1.5.1 全称量词与存在量词（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“全称量词与存在量词”，引导学生理解相关概念、掌握命题识别及真假判断方法。课堂通过对比含与不含量词的语句是否为命题，衔接先前命题知识，搭建自然语言到数学逻辑命题的转化支架。 资料以实例辨析和探究问题链推动自主学习，题型分层覆盖命题类型判断、真假辨析及求参应用。助力学生用数学思维分析问题，提升逻辑语言表达严谨性，培养从数学角度观察、思考现实世界的核心素养。

1.5.1 全称量词与存在量词（导学案） （解析版） 1、理解全称量词、存在量词的含义，掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能够判断两类命题的真假。 2、通过实例辨析、对比探究，提升逻辑语言表达能力，学会将自然语言转化为数学逻辑命题。 3、感受常用逻辑用语的严谨性，培养严谨的数学思维，体会数学语言简洁准确的特点。 重点：全称量词、存在量词的概念；全称量词命题与存在量词命题的概念及符号表示；全称量词命题与存在量词命题的真假判断。 难点：省略量词的命题的类型识别；全称量词命题与存在量词命题的真假判断方法；含量词命题的求参问题中命题真假与不等式恒成立、方程有解的转化。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：________，读作“对任意属于，有成立”。 【答案】， 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （3）存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为：________，读作“存在中的元素，使成立”。 【答案】， 【2】概念填空 判断正误。 （1）命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( ) （2）命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( ) （3）命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( ) 【答案】 （1）错误 （2）正确 （3）正确 探究一、全称量词与全称量词命题 问题1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (3)对所有的； (2)是整数； (4)对任意一个是整数. 【答案】（1）和（2）无法判断真假，不是命题 ；（3）和（4）加入量词对进行限定后，可以判断真假，是命题。 问题2：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (3)存在一个，使； (2)； (4)至少有一个能被2和3整除. 【答案】（1）和（2）无法判断真假，不是命题 ；（3）和（4）加入量词对进行限定后，可以判断真假，是命题。 【辨析1-1】下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根； ②所有素数都是奇数； ③有些一元二次方程无实数根； ④三角形的内角和是． ． ． ． ． 【答案】 【辨析1-2】下列命题中是存在量词命题的是（    ） ．平行四边形的对边相等 ．同位角相等 ．任何实数都存在相反数 ．存在实数没有倒数 【答案】 【知识点拨】 判断命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法： (1)分析命题中是否含有量词; (2)分析量词是全称量词还是存在量词; (3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断. 思考1：全称量词命题和存在量词命题中的“，与”表达的含义分别是什么？ 【答案】元素 可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形， 集合 是这些元素的某一特定的范围. 表示集合的所有元素满足的性质. 如：“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“” 思考2：在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？ 【答案】在存在量词命题中，量词不可以省略； 在有些全称量词命题中，量词可以省略. 【例1】写判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)； (3)对任意一个无理数，也是无理数。 解： (1)假， (2)真， (3)假 【例2】判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数，使； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 解： (1)假， (2)假， (3)真 【题型1：判断命题的类型】 1、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用“”“”表示。 (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数方程恰有一个解； (3)一定有整数使得成立； (4)所有的有理数都能使是有理数。 解： (1)全称量词命题，真命题。 (2)全称量词命题，恰有一个解；假命题。 (3)存在量词命题，；真命题。 (4)全称量词命题，是有理数；真命题。 【题型2：判断含量词命题的真假】 1、指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假。 (1)是偶数； (2)存在一个使； (3)对任意实数； (4)有一个角，使. 解： (1)假， (2)假， (3)真， (4)真 2、下列命题中是真命题的为（ ） ．，使 ．， ．， ．，使 【答案】 3、以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 ．至少有一个实数，使 ．两个无理数的和必是无理数 ．存在一个负数，使 【答案】 【题型3：含量词命题的求参问题】 1、若，方程恒有解，求实数的取值范围。 解：当时，方程恒有解，所以； 当时， ∵方程恒有解， ∴恒成立， 即恒成立。 又是一个关于的一元二次不等式， ∴，解得. 综上所述，的范围是. 2、已知命题是真命题，求实数的取值范围。 解：∵，∴. 由题意知又 ∴∴ 故实数的取值范围为. 3、已知命题，命题若与都是真命题，求实数的取值范围. 解：若为真命题，则对,有恒成立，∴ 若为真命题，则关于的方程有实数根，所以即或. 综上，实数的取值范围为. 一、单选题 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 2．将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（    ） A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的概念，改写命题，即可得答案。 【详解】命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2。 故选：D 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择。 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除； 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题。 故选：C. 4．使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题为真有求出充要条件，再由充分性的定义确定命题为真的一个充分条件即可。 【详解】要使为真命题，则只需，可得， 结合各项知，只有A中是该命题为真的一个充分条件。 故选：A 5．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题。 6．命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可。 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 7．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案。 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 8．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题是真命题，得，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当命题是真命题时，只需当时，， 又因为当时，的最小值是，所以， 结合各个选项可知，只有是的充分不必要条件， 故选：D. 二、多选题 9．下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 【答案】AD 【分析】根据算术平方根定义、命题的真假判断AD；举例判断BD； 【详解】对于A，必有算术平方根为，命题是真命题，A正确； 对于B，取，是有理数，命题是假命题，B错误； 对于C，因为，且是连续整数且其中必有一个是偶数， 所以一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C错误； 对于D，取是无理数，是无理数，故该命题是真命题，D正确； 故选：AD. 10．已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据真子集的概念结合条件即得. 【详解】 ，，又，集合是集合的真子集， 故若元素在集合里就一定在集合里，A正确； 若元素在集合里不一定在集合里，B错误； 所以，，CD正确. 故选：ACD. 11．已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】ABD 【分析】由自变量的取值范围以及不等式可得，可得结论. 【详解】根据题意可知不等式恒成立， 可得，即. 因此实数的值可以是. 故选：ABD 三、填空题 12．命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【分析】根据题意可得，进而最值可得，即可得结果. 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 13．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 14．下列语句中，是全称量词命题的是______，是存在量词命题的是______． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数． 【答案】 ①②③； ④ 【分析】根据命题中所含量词，以及全称命题与特称命题的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】①可表述为“每一个菱形的四条边相等”，是全称量词命题； ②含有全称量词“所有”，是全称量词命题； ③可表述为“所有负数的立方根都不等于0”，是全称量词命题； ④含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题。 故答案为： ①②③； ④ 四、解答题 15．用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 【答案】(1)． (2)方程恰有一解． 【分析】根据全称量词命题书写形式进行书写 【详解】（1）． （2）方程恰有一解． 16．用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【答案】(1)，既能被整除，又能被整除； (2)，不是平行四边形． 【分析】根据存在量词命题的表示形式即可得解。 【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在中的元素，”，用符号表示为“，”, 所以原命题表述为：，既能被整除，又能被整除； （2）原命题表述为：，不是平行四边形。 17．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可。 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点。 （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上。 18．设命题，，命题，. (1)命题为真，求实数的取值范围； (2)若都为真命题，求实数的取值范围。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，计算即可得； （2）结合（1）中所得，再解出即可得。 【详解】（1）命题为真时，有，解得， （2）命题为真时，有，解得， 又命题为真时，，故都为真命题时，. 19．已知，. (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）由已知可得，可得，求解即可。 【详解】（1）若是真命题，则，解得， 所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 因为，所以， 解得，所以实数的取值范围为. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.1 全称量词与存在量词（导学案） 1、理解全称量词、存在量词的含义，掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能够判断两类命题的真假。 2、通过实例辨析、对比探究，提升逻辑语言表达能力，学会将自然语言转化为数学逻辑命题。 3、感受常用逻辑用语的严谨性，培养严谨的数学思维，体会数学语言简洁准确的特点。 重点：全称量词、存在量词的概念；全称量词命题与存在量词命题的概念及符号表示；全称量词命题与存在量词命题的真假判断。 难点：省略量词的命题的类型识别；全称量词命题与存在量词命题的真假判断方法；含量词命题的求参问题中命题真假与不等式恒成立、方程有解的转化。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：________，读作“对任意属于，有成立”。 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （3）存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为：________，读作“存在中的元素，使成立”。 【2】概念填空 判断正误。 （1）命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( ) （2）命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( ) （3）命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( ) 探究一、全称量词与全称量词命题 问题1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (3)对所有的； (2)是整数； (4)对任意一个是整数. 问题2：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (3)存在一个，使； (2)； (4)至少有一个能被2和3整除。 【辨析1-1】下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根； ②所有素数都是奇数； ③有些一元二次方程无实数根； ④三角形的内角和是． ． ． ． ． 【辨析1-2】下列命题中是存在量词命题的是（    ） ．平行四边形的对边相等 ．同位角相等 ．任何实数都存在相反数 ．存在实数没有倒数 【知识点拨】 判断命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法： (1)分析命题中是否含有量词; (2)分析量词是全称量词还是存在量词; (3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断. 思考1：全称量词命题和存在量词命题中的“，与”表达的含义分别是什么？ 思考2：在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？ 【例1】写判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)； (3)对任意一个无理数，也是无理数。 【例2】判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数，使； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 【题型1：判断命题的类型】 1、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用“”“”表示。 (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数方程恰有一个解； (3)一定有整数使得成立； (4)所有的有理数都能使是有理数。 【题型2：判断含量词命题的真假】 1、指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假。 (1)是偶数； (2)存在一个使； (3)对任意实数； (4)有一个角，使. 2、下列命题中是真命题的为（ ） ．，使 ．， ．， ．，使 3、以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 ．至少有一个实数，使 ．两个无理数的和必是无理数 ．存在一个负数，使 【题型3：含量词命题的求参问题】 1、若，方程恒有解，求实数的取值范围。 2、已知命题是真命题，求实数的取值范围。 3、已知命题，命题若与都是真命题，求实数的取值范围. 一、单选题 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 2．将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（    ） A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 4．使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 6．命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 7．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 8．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 10．已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 11．已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 三、填空题 12．命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 13．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 14．下列语句中，是全称量词命题的是______，是存在量词命题的是______． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数． 四、解答题 15．用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 16．用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 17．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 18．设命题，，命题，. (1)命题为真，求实数的取值范围； (2)若都为真命题，求实数的取值范围。 19．已知，. (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围。 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $