3.4.2工程问题（课件）2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程应用，涵盖和差倍分、行程、工程等问题。通过回顾基础等量关系，结合两车相遇、参观纪念馆等情境导入，搭建从基础到实际应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光抽象现实问题，如用《九章算术》野鸭大雁问题培养模型意识，通过智能扫地机器人、火车隧道等情境发展推理能力与运算能力。采用基础练习、能力提升、拓展思考梯度设计，总结解题步骤，助力学生构建方程思维，教师高效教学。

授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学七年级上册教学课件 第3章 一次方程（组） 3.4.2工程问题 2026年8月7日 湘教版七年级上册数学3.4.1和、差、倍、分问题同步练习题 核心知识点回顾：和、差、倍、分问题是一元一次方程最基础的应用题类型，核心是找准题目中的等量关系。常见数量关系：和=大数+小数、差=大数-小数、倍数=一倍量×倍数、分量和=总量。解题关键是设一倍量为未知数，根据“多、少、倍、共、剩余”等关键词列方程，规范解题步骤。 一、基础填空题（每空2分，共30分） 1. 已知甲数比乙数大5，若乙数为$$x$$，则甲数为________。 2. 一个数的3倍是24，设这个数为$$x$$，列方程为________。 3. 甲乙两数的和为30，甲数是$$x$$，则乙数为________。 4. 某数的2倍比它本身多8，设该数为$$x$$，方程为________。 5. 乙数是甲数的4倍，若甲数为$$x$$，甲乙两数的和为________。 6. 一个数的5倍与3的差等于17，列方程：________。 7. 两数之差为12，较小数为$$x$$，较大数为________。 8. 某数的一半与4的和等于9，这个数是________。 二、基础选择题（每题3分，共24分） 1. 甲数是乙数的2倍，乙数为$$x$$，两数之和是（） A. $$2x$$ B. $$3x$$ C. $$x+2$$ D. $$2x-x$$ 2. “一个数的4倍比10多6”列方程正确的是（） A. $$4x+6=10$$ B. $$4x-10=6$$ C. $$4x=10-6$$ D. $$4x+10=6$$ 3. 甲乙两数和为45，甲数是乙数的2倍，乙数为（） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 4. 某数的3倍减去5等于这个数加7，该数是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 甲数比乙数的3倍少2，乙数为$$x$$，甲数为（） A. $$3x-2$$ B. $$3x+2$$ C. $$2x-3$$ D. $$2x+3$$ 6. 两数之和为28，差为4，较大数是（） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. “某数增加它的2倍后是18”，设数为$$x$$，方程为（） A. $$x+2=18$$ B. $$3x=18$$ C. $$2x=18$$ D. $$x+x=18$$ 8. 和差倍分问题解题核心是（） A. 随意设未知数 B. 找准等量关系 C. 直接计算 D. 估算数值 三、能力提升解答题（共36分） 1.（12分）列式列方程求解： （1）一个数的4倍与5的和是37，求这个数；（2）一个数的6倍减去12等于30，求这个数。 2.（12分）和倍问题：甲乙两数的和是56，甲数是乙数的3倍，求甲乙两数各是多少？ 3.（12分）差倍问题：甲数比乙数大18，甲数是乙数的4倍，求甲乙两数。 四、拓展思考题（10分） 一个数的3倍比它的一半多25，求这个数。 参考答案与详细解析 一、填空题 1. $$x+5$$；2. $$3x=24$$；3. $$30-x$$；4. $$2x-x=8$$；5. $$5x$$；6. $$5x-3=17$$；7. $$x+12$$；8. 10 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.B 8.B 三、解答题 1.（1）解：设这个数为$$x$$，列方程$$4x+5=37$$，移项合并得$$4x=32$$，解得$$x=8$$；（2）解：设这个数为$$x$$，列方程$$6x-12=30$$，解得$$x=7$$。 2. 解：设乙数为$$x$$，甲数为$$3x$$，列方程$$x+3x=56$$，合并得$$4x=56$$，解得$$x=14$$，甲数：$$3\times14=42$$。答：甲数42，乙数14。 3. 解：设乙数为$$x$$，甲数为$$4x$$，列方程$$4x-x=18$$，合并得$$3x=18$$，解得$$x=6$$，甲数：$$4\times6=24$$。答：甲数24，乙数6。 四、拓展思考题 解：设这个数为$$x$$，列方程$$3x-\frac{1}{2}x=25$$，合并同类项得$$\frac{5}{2}x=25$$，系数化为1得$$x=10$$。答：这个数是10。 题型总结：本套习题聚焦和、差、倍、分核心应用题考点，覆盖和倍、差倍、和差、单个数倍分关系四大基础题型，重点训练学生抓关键词、找等量关系、设未知数列方程的核心能力。精准解决学生分不清倍分关系、等量关系找错、列式颠倒大小数等高频问题，题型梯度由基础列式到综合应用，贴合湘教版课时重难点，是一元一次方程应用题的入门核心训练，为后续复杂应用题筑牢解题思维。 情境导入 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲速度为20 km/h，乙速度为30 km/h，出发 x小时后，两人相遇. 那么甲车行了______km，乙车行了______km A、B两地相距_________km.若A、B两站间的路程为500km，可得方程______________，求得x=____. 20x 30x 20x+30x 20x+30x=500 10 为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆． 探索新知 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达. 他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少？ 思 考 小楠家 小华家 雷锋纪念馆 同时出发，距离相等 10 km/h 上午10时到 15 km/h 上午9时30分到 本问题中有什么等量关系？ 小楠花的时间－小华花的时间=0.5h 若设他俩的家到雷锋纪念馆的路程为 x km， 则根据等量关系，得 解得 x=15 . 因此，他俩的家到雷锋纪念馆的路程为15 km. 时间=路程÷速度 路程=时间×速度 小楠花的时间－小华花的时间=0.5h 应用1 行程问题 1. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样 一个问题：今有凫起南海，七日至北海.雁起北海，九日至南 海.今凫雁俱起.问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到 北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天.它们从两地同时起飞， 几天后相遇？设 天后相遇，根据题意可列方程为_________ ____. 返回 举一反三 7 某人骑自行车去工厂上班，若每小时骑10 km，可早到6 min ；若每小时骑 8 km，就迟到6 min，则他家到工厂的路程是_______. 练一练 8 km 2. 如图，已知正方形 的边长为4，甲、 乙两动点分别从正方形的顶点， 同时出发，沿正方形的边开始移动，甲以 顺时针方向环行移动，乙以逆时针方向环 行移动，若乙的速度是甲的速度的3倍， 则它们第2 028次相遇时所在的边是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 例2 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成. 现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4 天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品? 工作时间 工作效率 工作总量 甲 乙 设再合绣 x 天 x + 1 x + 4 本题中等量关系为： 甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝总工作量. 解得 x＝4. 解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣 x 天可以完成，则根据题意，得 答：甲、乙两人再合绣 4 天就可以完成这件作品. 3.一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要 的时 间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的 时间是.设火车长 ，解答下列问题. （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是___ ，这段时间内火车的速度是___.（用含 的代数式表示） （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 __________，这段时间内火车的速度是______ . （用含 的代数式表示） 举一反三 12 （3）求这列火车的长度. 【解】根据题意，得 ， 解得 . 答：这列火车的长度是 . 返回 举一反三 13 例3 一项工作，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，丙单独做 24 天完成．现甲、乙合作 3 天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？ 解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、乙 合作 3 天的工作量 + 乙、丙合作的工作量 = 1，得 解得 x = 3. 答：乙、丙还要 3 天才能完成这项工作. 做一做 6. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ， 第二天耕了剩余部分的 ，还剩下 42 公顷，则 这片地共有 公顷. 解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得 解得 x = 189. 189 4. 随着人们生活水平的提高，人工智能扫 地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电.为了测试两款扫 地机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人 从， 两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫 （路途中没有障碍物阻挡），已知出发后经3分钟两个扫地 机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达地，， 两地相距 45米. 举一反三 16 （1）甲、乙两个扫地机器人的速度分别是多少？ 【解】根据题意，得乙扫地机器人的速度为 （米/分）. 设甲扫地机器人的速度为米/分，则 ，解得 . 答：甲扫地机器人的速度为6米/分，乙扫地机器人的速度为9 米/分. 举一反三 17 （2）从， 两地同时出发后，经过多长时间后两个扫地机 器人相距6米？ 【解】设经过 分钟后两个扫地机器人相距6米. 当两个扫地机器人相遇前相距6米时，则 ， 解得 ； 当两个扫地机器人相遇后相距6米时，则 ， 解得 . 综上，经过或 分钟后两个扫地机器人相距6米. 返回 举一反三 18 5.台州西站到永康南站现有一条设计时速为 的单轨普 速铁路.客车以 的平均速度行驶，从“铁路12306”可 查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表： 到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南 到达时间 11:03 11:25 11:53 12:04 12:23 驶出时间 11:05 11:27 11:55 12:07 举一反三 19 （1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁 路长度. 【解】客车的行驶速度为 . 易知临海南到仙居南的铁路长度： , 仙居南到磐安南的铁路长度： , 磐安南到壶镇的铁路长度： . 举一反三 20 （2）一列货车以 的速度匀速行驶开往永康南站， 在10：55通过临海南站. 货车的速度为 . ①若货车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与 客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海 南站多少千米时会追尾. 举一反三 21 【解】首先判断到终点永康南站前，客车是否与货车有追尾 危险.由题意可得，以临海南站为起点，客车比货车晚 出发，壶镇到永康南的铁路长度为 ，所以 临海南至永康南的铁路总长度为 货车行驶时间为 ； 举一反三 22 客车行驶时间为 ，易知三站停车总时 长为 . 因为 ，所以客车比货车 早到永康南，但时间很接近，所以两车有追尾危险，猜测两 车在壶镇至永康南段有追尾危险. 验证：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设此时货车的行驶 时间为.根据题意可知 ，解 得，所以在货车驶离临海南站 时会 追尾. 举一反三 ②为确保列车运行安全，货车需要在客车追上前进入火车站， 停靠在货车等待轨道等待客车通过.则该货车应该停靠在 ________站等待客车通过能使等待的时间最少.且停靠等待的 时间为___.精确到 . 磐安南 3 举一反三 24 应用一元一次方程解决问题的步骤： 1. 审：审题，分析题目中的数量关系； 2. 设：设适当的未知数，并表示未知量； 3. 列：根据题目中的数量关系列方程； 4. 解：解这个方程； 5. 答：检验并作答. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $