第21章 一元二次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第21章一元二次方程基础通关单元卷，覆盖方程定义、解法、根的判别式及实际应用，注重基础巩固与模型应用，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、解法、根与系数关系|结合廉租房投资、职工篮球赛等现实情境，考查模型意识| |填空题|5/15|方程求解、系数识别、构造方程|通过开放题（如构造两根为2和-3的方程）培养创新意识| |解答题|8/75|解方程、纠错、根的判别式、面积与利润应用题|以矩形面积、网店利润问题为载体，发展运算能力与应用意识，通过配方、纠错等题设计提升推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B A A C B B C A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．， 12．1 13．（答案不唯一） 14．1 15． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分） （1）解：， ，（2分） 或， 所以方程的解为，．（4分） （2）解：， ， ，（6分） ， ， ， 所以方程的解为，．（8分） 17．（8分） 甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以，（2分） 正确解答： ， ，（4分） 或 解得，．（8分） 18．（8分） 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且，（2分） 即，且，（4分） ∴且．（8分） 19．（8分） 解：∵是方程的两个根， ∴，（2分） ∵， ∴，解得，（5分） 将代入中，则， 解得．（8分） 20．（9分） 解：设原来长方形的宽为米，则长为米． 由题意可得：．（3分） 解之得：，（不符合题意，舍去）．（6分） ∴原长方形的宽为4米，长为8米． ∴原长方形的周长（米）． 答：原长方形的周长为24米．（9分） 21．（10分） （1）解： （2分） 或 ∴；（5分） （2）解： （7分） 或 ∴．（10分） 22．（12分） （1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，（3分） 解得；（5分） （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，，（7分） ∴，（8分） 解得，，（10分） 由（1）可知：， ∴．（12分） 23．（12分） （1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为；（3分） （2）解：根据题意可得，，（6分） 解得，（舍去）．（11分） 答：该商品的售价为20元．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 2．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 3．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 4．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 5．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 6．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 7．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 8．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 9．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 10．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程的根为________． 【答案】， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 12．一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 13．若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先计算两根的和与积，再根据根与系数的关系写出符合条件的一元二次方程； 【详解】解：设一元二次方程为，设两根分别为，， ∵，， 令，可得，，因此符合条件的一元二次方程可为（答案不唯一）； 14．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 15．已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 【答案】 【分析】将代入方程，结合可得，化简即可得出答案． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ，（2分） 或， 所以方程的解为，．（4分） （2）解：， ， ，（6分） ， ， ， 所以方程的解为，．（8分） 17．（8分）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以，（2分） 正确解答： ， ，（4分） 或 解得，．（8分） 【详解】略 18．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且，（2分） 即，且，（4分） ∴且．（8分） 19．（8分）设是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到，进而求得，代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，（2分） ∵， ∴，解得，（5分） 将代入中，则， 解得．（8分） 20．（9分）某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 【答案】原长方形的周长为24米 【分析】设原来长方形的宽为米，则长为米，由题意可得，求出x，再计算周长即可． 【详解】解：设原来长方形的宽为米，则长为米． 由题意可得：．（3分） 解之得：，（不符合题意，舍去）．（6分） ∴原长方形的宽为4米，长为8米． ∴原长方形的周长（米）． 答：原长方形的周长为24米．（9分） 21．（10分）∵，∴．因此解方程可转化为求解．用此方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是正确对二次三项式进行因式分解． （1）根据题意将等号左边进行因式分解，即可解方程； （2）根据题意将等号左边进行因式分解，即可解方程． 【详解】（1）解： （2分） 或 ∴；（5分） （2）解： （7分） 或 ∴．（10分） 22．（12分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，（3分） 解得；（5分） （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，，（7分） ∴，（8分） 解得，，（10分） 由（1）可知：， ∴．（12分） 23．（12分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】(1) (2)该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为；（3分） （2）解：根据题意可得，，（6分） 解得，（舍去）．（11分） 答：该商品的售价为20元．（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 3．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 4．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 7．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 8．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 9．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 10．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程的根为________． 12．一元二次方程的一次项系数是_________． 13．若一个一元二次方程的两个根分别为2和，请写出一个符合条件的方程______． 14．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 15．已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解方程： (1)． (2)． 17．（8分）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 19．（8分）设是方程的两个根，且，求常数的值． 20．（9分）某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 21．（10分）∵，∴．因此解方程可转化为求解．用此方法解方程： (1)； (2)． 22．（12分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 23．（12分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章一元二次方程·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程是一元二次方程的是() A.x2+1=0 B.2x2-3xy=-1 c.x21=4 D.3x+1=2x-5 X 2.方程(x-3)(x+2)=1的解为() A.X=3 B.X=-2 C.X1=3,X2=-2 D.以上结论都不对 3.关于x的一元二次方程x-4x+C=0的一个根为X=3,那么它的另一个根为X=() A.-3 B.1 C.3 D.-7 4.2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两 年内每年投资的增长率相同.设每年市政府投资的增长率为x,根据题意，列出方程为() A.21+x2=10 B.21+x+21+x2=10 C.2+2l1+x+21+x2=10 D.21+x=10 5.关于x的一元二次方程x+bx-1=0的实数根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6.若方程x-3P=17的两根为a和6，且a>b:则下列结论中正确的是（） A.a与b相等 B.a与b互为相反数 C.a-3是17的算术平方根 D.b-3是17的算术平方根 7.将一元二次方程x2+4X=9配方，得到方程x+4x+▲=9+▲，其中“▲”表示的数为() A.16 B.4 C.2 D.1 8.已知关于x的一元二次方程2x2+mx-8=0的一个根是4，那么它的另一个根是() A.-2 B.-1 C.1 D.2 1/3 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.已知矩形的两条邻边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则矩形的周长是() A.10 B.12 C.20 D.24 10.为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比 赛36场.设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是() A2xx-1=36 B.xx-1=36 c.2xx+1=36 D.xx+1=36 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.方程x2-9=0的根为 12.一元二次方程x2+X-2=0的一次项系数是 13.若一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，请写出一个符合条件的方程 14.若X1,x是一元二次方程X2-4x-7=0的两实数根x1≠x则x1X+2X1+2x,的值是 15.已知关于x的一元二次方程ax2+5x+c=0(其中ac0)的一个根是x=c,则ac= 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)解方程： (0x2-2x=0 (②)xx+1=1 17.(8分)甲同学在解方程xx-4+4=x时的解答过程如下： 解：移项，得xX-4=X-4,…① 两边同除以x-4,得x=1.…② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答， 18。（8分)已知关于x的一元二次方程aX2-4a+1x十4a-10有两个实数根，求，的取值范围. 19.(8分)设x1,X2是方程x2-8x+m=0的两个根，且X2=3X1,求常数m的值. 20.(9分)某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如 图)，原长方形的空地长的一边减少了2m,短的一边减少了1m,剩余空地的面积为18m2,求原长方形 空地的周长. 213 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2m 18m2 Im 21.（10分)“x-alx-b=x2-a+bx+abx2-a+bx+ab=x-alx-br 因此解方程 X2-a+bx+ab=0可转化为x-ax-b=0求解.用此方法解方程： (0x2-6x+8=0 (2)x2-7x60=0 22.(12分)己知关于x的一元二次方程x2-4x-m+5=0有两个实数根. (1)求实数m的取值范围： ②若x,'x,是该方程的两个根，且满足X+x3=m2-2:求m的值. 23.(12分)某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日 均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件.设该商品的售价定为x元/件. (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量： (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价. 313