3.1 等量关系和方程-课件-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“等量关系和方程”核心知识点，涵盖方程定义、解及一元一次方程等内容。课堂导入通过篮球联赛得分、长方体表面积计算等实际问题，引导学生从找等量关系到列方程，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接后续解方程与应用。 其亮点在于融合真实情境与传统文化，如“鸡兔同笼”“燕几图”问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过表格估算方程解、开放题设计，发展推理意识与创新思维，助力学生建立知识联系，教师可高效开展概念教学与应用训练。

湘教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月7日 3.1 等量关系和方程 第3章 一次方程（组） 湘教版数学七年级上册3.1等量关系和方程同步练习题 一、核心知识点回顾 1. 等量关系：数量之间相等的关系叫做等量关系，是列方程的核心依据，常见于和、差、倍、分、盈亏、行程等实际问题中。 2. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。方程必须同时满足两个条件：一是等式，二是含有未知数，二者缺一不可。 3. 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 4. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 5. 列方程的步骤：读懂题意→找出题目中的等量关系→设未知数→根据等量关系列出方程。 二、基础练习题（含答案解析） （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各式中，属于方程的是（） A. $$3x+5$$ B. $$2+3=5$$ C. $$4x-1=7$$ D. $$6x+4>10$$ 2. 下列数值中，是方程$$x+3=7$$的解的是（） A. $$x=2$$ B. $$x=4$$ C. $$x=10$$ D. $$x=-4$$ 3. 甲数是20，比乙数的2倍少4，设乙数为x，下列等量关系正确的是（） A. $$2x+4=20$$ B. $$2x-4=20$$ C. $$20-2x=4$$ D. $$2x=20-4$$ 4. 下列说法正确的是（） A. 含有未知数的式子叫做方程 B. 等式一定是方程 C. 方程一定是等式 D. 方程的解就是解方程 5. 一个数x的3倍与5的和等于20，列方程正确的是（） A. $$3x+5=20$$ B. $$3(x+5)=20$$ C. $$3x-5=20$$ D. $$5x+3=20$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 含有________的________叫做方程。 2. 能使方程左右两边________的未知数的值，叫做方程的解。 3. 已知$$x=3$$是方程$$2x+a=8$$的解，则a的值为________。 4. 一个数比x大5，这个数是12，可列方程为________。 5. 长方形周长为30，长为x，宽为5，根据周长公式列方程为________。 （三）解答题（共60分） 1.（20分）判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由： （1）$$5x-6$$ （2）$$3+9=12$$ （3）$$4x=0$$ （4）$$2x-7=3$$ 2.（20分）根据题意找出等量关系，列出方程（不用求解）： （1）一个数x的4倍比它本身大15，求这个数； （2）小明有x元零花钱，拿出10元买书后还剩25元。 3.（20分）检验下列未知数的值是否为对应方程的解： （1）$$x=5$$，方程$$3x-2=13$$ （2）$$x=-2$$，方程$$2x+1=-3$$ 三、参考答案与解析 选择题：1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 解析：方程的核心判定条件是“等式+含未知数”；列方程关键找准等量关系，根据文字中的和、差、倍关系搭建等式，代入检验时需分别计算方程左右两边的值。 填空题：1.未知数、等式 2.相等 3.2 4.$$x+5=12$$ 5.$$2(x+5)=30$$ 解答题： 1.（1）×，不是等式；（2）×，不含未知数；（3）√，含未知数的等式；（4）√，含未知数的等式。 2.（1）等量关系：数的4倍－这个数＝15，方程：$$4x-x=15$$ （2）等量关系：总零花钱－买书花费＝剩余钱数，方程：$$x-10=25$$ 3.（1）把$$x=5$$代入，左边$$=3\times5-2=13$$，右边$$=13$$，左边=右边，是方程的解。 （2）把$$x=-2$$代入，左边$$=2\times(-2)+1=-3$$，右边$$=-3$$，左边=右边，是方程的解。 总结：本节课重点掌握方程的定义与判定方法，区分方程、等式、代数式的差异，熟练寻找实际问题中的等量关系，掌握方程解的检验方法，是后续解一元一次方程、利用方程解决应用题的基础。 请试着列式解决下列问题： (1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，赢了12场，问篮球队一共得了多少分？ 2×12+1×(14-2) =26 (分) (2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，宽为1 m，高为1 m，这个长方体的表面积是多少？ 长方体的表面积=(长×宽+宽×高+长×高)×2 (1.2×1+1×1+1.2×1)×2 =6.8 (m²) 探索新知 (1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分. 问：其中蕴含怎样的等量关系？ 思 考 胜的场数得分+输的场数得分=总得分 还有其他等量关系？ 胜的场数+输的场数=总场数 设该队胜了x 场，则该队输了(14－x )场. 2x + (14－x) = 26 ① 如何根据等量关系，列出相应等式？ 胜的场数得分+输的场数得分=总得分 胜的场数+输的场数=总场数 (2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8 m2. 其中蕴含怎样的等量关系？ (长×宽＋宽×高＋长×高)×2=表面积 如何根据等量关系，列出相应等式？ 设包装盒底面的宽是y m，则 (1.2×y+y×1+1.2×1) ×2= 6.8， 即 2.4y + 2y + 2.4= 6.8 ② 2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8 ② 2 x + (14－ x) = 26 ① 含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 未知数 1. 一种商品打八折后售价为208元，问该商品原价是多少？设原价为x元 ，可列出方程__________. 2.小青比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍，小青今年几岁？设小青今年x岁，可列出方程_________________. 0.8x=208 x＋27=4x 练一练 ① 2x+2=18 ⑦ 4x-3=7 3.判断下列各式是不是方程，如果不是，请说明理由. ② 3y-1 ③ 3x2-3x-1=0 ④ -2x＜0 ⑤ x-2y=6 ⑥ a ⑧ -3=4 ⑨ 一个未知数，次数是1. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。 说一说 2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8 ② 2 x + (14－ x) = 26 ① 每个方程含有几个未知数？每个未知数的次数是多少？ 2 x + (14－ x) = 26 2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? (1) 找出，上述趣题中的等量关系； 兔的只数＋鸡的只数＝35； 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. 做一做 设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 由于每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，并且笼子里总共有 94 只脚， 因此，可得如下一元一次方程： 4x + 2(35 - x) = 94 将方程左边的多项式整理得 4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70 (2) 适当设未知数，列出一元一次方程. 从而方程变成 2x + 70 = 94 怎么求出 x 的值？ 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较 第1次估算 10 第2次估算 15 第3次估算 13 第4次估算 12 第5次估算 11 2x + 70 = 94 90 小了 100 大了 96 大了 94 相等 92 小了 由上可知，12 是方程的唯一解. 于是上述趣题中兔有 12 只，鸡有 23 只. 知识要点 对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解。习惯上记作 x = c. 2x + 70 = 94 x = 12 典例精析 例2 分别检验 x 的下列值是不是方程 2.5x + 318 = 1068 的解. (1) x = 300； (2) x = 330. 解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得， 左边 = 2.5×300＋318= 1 068， 左边 = 右边， 所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解. (2) 把 x 用 330 代入原方程得， 左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143， 左边 ≠ 右边， 所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解. 知识点1 方程的概念 1. 下列式子中，方程的个数是( ) ①；②；③ ；④ ；⑤；⑥ ；⑦ . C A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 中考考法 16 知识点2 一元一次方程的概念 2. [长沙开福区模拟] 已知下列方程：① ；② ；③；④；⑤ ；⑥ .其中属于一元一次方程的有________.（填序号） ②③⑤ 3. 已知是关于 的一元一次方程，则 的值为___. 4 中考考法 17 知识点3 方程的解 4. 小亮在解方程时，由于粗心，错把 看成了 ，解得，则 的值为( ) A A. B. 3 C. D. 中考考法 18 5. 观察表格，若第三次估算方程 的解时， 可以取的值是( ) 估计的 的值 的值 与2.2比较 第一次估算 0 3 大了 第二次估算 1 小了 A A. 0.1 B. 2 C. D. 中考考法 19 6. 请写一个未知数的系数是 ，且方程的 解是 的一元一次方程:___________________________. （答案不唯一） 中考考法 20 知识点4 列一元一次方程 7. 两辆汽车从相距 的两地同时出发相向而行，甲车的 速度比乙车的速度快, 后两车相遇.设甲车的速 度为 ,则列出的方程为( ) D A. B. C. D. 中考考法 21 【点拨】已知甲车的速度是 ，则乙车的速度为 . ，根据题意得 .故选D. 中考考法 22 8. 按如图方式做一个试管架，在 长的木板上钻若干个 半径为的圆孔，已知相邻两个圆孔的间距为 ，设木 板上能钻 个圆孔，则可列方程为____________. 中考考法 23 9. 若是方程 的解， 则代数式 的值为( ) D A. B. 0 C. D. 【点拨】将代入方程 ，得 ，即，所以 ，所 以 . 中考考法 24 10. 若关于的一元一次方程 的解为，则关于 的一元一次方程 的解为( ) C A. B. C. D. 【点拨】设,则 可变形 为,由题意知,即 .观察选项, 只有 满足方程左、右两边的值相等.故选C. 中考考法 25 11. “燕几”是世界 上最早的一套组合桌，全套“燕几”一 共有7张桌子，其桌面共有3种尺寸， 包括2张长桌、2张中桌和3张小桌， 它们的宽都相同.7张桌面可以拼成一个大的长方形.如图是 《燕几图》中的两种桌面拼合方式.若全套7张桌子桌面的总 面积为61.25平方尺，则每张桌子桌面的宽为多少尺？设每张 桌子桌面的宽为 尺，则可列方程为_____________________ ______________. 中考考法 26 12. 已知是关于 的一元 一次方程，如果,那么 的值为___. 6 【点拨】根据题意可知, ,所以 .又因为,所以.所以 , .所以, .所以原式 . 中考考法 27 13. 小张去水果市场购买苹果和橘子， 他看中了A,B两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品 质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子贵12 元，买苹果与买橘子的费用相等,设橘子每千克 元. （1）根据题意可列方程为_______________． 中考考法 28 （2）在,,中， ___是（1）中所列方程的解. 8 【点拨】当时，方程左边 ,方程右边 ,等号的左右两边不相等.所以 不是该方程的解. 当时，方程左边,方程右边 , 等号的左右两边不相等.所以不是该方程的解.当 时， 方程左边,方程右边 ,等号的左右 两边相等.所以 是该方程的解. 中考考法 29 （3）经洽谈，A家优惠方案是：每购买苹果，送 橘 子；B家优惠方案是：若购买苹果超过 ，则购买橘子打八 折．假设小张购买苹果和橘子 . ①小张在A,B两家购买苹果和橘子所花的费用分别为 _____________________________. 元；元 中考考法 30 ②若 ,你认为在哪家购买比较合算？ 【解】当时， ， . 因为 ,所以在B家购买比较合算. 中考考法 31 14. 阅读材料，解答下列问题： 方程的解是 ； 方程的解是 ； 方程的解是 ； …… （1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出方程 的解为______； 中考考法 32 （2）比较关于的方程 与上面各式的关系， 猜想它的解是______； （3）请验证第（2）问猜想的结论； 【解】当时，方程左边 方程右边，所以关于 的方程的解是 . 中考考法 33 （4）利用第（2）问的结论，求解关于 的方程 的解. 因为 , 所以 , 所以,所以 . 所以关于的方程 的解是 . 中考考法 34 认识方程 方程的定义 一元一次方程 方程的解 课堂小结 $