3.5 认识二元一次方程组（课件）-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程（组）的定义、解及判定，通过足球比赛记分、鸡兔同笼等情境导入，从一元一次方程自然过渡，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生系统掌握核心概念。 其亮点在于结合生活实例与中考考点，以“问题情境—概念辨析—分层训练”模式，培养数学眼光（发现数量关系）、思维（推理意识）和语言（模型意识）。口诀总结与易错点提示助力学生夯实基础，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

湘教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月24日 3.5 认识二元一次方程组 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级上册3.5 认识二元一次方程组 专项练习 一、核心知识点（必背定义） 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 三个必备条件（缺一不可）： ① 两个未知数（x、y）； ② 未知数次数为1（不含平方、乘积、分母含未知数）； ③ 是整式方程。 一般形式：$$ax+by=c$$（$$a、b eq0$$） 2. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 重点：二元一次方程有无数组解。 3. 二元一次方程组 定义：把含有两个相同未知数的两个二元一次方程联立在一起，就组成了二元一次方程组。 方程组中两个方程公共的未知数的值，必须同时满足两个方程。 4. 二元一次方程组的解 同时满足方程组中两个方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 重点：二元一次方程组一般只有唯一一组解。 5. 高频易错判断（扣分重灾区） ① $$xy=2$$ 不是二元一次方程（未知数乘积，次数为2）； ② $$\frac{1}{x}+y=3$$不是二元一次方程（分母含未知数，是分式方程）； ③ $$x+2=5$$ 不是二元一次方程（只有一个未知数）； ④ 方程的解是一对数，不能只写一个未知数的值。 二、基础填空题 1. 二元一次方程含有______个未知数，且含未知数的项的次数都是______。 2. 二元一次方程的解有______组，二元一次方程组的解一般有______组。 3. 若$$x^{m-1}+2y^{n}=3$$是二元一次方程，则$$m=$$______，$$n=$$______。 4. 已知$$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$是方程$$ax+y=5$$的解，则$$a=$$______。 5. 请写出一个二元一次方程：________________。 三、选择题（概念辨析必考） 1. 下列方程是二元一次方程的是（） A. $$x+3=5$$ B. $$xy=6$$ C. $$2x+y=7$$ D. $$\frac{1}{x}+y=2$$ 2. 下列属于二元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=3\\x-z=5\end{cases}$$ B.$$\begin{cases}x+y=4\\xy=2\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+2=3\\y=4\end{cases}$$ 3. 已知$$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$$，是方程组$$\begin{cases}x+y=3\\2x-y=0\end{cases}$$的解，这句话的含义是（） A. 只满足第一个方程 B. 只满足第二个方程 C. 同时满足两个方程 D. 都不满足 4. 若$$3x^{a-2}+y^{b+3}=6$$是二元一次方程，则$$a、b$$的值为（） A. $$a=3,b=-2$$ B. $$a=2,b=1$$ C. $$a=1,b=2$$ D. $$a=4,b=0$$ 四、基础题型训练 1. 判断下列式子是不是二元一次方程，是的打“√”，不是的打“×”并说明理由。 （1）$$2x+3y=6$$    （2）$$x^2+y=5$$    （3）$$x+xy=7$$ （4）$$\frac{x}{2}+y=9$$    （5）$$x+\frac{1}{y}=3$$    （6）$$3x=2y$$ 2. 检验$$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$$是不是方程组$$\begin{cases}x+y=5\\2x-y=4\end{cases}$$的解。 3. 已知二元一次方程$$2x+y=8$$，当$$x=1$$时，求$$y$$的值；当$$y=0$$时，求$$x$$的值。 五、参考答案与详细解析 1. 填空题答案 1. 两、1   2. 无数、唯一   3. $$2、1$$   4. $$2$$   5. 示例：$$x+y=1$$（答案不唯一） 2. 选择题答案 1. C 解析：A只有1个未知数，B次数为2，D是分式方程，均不符合定义。 2. C 解析：A有3个未知数，B第二个方程次数为2，D只有一个未知数，均错误。 3. C 解析：方程组的解必须同时满足组内所有方程。 4. A 解析：未知数次数为1，$$a-2=1,b+3=1$$，解得$$a=3，b=-2$$。 3. 基础题型训练答案 1. 判断正误 （1）√ 符合二元一次方程定义； （2）× x的次数为2，不是一次； （3）× 含未知数乘积项，次数为2； （4）√ 两个未知数，次数均为1，整式方程； （5）× 分母含未知数，是分式方程； （6）√ 符合二元一次方程定义。 2. 检验解 解：把$$x=3，y=2$$代入方程： 第一个方程：左边$$=3+2=5=$$右边，成立； 第二个方程：左边$$=2\times3-2=4=$$右边，成立。 故此组解是该二元一次方程组的解。 3. 求值计算 解：当$$x=1$$时，$$2\times1+y=8$$，解得$$y=6$$； 当$$y=0$$时，$$2x+0=8$$，解得$$x=4$$。 六、本节核心总结 二元一次方程判定口诀：两未知数、次数一、整式方程才可以； 解的区别：单个方程无数解，联立方程组唯一解； 验解方法：代入方程看两边，相等即为正确解。 了解二元一次方程、二元一次方程组和它的一个解的含义. 能根据简单的实际问题列二元一次方程组，会检验一对数是不是某个二元一次方程 (组) 的解. 通过问题情境得出二元一次方程 (组)，体会方程 (组)是刻画现实世界的一个有效模型，同时培养学生探究创新的精神，增强合作交流的意识. 情境导入 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分. 问：该队共胜多少场？ 解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x) 场. 根据题意，得 3x+(14-5-x)=19 解得 x=5 于是，平了 14-5-5=4 (场) 假设剩下的场次全踢平 14-5=9(场) 19-9=10(分) 胜了：10÷(3-1)=5（场） 平了：14-5-5=4(场) 方法一： 方法二: 探索新知 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚. 思 考 解：设兔有x 只，则鸡有(35－ x)只. 根据题意，得 4x + 2(35－x) = 94 兔的只数＋鸡的只数＝35 兔的脚数＋鸡的脚数＝94 等量关系： 解得 x=12 于是，鸡有 35-12=23(只) 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚. 兔的只数＋鸡的只数＝35 兔的脚数＋鸡的脚数＝94 若设兔有x只，鸡有y只. 你能根据两个等量关系列出两个方程吗？ x+y=35 ， 4x+2y=94 . x+y=35 ， 4x+2y=94 . 列出的两个方程还是一元一次方程吗？ x+y=35 ， 4x+2y=94 . 含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程. 这两个方程和一元一次方程有什么不同吗？ 注意 “一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数； 方程的左右两边都是整式. 练一练 1.判断下列方程是不是二元一次方程？ (1) x+y=11 (2) m+1=2 (3) x2+y=5 (4) 3x-π=11 (5) -5x=4y+2 (6)7+a=2b+11c (7) 7x+ =13 (8) 4xy+5=0 2.若x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，则m=________, n=________. 1 1 只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组. 未知数x，y必须同时满足上述两个方程，于是将两个方程联立，得 ① ② 练一练 ① ② ③ ④ 下列方程组属于二元一次方程组的有_______.(填序号) x y (1) 把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表： 如果不考虑实际意义，x，y还能取什么值满足方程①？ 1 34 2 33 3 32 4 31 5 30 6 29 7 28 8 27 为什么代入的都是整数？ ··· ··· x=-1，y=36 /x=0.5，y=34.5 /··· 9 26 10 25 11 24 12 23 13 22 做一做 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般地，一个二元一次方程有无数组解. (2)上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ··· y 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 ··· x=12，y=23既满足满足方程①，又满足方程②. x=12，y=23是方程①与方程②的公共解. 写成(12，23)的形式 ，它就是上述方程组一个解. 一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解. 习惯上记作 求解方程组的解的过程叫作解方程组. 例4 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. x＝3， y＝4 (2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 典例精析 ∠1 = ∠2 分析：本题中等量关系如下： 购买练习本所花的钱＋购买圆珠笔所花的钱＝17 元， 购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1 元. 解：(1) 根据等量关系，得 3x＋2y＝17，① 3x－2y＝1. ② (2) 把 x 用 3，y 用 4 分别代入方程 ①② 可得： 方程 ① 左边的值是 3×3＋2×4＝17，方程①右边的值也是 17； 方程 ② 左边的值为 3×3－2×4＝1，方程②右边的值也是 1. x＝3， y＝4 因此， 是列出的二元一次方程组的一个解 学而时习之 1.《九章算术》在《方程》一章里叙述一次方程组是由算筹布置而成的，书中算筹为竖排. 为了看图方便，我们改为横排，如图所示. 其中图(1)所示的算筹图表示方程组 则图(2) 所示的算筹图可以表示（ ） (A) (B) (C) (D) (1) (2) C 【课本P119 习题3.5 第1题】 随堂练习 温故而知新 2.《孙子算经》中记载有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木有多长？设长木长x尺，绳子长y尺，试根据题意列出相应的二元一次方程组. 解：根据题意，得 绳子长-长木长=4.5 长木长-绳子长的一半=1 等量关系： 【课本P119 习题3.5 第2题】 随堂练习 1. 有下列方程：;; ; ;;; . 其中，二元一次方程有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 中考考法 18 2. ［2025邵阳月考］若方程组 是二元一次方程组， 则“…”可以是( ) A. B. C. D. A 返回 中考考法 3. 嫦娥六号成功着陆在月球背面南极-艾特 肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的 样品采集任务.嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样 品约1 935克，表取比钻取的4倍还多310克.若设钻取样品 克， 表取样品 克，则可列方程组为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 20 4. 如果是关于， 的二元一 次方程，则 的值为____. 5. 写出二元一次方程 的一组整 数解：_ _____________________. （答案不唯一） 返回 中考考法 21 6.已知是方程的解，则式子 的 值为___. 1 【点拨】将代入，可得 ,则 . 返回 中考考法 22 7. 已知方程组 中考考法 23 （1）分别取, ,0,2,填写下表： 方程 0 2 ___ ___ ____ ____ 方程 0 2 _ _ ___ _ _ ___ 8 2 2 4 中考考法 （2）根据（1）中的数据写出方程组的解. 【解】方程组的解为 返回 中考考法 25 二元一次方程 ①每个方程含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______ 使二元一次方程左右两边的值 的两个 的值 二元一次方程组 ①含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______； ③一共有__个方程 二元一次方程组的两个方程的______ 两 都是 1 两 都是 1 两 相等 公共解 未知数 解 解 课堂小结 $