3.7.2解决所列方程中含x，y系数不都为1的实际问题（课件）2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一次方程（组）中含x、y系数不都为1的实际问题，通过小华家到学校的路程问题导入，结合图示引导发现上坡下坡路程关系，衔接基础和差模型，搭建从简单到复杂的学习支架。 其特色在于以单价数量、行程路程等实际场景为载体，通过图示、列表等方式引导学生发现等量关系，培养抽象能力和模型意识。注重加减消元法的系统训练，如配套问题中列方程组求解，提升运算能力和推理意识。学生能提升解决实际问题的能力，教师可借助梯度化练习和多样化场景优化教学。

授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学七年级上册教学课件 第3章 一次方程（组） 3.7.2解决所列方程中含x，y系数不都为1的实际问题 2026年8月7日 湘教版七年级上册数学3.7.2解决所列方程中含x，y系数不都为1的实际问题同步练习题 核心知识点回顾：本节在$$x+y=$$基础和模型上升级，解决含$$x、y$$系数不都为1的实际问题。常见场景：单价×数量、工作总量、行程路程、分段计费等。题型特征：方程组中至少一个方程含$$2x、3y、0.5x$$等非1系数。解题步骤：设双未知数、根据两种等量关系列二元一次方程组、优先用加减消元法统一系数求解、检验作答。 一、基础填空题（每空2分，共30分） 1. 当方程中未知数系数不为1时，最适合用________消元法解题。 2. 已知钢笔每支5元，笔记本每本2元，购买钢笔$$x$$支、笔记本$$y$$本，总费用为________元。 3. 方程$$2x+3y=24$$中，未知数$$x$$的系数是________，$$y$$的系数是________。 4. 甲乙两种零件，甲每个用时3分钟，乙每个用时2分钟，制作甲$$x$$个、乙$$y$$个，总用时为________分钟。 5. 方程组$$\begin{cases}x+y=10\\2x+5y=38\end{cases}$$，相比基础和差模型，升级点在________。 6. 解方程$$3x+2y=19$$与$$x+y=7$$联立方程组，解得$$x=$$________，$$y=$$________。 7. 大车每次运4吨，小车每次运2吨，大车$$x$$次、小车$$y$$次共运32吨，列方程________。 8. 已知$$\begin{cases}2x-y=5\\3x+2y=24\end{cases}$$，方程组解为________。 二、基础选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程组属于系数不都为1的题型是（） A. $$\begin{cases}x+y=8\\x-y=2\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=12\\3x+4y=40\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x+y=5\\2x+y=7\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x=2y\\x+y=9\end{cases}$$ 2. 购买2支签字笔、3本练习本共花费16元，设签字笔$$x$$元/支，练习本$$y$$元/本，方程正确的是（） A. $$2x+3y=16$$ B. $$x+y=16$$ C. $$3x+2y=16$$ D. $$2x-3y=16$$ 3. 此类应用题不能直接用简单和差消元的原因是（） A. 无总量关系 B. 未知数系数不统一、不为1 C. 数据过大 D. 无差值关系 4. 方程组$$\begin{cases}x+y=15\\4x+2y=40\end{cases}$$的解为（） A. $$\begin{cases}x=5\\y=10\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x=10\\y=5\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x=3\\y=12\end{cases}$$ 5. 解$$\begin{cases}2x+3y=27\\x+2y=16\end{cases}$$，统一x的系数需要（） A. 第二个方程乘2 B. 第一个方程乘2 C. 两式同时乘2 D. 无需变形 6. 工人生产甲、乙产品，甲单件产值6元，乙单件产值4元，总产量产值模型是（） A. $$x+y$$ B. $$6x+4y$$ C. $$10xy$$ D. $$6x-4y$$ 7. 方程组系数不都为1时，解题关键是（） A. 直接加减 B. 统一相同未知数系数再消元 C. 直接代入 D. 估算求解 8. 已知$$3x+5y=41$$，$$x+y=9$$，则y的值为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 三、能力提升解答题（共36分） 1.（12分）基础价格问题：购买3个篮球和2个足球共280元，购买1个篮球和2个足球共120元，求篮球、足球的单价。 2.（12分）工作量问题：甲每小时加工4个零件，乙每小时加工3个零件，甲乙一共工作10小时，共加工34个零件，求甲乙各自的工作时长。 3.（12分）数量总价综合问题：商店购进A、B两种商品共40件，A商品进价15元/件，B商品进价10元/件，总进价475元，求A、B两种商品各购进多少件？ 四、拓展思考题（10分） 有2辆大车和3辆小车一次可运货15.5吨，5辆大车和6辆小车一次可运货35吨，求每辆大车和每辆小车的运货量。 参考答案与详细解析 一、填空题 1. 加减；2. $$5x+2y$$；3. 3、2；4. $$3x+2y$$；5. 未知数系数不为1；6. 5、2；7. $$4x+2y=32$$；8. $$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$$ 二、选择题 1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.B 7.B 8.B 三、解答题 1. 解：设篮球单价$$x$$元，足球单价$$y$$元，列方程组$$\begin{cases}3x+2y=280\\x+2y=120\end{cases}$$，两式相减得$$2x=160$$，解得$$x=80$$，回代得$$y=20$$。答：篮球单价80元，足球单价20元。 2. 解：设甲工作$$x$$小时，乙工作$$y$$小时，列方程组$$\begin{cases}x+y=10\\4x+3y=34\end{cases}$$，解得$$x=4，y=6$$。答：甲工作4小时，乙工作6小时。 3. 解：设购进A商品$$x$$件，B商品$$y$$件，列方程组$$\begin{cases}x+y=40\\15x+10y=475\end{cases}$$，化简求解得$$x=15，y=25$$。答：A商品15件，B商品25件。 四、拓展思考题 解：设每辆大车运$$x$$吨，每辆小车运$$y$$吨，列方程组$$\begin{cases}2x+3y=15.5\\5x+6y=35\end{cases}$$，第一个方程乘2得$$4x+6y=31$$，与第二个方程相减得$$x=4$$，回代得$$y=2.5$$。答：大车每辆运4吨，小车每辆运2.5吨。 题型总结：本套习题聚焦系数不都为1的二元一次方程组实际问题，是上一节基础和差模型的进阶题型。重点训练学生识别非1系数题型、根据单价数量、工作效率、运输载重等场景列方程，熟练运用“统一系数、加减消元”的核心解法。针对性解决学生系数变形错误、列式漏乘数量、消元步骤混乱等高频问题，题型覆盖考试高频应用场景，梯度合理，完善了二元一次方程组应用题的解题体系，助力学生应对各类综合考题。 探索新知 小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走40m，平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，则他从家里到学校需15min，从学校到家里需10min. 试问：小华家离学校多远? 思 考 15min 10 min 40m/min 60m/min 60m/min 80m/min 通过图示，你有什么发现？ 小华家向家所走的下坡路上等于小华去学校所走的上坡路长. 根据图示，你能找到其中得等量关系吗？ 本问题中的等量关系： 走上坡路的时间+走平路的时间=15min 走平路的时间+走下坡路的时间=10min 设小华家到学校的上坡路长 x m，平路长 y m，则 根据等量关系，得 ___________ ___________ 解得 于是，上坡路与平路的长度之和为 x+y=400+300=700 (m). 因此，小华家离学校700m. 练一练 小李骑电动自行车，预计用相同的时间往返于甲、乙两地，去时电动自行车的车速是18 km/h，结果早到20 min；返回时，以15 km/h 的速度行进，结果晚到4 min. 求预计时间和甲、乙两地间的距离． 应用1 配套问题 用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面， 做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里 有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸 盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒个，横式纸盒 个， 恰好将库存的纸板用完，则可列方程组是( ) B. C. D. D 返回 举一反三 7 2.某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大 齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套， 则每天安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？ 举一反三 8 【解】设每天安排名工人加工大齿轮，每天安排 名工人加 工小齿轮， 根据题意，得 解得 答：每天安排18名工人加工大齿轮，才能刚好配套. 返回 举一反三 例2 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂， 分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车数 / 辆 2 5 乙种货车数 / 辆 3 6 累计运货量 / t 26 56 该果园第三次打算继续租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果. 如果每吨运费为 30 元，果园三次总共应付运费多少元? 解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨， 解得 x = 4， y = 6. 2x + 3y = 26， 5x + 6y = 56. 本问题涉及的等量关系为： 2 辆甲种货车运货量＋3 辆乙种货车运货量 = 26 t， 5 辆甲种货车运货量＋6 辆乙种货车运货量 = 56 t. 于是，第三次运输了 3×4 + 5×6 = 42 ( t ). 因而合计运输了 26 + 56 + 42 = 124 ( t ). 因此，三次总共应付运费 124× 30 = 3 720 (元). 答：该果园三次总共应付运费 3 720 元. 如图，长青化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地．公路运价为 1.5 元/(t·km)，铁路运价为 1.2 元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 练一练 产品 x 吨 原料 y 吨 合 计 公路运费(元) 铁路运费(元) 价值(元) 借助列表分析，确定题目中的数量关系. 1.5×20x 1.2×110x 8000x 1.5×10y 1.2×120y 1000y 15 000 97 200 本问题涉及的等量关系为： 产品数量×产品价格＝销售款， 原料数量×原料价格＝原料费， 运输价格×运价＝运输费 解:根据图表，列出方程组 解方程组得 x = 300， y = 400. 8 000x - 1 000y - 15 000 - 97 200 = 8000×300 - 1 000×400 - 15 000 - 97 200 = 1 887 800（元） 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1 887 800 元. 1.5×20x + 1.5×10y = 15 000， 1.2×110x + 1.2×120y = 97 200. 例3 对于多项式 kx + b (其中 k， b 为常数)，若 x 分别用 1，－1 代入时，kx + b 的值分别为 －1， 3，求 k 和 b 的值. 解：根据题意，得 k×1＋b＝－1， k×(－1)＋b＝3. 解方程组，得 k＝－2， b＝1. 故所求 k 和 b 的值分别为 －2 和 1. 3.某工厂加工圆柱形的茶叶盒， 购买了 块相同的金属板材，已 知每块金属板材可以有，， 三种裁剪方式，如图， 方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧 面.方式：裁剪成3个侧面. 方式：裁剪成9个圆形底面.已知 2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形 底面与侧面恰好配套.现已有2块金属板材按 方式裁剪，其余 都按， 两种方式裁剪. 举一反三 16 （1）设有块金属板材按方式裁剪，块金属板材按 方式 裁剪. ①可以裁剪出圆形底面共__________个，侧面共_________个. 举一反三 17 ②当 时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ 【解】根据题意，得 解得 所以 . 答：当 时，最多能加工36个圆柱形茶叶盒. 举一反三 18 （2）现将 块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的 圆形底面与侧面恰好配套，则的值可以是____________ 其中 . 40或45或50 举一反三 19 【点拨】根据题意，得 ， 所以 .所以 . 因为，均为整数，且 , 所以 的值可取21,24,27， 当时， ； 举一反三 20 当 时， ； 当 时， . 综上， 的值可以是40或45或50. 返回 举一反三 应用2 几何问题 4. 古代中国是世界中心， 诸多技艺均领先世界水平，榫卯 结构就是其中最为 华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的 连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示. 当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为 ，当9个木构 件紧密拼成一列时，总长度为 ，如图②所示，则图① 中的木构件长度为______. 返回 举一反三 22 5.母题教材P134习题T9 我们都知道《乌鸦喝水》的故事， 聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到 了水.根据图中给出的信息，解答下列问题： 举一反三 23 （1）放入一个小球水面升高___ ，放入一个大球水面升高 ___ ； 3 4 举一反三 24 （2）如果放入大球、小球共 10个，且使水面恰好上升到 ，应放入大球、小球各 多少个？ 【解】设应放入小球个，大球 个， 由题意,得解得 答：应放入小球5个，大球5个. 举一反三 25 （3）若放入一个钢珠可以使水面上升 ，当同时放入相 同数量的小球和钢珠时，水面上升到，则整数 的值为 _____.（小球和钢珠都完全在水面以下） 12,2 举一反三 26 1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题. 　3. 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 2. 这种处理问题的过程可以进一步概括为： 课堂小结 谢谢观看 THANKS $