3.4.1和、差、倍、分问题（课件）2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程应用题，涵盖和差倍分、顺逆流、比例、配套、工程等核心类型。通过“思考”环节引入情境问题，以基础填空选择巩固等量关系认知，逐步过渡到复杂情境应用题，构建由易到难的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象现实问题中的数量关系，如顺逆流问题用符号表示速度，以数学思维培养推理与运算能力，如配套问题通过比例关系列方程。采用情境化实例（如湖南臭豆腐料包）和分层练习，结合“方法总结”明确解题步骤，助力学生发展模型意识与应用意识，也为教师提供系统的题型参考与教学思路。

授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学七年级上册教学课件 第3章 一次方程（组） 3.4.1和、差、倍、分问题 2026年8月7日 湘教版七年级上册数学3.4.1和、差、倍、分问题同步练习题 核心知识点回顾：和、差、倍、分问题是一元一次方程最基础的应用题类型，核心是找准题目中的等量关系。常见数量关系：和=大数+小数、差=大数-小数、倍数=一倍量×倍数、分量和=总量。解题关键是设一倍量为未知数，根据“多、少、倍、共、剩余”等关键词列方程，规范解题步骤。 一、基础填空题（每空2分，共30分） 1. 已知甲数比乙数大5，若乙数为$$x$$，则甲数为________。 2. 一个数的3倍是24，设这个数为$$x$$，列方程为________。 3. 甲乙两数的和为30，甲数是$$x$$，则乙数为________。 4. 某数的2倍比它本身多8，设该数为$$x$$，方程为________。 5. 乙数是甲数的4倍，若甲数为$$x$$，甲乙两数的和为________。 6. 一个数的5倍与3的差等于17，列方程：________。 7. 两数之差为12，较小数为$$x$$，较大数为________。 8. 某数的一半与4的和等于9，这个数是________。 二、基础选择题（每题3分，共24分） 1. 甲数是乙数的2倍，乙数为$$x$$，两数之和是（） A. $$2x$$ B. $$3x$$ C. $$x+2$$ D. $$2x-x$$ 2. “一个数的4倍比10多6”列方程正确的是（） A. $$4x+6=10$$ B. $$4x-10=6$$ C. $$4x=10-6$$ D. $$4x+10=6$$ 3. 甲乙两数和为45，甲数是乙数的2倍，乙数为（） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 4. 某数的3倍减去5等于这个数加7，该数是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 甲数比乙数的3倍少2，乙数为$$x$$，甲数为（） A. $$3x-2$$ B. $$3x+2$$ C. $$2x-3$$ D. $$2x+3$$ 6. 两数之和为28，差为4，较大数是（） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. “某数增加它的2倍后是18”，设数为$$x$$，方程为（） A. $$x+2=18$$ B. $$3x=18$$ C. $$2x=18$$ D. $$x+x=18$$ 8. 和差倍分问题解题核心是（） A. 随意设未知数 B. 找准等量关系 C. 直接计算 D. 估算数值 三、能力提升解答题（共36分） 1.（12分）列式列方程求解： （1）一个数的4倍与5的和是37，求这个数；（2）一个数的6倍减去12等于30，求这个数。 2.（12分）和倍问题：甲乙两数的和是56，甲数是乙数的3倍，求甲乙两数各是多少？ 3.（12分）差倍问题：甲数比乙数大18，甲数是乙数的4倍，求甲乙两数。 四、拓展思考题（10分） 一个数的3倍比它的一半多25，求这个数。 参考答案与详细解析 一、填空题 1. $$x+5$$；2. $$3x=24$$；3. $$30-x$$；4. $$2x-x=8$$；5. $$5x$$；6. $$5x-3=17$$；7. $$x+12$$；8. 10 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.B 8.B 三、解答题 1.（1）解：设这个数为$$x$$，列方程$$4x+5=37$$，移项合并得$$4x=32$$，解得$$x=8$$；（2）解：设这个数为$$x$$，列方程$$6x-12=30$$，解得$$x=7$$。 2. 解：设乙数为$$x$$，甲数为$$3x$$，列方程$$x+3x=56$$，合并得$$4x=56$$，解得$$x=14$$，甲数：$$3\times14=42$$。答：甲数42，乙数14。 3. 解：设乙数为$$x$$，甲数为$$4x$$，列方程$$4x-x=18$$，合并得$$3x=18$$，解得$$x=6$$，甲数：$$4\times6=24$$。答：甲数24，乙数6。 四、拓展思考题 解：设这个数为$$x$$，列方程$$3x-\frac{1}{2}x=25$$，合并同类项得$$\frac{5}{2}x=25$$，系数化为1得$$x=10$$。答：这个数是10。 题型总结：本套习题聚焦和、差、倍、分核心应用题考点，覆盖和倍、差倍、和差、单个数倍分关系四大基础题型，重点训练学生抓关键词、找等量关系、设未知数列方程的核心能力。精准解决学生分不清倍分关系、等量关系找错、列式颠倒大小数等高频问题，题型梯度由基础列式到综合应用，贴合湘教版课时重难点，是一元一次方程应用题的入门核心训练，为后续复杂应用题筑牢解题思维。 探索新知 一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4h，逆水航行时需5h. 已知水流速度为2km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？ 思 考 小知识 轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度； 轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度 – 水流速度. 设轮船在静水中的航行速度为x km/h ， 则 轮船顺水航行的速度为_______ km/h， 逆水航行的速度为_______ km/h. (x+2) (x-2) 轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程 在航行过程中，你还能找到什么等量关系？ 设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，则 轮船顺水航行的速度为(x+2)km/h， 逆水航行的速度为(x-2) km/h. 甲 乙 顺水航行 逆水航行 甲 乙 顺水航行 逆水航行 轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程 4h 5h (x+2)km/h (x-2)km/h 4(x+2) 5(x-2) = 解得 x=18 . 因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h . 例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 分析：题目中的等量关系： 椅子数＋凳子数＝16， 椅子腿数＋凳子腿数＝60 . 例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子. 根据题意，得 4x+3(16-x)=60 . 解得 x=12 . 因此，凳子有 16-12=4 (把) . 答：有12张椅子，4把凳子. 应用1 顺逆流问题 1.母题教材P111思考 有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而 下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上到达C地执行任 务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是 ，水流速度为 ，A，C两地间的距离为 .如果乙船由A地经B地再到达C地共用了 .问：乙船 从B地到达C地时，甲船距离B地有多远？ 举一反三 8 【解】设乙船由B地航行到C地用了 . ①若C地在A，B两地之间，根据A地到B地的距离地到 地 的距离 ，C两地之间的距离，得 ，解得 . 所以甲船距离B地 ②若C地不在A，B两地之间，根据B地到C地的距离 地到B 地的距离 ，C两地之间的距离，得 ， 举一反三 9 解得 . 所以甲船距离B地 答：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地或 . 举一反三 例2 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为 4∶5∶6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计 120 元，三个作业队按土地面积比各应负担多少元？ 【分析】各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于 120 元.由于共有土地 4 + 5 + 6 = 15 份，因而 120 元可由15份共同分担. 解：设每份土地排涝分担费用为 x 元，那么三个作业队应负担费用分别为 4x 元，5x 元，6x 元. 依据题意，得 4x + 5x + 6x = 120. 解方程，得 x = 8. 4x = 32，5x = 40，6x = 48. 答：三个作业队各应负担 32 元、40 元、48 元. 2. 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少? 解：设咖啡色配料为 x 克，那么红色配料为 2x 克，白色配料为 6x 克. 依据题意，得 x + 2x + 6x = 45. 解方程，得 x = 5. 2x = 10，6x = 30. 答：咖啡色、红色和白色配料分别为 5克、10克、30克. 练一练 比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程. 方法总结 例3 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母) ? 【分析】本题有两个等量关系值得关注， 一是总人数：生产螺母人数＋生产螺栓人数＝29； 二是零件的配套关系：螺栓数∶螺母数＝2∶3. 解：设安排 x 人生产螺栓，则 (29－x) 人生产螺母． 根据题意得 解得 x＝14. 29－x＝15. 答：安排 14 人生产螺栓，15 人生产螺母才能使螺栓 和螺母正好配套． 应用2 配套问题 2. 第13周七年级语文学科活动超精彩，操场 上像欢腾的海洋呢 班和9班负责投壶游戏，彦宏妈妈、语晗妈妈等 家长为准备道具花费了不少心思.已知1个投壶和6支羽箭配成一套道具， 其中一个投壶15元，每支羽箭3元，两班在投壶道具上的经费是132元， 请问如何分配经费才能使购买的道具刚好配套？设用 元购买投壶，下 面所列方程正确的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 17 3. 湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南 游玩并品尝湖南美食，臭豆腐是长沙的特色名小吃.某厂有60 名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋臭豆腐包装里有1个 汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包 或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包 刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？ 举一反三 18 【解】设安排名工人去加工汤料包，则安排 名工人 去加工配料包， 根据题意，得 ， 解得 . 答：安排20名工人去加工汤料包. 返回 举一反三 19 应用3 工程问题 4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师 傅与徒弟每小时各检修多长的管道. 条件：①该管道长 ； ②师傅每小时比徒弟多检修 ； ③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务； ④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务. 在上述4个条件中选择3个条件，并完成解答.（写一种即可） 举一反三 20 【解】（答案不唯一，写一种即可） 当选择①②③时， 设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择①②④时， 设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 举一反三 21 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择②③④时， 设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 . 返回 举一反三 5.甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单 独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款 1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同. （1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？ 【解】正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.设甲、乙两人 合作完成此项工程需 天. 根据题意，得,解得 . 因为 ，所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同. 举一反三 23 （2）现两人合作完成了这项工程的 ，因别处有急事，必须 调走1人，问调走谁更合适？为什么？ 举一反三 24 设两人合作天完成这项工程的，则，解得 . 若调走甲，则乙还需天 ； 若调走乙，则甲还需 （天）. 因为（天） 天， （天） 天， 所以调走甲更合适. 返回 举一反三 25 一元一次方程的应用 比例问题 和、差、倍、分问题 步骤 方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x. 1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答 方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量 课堂小结 谢谢观看 THANKS $