专题01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以韦达定理应用为主线，通过五题型分层构建“基础应用-综合拓展-创新构造”的方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接求对称式|5题|对称式转化为两根和与积，整体代入|从韦达定理直接应用切入，夯实基础运算| |降次求高次式|5题|根的定义降次，结合韦达整体代入|实现高次向低次转化，培养转化思维| |判别式与韦达综合|5题|先判参数范围，再用韦达列方程|融合根的存在性与数量关系，强化逻辑推理| |根的符号分布|5题|用判别式、韦达定理解符号条件|深化参数与根的关联分析，发展模型意识| |同构式构造方程|5题|构造方程将代数式转化为两根关系|提升代数构造能力，体现创新应用|

专题01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用 题型一：直接利用韦达定理求对称式的值 题型二：降次思想求高次代数式的值 题型三：韦达定理与根的判别式综合 题型四：根的符号分布与参数范围 题型五：同构式构造方程综合应用 题型一：直接利用韦达定理求对称式的值 方法技巧：牢记，，将平方和、倒数和、含常数的乘积式转化为含两根和与积的形式，整体代入计算。 1．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 3．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 4．设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 5．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】15 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得，， 将代入所求代数式得： ． 题型二：降次思想求高次代数式的值 方法技巧：由根的定义得到二次等式，将高次项逐步降为一次，结合韦达定理整体代入，规避直接求根的复杂运算。 1．若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 3．设、是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系，以及完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：、是方程的两个根， ，， ∴. 4．若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 5．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求式子的高次项降次，再结合一元二次方程根与系数的关系即可计算出结果． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，且由根与系数的关系可得， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把代入得：， 所以的值为． 题型三：韦达定理与根的判别式综合 方法技巧：先由确定参数取值范围，再结合韦达定理列方程，在范围内取符合条件的参数值。 1．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在满足条件的实数 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可； （2）假设存在实数使得，则，由可得，与矛盾，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，． ∴且， ∵， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为且； （2）解：假设存在实数使得， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴ 解得， 由（1）得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 不存在实数使得． 2．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 3．已知关于的一元二次方程，有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据根与系数的关系得，，然后将原式变形为代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得，， ， 的值为4． 4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． (1)求实数的取值范围； (2)当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式满足， 即， 解得：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：，， ∵、是矩形两邻边，对角线长为， 由勾股定理得：， 即：， ∴， 解得， 验证：，符合（）中的范围，且两根和、积都为正，边长为正符合题意，故． 题型四：根的符号分布与参数范围 方法技巧：两根同号等价于且；两根异号等价于；正根绝对值更大等价于且。 1．已知关于x的一元二次方程有两个仅符号相同（同为正数或同为负数）的实数根，写出一个符合条件的m的整数值：______． 【答案】2（答案不唯一，2至4的整数均可） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，根据判别式的意义和根与系数的关系得到，解不等式组得到m的范围，然后在此范围内取一个整数解即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即有两个仅符号相同（同为正数或同为负数）的实数根，则 ∴， 解得： 又∵是整数 ∴一个符合条件的m的整数值为2（答案不唯一，2至4的整数均可） 故答案为：2（答案不唯一，2至4的整数均可）． 2．已知实数k使一元二次方程有两个实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)若方程的两根是符号相同的整数，试求实数k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根求解即可； （2）先由根与系数的关系得到，，求出的取值范围，再确定的可能取值情况，即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根． ∴ 解得； （2）解：设该方程的两根为， ∵方程的两根是符号相同的整数， ∴， ∴， ∴， 则或或， ∴或， ∴或． 3．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 【答案】(1) 证明： ， 所以，方程总有实数根； (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． （1）根据根的判别式先求出“”的值，再判断即可； （2）根据根与系数的关系得出由得求出，从而得出，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得， 又∵， ∴ ∴， ∴ 又， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时， ∴不符合题意； 当时， ∴． 4．（1）解方程：． （2）方程有两个不相等的实数根且都为正数，正确吗？为什么？ 【答案】（1），；（2）不正确，见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，根的判别式． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）先证明原方程有两个不相等的实数根，再根据两根的积为负数，说明根的情况即可． 【详解】解：（1）， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）不正确，理由如下： ∵， 原方程有两个不相等的实数根， 由韦达定理得：， 两个实数根应为一正一负． 综上，说法不正确． 5．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程的根的情况； (2)若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数的值． 【答案】(1)该方程总有两个实数根； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程根与系数的关系． （1）利用根的判别式求得，即可得到方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系求得，，根据题意得到，，据此计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：设两根为和且， 由根与系数的关系得：，， ∵该方程的两根异号，且负根的绝对值较大， ∴，， ∴，， 解得， ∴整数． 题型五：同构式构造方程综合应用 方法技巧：将两个同结构的代数式整理为同一一元二次方程的两根，利用韦达定理转化关系，求解复杂代数式的值。 1．已知实数满足， (1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若，求的值． 【答案】(1)一元二次方程为 (2) 【分析】（1）根据题目要求及已知条件设一元二次方程为，然后，根据一元二次方程中根与系数的关系，找到关于的方程，解出的值代入原方程即可； （2）根据所给等式得出和是一元二次方程的两个实数根， 再根据一元二次方程中根与系数的关系，得出的值即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程为． ， ， ， ∴一元二次方程为； （2）解：由题意，得和是一元二次方程的两个实数根， ． ∴的值为． 2．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可； （2）在方程的两边同时除以得，易得可将a，看作方程的两个不相等的实数根，则，，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足，，且， ∴可将a，b看作方程的两个不相等的实数根， ，， ∴． （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数a满足，且， ∴可将a，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 3．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 4．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：如果实数、满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根； 请根据上述材料解决下面问题： (1)初步体验：已知实数，满足，（），求的值； (2)类比应用：已知实数，满足，，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意可把m、n看作是方程的两个根，则根据韦达定理可得，然后根据立方和公式可进行求解； （2）由，可变形为，，然后可把看作是方程的两个根，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由实数，满足，（），可将m、n看作是方程的两个根， 根据韦达定理可得：， ∴， ∴ ； （2）解：由，可变形为，， ∴把看作是方程的两个根，根据韦达定理可得， ∴． 5．【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 【答案】(1)2， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【详解】（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． （2）解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． （3）解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用 题型一：直接利用韦达定理求对称式的值 题型二：降次思想求高次代数式的值 题型三：韦达定理与根的判别式综合 题型四：根的符号分布与参数范围 题型五：同构式构造方程综合应用 题型一：直接利用韦达定理求对称式的值 方法技巧：牢记，，将平方和、倒数和、含常数的乘积式转化为含两根和与积的形式，整体代入计算。 1．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 4．设，是方程的两个根，则________． 5．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 题型二：降次思想求高次代数式的值 方法技巧：由根的定义得到二次等式，将高次项逐步降为一次，结合韦达定理整体代入，规避直接求根的复杂运算。 1．若，是方程的两根，则的值为________． 2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 3．设、是方程的两个根，则的值为______． 4．若实数a，b满足等式，，则________． 5．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 题型三：韦达定理与根的判别式综合 方法技巧：先由确定参数取值范围，再结合韦达定理列方程，在范围内取符合条件的参数值。 1．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 2．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 3．已知关于的一元二次方程，有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． (1)求实数的取值范围； (2)当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 题型四：根的符号分布与参数范围 方法技巧：两根同号等价于且；两根异号等价于；正根绝对值更大等价于且。 1．已知关于x的一元二次方程有两个仅符号相同（同为正数或同为负数）的实数根，写出一个符合条件的m的整数值：______． 2．已知实数k使一元二次方程有两个实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)若方程的两根是符号相同的整数，试求实数k的值． 3．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 4．（1）解方程：． （2）方程有两个不相等的实数根且都为正数，正确吗？为什么？ 5．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程的根的情况； (2)若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数的值． 题型五：同构式构造方程综合应用 方法技巧：将两个同结构的代数式整理为同一一元二次方程的两根，利用韦达定理转化关系，求解复杂代数式的值。 1．已知实数满足， (1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若，求的值． 2．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 3．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 4．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：如果实数、满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根； 请根据上述材料解决下面问题： (1)初步体验：已知实数，满足，（），求的值； (2)类比应用：已知实数，满足，，且，求 5．【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $