第二章 有理数及其运算（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 七年级上册数学第二章有理数及其运算单元复习卷，以核心素养为导向，通过文化情境、实际应用及梯度问题设计，全面考查有理数概念、运算及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|负数表示、相反数、绝对值、新定义运算|结合《九章算术》渗透文化传承，数轴折叠问题考查几何直观| |填空题|6/18|科学记数法、倒数、二维码编码、数轴距离|正方体展开图关联倒数，二维码编码体现数学语言表达现实世界| |解答题|9/72|混合运算、分类讨论、规律探究、动态数轴|新能源汽车行程计算培养应用意识，动态数轴问题发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数及其运算·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A C A A A D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．/ 15．10061404 16．或或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： ．.............3分 （2）解： ．.............6分 18． 【详解】（1）解：根据新运算规则， 将，代入得： ；.............3分 （2）解：先计算括号内的， 将，代入得：， 再计算，将，代入得：．.............6分 19． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∵，， ∴当时，，不符合条件； 当时，，符合条件， ∴，， ∴；.............3分 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴分情况：当时，只能取， 此时； 当时，只能取， 此时； ∴的值为或．.............6分 20． 【详解】（1）解：， 即这一周里路程最多的一天比最少的一天多走； 故答案为：38.............2分 （2）解：， 即小王的新能源电动汽车这一周一共行驶；............4分 （3）解：元， 即小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省元．.............6分 21． 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：；.............3分 （2）解： ．.............8分 22． 【详解】（1）解：在数轴上表示如图所示： ．.............4分 （2）解：如图所示： .............8分 23． 【详解】（1）解：① ；.............2分 ② ；.............4分 （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或．.............8分 24． 【详解】（1）解：解决问题：①由题知， 当a，b是正数时，，，所以， 故答案为：2；.............2分 ②当a，b是负数时，，，所以， 故答案为：；.............4分 ③当a，b是一正一负时，和中，一个是1，一个是，所以， 故答案为：0；.............6分 （2）因为a，b，c三数的乘积小于0， 所以a，b，c都是负数或一个负数，两个正数． 当a，b，c都是负数时，原式； 当a，b，c中一个负数，两个正数时，不妨令a为负数，b，c为正数， 则原式， 所以的值是或1；............10分 （3）因为a，b，c三数的乘积小于0， 所以a，b，c都是负数或一个负数，两个正数， 又因为， 所以a，b，c中一个负数，两个正数， 不妨令a为负数，b，c为正数， 因为，，， 所以原式．.............12分 25． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∵点在点的右侧，不满足新定义， 故原点O不是“n倍点”；.............6分 （2）设点C所表示的数为，则：， 由题意，， 解得或； 故点表示的数为或；.............8分 （3）由题意，点表示的数为， ∵作“1倍点”记为D， ∴， ∴点为的中点， ∴点表示的数为； 点表示的数为， ∵作“2倍点”记为E， ∴， 当点在之间时，则，故点表示的数为， 当点在点右侧时，则为的中点，故点表示的数为， ∵P恰好是“2倍点， ∴点在点的左侧，且， ∴当点表示的数为时，，解得； 此时点表示的数为，点表示的数为，符合题意； 当点表示的数为时，，解得（不符合题意，舍去）； 故．............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数及其运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若高于海平面米可记作米，则低于海平面米可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 7．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 8．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 9．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，点，，对应的数分别是，，．从下列四个条件：①；②；③；④中任取两个进行组合．下面四个选项中，（   ）可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分中的某一个部分． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：_______ 12．据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学记数法表示，可记为____________． 13．若，则 ______． 14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 15．在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 16．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)简便计算： (2)计算：． 18．定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 19．求值： (1)已知，，且，求的值； (2)如果，，且，求的值． 20．新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐，元旦期间小王家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续一周记录了每天行驶的路程，如下表所示，以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程 0 (1)这一周里路程最多的一天比最少的一天多走__________？ (2)小王的新能源电动汽车这一周一共行驶多少？ (3)已知汽油车每行驶约需用汽油8升，汽油价格为元／升；新能源电动汽车每行驶耗电量约10度，电价约元／度，小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省多少钱？ 21．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 22．在数轴上标出表示下列各数的点． 0，，3.75，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内． (3) 23．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题、 【提出问题】若a与b的乘积不等于0，求的值．请补充以下解答过程： 【解决问题】 （1）①a，b均是正数时， ； ②当a，b均是负数时， ； ③当a，b是一正一负时， ； 【探究拓展】 （2）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，，且，求的值． 25．我们规定：对于数轴上不同的三个点M、N、P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍（n为正整数），即，则称点P是“n倍点”．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a、b满足．点O是数轴原点． (1)_________，_________．原点O_________（填“是”或“不是”）“n倍点”； (2)若点C是“3倍点”，则点C所表示的数为_________； (3)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，两点同时出发，设运动时间为t（）．作“1倍点”记为D，作“2倍点”记为E，若P恰好是“2倍点”，求此时t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数及其运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若高于海平面米可记作米，则低于海平面米可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵高于海平面米记作米， ∴低于海平面米记作米． 2．下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】先根据有理数的化简法则计算每个选项中两个数的值，再根据相反数的定义判断即可，相反数是指绝对值相等，符号相反的两个数． 【详解】解：、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数绝对值相等，符号相反， ∴两数互为相反数，符合题意． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算. 根据运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的，逐一计算后判断即可. 【详解】解： A.，A错误； B.，B错误； C.，正确； D.，D错误； 故选：C. 4．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 5．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 6．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 7．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为12， ， 到表示1的点的距离为， 点表示的数为， 故选：A． 8．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 9．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，点，，对应的数分别是，，．从下列四个条件：①；②；③；④中任取两个进行组合．下面四个选项中，（   ）可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分中的某一个部分． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴上表示有理数，有理数的乘法加法．分别从每一个选项出发，根据有理数的运算进行判断即可． 【详解】解：A、则①；②，可确定，都是正数，但不能确定的符号，该选项不符合题意； B、由③；④，可确定是负数，是正数，但不能确定的符号，该选项不符合题意； C、由①；③，不能确定的符号，该选项不符合题意； D、由，可确定是负数，是正数，由，可确定，都是正数，则原点在Ⅱ这个部分； 故选：D． 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：_______ 【答案】 【详解】解：． 12．据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学记数法表示，可记为____________． 【答案】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：3.86亿； 故答案为：． 13．若，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得，， ， 故答案为：． 14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查倒数． 根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得． 【详解】解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 【答案】10061404 【分析】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解． 【详解】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 16．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)简便计算： (2)计算：． 【答案】(1)33 (2)2 【分析】（1）将除法转化为乘法，再根据乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算括号里面的，最后计算乘除即可得出结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的混合运算，关键是准确把握新运算的运算规则，严格按照有理数的运算顺序和运算法则进行计算． （1）直接将、代入新运算的表达式中，按照“先乘方，再乘法，最后加减”的有理数运算顺序依次计算，即可求出结果； （2）需遵循“先算括号内，后算括号外”的运算顺序，先将、代入新运算表达式求出的结果，再将此结果作为新的值，保持不变，再次代入新运算表达式进行计算，即可得到最终结果． 【详解】（1）解：根据新运算规则， 将，代入得： ； （2）解：先计算括号内的， 将，代入得：， 再计算，将，代入得：． 19．求值： (1)已知，，且，求的值； (2)如果，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或． 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数乘法，有理数乘方，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得 或，所以当时，，不符合条件；当时，，符合条件，再代入即可求解； （）由，，得，，然后通过，分为当时，只能取，当时，只能取，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∵，， ∴当时，，不符合条件； 当时，，符合条件， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴分情况：当时，只能取， 此时； 当时，只能取， 此时； ∴的值为或． 20．新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐，元旦期间小王家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续一周记录了每天行驶的路程，如下表所示，以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程 0 (1)这一周里路程最多的一天比最少的一天多走__________？ (2)小王的新能源电动汽车这一周一共行驶多少？ (3)已知汽油车每行驶约需用汽油8升，汽油价格为元／升；新能源电动汽车每行驶耗电量约10度，电价约元／度，小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)38 (2) (3)元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：， 即这一周里路程最多的一天比最少的一天多走； 故答案为：38 （2）解：， 即小王的新能源电动汽车这一周一共行驶； （3）解：元， 即小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省元． 21．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 22．在数轴上标出表示下列各数的点． 0，，3.75，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内． (3) 【答案】(1)，数轴表示见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，在数轴上表示有理数，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小； （2）根据正数、整数、负数的定义即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示如图所示： ． （2）解：如图所示： 23．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)或 【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题、 【提出问题】若a与b的乘积不等于0，求的值．请补充以下解答过程： 【解决问题】 （1）①a，b均是正数时， ； ②当a，b均是负数时， ； ③当a，b是一正一负时， ； 【探究拓展】 （2）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，，且，求的值． 【答案】（1）①2  ；② ； ③0 ；（2）或1  ； （3） 【分析】本题考查了化简绝对值和有理数除法，解题关键是会用分类讨论思想进行分情况解题； （1）分a，b是正数、当a，b是负数和a，b是一正一负时三种情况分类讨论，分别求解即可； （2）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数或a，b，c都是负数，两种情况分类讨论，分别求解即可； （3）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，得出，，求解即可． 【详解】（1）解：解决问题：①由题知， 当a，b是正数时，，，所以， 故答案为：2； ②当a，b是负数时，，，所以， 故答案为：； ③当a，b是一正一负时，和中，一个是1，一个是，所以， 故答案为：0； （2）因为a，b，c三数的乘积小于0， 所以a，b，c都是负数或一个负数，两个正数． 当a，b，c都是负数时，原式； 当a，b，c中一个负数，两个正数时，不妨令a为负数，b，c为正数， 则原式， 所以的值是或1； （3）因为a，b，c三数的乘积小于0， 所以a，b，c都是负数或一个负数，两个正数， 又因为， 所以a，b，c中一个负数，两个正数， 不妨令a为负数，b，c为正数， 因为，，， 所以原式． 25．我们规定：对于数轴上不同的三个点M、N、P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍（n为正整数），即，则称点P是“n倍点”．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a、b满足．点O是数轴原点． (1)_________，_________．原点O_________（填“是”或“不是”）“n倍点”； (2)若点C是“3倍点”，则点C所表示的数为_________； (3)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，两点同时出发，设运动时间为t（）．作“1倍点”记为D，作“2倍点”记为E，若P恰好是“2倍点”，求此时t的值． 【答案】(1)，不是 (2)或 (3) 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键： （1）根据非负性，求出的值，根据新定义，进行判断即可； （2）设点C所表示的数为，根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）根据新定义，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∵点在点的右侧，不满足新定义， 故原点O不是“n倍点”； （2）设点C所表示的数为，则：， 由题意，， 解得或； 故点表示的数为或； （3）由题意，点表示的数为， ∵作“1倍点”记为D， ∴， ∴点为的中点， ∴点表示的数为； 点表示的数为， ∵作“2倍点”记为E， ∴， 当点在之间时，则，故点表示的数为， 当点在点右侧时，则为的中点，故点表示的数为， ∵P恰好是“2倍点， ∴点在点的左侧，且， ∴当点表示的数为时，，解得； 此时点表示的数为，点表示的数为，符合题意； 当点表示的数为时，，解得（不符合题意，舍去）； 故． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数及其运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若高于海平面米可记作米，则低于海平面米可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 7．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 8．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 9．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，点，，对应的数分别是，，．从下列四个条件：①；②；③；④中任取两个进行组合．下面四个选项中，（   ）可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分中的某一个部分． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：_______ 12．据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学记数法表示，可记为____________． 13．若，则 ______． 14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 15．在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 16．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)简便计算： (2)计算：． 18．定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 19．求值： (1)已知，，且，求的值； (2)如果，，且，求的值． 20．新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐，元旦期间小王家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续一周记录了每天行驶的路程，如下表所示，以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”． 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程 0 (1)这一周里路程最多的一天比最少的一天多走__________？ (2)小王的新能源电动汽车这一周一共行驶多少？ (3)已知汽油车每行驶约需用汽油8升，汽油价格为元／升；新能源电动汽车每行驶耗电量约10度，电价约元／度，小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省多少钱？ 21．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 22．在数轴上标出表示下列各数的点． 0，，3.75，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内． (3) 23．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题、 【提出问题】若a与b的乘积不等于0，求的值．请补充以下解答过程： 【解决问题】 （1）①a，b均是正数时， ； ②当a，b均是负数时， ； ③当a，b是一正一负时， ； 【探究拓展】 （2）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，，且，求的值． 25．我们规定：对于数轴上不同的三个点M、N、P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍（n为正整数），即，则称点P是“n倍点”．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a、b满足．点O是数轴原点． (1)_________，_________．原点O_________（填“是”或“不是”）“n倍点”； (2)若点C是“3倍点”，则点C所表示的数为_________； (3)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，两点同时出发，设运动时间为t（）．作“1倍点”记为D，作“2倍点”记为E，若P恰好是“2倍点”，求此时t的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $