专题02 有理数的混合运算的专项训练（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数混合运算，通过直接计算、新定义、程序框图三类题型，构建从基础到创新应用的能力递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接计算|9题|含不同运算顺序、符号处理的基础计算题|夯实运算能力，强化法则应用| |新定义题型|9题|涉及自定义运算、二阶行列式等创新情境|培养符号意识与推理意识，迁移运算逻辑| |程序框图计算|9题|结合流程图、加密程序等实际问题|发展应用意识，体现数学与现实的联系|

专题02 有理数的混合运算的专项训练 题型一 有理数的混合运算——直接计算 题型二 有理数的混合运算——新定义题型 题型三 有理数的混合运算——程序框图的计算 题型一：有理数的混合运算——直接计算 1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算有理数乘方，绝对值，再算有理数的乘法，再从左往右依次计算即可； （2）先算括号里的有理数乘方，将除法变为乘法，按照先乘除后加减的顺序计算，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 5．． 【答案】 【详解】解：原式 ． 6．计算： 【答案】 【详解】解： ． 7．计算： 【答案】 【分析】利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项结合，将分数统一转化为小数形式后再进行简便计算． 【详解】， 原式 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 9．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二：有理数的混合运算——新定义题型 10．定义一个新运算，例如，．则关于定义的新运算中，下列说法正确的是 （      ） A．新运算满足交换律，也满足结合律 B．新运算满足交换律，但不满足结合律 C．新运算不满足交换律，但满足结合律 D．新运算既不满足交换律，也不满足结合律 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，根据，可知满足交换律，根据，，可知不满足结合律，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴新运算满足交换律； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴新运算不满足结合律， 故选：B． 11．新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据新运算可得，再根据，把代入，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 故选：A 12．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 【详解】解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 13．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 14．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算．根据定义，先求，再计算 ． 【详解】解：表示不超过的最大整数，且， ． ． 故选：A． 15．中考新考法·新定义形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．11 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的混合运算，根据新定义列式，再计算即可． 【详解】解：． 故选：A 16．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 【答案】(1)11 (2)7 (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）根据，由构造出4，由6构造出5，写出定义的新运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：要使得数字和6在你定义的新运算下运算的结果为20， 我定义的新运算为：， ∴，符合题意． 17．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 【答案】(1) (2)， (3) 解：因为，， 所以， 所以这个新定义的运算满足交换律． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据各式可得； （2）根据新运算的定义列式，先计算乘法、去括号，再计算加减法即可得； （3）根据新运算的定义可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：观察各式可知，， 故答案为：． （2）解： ． ． （3）略 18．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 题型三：有理数的混合运算——程序框图的计算 19．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，根据程序框图列式计算，直至结果为即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数的熵， 故选：． 20．李宏同学设计了一个运算程序如图所示．按照程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一次运行．若时，则该运算程序能输出结果时至少需要运行（　　） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算．根据所给程序运算法则求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴该运算程序能输出结果时至少需要运行3次． 故选：C 21．如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序流程图的运算规则，依次计算每一次循环的结果，直到结果重复出现为止． 【详解】解：①若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ②若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ③若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ④若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时，与上一次运算结果相同，即重复出现； 所以输出的结果为． 22．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，求最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与程序流程图有关的有理数计算，根据流程图计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：当输入的为时，， 当时，， ∴最后输出的结果是， 故选：． 23．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【答案】7 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．根据程序框图列式计算，直至结果为1即可． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数 3 的熵， 故答案为：7． 24．加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字x． 运算程序为：例如：字母A对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母A．如果密文，那么它是由字母_______加密得到的． 【答案】F 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算出的结果可求出密文所对应的字母所对应的数，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴密文对应的字母所对应的数为6，即密文对应的字母为F， 故答案为：F． 25．小丽设计了一种简单的密码规则：将英文字母依次对应数字，加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字．运算程序如图所示，例如：字母对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母．如果密文，那么它是由字母__________加密得到的． 【答案】G 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算出的结果可求出密文所对应的字母所对应的数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴密文对应的字母所对应的数为7，即密文对应的字母为G， 故答案为：G． 26．【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如…，这个字母依次对应…这个自然数（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：（26被4除余2），即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 【解决问题】 (1)按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ；明文对应的密文为 ； (2)按照以上程序加密次的密文为“新城加油”的首字母“”，则其对应的明文为 ； (3)加密可以重复进行，按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据将明文转换成密文的方法计算即可求解； （2）根据将密文转换成明文的方法计算即可求解； （3）根据将明文转换成密文的方法计算出前几项，找到规律，根据规律即可求解． 【详解】（1）解：根据将明文转换成密文的方法计算可得： （16被4整除）， ， （20被4整除）， ， ， 明文对应的密文为；明文对应的密文为． 故答案为：；； （2）解：根据将密文转换成明文的方法计算可得： ， ， ， ， “”对应的明文为． 故答案为：； （3）解：根据将明文转换成密文的方法计算出前几项可得： ， （12被4整除）， （3被4除余3）， （8被4整除）， ．．．， 发现规律：密文以、、、、、、为一组重复出现， ……， 加密次，明文对应的密文为． 故答案为：． 27．【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如Q、W、E、…、N、M，这个字母依次对应1、2、3、…、这个自然数（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为x，通过某种规定的运算程序把x转化为对应的自然数x＇，x＇对应的字母为密文． Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 运算程序为： 例如：将明文M转换成密文：M→26（26被4除余2）→→L，即M的密文为L；将密文P转换成明文，P→10→→G，即P的明文为G． 【解决问题】 (1)按照以上程序加密1次，明文I对应的密文为 ；明文NLZF对应的密文为 ； (2)按照以上程序加密1次的密文为“常外学子”的首字母“CWXZ”，则其对应的明文为 ； (3)加密可以重复进行，按照以上程序加密次，明文V对应的密文为 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据将明文转换成密文的方法计算即可求解； （2）根据将密文转换成明文的方法计算即可求解； （3）根据将明文转换成密文的方法计算出前几项，找到规律，根据规律即可求解． 【详解】（1）解：将明文转换成密文：→（被4整除）→→； 将明文转换成密文：→（被4除余）→→； 将明文转换成密文：→（被4除余）→→； 将明文转换成密文：→（被4整除）→→； 将明文转换成密文：→（被4除余）→→； ∴明文NLZF对应的密文为； （2）解：→→→G， →→→， →→→， →→→， ∴“CWXZ”对应的明文为： （3）解：→（被4除余）→→； →（被4整除）→→； →（被4除余）→→； →（被4除余）→→； →（被4整除）→→； →（被4除余）→→； →（被4除余）→→； ∴加密次后，开始重复； ∵， ∴按照以上程序加密次，明文V对应的密文为; 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 有理数的混合运算的专项训练 题型归纳 题型一有理数的混合运算一一」 直接计算 题型二有理数的混合运算一一新定义题型 题型三有理数的混合运算——程序框图的计算 题型专练 题型一：有理数的混合运算一一直接计算 1.计算： (1)-125+|2-3-3×(-1)2 w+x2)(3)( 2.计算： -r1-612-3x( 6+( 3.计算： a-o(5 1--a5x2-(3j] 4.计算： (1)(-40)-28-(-19)+(-24): a(6品}4 3)-1P-3×[2-(4】: 118 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -+号( 52+(-(2× á.计第：（3引2))1列 7.计算：(637)3号到引+67+275 8.计算： (1)12-7×(-4)+8÷(-2): B--m66 3-83}(-24 9.计算： a-4(-2列-[（ ae+(24+ 题型二：有理数的混合运算一一新定义题型 10.定义一个新运算a.b=ab+a+b+1,例如1.2=1×2+1+2+1=6，(-3)4=(-3)×4+(-3)+4+1=-10 则关于定义的新运算中，下列说法正确的是() A.新运算满足交换律，也满足结合律B.新运算满足交换律，但不满足结合律 C,新运算不满足交换律，但满足结合律D.新运算既不满足交换律，也不满足结合律 11.新趋势新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y,x☆y=ax+ay+1(a为常数)， 如：2☆3=d22+a3+1=2a2+3a+1.若1☆2=3，则3☆6的值为() A.7 B.8 c.9 D.13 12.定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=ab-a;当a<b时，a⊕b=ab+a;按上述定义计算 218 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (e(-2)的值为() A.2 B.Z C.1 D.3 a÷b(b>0) 13.小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：☆b= -a÷b(b<0)，则 1☆(-2)的值为() A B.Z C.2 D.2 14.高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称.现有一种高斯定义的新运算，已 知[x表示不超过x的最大整数，例如[0.8]=-1，现定义{x=x+[,例如1.5}=1.5+[.5]=2.5，则 {-2.5}=() A.-5.5 B.-4.5 c.-0.5 D.0.5 a c a c 15.中考新考法·新定义形如b的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为bd =ad-bc 12 1 依此法则计算-3 4 的结果为() A.11 B.-11 C.5 D.-2 16.定义新运算：对于任意有理数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+l,等式右边是通常的加法、减法及乘法运 算，比如，数字2和5在该新运算下结果为5，计算如下： 2⊕5=2×(2-5)+1 =2×(-3)+1 =-6+1 =-5 (1)求(-2)⊕3的值： 2对于有理数a,b,若定义运算：a⑧b=a-b a+b,计算(4)⑧3的值等于 (3)请你定义一种新运算，使得数字-4和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算. 17.阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务 318 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ×年×月×日 星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：2☆4=2×4-2-4=2；3☆(-)=3×(-)-3-(-)=-5：(9)☆5=(-9)×5-(9)-5=41 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算：☆b=-· 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换 律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有a☆b=b☆a. 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分：-· 2)根据材料，计算（-5)☆3与(6)☆(-5). (3)请你补全小宇日记中的探究过程. 18.我们规定一种新定义：※b=2b- 2,其中符号“※”是我们规定的一种新定义，如 ※(-2=2x3x2)号32+1=，根据新定义计 (1)(-5)※4： (2(-3)※(-6). 题型三：有理数的混合运算一一程序框图的计算 19.在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然 数n,当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果 再加上1，这样也能得到一个新的自然数.把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法 则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称m是 自然数n的熵.例如自然数n=8时，则第一次运算8÷2=4，第二次运算4÷2=2，第三次运算2÷2=1， 这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵m=3.若输入自然数n=3,则自然数3的熵m=() 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入正整数n← n为偶数 7n为奇数 n 3n+1 2 结果为1 否 是 输出正整数m A.1 B.6 c.7 D.9 20.李宏同学设计了一个运算程序如图所示.按照程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一 次运行.若n=l时，则该运算程序能输出结果时至少需要运行( ) 输入n的值 +5 ×3 大于100 输出结果 是 否 A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 21.如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字985，则输出结果为() 开始 输入三位数a 各位数字重新排列， 组成最大的数和最小的数 用最大的数减最小的数 否 重复出现的数 是 输出 A.594 B.495 c.459 D.450 22.如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出 的结果y是() 箱入☑平方8×（》 否 赁果是否大于1》是 输出y 7 A.4 > B.2 C.6 D. 5/8 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然 数n,当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果 再加上1，这样也能得到一个新的自然数.把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法 则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为l时，终止此程序，我们就称m是 自然数n的熵.例如自然数n=8时，则第一次运算8÷2=4，第二次运算4÷2=2，第三次运算2÷2=1， 这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵m=3.若输入自然数n=3,则自然数3的熵m= 输入正整数n n为偶数厂 □n为奇数 3n+1 结果为1 否 是 输出正整数m 24.加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字x. 运算程序为： 输入 →×(-6) ÷(3) -(-1) →输出例如：字母A对应数字 1,通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母A,如果密文x=13,那么它是由字母 加密得到的. 25.小丽设计了一种简单的密码规则：将英文字母A,B,C.,Z依次对应数字1,2,3,26，加密方法：将一 个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字x.运算程序如图所示，例如：字母A对 应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母A.如果密文x=15,那么它是由字母 加密得到的 输入 →×(-6)：(-3) (-1 输出 26.【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等，如今，密码学已成为网络信息安 全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如2，W,E,…N,M,这26个字母依次对 应1、23、…2526这26个自然数（见表）.设明文的任一字母所对应的自然数为x,通过某种规定的运算 程序把x转化为对应的自然数x',x对应的字母为密文 W E R P A D 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 F G H K L Z X C M 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 运算程序为： x被4整除 ÷4 x被4除余1 +3 ÷4 +19 输入x(1≤x≤26 输入x(1≤x≤26， x为自然数) x被4除余2 x为自然数) +2 12 x被4除余3 +1 ÷4 +6 例如：将明文M转换成密文：M→26(26被4除余2) 26+2+12=19→L,即M的密文为L:将密 4 文P转换成明文，P→10→(10-6)×4-1=15→G,即P的明文为G. 【解决问题】 (1)按照以上程序加密1次，明文H对应的密文为；明文LZFN对应的密文为： (2按照以上程序加密1次的密文为“新城加油”的首字母“XCY”,则其对应的明文为_： (3)加密可以重复进行，按照以上程序加密2026次，明文'对应的密文为_： 27.【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付电子门禁、密码认证等.如今，密码学已成为网络信息安全 的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具. 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如Q、W、卫、…、N、M,这26个字母依 次对应1、2、3、…、2526这26个自然数（见表）.设明文的任一字母所对应的自然数为x,通过某种规 定的运算程序把x转化为对应的自然数x'，x'对应的字母为密文 中 T J A 1 1 2 3 6 7 8 9 0 1 3 F G K L Z X C V B M 2 2 4 9 4 6 运算程序为： 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x被4整除 ÷4 x被4除余1 +3 ÷4 +19 输入x(1s≤26， 输出x'(1≤r≤26 x为自然数) x被4除余2 x为自然数) +2日 ÷4 +12 x被4除余3 +1 ÷4 +6 例如：将明文M转换成密文：M-26(26被4除余2) 26+2+12=19,L,即M的密文为L:将密文P .4 转换成明文，P,10一(10-6)×4-1=15→G,即P的明文为G. 【解决问题】 (1)按照以上程序加密1次，明文I对应的密文为_；明文NLZF对应的密文为_： (2)按照以上程序加密1次的密文为“常外学子”的首字母“CWZ”，则其对应的明文为_； (3)加密可以重复进行，按照以上程序加密2025次，明文V对应的密文为_ 8/8面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 有理数的混合运算的专项训练 题型归纳 题型一有理数的混合运算一一 直接计算 题型二有理数的混合运算一一新定义题型 题型三有理数的混合运算——程序框图的计算 题型专练 题型一：有理数的混合运算一—一直接计算 1.(1)-3 2)8 【详解】(1)解：-15+2-3-3×(-1) =-1+1-3×1 =-3 a50 ×(8 -&0 =0） 2.(1)-4 (2)-1 【详解】(1)解：原式=-1-6+2+1=-4： (2解：原武-后-+(-6) 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 号(3030+0(36 =-8+9-2 =-1 3.(1)250 1 2 【详解1(4解：（←0-（引5 =(-10)×(-5)×5 =50×5 =250. 2y:--os2-(3] -(2-叭 18}列 名) 4.(1)-73 (2)1 3)-3 (4)π-2 【详解】(1)解：原式=-40-28+19-24 =(-40-28-24)+19 =-92+19 =-73: (2)解：原武624+古×24一。24 12 8 =4+14-9 =-4-9+14 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1: (3)解：原式=1 3×2+4到 =-1-2 =-3； 期.原-3+号号 =π-3+1 =π-2. 5.-71 125 【详解】解：原式-8+0引4×（司 =+o()4到 =8+)( -8r(2s州 ~71 125 6.2 【详解】解： 〔))1) -32+22+12+12 3 3 434 9 =-2+ 5 7.-1 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解1-33,75， 4 原式=(6.37）+(3.75)+6.37+2.75 =[(-6.37)+6.37]+[(-3.75)+2.75] =0+(-1) =-1 8.(1)36 a-79 (3)32 (4)-15 【详解】(1)解：原式=12-（-28)+(4) =12+28-4 =36: (2解：原.=o036 =-(0x36-736 =(360- 7199 2 (3解原武=4-1(》6 =-4-1×(-6×6 =-4+36 =32: (4解：原式=3-[-240+(-24列(2判] =-33-(-12-20+14) =-33+12+20-14 =-15. 9.(1)0 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详都14解(1图号4(2-[（引 -←1图号4(-2)(9到引 =-4+2-(-2) =4+2+2 =0: （2解：(+(-2列4+ =1+(到4+号 =14(-2+ -1*2 1 题型二：有理数的混合运算一一新定义题型 10.B 11.A 12.A 13.B 14.A 15.A 16.(1)11 (2)7 (3)a★b=-a(b-1) 【详解】(1)解：a⊕b=a(a-b)+1, :.(-2)©3=(-2)×(-2)-3]+1 =(-2)×(-5)+1 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =10+1 =11: (2)解：a⑧b=a-b a+b :.（-4)⑧3= - 故答案为：7； (3)解：要使得数字-4和6在你定义的新运算下运算的结果为20， 我定义的新运算为：a★b=-a(b-l), 4★6=-（4)×(6-)=4×5=20，符合题意. 17.(1)ab-a-b (2)(-5)☆3=-13.（6)☆(-5)=41 (3)解：因为a☆b=ab-a-b,b☆a=ba-b-a=ab-a-b, 所以a☆b=b☆a. 所以这个新定义的运算满足交换律。 【详解】(1)解：观察各式可知，a☆b=ab-a-b, 故答案为：ab-a-b, (2)解：（-5)☆3=(-5)×3-(（-5)-3 =-15+5-3 =-13 (-6)☆(-5)=（6)×(-5)-(-6)-（-5) =30+6+5 =41 (3)略 18.(1)-42 (2)39 题型三：有理数的混合运算一一程序框图的计算 19.C 20.C 21.B 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.A 23.7 【详解】解：输入自然数n=3, 第一次运算3×3+1=10， 第二次运算10÷2=5， 第三次运算3×5+1=16， 第四次运算16÷2=8， 第五次运算8÷2=4」 第六次运算4÷2=2， 第七次运算2÷2=1， 则自然数3的嫡m=7, 故答案为：7. 24.F 【详解】解：[13+(-1]×(-3)÷(-6) =12×(-3)÷(-6) =-36÷(-6) =6, ∴.密文x=13对应的字母所对应的数为6，即密文x=13对应的字母为F, 故答案为：F 25.G 【详解】解：由题意得，[15+(-1]×(-3)÷(-6) =14×(-3)÷(-6) =（-42)÷(-6) =7, ∴.密文x=15对应的字母所对应的数为7，即密文x=15对应的字母为G, 故答案为：G 26.(1)R:ATHM (2)TOKB (3)U 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：根据将明文转换成密文的方法计算可得： H→16(16被4整除)→16÷4=4→R, L→1909被猴余)9+6=1→4， Z→20(20被4整除)→20÷4=5→T, F→1414被4除余2)14+2+12=16→日 N→25(25被4除余1) 25+3+19=26→M, 4 ∴.明文H对应的密文为R:明文LZFN对应的密文为ATHM. 故答案为：R;ATHM: (2)解：根据将密文转换成明文的方法计算可得： X→21→(21-19)×4-3=5→T C→22→（22-19)×4-3=9→0 J→17→(17-12)×4-2=18→K, Y→6→6×4=24→B, .“XCY”对应的明文为TOKB 故答案为：TOKB, (3)解：根据将明文转换成密文的方法计算出前几项可得： V→23(23被4除余3)→23+1+6=12→S, 4 S→12(12被4整除)→12÷4=3→E, E→3(3被4除余3)→ +1+6=7→0， 4 0→7(7被4除余3) 7+1+6=8→1， 4 1→8(8被4整除)→8÷4=2→W, W→22被4除余2)→2+2+12=13→D, 4 D→1313被4除余刻→13+3+19=23→， 4 发现规律：密文以S、E、U、I、W、D、V为一组重复出现， 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026÷7=289..3, ∴.加密2026次，明文V对应的密文为U. 故答案为：U, 27.(1)W,MATH (2)GIAU (3)E 【详解1少解：指明文，转换成密文：广g《8故4整验)一氵-2-g: 25+3+19=26一M 将明文N转换成密文：N→25（25被4除余1)→4 19+1+6=1一A 将明文L转换成密文：L→19（19被4除余3)→4 20=-5→T 将明文z转换成密文：Z一20（20被4整除)一 14+2+12=16-H 将明文F转换成密文：F一14（14被4除余2)一4 ∴.明文NLZF对应的密文为MATH; (2)解：C→22→(22-19)×4+3=15-G. W→2-2×4=8→1， X→21-(21-19)×4+3=11→A, Z→20→(20-19)×4+3=7U, ∴.“CWXZ”对应的明文为：GIAU 23+1 (3)解：V→23（23被4除余3)→4 +6=12-s s12(12被4整除)-号-3一E: 3+1+6=7-U E3（3被4除余3)→ +6=8一1 7+1 U→7（7被4除余3)→4 8 1→8（8被4整除)→ =2→W9 2+2+12=13-D W一2（2被4除余2）→ 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D13（13被4除余1)→4 13+3+19=23y ∴加密7次后，开始重复： .2025÷7=2892 ∴按照以上程序加密2025次，明文V对应的密文为E; 10/10