边长不超过墙长，舍去不符合的解。 【例题9】.（25-26九年级下·江苏常州·期中）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 【变式题9-1】.（24-25七年级上·湖北十堰·期末）综合与实践．从以下项目任务中任选一个项目，完成探索任务． 项目 设计合适的盒子 材料 一个长为，宽为的长方形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）． 项目1：设计无盖长方体盒子 项目2：设计有盖长方体盒子 方案一 把这块长方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是． 方案二 把这块长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形（如图3），然后折叠成一个有盖盒子（如图4），使得该长方体盒子底面的长是宽的4倍． 示意图 示意图 任务1  确定无盖盒子的高． 根据项目1的方案，求出该长方体盒子的高． 任务2  研究有盖盒子的体积 根据项目2方案，求出减掉的小正方形的边长，并求出此长方体盒子的体积． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； (3)任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·云南大理·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙的长度为，若矩形养鸡场的面积为，求垂直于墙的一边的长度． 【压轴素养题型】 【题型10】一元二次方程与三角形综合 1.核心知识点: 方程的根；等腰/直角三角形的性质；分类讨论思想；三角形三边关系 2.解题方法技巧: ①已知三角形边长是方程的根时，先解方程求出根，再结合三角形类型分类讨论边长的对应情况； ②等腰三角形需分腰和底讨论，直角三角形需分斜边讨论； ③最后必须用三角形三边关系验证，舍去不能构成三角形的情况。 【例题10】.（25-26八年级上·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知一元二次方程． (1)求证：当时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求的值以及这个等腰三角形的周长． 【变式题10-3】.（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，四边形中，，，是和边长，易知，我们把关于的方程称为“勾系一元二次方程”． (1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”； ①______（填“是”或“不是”）； ②______（填“是”或“不是”）； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是18，求面积． 【题型11】方案可行性探究问题 1.核心知识点: 一元二次方程根的判别式；配方法求最值；存在性判断 2.解题方法技巧: ①先假设方案成立，根据题意设未知数、列方程； ②若方程无实数根（），则方案不可行；若有实根，进一步检验是否符合实际限制； ③也可通过配方法求出目标量的最值，与预期值对比，判断方案是否可行。 【例题11】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）阅读下列材料，并回答问题： 单利法：每期依据本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息．例如，100元的本金，年利率为，存期2年，逐年计息，2年后可取回金额为（元）． 折现：金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后，再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．设折现率为，本金为1元，则1年后的总金额（元），相当于当前时刻的1元，进一步，1年后的1元就相当于当前时刻的（元）．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中的比率则称为折现率（以此类推，n年后到期的金额，应连续折现n次，即n年后的1元相当于当前时刻的元）． 收益率：合理的折现率应该使取回金额折现后的总金额等于其本金．此时该折现率也称为理财方案的收益率． (1)本金10000元，年利率为，存期2年，逐年计息，按照单利法，2年后可取回金额为___________元； (2)按照（1）中的方案，设折现率为，2年后取回的金额在当前时刻的价值为___________元； (3)现有一种理财方案，本金20000元，1年后返回10300元，2年后返回10609元，求该方案的收益率． 【变式题11-1】.1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）综合与实践 在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园．以下是小明对花园规划设计的过程． 爷爷要求小明构思一种规划方案，小明结合九年级所学知识，设计了甲、乙两种方案（其中阴影部分为花园）． (1)爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造． ①若甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为_____，宽可以表示为_____（用含有的代数式表示）； ②若乙方案中花园宽为，则花园区域的面积可以表示为_____（用含有的代数式表示）． (2)经过综合考虑，爷爷决定选择甲方案进行花园的建造，并且确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，请计算花园周围小路的宽度是多少？ (3)为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园．爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植区域的长为，另外三边用篱笆围起来（如图丙）． 若篱笆的总长度为，为方便打理花园，需要在花园较长的另一侧装一个宽的门．设垂直于观赏竹区域的篱笆长为，平行于观赏竹区域的篱笆长为． ①求关于的函数关系式； ②若篱笆围成的矩形面积为，求篱笆围成的区域的长和宽分别是多少？ 【变式题11-2】.（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）根据以下素材，完成项目式探索任务： 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案? 素材1：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20米，开2个门，且门宽均为1米． 素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米. 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为，求关于的函数表达式． 任务2 探究自变量的取值范围． 任务3 确定设计方案（写出选择该方案的理由） 我的设计方案是选型号_____门，当_____米，_____米时，有最大值，最大值为_____平方米． 【题型12】新定义类一元二次方程问题 1.核心知识点: 一元二次方程的解法；根的判别式；根与系数的关系；信息迁移能力 2.解题方法技巧: ①准确理解新定义（如倍根方程、和谐方程、牵手方程等），将新定义转化为常规数学等量关系； ②结合方程的解法、判别式、韦达定理等知识进行推导计算； ③多结论判断题逐一验证，注意特殊值验证和分类讨论。 【例题12】.（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【变式题12-1】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【变式题12-3】.（2026·福建泉州·模拟预测）【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，求该方程的衍生点M的坐标． 【尝试应用】 （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标． ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式______． 易错点 1.忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，求参数范围时漏掉的限制；未说明是二次方程时，忽略二次项系数为0的一次方程情况。 2.配方法解方程时，二次项系数化为1的过程出错，或配方时只在左边加常数、右边漏加，破坏等式成立；因式分解法解方程时，两边同时除以含未知数的式子，造成丢根。 3.使用根与系数的关系时，忽略的前提条件，直接代入计算，导致无实根的情况下仍求出结果。 4.实际问题中，解完方程不检验解的实际意义，出现人数为负、长度为负、墙长不足等错误结果；增长率、降低率的次数判断错误，混淆“两阶段”和“两次增长”。 5.几何动点、三角形分类问题中，考虑不全面导致漏解；未验证三角形三边关系或动点运动范围，保留不符合题意的解。 重点 1.一元二次方程的四种基本解法，能根据方程特点选择最优解法，准确求解。 2.根的判别式的意义与应用，能判断根的情况，或根据根的情况求参数范围。 3.根与系数的关系及其常见代数式变形，能整体代入求值。 4.列一元二次方程解决实际问题，掌握常见题型的数量关系，规范解题步骤。 难点 1.含参一元二次方程的分类讨论，结合判别式、根的分布求参数的取值范围。 2.一元二次方程与几何图形的综合应用，特别是动点问题、三角形分类讨论问题，数形结合与分类讨论思想的运用。 3.新定义、跨学科等创新题型的信息转化，将陌生情境转化为一元二次方程的常规问题。 4.实际问题中的等量关系提取，以及多限制条件下的解的取舍与方案判断。 【对应练习题】 一、单选题 1．若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 2．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知方程，利用根的判别式判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 4．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 5．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 6．已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 三、解答题 7．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 8．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 9．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 10．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的相关概念 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 需同时满足三个条件：是整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数为2。 2.一般形式 一元二次方程的一般形式为（）。 其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 注意：确定各项系数时需连同符号，且是一元二次方程的必要前提。 3.方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 知识点2：一元二次方程的解法 四种基本解法对比如下： 解法名称 适用方程形式 核心步骤 特点 直接开平方法 形如或（） 直接开平方，转化为两个一元一次方程求解 运算简便，仅适用于特殊形式方程 配方法 所有一元二次方程 ①移项；②二次项系数化为1；③两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；④开平方求解 通用性强，是求根公式的推导基础，步骤较多 公式法 所有一元二次方程 ①化为一般形式，确定；②计算；③时代入求根公式 万能方法，直接套用公式，计算量较大 因式分解法 方程右边为0，左边易于分解为两个一次式的乘积 ①移项使右边为0；②将左边因式分解；③令每个一次式为0，分别求解 计算简便，是解题首选，仅适用于易分解的方程 解题优选顺序：优先尝试直接开平方法、因式分解法，其次用公式法，配方法多用于代数式变形与证明。 知识点3：根的判别式 1.定义 对于一元二次方程（），把叫做一元二次方程根的判别式。 2.根的情况与判别式的对应关系 判别式符号 方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 3.核心应用：不解方程直接判断根的情况；根据方程根的情况，求参数的取值范围。 知识点4：根与系数的关系（韦达定理） 1.定理内容 若一元二次方程（）的两个实数根为，则 注意：使用前提是方程有实数根，即必须满足。 2.常见代数式变形 知识点5：一元二次方程的实际应用 1.解题一般步骤：审→设→列→解→验→答，核心思想是数学建模。 2.常见题型及数量关系 问题类型 核心数量关系 传播问题 起始传染源数为，每轮每人传染个，两轮后总感染数为 增长率/降低率问题 起始量，平均变化率，两次变化后终止量，则 销售利润问题 总利润=单件利润×总销量；单件利润=售价-进价 几何面积问题 通过平移转化为规则图形，利用面积公式列方程 循环计数问题 单循环总场次：；双循环总场次： 【基础必考题型】 【题型1】一元二次方程的定义与一般形式辨析 1.核心知识点: 一元二次方程的三要素；一般形式的化简；二次项系数不为0的隐含条件 2.解题方法技巧: ①判断方程是否为一元二次方程，依次验证整式方程、一个未知数、最高次数为2，三个条件需同时满足； ②化为一般形式时，先去括号、移项、合并同类项，使方程右边为0； ③已知方程是一元二次方程求参数时，令最高次项次数为2，且二次项系数不为0，列不等式组求解。 【例题1】.（25-26八年级下·浙江·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，未知数最高次数为3，不符合定义； 选项B中，含有两个未知数，不符合定义； 选项C中，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程，符合定义； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不符合定义． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式（），再根据定义确定一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是，， 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和系数，其一般形式为．方程整理为一般形式，确定出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理得：， 则方程的一次项系数是． 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，根据方程的常数项为，可得，解方程即可求出的值； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程的常数项为， 可得：， 由，可得：， 解方程， 分解因式可得：， 解得：，， ； （2）解：当时， 可得方程为， 分解因式得：， 解得：，． 【题型2】直接开平方法与因式分解法解方程 1.核心知识点: 平方根的意义；提公因式、公式法因式分解；降次转化思想 2.解题方法技巧: ①直接开平方法：先将方程化为的形式，仅当时有实根，开方后取正负两个值； ②因式分解法：务必先移项使方程右边为0，再对左边分解因式； ③禁止两边同时除以含未知数的式子，避免丢失根。 【例题2】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 ∴，； （2）解： ∴或 ∴，． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ∴，． 【变式题2-3】.（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， 则， ， 即， ∴或， ． 【题型3】配方法解方程与配方变形 1.核心知识点: 完全平方公式；配方法的标准步骤；代数式最值求解 2.解题方法技巧: ①解方程时，先将二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方； ②求代数式最值时，将二次三项式配方为的形式，根据平方的非负性判断最值； ③配方时等式两边需同时加常数，保持等式成立，注意移项时的符号变化。 【例题3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）用配方法求解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的变形．按照配方法的步骤，将方程左边配成完全平方式，即可对比得到正确选项. 【详解】原方程为 ，一次项系数为 ，一次项系数一半的平方是： ， 方程两边同时加，得 ， 配方得完全平方式， 即 ． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【答案】 12 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 【详解】解：方程，两边加上，得 ， 即. 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法求解；（2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 【题型4】公式法解方程与根的估算 1.核心知识点: 求根公式；根的判别式；无理数的大小估算 2.解题方法技巧: ①先将方程化为一般形式，准确确定的符号，再计算判别式； ②只有时才能代入求根公式，可直接判断无实数根； ③估算根的范围时，先估算根号部分的大小，再计算整个根的取值区间。 【例题4】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）解方程：（公式法） 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南周口·期中）用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 【题型5】利用根的判别式判断根的情况 1.核心知识点: 根的判别式计算；判别式与根的对应关系 2.解题方法技巧: ①先确定方程的，代入计算； ②根据的符号对应判断根的情况，注意“两个相等的实数根”也是两个根； ③含参数的判别式计算，可利用完全平方式的非负性直接判断符号。 【例题5】.（2026·安徽·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：选项A： ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B： ∵ ∴，方程没有实数根，不符合题意； 选项C： ∵ ∴，方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项D： ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 【变式题5-1】.（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据根的判别式进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 【变式题5-2】.（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【变式题5-3】.（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】(1) (2)的整数值有0，1，2． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； （2）由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 【题型6】基础实际问题列方程与求解 1.核心知识点: 传播、增长率、循环问题的数量关系；列方程解应用题的基本步骤 2.解题方法技巧: ①增长率问题找准起始量、终止量和增长次数，直接套用公式列方程； ②传播问题区分“总感染人数”和“新增感染人数”，明确等量关系； ③循环问题先判断单循环还是双循环，再对应公式列方程；解出结果后检验是否符合实际意义。 【例题6】.（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年均下降率，推导两年后的碳排放量表达式，结合目标排放量列出方程即可． 【详解】解：∵该企业碳排放量年均下降率为，2024年碳排放量为千吨， ∴2025年碳排放量为千吨，则2026年碳排放量为千吨， 又∵计划2026年底将碳排放量降至千吨， ∴可列方程为 【变式题6-1】.（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 【答案】解：设方阵的排数为x，列数为y， 由方阵最外层的人数为58人，得， 变形得， 由参加方阵展示的学生一共是234人，得， 变形得， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13． 【分析】设方阵的排数为x，列数为y，根据方阵最外层的人数为58人列二元一次方程，用含x的式子表示出y，再根据总人数为234列一元二次方程，解方程即可． 【详解】略 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一家服装店销售某种款式的衬衫，平均每天可售出15件，每件盈利50元，为扩大销售、增加盈利，该店决定降价销售，在每件盈利不少于30元的前提下，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． (1)若降价4元，则平均每天销售数量为 件． (2)当每件衬衫降价多少元时，该服装店每天销售利润为950元？ 【答案】(1)23 (2)当每件衬衫降价元时，该服装店每天销售利润为950元 【分析】（1）根据题意，降价4元，平均每天可多售出8件，即可求得答案； （2）设当每件衬衫降价x元时，该服装店每天销售利润为950元，则每件盈利元，平均每天可售出件，即可列方程求解． 【详解】（1）解：因为销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件， 所以降价4元，平均每天可多售出8件，则平均每天销售数量为（件）． （2）解：设当每件衬衫降价x元时，该服装店每天销售利润为950元， 根据题意得， 整理，得， ， ，， 每件盈利不少于30元， ， ， ， 答：当每件衬衫降价元时，该服装店每天销售利润为950元． 【培优高频题型】 【题型7】根与系数的关系代数式求值 1.核心知识点: 韦达定理；代数式恒等变形；判别式的前提验证 2.解题方法技巧: ①先确认方程有两个实根（），再使用韦达定理写出两根和与两根积； ②将所求代数式通过完全平方、通分等变形，转化为含和的形式，整体代入计算； ③遇到含根的高次代数式，利用方程根的定义降次，再结合韦达定理求解。 【例题7】.（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 【变式题7-1】.（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解决此题的关键． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·四川南充·期末）已知关于x的二次方程． (1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值； (2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值． 【答案】(1)1 (2)，3，6， 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，一元二次不等式的解法等知识，解题的关键是根据根的判别式列出相关不等式． （1）根据二次项系数，结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其最小整数值即可； （2）先根据得到，，再根据a是正整数得到，从而得到x的所有可能整数解，继而求出对应a值，即可得解．根据题意得到x的所有整数解是解题的关键． 【详解】（1）解：关于x的二次方程有两个实数根， ，且． 解得：， 的最小整数值是1； （2）解：将原方程变形为． 则，， 由于a是正整数， ，即，． ，． ． 当，，，0，1，2时，得a的值为1，6，，3，，1． ，3，6，． 依题意得，当时，有两个整数根，2； 当，6，时，方程只有一个整数根， 综上所述，当，3，6，时，关于x的一元二次方程至少有一个整数根． 【题型8】销售利润类实际应用 1.核心知识点: 总利润的数量关系；价格与销量的反向变化；解的实际意义取舍 2.解题方法技巧: ①通常设涨价或降价的金额为，分别表示出单件利润和对应销量； ②根据“总利润=单件利润×销量”列一元二次方程； ③若题干有“让顾客得实惠”“尽量减少库存”等要求，选择对应符合条件的解；注意价格上限、销量下限等限制条件。 【例题8】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． (1)商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ (2)商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 【答案】(1)售价应定为65元 (2)不能获得10000元的利润，理由见详解 【分析】（1）设每个售价提高x元，根据题意列出一元二次方程求解； （2）根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断． 【详解】（1）解：设每个售价提高x元， 由题意得， 解得， ∵尽量兼顾顾客的利益 ∴ ∴（元） ∴售价应定为65元； （2）解：不能，理由如下： 根据题意得， 整理得， ∵ ∴该一元二次方程没有实数根 ∴商场不能获得10000元的利润． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0．2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 问题解决： (1)任务一：求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； (2)任务二：若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元 【分析】（1）设月平均增长率为，利用初始销量和增长两个月后的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根得到结果； （2）先确定购买数量的范围，判断获利元时购买数量一定超过枚，再结合单件售价的限制，根据总利润公式列一元二次方程求解，舍去不符合限制条件的解得到最终结果． 【详解】（1）解：设该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得 ， 解得 ，（增长率为负不符合题意，舍去）， 答：该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为； （2）解：设该顾客此次购买徽章枚. 根据单件售价不低于元可得， 解得， 当时，获利（元）， ∵， ∴， 根据题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，单价为（元）， 答：该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元． 【变式题8-2】.（2026·安徽合肥·一模）根据以下素材，探索完成任务． 背景 徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色． 素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨元/件． 问题解决 (1)该木雕月销售量为________件；（用含的代数式表示） (2)该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？ 【答案】(1) (2)该木雕的售价上涨10元/件 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出方程求解，然后根据题意得出结果即可． 【详解】（1）解：月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件， 该木雕月销售量为件； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该木雕的售价上涨10元/件． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）“山西博物馆”以每件元的批发价进了一批纪念品，国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价元，每天能卖出件，若每件定价每上涨元，其销售量将减少件． (1)若每件纪念品售价为元，求这些商店每天销售这种纪念品的利润； (2)这些商店为了实现每日共有：元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件纪念品的售价应上涨多少元？此时售价为多少元？ 【答案】(1)元 (2)应上涨元，此时售价为元 【分析】（1）先计算出销量和单件利润，再利用“总利润=单件利润×销量”的公式直接计算； （2）设涨价金额为，用含的式子表示出销量和单件利润，根据题意列方程求解，再结合“消费者得到实惠”的条件筛选出最优解． 【详解】（1）解：若每件纪念品售价为元，则每天的销售量为件， 每件纪念品的利润为元， 故每天销售这种纪念品的利润为元． （2）解：设每件纪念品应上涨元， 则销售量为件， 每件纪念品的利润为元， 根据题意可得，， ， ， 解得，， 为使消费者得到实惠，应上涨元，此时售价为元． 【题型9】几何面积类实际应用 1.核心知识点: 矩形、三角形等面积公式；平移法转化图形；墙长限制条件 2.解题方法技巧: ①甬道、边框类问题，通过平移将有效区域整合为一个规则矩形，简化面积表达式； ②靠墙围栏问题，设垂直于墙的边长为，表示平行于墙的边长，注意门的宽度需计入篱笆总长； ③解出结果后必须检验：边长为正，且平行于墙的边长不超过墙长，舍去不符合的解。 【例题9】.（25-26九年级下·江苏常州·期中）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米． 【分析】设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得，， 解得：（舍去）， 答：过道的宽应该设计米． 【变式题9-1】.（24-25七年级上·湖北十堰·期末）综合与实践．从以下项目任务中任选一个项目，完成探索任务． 项目 设计合适的盒子 材料 一个长为，宽为的长方形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）． 项目1：设计无盖长方体盒子 项目2：设计有盖长方体盒子 方案一 把这块长方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是． 方案二 把这块长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形（如图3），然后折叠成一个有盖盒子（如图4），使得该长方体盒子底面的长是宽的4倍． 示意图 示意图 任务1  确定无盖盒子的高． 根据项目1的方案，求出该长方体盒子的高． 任务2  研究有盖盒子的体积 根据项目2方案，求出减掉的小正方形的边长，并求出此长方体盒子的体积． 【答案】任务1：；任务2：剪掉的正方形的边长为，盒子的体积为 【分析】本题考查了一元一次方程在立体几何展开与折叠问题中的应用，解题的关键是根据折叠前后的几何关系，建立底面边长与剪去图形边长的方程，进而求解盒子的高与体积． 任务1：设无盖盒子的高为，根据底面周长列方程求解； 任务2：设小正方形边长为，根据底面长是宽的4倍列方程求解，再计算体积． 【详解】任务1：解：设剪去正方形的边长为，则盒子的高为，底面长为，底面宽为， ∴ 答：无盖盒子的高为 任务2：解：设剪去小正方形的边长为，则盒子的高为，底面宽为，底面长为， ． ∴． 则底面长为，底面宽为，高为． ． 答：小正方形的边长为，有盖盒子的体积为． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； (3)任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2)此时纸盒的高为 (3) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； （3）若设每斤草莓降价元，由题意得每斤草莓获利元，每天可售出斤，根据日利润为1450元列方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率，长方形的面积和营销问题，正确理解题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为，由题意得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）设此时纸盒的高为， ， 解得，（舍去）， 则此时纸盒的高为； （3）若设每斤草莓降价元，则每斤草莓获利元，每天可售出斤， 由日利润为1450元得． 故答案为：． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·云南大理·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙的长度为，若矩形养鸡场的面积为，求垂直于墙的一边的长度． 【答案】垂直于墙的一边的长度为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边的长度为，则，再根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边的长度为，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：垂直于墙的一边的长度为． 【压轴素养题型】 【题型10】一元二次方程与三角形综合 1.核心知识点: 方程的根；等腰/直角三角形的性质；分类讨论思想；三角形三边关系 2.解题方法技巧: ①已知三角形边长是方程的根时，先解方程求出根，再结合三角形类型分类讨论边长的对应情况； ②等腰三角形需分腰和底讨论，直角三角形需分斜边讨论； ③最后必须用三角形三边关系验证，舍去不能构成三角形的情况。 【例题10】.（25-26八年级上·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式来判断即可； （2）根据题意分两种情况讨论：当腰为5时和当底为5时，然后分别求出符合条件的，即可求出周长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为5时，5为方程的解， 把代入，得， 得， ∴ 或 解得， ∴方程的另外一个解为， ∴此时三角形三边长为3，5，5 ∵，符合题意， 此时三角形的周长； 当底为5时， ∵另两边恰好是这个方程的两根， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴ 此时方程的解为， ∴此时三角形三边长为3，3，5 ∵，符合题意， ∴三角形的周长． 综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【答案】是直角三角形，面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知一元二次方程． (1)求证：当时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求的值以及这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)；8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先求出该方程的判别式，再根据判别式的意义即可证明结论； （2）一个等腰三角形的底边长是2，且两条腰长分别是该方程的两个根，即该方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 当时，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴，解得：或， 当时，原方程可化为，即，解得：，不符合题意； 当时，原方程可化为，即，解得：， ∴该等腰三角形的两腰均为3， ∴该等腰三角形的周长为． 综上，，等腰三角形的周长为8． 【变式题10-3】.（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，四边形中，，，是和边长，易知，我们把关于的方程称为“勾系一元二次方程”． (1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”； ①______（填“是”或“不是”）； ②______（填“是”或“不是”）； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是18，求面积． 【答案】(1)①是；②不是 (2)见解析 (3)的面积为． 【分析】（1）利用“勾系一元二次方程”的定义进行判断即可求解； （2）由是“勾系一元二次方程”得，计算，可得关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）由是“勾系一元二次方程”的一个根得，，由四边形ACDE的周长是18，得出，即可求出ab的值及的值，得到面积． 【详解】（1）解：①不是“勾系一元二次方程”， ∵， 解得， ∵，， ∴， ∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长， ∴是“勾系一元二次方程”， 故答案为：是； ②是“勾系一元二次方程”， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以a、b、c为三边长的三角形不是直角三角形， ∴不是“勾系一元二次方程”， 故答案为：不是； （2）证明：∵是“勾系一元二次方程”， ∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长， ∴， ∵ ； ∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， 即， ∵四边形的周长是18， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，勾股定理，新定义，完全平方公式的变形求值，掌握“勾系一元二次方程”的内涵并运用到解题过程之中是解题的关键． 【题型11】方案可行性探究问题 1.核心知识点: 一元二次方程根的判别式；配方法求最值；存在性判断 2.解题方法技巧: ①先假设方案成立，根据题意设未知数、列方程； ②若方程无实数根（），则方案不可行；若有实根，进一步检验是否符合实际限制； ③也可通过配方法求出目标量的最值，与预期值对比，判断方案是否可行。 【例题11】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）阅读下列材料，并回答问题： 单利法：每期依据本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息．例如，100元的本金，年利率为，存期2年，逐年计息，2年后可取回金额为（元）． 折现：金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后，再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．设折现率为，本金为1元，则1年后的总金额（元），相当于当前时刻的1元，进一步，1年后的1元就相当于当前时刻的（元）．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中的比率则称为折现率（以此类推，n年后到期的金额，应连续折现n次，即n年后的1元相当于当前时刻的元）． 收益率：合理的折现率应该使取回金额折现后的总金额等于其本金．此时该折现率也称为理财方案的收益率． (1)本金10000元，年利率为，存期2年，逐年计息，按照单利法，2年后可取回金额为___________元； (2)按照（1）中的方案，设折现率为，2年后取回的金额在当前时刻的价值为___________元； (3)现有一种理财方案，本金20000元，1年后返回10300元，2年后返回10609元，求该方案的收益率． 【答案】(1)10890 (2)9000 (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据单利法，计算出利息，再加上本金即可得到答案； （2）根据折现的计算方法求解即可； （3）设该方案的收益率为r，根据折现率（此时对应收益率）应该使取回金额折现后的总金额等于其本金建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元， ∴按照单利法，2年后可取回金额为10890元； （2）解：元， ∴按照（1）中的方案，设折现率为，2年后取回的金额在当前时刻的价值为9000元； （3）解：设该方案的收益率为r， 由题意得，， 解得（已检验，是原方程的解，且符合题意）或（舍去）， 答：该方案的收益率为． 【变式题11-1】.1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）综合与实践 在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园．以下是小明对花园规划设计的过程． 爷爷要求小明构思一种规划方案，小明结合九年级所学知识，设计了甲、乙两种方案（其中阴影部分为花园）． (1)爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造． ①若甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为_____，宽可以表示为_____（用含有的代数式表示）； ②若乙方案中花园宽为，则花园区域的面积可以表示为_____（用含有的代数式表示）． (2)经过综合考虑，爷爷决定选择甲方案进行花园的建造，并且确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，请计算花园周围小路的宽度是多少？ (3)为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园．爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植区域的长为，另外三边用篱笆围起来（如图丙）． 若篱笆的总长度为，为方便打理花园，需要在花园较长的另一侧装一个宽的门．设垂直于观赏竹区域的篱笆长为，平行于观赏竹区域的篱笆长为． ①求关于的函数关系式； ②若篱笆围成的矩形面积为，求篱笆围成的区域的长和宽分别是多少？ 【答案】(1)①， ② (2)花园周围小路的宽度是； (3)① ②篱笆围成的区域的长和宽分别是和 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）①依据题意，由甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为，宽可以表示为，即可得解； ②依据题意，由乙方案中花园宽为，则花园区域的面积为：，进而计算可以得解； （2）依据题意，设甲方案中花园周围小路宽为，空地面积为，又花园面积为空地的一半即，则，进而得解； （3）①依据题意得，，则； ②依据题意，由垂直于观赏竹区域的篱笆长为，则，求出后分类讨论计算可以得解． 【详解】（1）解：①甲方案中花园周围小路的宽为， 则花园的长可以表示为，宽可以表示为． 故答案为：，． ②由题意得：花园区域的面积可以为：． 故答案为：． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）． 花园周围小路的宽度是． （3）①根据题意得：， ， 关于的函数关系式． ②由矩形的面积公式得：， 整理得：， 解得或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ，． 篱笆围成的区域的长和宽分别是和． 【变式题11-2】.（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 【答案】(1)； (2)10 (3)不能 【分析】（1）根据题意可知，裁剪了，据此写出代数式即可； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：根据题意无盖收纳盒的底面长；底面宽； （2）解：∵无盖收纳盒的底面长；底面宽；底面积为， ∴， 解得或， ∵底面宽，即， ∴舍去， ∴， 答：裁去小正方形的边长x的值为10． （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴收纳盒的高为，，， ∵书本为，宽为，厚度为， ∴书本的最大边长大于收纳盒的最大边长， ∴书本不能完全放入该收纳盒内． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）根据以下素材，完成项目式探索任务： 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案? 素材1：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20米，开2个门，且门宽均为1米． 素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米. 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为，求关于的函数表达式． 任务2 探究自变量的取值范围． 任务3 确定设计方案（写出选择该方案的理由） 我的设计方案是选型号_____门，当_____米，_____米时，有最大值，最大值为_____平方米． 【答案】任务1、； 任务2、当选型号①门时，自变量x的取值范围为：，当选型号③门时，自变量x的取值范围为：； 任务3、我的设计方案是选型号①门，，，S的最大值为． 【分析】题目主要考查二次函数的应用及不等式的应用，理解题意，列出函数关系式及不等式是解题关键． 任务1、根据题意得出，然后计算面积即可得出函数关系式； 任务2、根据题意得出，代入确定，再由所需费用分两种情况列出不等式求解即可； 任务3、根据任务1中函数关系式及其性质求解即可； 【详解】解：任务1、由题可知，设，则， 则 ； 任务2、由题意知， 即， 解得：， 根据题意可得：新墙建筑费用为元， 若选型号①门，则总费用为元， ∵总费用不高于6400元， ∴， 解得：， 若选型号③门，则总费用为元， ∵总费用不高于6400元， ∴，解得：， 综上所述：当选型号①门时，自变量x的取值范围为：，当选型号③门时，自变量x的取值范围为：； 任务3、由任务1知：， ∵，图象开口向下，且， ∴当时，面积S有最大值为， 此时， ∴我的设计方案是选型号①门，，，S的最大值为． 【题型12】新定义类一元二次方程问题 1.核心知识点: 一元二次方程的解法；根的判别式；根与系数的关系；信息迁移能力 2.解题方法技巧: ①准确理解新定义（如倍根方程、和谐方程、牵手方程等），将新定义转化为常规数学等量关系； ②结合方程的解法、判别式、韦达定理等知识进行推导计算； ③多结论判断题逐一验证，注意特殊值验证和分类讨论。 【例题12】.（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)1或 (3)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 【变式题12-1】.（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 【变式题12-3】.（2026·福建泉州·模拟预测）【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，求该方程的衍生点M的坐标． 【尝试应用】 （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标． ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式______． 【答案】 （1） （2）① ② 【分析】本题考查解一元二次方程，一次函数的定义，理解定义内容，并熟练运用解一元二次方程的方法是解题关键． （1）解一元二次方程，按照定义确定点M的坐标即可； （2）①解一元二次方程，用含m的式子表示点M的坐标即可； ②根据①中所求坐标，按照一次函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 得，， ∴该方程的衍生点M的坐标为； （2）①将原方程因式分解，得， ∴，， 显然， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ②令，，得， ∴直线解析式为． 故答案为． 易错点 1.忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，求参数范围时漏掉的限制；未说明是二次方程时，忽略二次项系数为0的一次方程情况。 2.配方法解方程时，二次项系数化为1的过程出错，或配方时只在左边加常数、右边漏加，破坏等式成立；因式分解法解方程时，两边同时除以含未知数的式子，造成丢根。 3.使用根与系数的关系时，忽略的前提条件，直接代入计算，导致无实根的情况下仍求出结果。 4.实际问题中，解完方程不检验解的实际意义，出现人数为负、长度为负、墙长不足等错误结果；增长率、降低率的次数判断错误，混淆“两阶段”和“两次增长”。 5.几何动点、三角形分类问题中，考虑不全面导致漏解；未验证三角形三边关系或动点运动范围，保留不符合题意的解。 重点 1.一元二次方程的四种基本解法，能根据方程特点选择最优解法，准确求解。 2.根的判别式的意义与应用，能判断根的情况，或根据根的情况求参数范围。 3.根与系数的关系及其常见代数式变形，能整体代入求值。 4.列一元二次方程解决实际问题，掌握常见题型的数量关系，规范解题步骤。 难点 1.含参一元二次方程的分类讨论，结合判别式、根的分布求参数的取值范围。 2.一元二次方程与几何图形的综合应用，特别是动点问题、三角形分类讨论问题，数形结合与分类讨论思想的运用。 3.新定义、跨学科等创新题型的信息转化，将陌生情境转化为一元二次方程的常规问题。 4.实际问题中的等量关系提取，以及多限制条件下的解的取舍与方案判断。 【对应练习题】 一、单选题 1．若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方程中两个相等的实数根仍属于两个根。 【详解】∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论， 当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意， ∴ 只有满足条件． 2．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 3．已知方程，利用根的判别式判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据一元二次方程一般形式，对应找出各项系数，注意系数要包含本身的符号． 【详解】解：∵原方程为 ，符合一元二次方程的一般形式， ∴对应可得 ，，． 二、填空题 4．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 【答案】， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 5．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 6．已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得到参数和的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解的取值范围． 【详解】解： 方程 是一元二次方程，． 方程有两个实根 ， 判别式 ． 根据根与系数的关系得：，． ， ， 代入得：， 解得 ， 将 代入 得：， 即 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 且 ． 三、解答题 7．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)无解 【分析】（1）根据因式分解法计算； （2）根据因式分解法计算； （3）根据公式法计算； （4）计算判别式可得到方程无解． 【详解】（1）解：， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，； （3）解：， ， ， ∴，； （4）解：， ， ， ∴原方程无解． 8．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 9．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【答案】(1) (2)选择方程①，，（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． 【详解】（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 10．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【答案】(1)③ (2)，， (3)，3，1或3 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可解答； （2）根据材料提示，进行计算即可解答； （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可解答． 【详解】（1）解：， ， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， 很容易观察出构图是③． （2）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． （3）解：由条件可知， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，解得， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为，3，1或3． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $