专题11 函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题9种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题11 函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题9种常见考法归类 ▌题型01 函数的单调性和奇偶性相结合 【例1】【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在上单调递减，且，所以， 故选：A 【变式1-1】【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 【变式1-2】【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. 【变式1-3】【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. ▌题型02 函数的奇偶性和周期性相结合 【例2】【答案】/ 【分析】依题意可得函数的周期为4，根据周期性与奇偶性计算可得答案. 【详解】由题意可知,又因为是上的奇函数满足， 所以,将换成，可得，所以周期． 因为是上的奇函数， 所以, 因为,所以, 又因为当时，，所以, 所以. 【变式2-1】【答案】ABD 【分析】由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又，即 将替换为，可得， 所以，的周期为， 即，C错， 当时，， 则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确， 另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. 【变式2-2】【答案】BD 【分析】对于A，利用是定义在上的偶函数和，将转化至区间内求解.对于B，由得到，得到函数的一个周期为4对于C，利用的函数解析式，结合可以得到的函数解析式对于D，利用函数的周期性得到 【详解】当时，，则； 对于B选项，由可知， 所以，即， 故函数的一个周期为4.故B选项正确. 对于A选项，因为函数的一个周期为4， 所以， 又因为，所以，故A选项错误. 对于C选项，设，则， 所以. 所以.所以C选项错误. 对于D选项，由函数的一个周期为4，且是定义在上的偶函数可知 ， 由可知，. 由时，，且函数的一个周期为4可知， . 所以. 又因为函数的一个周期为4，所以 ， 所以 ， 故D选项正确. 【变式2-3】【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. ▌题型03 函数的奇偶性和对称性相结合 【例3】【答案】2 【分析】首先根据题目条件得出函数周期，再通过给出的函数解析式求出部分函数值，结合函数的周期性和函数值求解的值. 【详解】因为为奇函数，所以， 又因为， 所以，， 所以可知为一个最小正周期为4的周期函数， 所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以. 【变式3-1】【答案】C 【分析】利用函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】因为，所以函数的对称轴为. 又因为函数是偶函数，所以轴为其一条对称轴. 所以函数的最小正周期为. 所以 【变式3-2】【答案】ABC 【分析】AC选项根据两个对称性可得；B先求出，根据在上的单调性和对称性判断；D根据周期性和上的解析式判断. 【详解】因为是奇函数，所以的图象关于点中心对称， 则，且，故C正确； 因为，所以，则， 则，则， 得，故是的一个周期，故A正确； 因为，所以，则当时，， 则在上单调递减， 因为关于点中心对称，所以在单调递减，故B正确； ，故D错误. 【变式3-3】【答案】A 【分析】通过题目所给的条件求得函数对称中心和对称轴，从而求出函数的周期，最后将求转化为求. 【详解】因为为偶函数，所以，说明关于直线对称. ，，说明关于中心对称. 因为，所以，， 又因为， 所以，，因此周期. 所以，，即. ▌题型04 函数的周期性和对称性相结合 【例4】【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 【变式4-1】【答案】D 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以， 又，， 令，则，则，故函数是偶函数， 又，则，所以，故函数的周期为3， 所以，． 又，故． 【变式4-2】【答案】D 【分析】利用图象关于对称，得到，再利用周期为得到，故. 【详解】因为函数的图象关于对称，所以； 令，得到 又因为是定义在上周期为的函数， 所以，所以. 故选：D. 【变式4-3】【答案】B 【分析】先利用图象变换得出为偶函数，再利用得出的周期，进而利用周期性和对称性即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象， 由函数的图象关于直线对称， 可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数， 又由，得，则， 所以是周期为8的偶函数，则． 故选：B. ▌题型05 函数的单调性和对称性相结合 【例5】【答案】A 【分析】结合函数的单调性，对称性进行判断即可. 【详解】由题可知，在上单调递增，又因为关于对称， 在上单调递减. ，关于对称，. 对于A、B、C：在上单调递减，， ，故A正确，B、C错误； 对于D：在上单调递增，， ，故D错误. 故选：A. 【变式5-1】【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 【变式5-2】【答案】A 【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案. 【详解】令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. . 故选：A 【变式5-3】【答案】D 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. ▌题型06 函数的单调性、奇偶性和对称性相结合 【例6】【答案】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 【变式6-1】【答案】C 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 【变式6-2】【答案】C 【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式6-3】【答案】A 【分析】根据可判断的单调性，由的对称性可判断为奇函数，进而由单调性以及奇偶性即可求解不等式. 【详解】由可得，故在上单调递减， 又函数的图象关于点中心对称，所以的图象关于点中心对称，故为奇函数， 故不等式满足或， 所以或， 故不等式的解为， 故选：A ▌题型07 函数单调性、奇偶性和周期性相结合 【例7】【答案】BC 【解析】对A，由函数的奇偶性和周期性即可求出的值域；对B，由函数的单调性以及周期性即可求出；对C，利用奇偶性求出时的解析式，再利用周期性即可求出时的解析式；对D，由函数的周期性知在的单调性和 上的单调性一样，即可判断. 【详解】解：是定义在上的函数且， 是上的偶函数， 又， 是周期函数，且周期， 对A，时，， 易知：在上单调递减，且是上的偶函数，周期， ，， 的值域是，故A错误； 对B，， 在上单调递减， 在上单调递增， ，故B正确； 对C，当时， ， ， 又， ， 故当时，， 设，则， ， 又 ， ，故C正确； 对D，由的周期知：在的单调性和 上的单调性一样， 在 上单调递增， 在上单调递增，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的单调性，奇偶性，周期性得出函数的性质. 【变式7-1】【答案】BD 【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出函数在区间上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数在上的解析式，可判断C选项的正误；利用C中的解析式结合周期性可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由已知可得，则， 故函数是周期函数，且周期为，A选项错误； 对于B选项，当时，， 由于函数为偶函数，则当时，， 所以，当时，， 由于函数是周期为的周期函数，故函数的最大值是，最小值是，B选项正确； 对于C选项，当时，， 当时，，则，C选项错误； 对于D选项，由C选项可知，函数在上单调单调递增，在上单调递减， 由于函数是周期为的周期函数，故函数在上单调递增，在上单调递减，D选项正确. 故选：BD. 【变式7-2】【答案】ABD 【分析】根据题意，分析可得区间上，的解析式，再分析函数的周期性，可得的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案． 【详解】根据题意，时，，因为时，， 所以， 又由，则， 即，， 若，则，， 若，则，， 故在区间上，所以关于原点对称， 又由，则，即函数是周期为的周期函数， 故的图象关于原点对称， 由此分析选项： 对于A，的图象关于原点对称，为奇函数，故A正确； 对于B，当时，则，则， 函数是周期为的周期函数，则，故B正确； 对于C，在区间上，，则，， 所以，故的值域一定不是，故C错误； 对于D，因为时，，所以，， 又，则， 则有，，故， 所以 ，故D正确； 故选：ABD． ▌题型08 函数的奇偶性、周期性和对称性相结合 【例8】【答案】ABD 【分析】先根据条件推得函数的一个周期为8且为奇函数，再根据各选项要求，利用赋值，整体代换，运用奇函数的定义，函数对称性的表示以及周期函数的求和方法逐一求解即可. 【详解】由，可知函数的一个周期为8. 又因是偶函数，则，即，可得①， 由上分析，，则得，由函数的一个周期为8，可得② 由①②可得，即函数是奇函数. 对于A，在中，取，得，故A正确； 对于B，设，则，而， 故有，故为奇函数，即B正确； 对于C，因，即函数关于直线对称，而相当于将向右移1个单位， 即关于直线对称，故与图象关于直线对称，故C错误； 对于D，由上得，则对于，， 设，则有，，即数列的一个周期为4. 于是，， 即当被4除余数为1或2时，；当被4除余数为0或3时，， 于是可将和式按照每四项分组求和， 而每组的和可表示为，， 故，故D正确. 【变式8-1】【答案】BCD 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A错误； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，故选项B正确； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D正确. 【变式8-2】【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的对称性，及条件的变形即可判断ABD选项，再通过函数的周期可求解选项C 【详解】对于A：因为为偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确. 对于B：因为， 因为为奇函数，所以，即， ，所以的最小正周期为4，故B正确. 对于C：因为， 所以； 所以， 故C正确， 对于D：由B的解析可知， 所以的图象关于点对称.故D错误 【变式8-3】【答案】ACD 【分析】先赋值求出并利用舍去，得判定A正确；再令推出，知函数为偶函数，C正确；令得到递推式，递推推出周期为6，算出一个周期内函数值和为0，由求出前2026项和为，故B错误；利用周期推论与偶函数性质，验证得函数关于中心对称，D正确. 【详解】对于A,令,得，整理得，故或. 若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确； 对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确. 对于B，令，则，即. 由此递推：， 则， 于是，故的一个周期为. 又，，， ，， ，， 则 因， 故,B错误. 对于D，由C项知，则，又是偶函数，有， 即，而， 故，即，故关于对称，D正确. ▌题型09 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性相结合 【例9】【答案】ABD 【分析】对于A，通过为奇函数可得，那么函数图象关于点对称；对于B，若为偶函数，则，结合选项A可以推导出周期，从而；对于C，由题可得在上单调递减，从而判断；对于D，因为，，可得. 【详解】对于A，若为奇函数，则，那么函数图象关于点对称，A正确； 对于B，若为偶函数，则，那么， 由选项A可知，那么 ， 所以，，那么， 所以，，所以函数的周期，，B正确； 对于C，对任意的，，，都有，则函数在上单调递减，，C错误； 对于D，由选项AB可知，函数的周期，所以， 又函数图象关于点对称，所以， 所以，故为奇函数，D正确． 【变式9-1】【答案】BC 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 也即， 当时，成立， 当时，， 又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，， 由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时， 所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. 【变式9-2】【答案】ACD 【分析】根据题意，求得，由为偶函数，得到，进而求得，求得，可判定A正确；令，得到，再令，求得，可判定B错误；求得，得到函数关于点中心对称，结合，可判定C正确；求得 ，求得在上的值域为，结合，得到在上的值域，可判定D正确. 【详解】对于A，由，可得， 又由，可得， 所以，可得， 令，则，可得，即， 因为函数为偶函数，所以，所以， 即，所以， 所以是周期为的函数，所以，所以A正确； 对于B，由，令，可得，所以， 又由，令，可得，所以，所以B错误； 对于C，，可得， 由A项知，函数是周期为的函数，可得， 又因为为偶函数，可得，即， 由选项A的推导可得，又为偶函数， 所以，又的周期为， 所以，所以函数关于点中心对称， 因为，所以函数关于点中心对称，所以C正确； 对于D，由题干条件可得，若在上单调递减， 则，与矛盾，故在上单调递增， 所以，当时，的值域为， 又，函数为偶函数， 所以，故函数关于点中心对称， 当时，的值域为， 所以函数在上的值域为，即函数在上的值域为， 又因为，所以函数在上的值域为，所以D正确. 故选：ACD. 【变式9-3】【答案】BCD 【分析】分析函数的周期性、对称性、奇偶性，根据函数性质分析函数，即可求解. 【详解】函数满足， ， 即函数是周期为4的周期函数． A选项中，，故A错误； B选项中，，结合并令，可得， 又因为当时，，则， 所以，故B正确， C选项中，当时， ， 由是R上的奇函数且周期为4， 所以 ， 即在上递增 ， 故C正确， D选项中，由， 所以， ， 即， 所以是函数的对称中心 ， 又因为为奇函数，关于原点中心对称， 所以为奇函数的对称中心 ，故D正确， 故选:BCD． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题9种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 函数的单调性和奇偶性相结合 题型 02 函数的奇偶性和周期性相结合 题型 03 函数的奇偶性和对称性相结合 题型 04 函数的周期性和对称性相结合 题型 05 函数的单调性和对称性相结合 题型 06 函数的单调性、奇偶性和对称性相结合 题型 07 函数单调性、奇偶性和周期性相结合 题型 08 函数的奇偶性、周期性和对称性相结合 题型 09 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性相结合 ▌题型01 函数的单调性和奇偶性相结合 1. 核心逻辑 奇偶性统一自变量符号，单调性用于比较函数值，脱去 解不等式；奇函数 ，偶函数 。 2. 解题步骤 (1)先判断奇偶性，把式子中负自变量转化为正自变量； (2)确定函数单调区间，将所有自变量转化到同一个单调区间； (3)比较自变量大小，同步推出函数值大小； (4)解 型不等式：统一区间后直接去掉 ，不等号方向与单调性一致； (5)全程带上定义域，最终解集取交集。 3. 易错提醒 (1)奇函数变形忘记负号，直接写 ； (2)解不等式忽略函数定义域限制； (3)单调递减函数脱去 时不等号不反向。 【例1】（2026高一·贵州铜仁·期末）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026高一·安徽阜阳·阶段检测）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【变式1-3】（2026高一·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． ▌题型02 函数的奇偶性和周期性相结合 1.核心逻辑 周期把超大/超小自变量压缩到短区间，奇偶性处理负数自变量，二者搭配求函数值。 2.解题步骤 (1)根据条件求出周期，将所求自变量改写为（为小范围自变量）； (2)，若为负数，利用奇偶性转化为正数； (3)代入已知区间解析式，计算最终函数值。 3.易错提醒 (1)周期计算错误，自变量化简不到已知区间； (2)奇偶性符号变换出错。 【例2】（2026高二·重庆·期末）为定义在上的奇函数，且，当时，，则________． 【变式2-1】【多选】（2026高一·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】【多选】（2026高二·内蒙古通辽·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 【变式2-3】（26-27高三·全国·一轮复习）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． ▌题型03 函数的奇偶性和对称性相结合 1.核心逻辑 奇偶性自带对称（偶：；奇：），叠加一条对称轴/对称中心，可直接推导周期；无周期需求值时，用对称公式转化自变量。 常用结论： ①偶函数+对称轴，最小正周期； ②奇函数+对称轴，最小正周期。 2.解题步骤 (1)由奇偶性对称性写出对应恒等式； (2)联立两式迭代推导周期（求值题可跳过，直接转化自变量）； (3)把待求自变量转化到已知函数值区间； (4)代入计算函数值。 3.易错提醒 (1)混淆“奇函数+对称轴”周期与“偶函数+对称轴”周期； (2)轴对称公式写错。 【例3】（2026高二·甘肃兰州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 【变式3-1】（2026高二·西藏昌都·期末）设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】【多选】（2026高二·甘肃定西·期末）函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则（     ） A．一定是周期函数 B．在单调递减 C． D． 【变式3-3】（2026高二·吉林长春·期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ） A． B．1 C．2 D． ▌题型04 函数的周期性和对称性相结合 1.核心逻辑 两条对称条件（双对称轴；双对称中心；轴+中心）可直接算出周期，再用周期化简自变量求值。 周期速记： 1.两条对称轴，，，； 2.两个对称中心，，； 3.一条对称轴+一个对称中心，。 2.解题步骤 (1)根据题干对称条件，匹配结论求出周期； (2)利用周期将大自变量缩小到基础区间； (3)再用对称关系进一步简化自变量； (4)结合已知条件算出函数值。 3.易错提醒 (1)轴+中心的周期记成，正确为； (2)不会迭代联立对称式推导周期。 【例4】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【变式4-1】（2026高三·广西贵港·开学考试）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则（   ） A． B． C．0 D．2 【变式4-2】（2026高一·重庆·阶段检测）已知是定义在上周期为2的函数，且的图象关于对称．当时，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌题型05 函数的单调性和对称性相结合 1.核心逻辑 函数关于轴对称，则与单调性相反；利用表示到对称轴距离，统一到单侧单调区间。 规律： -左增右减：函数值越小⇨到对称轴距离越大 -左减右增：函数值越小⇨到对称轴距离越小 2.解题步骤 (1)确定对称轴，分清对称轴左右单调性； (2)等价转化为，的大小不等式； (3)平方去掉绝对值，解整式不等式； (4)结合定义域取交集。 3.易错提醒 (1)左右单调性相反，距离和函数值大小关系写反； (2)忽略定义域直接解绝对值不等式。 【例5】（2026高三·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026高三·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026高一·山东济宁·阶段检测）已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026高三·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． ▌题型06 函数的单调性、奇偶性和对称性相结合 1.核心逻辑 三步走化简：奇偶去负号→对称平移自变量→同一单调区间用单调性求解。 2.解题步骤 (1)奇偶性：消除自变量负号，统一为正数； (2)对称性：利用，把所有自变量转到对称轴同一侧； (3)看单侧单调性，脱去列出普通不等式； (4)联立定义域，求出解集。 3.易错提醒 跳过奇偶化简，直接使用对称公式，符号处理出错。 【例6】（2026高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026高一·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026高一·江苏·期中）已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． ▌题型07 函数单调性、奇偶性和周期性相结合 1.核心逻辑 三步化简顺序：周期压缩自变量范围→奇偶性去掉负号→统一单调区间比大小/解不等式。 2.解题步骤 (1)用周期把超大自变量化为小区间内自变量； (2)负数自变量通过奇偶性转化为正数； (3)全部自变量落在同一单调区间后，利用单调性脱去； (4)结合定义域，整理最终解集或函数值。 3.易错提醒 化简顺序颠倒，先处理奇偶再用周期，计算变复杂。 【例7】【多选】（2026高一·湖北孝感·期中）已知是定义在上的函数，满足，且对任意的恒有，且当时，，则（    ） A．函数的值域是 B． C．时， D．函数在上递减 【变式7-1】【多选】（2026高一·广东广州·期末）设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，，则有（    ） A．函数是周期函数，且周期为 B．函数的最大值是，最小值是 C．当时， D．函数在上单调递增，在上单调递减 【变式7-2】【多选】（2026高一·江苏宿迁·期末）已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（    ） A．为奇函数 B．在上的解析式为 C．的值域为 D． ▌题型08 函数的奇偶性、周期性和对称性相结合 1.核心逻辑 奇偶+对称可推出周期，周期再化简自变量，三步配合求函数值。 2.解题步骤 (1)联立奇偶对称恒等式，迭代求出最小正周期； (2)周期缩小自变量至短区间； (3)奇偶对称再次化简自变量； (4)代入已知条件计算函数值。 3.易错提醒 不会联立奇偶与对称条件推导周期，只能简单代值无法求解。 【例8】【多选】（2026高二·辽宁大连·期末）若定义在R上的函数满足且是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．与图象关于直线对称 D． 【变式8-1】【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是周期为2的周期函数 B．的图象关于对称 C．当时 D． 【变式8-2】【多选】（2026高二·河北沧州·期末）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 【变式8-3】【多选】（山西2026年高考考前综合评价（二模）数学试题）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 ▌题型09 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性相结合 1.核心逻辑 四大性质综合万能化简顺序：周期压缩自变量→奇偶消去负号→对称转到同一单调区间→单调性解题 2.解题步骤 (1)周期处理：，将任意自变量压缩到一个基础周期区间； (2)奇偶处理：负自变量转为正自变量； (3)对称处理：利用对称轴把自变量全部转移到对称轴一侧； (4)单调性：同一区间内比较自变量大小，推出函数值关系，解不等式； (5)结合定义域约束，取交集得到最终答案。 3.易错提醒 (1)化简顺序混乱，区间不统一导致单调性无法使用； (2)同时混用多个性质时，遗漏定义域限制条件。 【例9】【多选】（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（     ） A．的图象关于对称 B． C． D．是奇函数 【变式9-1】【多选】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 【变式9-2】【多选】（2026高一·山东临沂·期中）已知，均为上的函数，，，且为偶函数，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．图象的一个对称中心为点 D．若，的图象连续不断，且在区间上单调，则的值域为 【变式9-3】【多选】已知是R上的奇函数，满足，当时，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C．在上递增 D．为的对称中心 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题9种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 函数的单调性和奇偶性相结合 题型 02 函数的奇偶性和周期性相结合 题型 03 函数的奇偶性和对称性相结合 题型 04 函数的周期性和对称性相结合 题型 05 函数的单调性和对称性相结合 题型 06 函数的单调性、奇偶性和对称性相结合 题型 07 函数单调性、奇偶性和周期性相结合 题型 08 函数的奇偶性、周期性和对称性相结合 题型 09 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性相结合 ▌题型01 函数的单调性和奇偶性相结合 1. 核心逻辑 奇偶性统一自变量符号，单调性用于比较函数值，脱去 解不等式；奇函数 ，偶函数 。 2. 解题步骤 (1)先判断奇偶性，把式子中负自变量转化为正自变量； (2)确定函数单调区间，将所有自变量转化到同一个单调区间； (3)比较自变量大小，同步推出函数值大小； (4)解 型不等式：统一区间后直接去掉 ，不等号方向与单调性一致； (5)全程带上定义域，最终解集取交集。 3. 易错提醒 (1)奇函数变形忘记负号，直接写 ； (2)解不等式忽略函数定义域限制； (3)单调递减函数脱去 时不等号不反向。 【例1】（2026高一·贵州铜仁·期末）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在上单调递减，且，所以， 故选：A 【变式1-1】（2026高一·安徽阜阳·阶段检测）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. 【变式1-3】（2026高一·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. ▌题型02 函数的奇偶性和周期性相结合 1.核心逻辑 周期把超大/超小自变量压缩到短区间，奇偶性处理负数自变量，二者搭配求函数值。 2.解题步骤 (1)根据条件求出周期，将所求自变量改写为（为小范围自变量）； (2)，若为负数，利用奇偶性转化为正数； (3)代入已知区间解析式，计算最终函数值。 3.易错提醒 (1)周期计算错误，自变量化简不到已知区间； (2)奇偶性符号变换出错。 【例2】（2026高二·重庆·期末）为定义在上的奇函数，且，当时，，则________． 【答案】/ 【分析】依题意可得函数的周期为4，根据周期性与奇偶性计算可得答案. 【详解】由题意可知,又因为是上的奇函数满足， 所以,将换成，可得，所以周期． 因为是上的奇函数， 所以, 因为,所以, 又因为当时，，所以, 所以. 【变式2-1】【多选】（2026高一·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又，即 将替换为，可得， 所以，的周期为， 即，C错， 当时，， 则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确， 另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. 【变式2-2】【多选】（2026高二·内蒙古通辽·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 【答案】BD 【分析】对于A，利用是定义在上的偶函数和，将转化至区间内求解.对于B，由得到，得到函数的一个周期为4对于C，利用的函数解析式，结合可以得到的函数解析式对于D，利用函数的周期性得到 【详解】当时，，则； 对于B选项，由可知， 所以，即， 故函数的一个周期为4.故B选项正确. 对于A选项，因为函数的一个周期为4， 所以， 又因为，所以，故A选项错误. 对于C选项，设，则， 所以. 所以.所以C选项错误. 对于D选项，由函数的一个周期为4，且是定义在上的偶函数可知 ， 由可知，. 由时，，且函数的一个周期为4可知， . 所以. 又因为函数的一个周期为4，所以 ， 所以 ， 故D选项正确. 【变式2-3】（26-27高三·全国·一轮复习）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. ▌题型03 函数的奇偶性和对称性相结合 1.核心逻辑 奇偶性自带对称（偶：；奇：），叠加一条对称轴/对称中心，可直接推导周期；无周期需求值时，用对称公式转化自变量。 常用结论： ①偶函数+对称轴，最小正周期； ②奇函数+对称轴，最小正周期。 2.解题步骤 (1)由奇偶性对称性写出对应恒等式； (2)联立两式迭代推导周期（求值题可跳过，直接转化自变量）； (3)把待求自变量转化到已知函数值区间； (4)代入计算函数值。 3.易错提醒 (1)混淆“奇函数+对称轴”周期与“偶函数+对称轴”周期； (2)轴对称公式写错。 【例3】（2026高二·甘肃兰州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 【答案】2 【分析】首先根据题目条件得出函数周期，再通过给出的函数解析式求出部分函数值，结合函数的周期性和函数值求解的值. 【详解】因为为奇函数，所以， 又因为， 所以，， 所以可知为一个最小正周期为4的周期函数， 所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以. 【变式3-1】（2026高二·西藏昌都·期末）设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】因为，所以函数的对称轴为. 又因为函数是偶函数，所以轴为其一条对称轴. 所以函数的最小正周期为. 所以 【变式3-2】【多选】（2026高二·甘肃定西·期末）函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则（     ） A．一定是周期函数 B．在单调递减 C． D． 【答案】ABC 【分析】AC选项根据两个对称性可得；B先求出，根据在上的单调性和对称性判断；D根据周期性和上的解析式判断. 【详解】因为是奇函数，所以的图象关于点中心对称， 则，且，故C正确； 因为，所以，则， 则，则， 得，故是的一个周期，故A正确； 因为，所以，则当时，， 则在上单调递减， 因为关于点中心对称，所以在单调递减，故B正确； ，故D错误. 【变式3-3】（2026高二·吉林长春·期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】通过题目所给的条件求得函数对称中心和对称轴，从而求出函数的周期，最后将求转化为求. 【详解】因为为偶函数，所以，说明关于直线对称. ，，说明关于中心对称. 因为，所以，， 又因为， 所以，，因此周期. 所以，，即. ▌题型04 函数的周期性和对称性相结合 1.核心逻辑 两条对称条件（双对称轴；双对称中心；轴+中心）可直接算出周期，再用周期化简自变量求值。 周期速记： 1.两条对称轴，，，； 2.两个对称中心，，； 3.一条对称轴+一个对称中心，。 2.解题步骤 (1)根据题干对称条件，匹配结论求出周期； (2)利用周期将大自变量缩小到基础区间； (3)再用对称关系进一步简化自变量； (4)结合已知条件算出函数值。 3.易错提醒 (1)轴+中心的周期记成，正确为； (2)不会迭代联立对称式推导周期。 【例4】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 【变式4-1】（2026高三·广西贵港·开学考试）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以， 又，， 令，则，则，故函数是偶函数， 又，则，所以，故函数的周期为3， 所以，． 又，故． 【变式4-2】（2026高一·重庆·阶段检测）已知是定义在上周期为2的函数，且的图象关于对称．当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象关于对称，得到，再利用周期为得到，故. 【详解】因为函数的图象关于对称，所以； 令，得到 又因为是定义在上周期为的函数， 所以，所以. 故选：D. 【变式4-3】（2026高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先利用图象变换得出为偶函数，再利用得出的周期，进而利用周期性和对称性即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象， 由函数的图象关于直线对称， 可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数， 又由，得，则， 所以是周期为8的偶函数，则． 故选：B. ▌题型05 函数的单调性和对称性相结合 1.核心逻辑 函数关于轴对称，则与单调性相反；利用表示到对称轴距离，统一到单侧单调区间。 规律： -左增右减：函数值越小⇨到对称轴距离越大 -左减右增：函数值越小⇨到对称轴距离越小 2.解题步骤 (1)确定对称轴，分清对称轴左右单调性； (2)等价转化为，的大小不等式； (3)平方去掉绝对值，解整式不等式； (4)结合定义域取交集。 3.易错提醒 (1)左右单调性相反，距离和函数值大小关系写反； (2)忽略定义域直接解绝对值不等式。 【例5】（2026高三·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，对称性进行判断即可. 【详解】由题可知，在上单调递增，又因为关于对称， 在上单调递减. ，关于对称，. 对于A、B、C：在上单调递减，， ，故A正确，B、C错误； 对于D：在上单调递增，， ，故D错误. 故选：A. 【变式5-1】（2026高三·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 【变式5-2】（2026高一·山东济宁·阶段检测）已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案. 【详解】令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. . 故选：A 【变式5-3】（2026高三·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. ▌题型06 函数的单调性、奇偶性和对称性相结合 1.核心逻辑 三步走化简：奇偶去负号→对称平移自变量→同一单调区间用单调性求解。 2.解题步骤 (1)奇偶性：消除自变量负号，统一为正数； (2)对称性：利用，把所有自变量转到对称轴同一侧； (3)看单侧单调性，脱去列出普通不等式； (4)联立定义域，求出解集。 3.易错提醒 跳过奇偶化简，直接使用对称公式，符号处理出错。 【例6】（2026高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 【变式6-1】（2026高一·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 【变式6-2】（2026高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式6-3】（2026高一·江苏·期中）已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可判断的单调性，由的对称性可判断为奇函数，进而由单调性以及奇偶性即可求解不等式. 【详解】由可得，故在上单调递减， 又函数的图象关于点中心对称，所以的图象关于点中心对称，故为奇函数， 故不等式满足或， 所以或， 故不等式的解为， 故选：A ▌题型07 函数单调性、奇偶性和周期性相结合 1.核心逻辑 三步化简顺序：周期压缩自变量范围→奇偶性去掉负号→统一单调区间比大小/解不等式。 2.解题步骤 (1)用周期把超大自变量化为小区间内自变量； (2)负数自变量通过奇偶性转化为正数； (3)全部自变量落在同一单调区间后，利用单调性脱去； (4)结合定义域，整理最终解集或函数值。 3.易错提醒 化简顺序颠倒，先处理奇偶再用周期，计算变复杂。 【例7】【多选】（2026高一·湖北孝感·期中）已知是定义在上的函数，满足，且对任意的恒有，且当时，，则（    ） A．函数的值域是 B． C．时， D．函数在上递减 【答案】BC 【解析】对A，由函数的奇偶性和周期性即可求出的值域；对B，由函数的单调性以及周期性即可求出；对C，利用奇偶性求出时的解析式，再利用周期性即可求出时的解析式；对D，由函数的周期性知在的单调性和 上的单调性一样，即可判断. 【详解】解：是定义在上的函数且， 是上的偶函数， 又， 是周期函数，且周期， 对A，时，， 易知：在上单调递减，且是上的偶函数，周期， ，， 的值域是，故A错误； 对B，， 在上单调递减， 在上单调递增， ，故B正确； 对C，当时， ， ， 又， ， 故当时，， 设，则， ， 又 ， ，故C正确； 对D，由的周期知：在的单调性和 上的单调性一样， 在 上单调递增， 在上单调递增，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的单调性，奇偶性，周期性得出函数的性质. 【变式7-1】【多选】（2026高一·广东广州·期末）设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，，则有（    ） A．函数是周期函数，且周期为 B．函数的最大值是，最小值是 C．当时， D．函数在上单调递增，在上单调递减 【答案】BD 【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出函数在区间上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数在上的解析式，可判断C选项的正误；利用C中的解析式结合周期性可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由已知可得，则， 故函数是周期函数，且周期为，A选项错误； 对于B选项，当时，， 由于函数为偶函数，则当时，， 所以，当时，， 由于函数是周期为的周期函数，故函数的最大值是，最小值是，B选项正确； 对于C选项，当时，， 当时，，则，C选项错误； 对于D选项，由C选项可知，函数在上单调单调递增，在上单调递减， 由于函数是周期为的周期函数，故函数在上单调递增，在上单调递减，D选项正确. 故选：BD. 【变式7-2】【多选】（2026高一·江苏宿迁·期末）已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（    ） A．为奇函数 B．在上的解析式为 C．的值域为 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，分析可得区间上，的解析式，再分析函数的周期性，可得的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案． 【详解】根据题意，时，，因为时，， 所以， 又由，则， 即，， 若，则，， 若，则，， 故在区间上，所以关于原点对称， 又由，则，即函数是周期为的周期函数， 故的图象关于原点对称， 由此分析选项： 对于A，的图象关于原点对称，为奇函数，故A正确； 对于B，当时，则，则， 函数是周期为的周期函数，则，故B正确； 对于C，在区间上，，则，， 所以，故的值域一定不是，故C错误； 对于D，因为时，，所以，， 又，则， 则有，，故， 所以 ，故D正确； 故选：ABD． ▌题型08 函数的奇偶性、周期性和对称性相结合 1.核心逻辑 奇偶+对称可推出周期，周期再化简自变量，三步配合求函数值。 2.解题步骤 (1)联立奇偶对称恒等式，迭代求出最小正周期； (2)周期缩小自变量至短区间； (3)奇偶对称再次化简自变量； (4)代入已知条件计算函数值。 3.易错提醒 不会联立奇偶与对称条件推导周期，只能简单代值无法求解。 【例8】【多选】（2026高二·辽宁大连·期末）若定义在R上的函数满足且是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．与图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【分析】先根据条件推得函数的一个周期为8且为奇函数，再根据各选项要求，利用赋值，整体代换，运用奇函数的定义，函数对称性的表示以及周期函数的求和方法逐一求解即可. 【详解】由，可知函数的一个周期为8. 又因是偶函数，则，即，可得①， 由上分析，，则得，由函数的一个周期为8，可得② 由①②可得，即函数是奇函数. 对于A，在中，取，得，故A正确； 对于B，设，则，而， 故有，故为奇函数，即B正确； 对于C，因，即函数关于直线对称，而相当于将向右移1个单位， 即关于直线对称，故与图象关于直线对称，故C错误； 对于D，由上得，则对于，， 设，则有，，即数列的一个周期为4. 于是，， 即当被4除余数为1或2时，；当被4除余数为0或3时，， 于是可将和式按照每四项分组求和， 而每组的和可表示为，， 故，故D正确. 【变式8-1】【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是周期为2的周期函数 B．的图象关于对称 C．当时 D． 【答案】BCD 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A错误； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，故选项B正确； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D正确. 【变式8-2】【多选】（2026高二·河北沧州·期末）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的对称性，及条件的变形即可判断ABD选项，再通过函数的周期可求解选项C 【详解】对于A：因为为偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确. 对于B：因为， 因为为奇函数，所以，即， ，所以的最小正周期为4，故B正确. 对于C：因为， 所以； 所以， 故C正确， 对于D：由B的解析可知， 所以的图象关于点对称.故D错误 【变式8-3】【多选】（山西2026年高考考前综合评价（二模）数学试题）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 【答案】ACD 【分析】先赋值求出并利用舍去，得判定A正确；再令推出，知函数为偶函数，C正确；令得到递推式，递推推出周期为6，算出一个周期内函数值和为0，由求出前2026项和为，故B错误；利用周期推论与偶函数性质，验证得函数关于中心对称，D正确. 【详解】对于A,令,得，整理得，故或. 若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确； 对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确. 对于B，令，则，即. 由此递推：， 则， 于是，故的一个周期为. 又，，， ，， ，， 则 因， 故,B错误. 对于D，由C项知，则，又是偶函数，有， 即，而， 故，即，故关于对称，D正确. ▌题型09 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性相结合 1.核心逻辑 四大性质综合万能化简顺序：周期压缩自变量→奇偶消去负号→对称转到同一单调区间→单调性解题 2.解题步骤 (1)周期处理：，将任意自变量压缩到一个基础周期区间； (2)奇偶处理：负自变量转为正自变量； (3)对称处理：利用对称轴把自变量全部转移到对称轴一侧； (4)单调性：同一区间内比较自变量大小，推出函数值关系，解不等式； (5)结合定义域约束，取交集得到最终答案。 3.易错提醒 (1)化简顺序混乱，区间不统一导致单调性无法使用； (2)同时混用多个性质时，遗漏定义域限制条件。 【例9】【多选】（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（     ） A．的图象关于对称 B． C． D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】对于A，通过为奇函数可得，那么函数图象关于点对称；对于B，若为偶函数，则，结合选项A可以推导出周期，从而；对于C，由题可得在上单调递减，从而判断；对于D，因为，，可得. 【详解】对于A，若为奇函数，则，那么函数图象关于点对称，A正确； 对于B，若为偶函数，则，那么， 由选项A可知，那么 ， 所以，，那么， 所以，，所以函数的周期，，B正确； 对于C，对任意的，，，都有，则函数在上单调递减，，C错误； 对于D，由选项AB可知，函数的周期，所以， 又函数图象关于点对称，所以， 所以，故为奇函数，D正确． 【变式9-1】【多选】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 【答案】BC 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 也即， 当时，成立， 当时，， 又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，， 由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时， 所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. 【变式9-2】【多选】（2026高一·山东临沂·期中）已知，均为上的函数，，，且为偶函数，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．图象的一个对称中心为点 D．若，的图象连续不断，且在区间上单调，则的值域为 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得，由为偶函数，得到，进而求得，求得，可判定A正确；令，得到，再令，求得，可判定B错误；求得，得到函数关于点中心对称，结合，可判定C正确；求得 ，求得在上的值域为，结合，得到在上的值域，可判定D正确. 【详解】对于A，由，可得， 又由，可得， 所以，可得， 令，则，可得，即， 因为函数为偶函数，所以，所以， 即，所以， 所以是周期为的函数，所以，所以A正确； 对于B，由，令，可得，所以， 又由，令，可得，所以，所以B错误； 对于C，，可得， 由A项知，函数是周期为的函数，可得， 又因为为偶函数，可得，即， 由选项A的推导可得，又为偶函数， 所以，又的周期为， 所以，所以函数关于点中心对称， 因为，所以函数关于点中心对称，所以C正确； 对于D，由题干条件可得，若在上单调递减， 则，与矛盾，故在上单调递增， 所以，当时，的值域为， 又，函数为偶函数， 所以，故函数关于点中心对称， 当时，的值域为， 所以函数在上的值域为，即函数在上的值域为， 又因为，所以函数在上的值域为，所以D正确. 故选：ACD. 【变式9-3】【多选】（专题06《函数概念与性质》中的压轴题（2）-2025-2026学年高一数学上册同步培优训练系列（苏教版2019））已知是R上的奇函数，满足，当时，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C．在上递增 D．为的对称中心 【答案】BCD 【分析】分析函数的周期性、对称性、奇偶性，根据函数性质分析函数，即可求解. 【详解】函数满足， ， 即函数是周期为4的周期函数． A选项中，，故A错误； B选项中，，结合并令，可得， 又因为当时，，则， 所以，故B正确， C选项中，当时， ， 由是R上的奇函数且周期为4， 所以 ， 即在上递增 ， 故C正确， D选项中，由， 所以， ， 即， 所以是函数的对称中心 ， 又因为为奇函数，关于原点中心对称， 所以为奇函数的对称中心 ，故D正确， 故选:BCD． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $