第1章 有理数全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以题型分层为框架，系统覆盖有理数全章核心考点，从基础概念到综合应用形成完整能力链，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|11题型/55题|聚焦概念辨析与基础技能，如正负数实际应用、数轴三要素、绝对值化简|从概念生成（有理数分类）到几何直观（数轴），再到性质应用（绝对值非负性），层层递进| |核心提升|7题型/35题|侧重运算技巧与综合应用，如简便运算、程序流程图、算24点|以运算能力为核心，结合实际情境（科学记数法）与逻辑推理（乘方运算），实现知识迁移|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章有理数全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1正数与负数 1.-24 2.B 3.A 4.B 5.B ◆题型2正负数的实际应用 6.-173 7.D 8.一月份超额完成计划-50吨，二月份超额完成计划0吨，三月份超额完成计划150吨. 9. 235 245 10.B ◆题型3有理数的概念与分类 11.C 12. 正数集合：+6, ,8.9,0.3} 整数集合：{+6，-3,0} 负有理数集合：(-3，-2} ,3.4} 正分数集合：{18.9,0.3 13.D 14.D 15. 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 5, 3,-3,89,19, -314,053,19.0:3, 7,-3.14,0 ◆题型4数轴的三要素及其表示 16.B 7 17.(1)4 (2)如图，点C即为所求： C A B 3 1 2 (3)数轴表示如图所示. 18. -15 6000 1-2 19.如图即为所求. 1250 3 -5-4-3-2-1012345 20.如图所示： 丹里空图 0 ◆题型5数轴上两点之间的距离 21. -5 22.A 23.B 24.D 25.A ◆题型6利用数轴比较有理数的大小 26. 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2201 2235 23.5-2<-0<1<2<3.5 -5-4-3-2-1012345 2 -4.5-2 方手4521 3 28.C 29.D 30.C ◆题型7数轴上的整点覆盖问题 31.10 32.D 33.8 34.C 35.6 ◆题型8求绝对值 6号 37.-1,0,1 38.A 39.±2 40.±8 ◆题型9绝对值的非负性 41. 0 3 42.(1)错误 (2)正确 (3)错误 (④)正确 43.C 319 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44.(1)5 (2)画图见解析 45.2 ◆题型10绝对值的化筒 46.-3或4 47.0 48.(1)-1；1 a b (2)AB (3)a<-c<c<a 49.C 50.B ◆题型11相反数 51.-3 52.B 53.1 54.A 55, 1 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1有理数的四则运算 56.(1)-5 (2)-11 (3)-150 57.41 58.(1) 13 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 2 (3) 9 (4) -9 59. (1)-2 (2)1 (3)-9 (4)-1 00吃 (2)-7 ◆题型2有理数的简便运算 61.(1)6 (2)-0.6 (3)-1 0品 62号 (646 1 65 6.8后（或 63.1)7.2 (2)-1 64.(1)1 (2)24 a 65.(1)365 (2)1 ◆题型3有理数的实际应用 66.26 67. 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13号 68.(1)介休三中；政务中心. (2)15:13 (3)28元 69. 30分钟 70.(1)12分 (2)达标，理由如下： 1班的卫生成绩：60+7=67（分）， 2班的卫生成绩：60-3=57（分）， 3班的卫生成绩：60+0=60（分）， 4班的卫生成绩：60+17=77（分）， 5班的卫生成绩：60+6=66（分）， 6班的卫生成绩：60-6=54（分）， 六个班的平均分：(67+57+60+77+66+54÷6=381÷6=63.5（分）， 63.5>60, 故六年级的整体卫生情况达标。 ◆题型4有理数的乘方运算 71.(1)-8 (2)-9 8 3 72.(0625 9 ②4 73.(1)-2 (2)3 024-1 74.5 75.(1)9 (2)-9 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)-27 (4)2.89 网克 ◆题型5程序流程图 76.(1)48,-39,-32-32÷4×-6 (2)-89 77.见解析 78.10 5 79.0)3· 1 ②3 80.(1)-1 (2)-95 ◆题型6算24点 81.(1)①+3++6=9；②-5-+6=-11；③3×6=18： (2) 由题意得：【-2×-5+3×+6=-2×-2×6=24： -2×-5×3-+6=-2×-15-6=24: +6--2+0×+3=6+2×3=24 82.(1)-60 (2)10-3×-6+-4=24(答案不唯一) 83.1×4×-2--8=24(答案不唯一) 84.(1)①2+3-1×6=24：②-1×-3×4+4=24 (2-4×2+-3-5=24,-42--3+5=24,52--3-4=24,2÷-4×-3=24等（答案不唯一，符 号条件即可) 85.(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 ◆题型7科学记数法 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 86.C 87.B 88.C 89.C 90. 8.29×105 题型专练 高频重难特训 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A 7.D 8.D 9.2040200 10. -1)”121+2 个单位 11. 39 0.66667 12.57 13.(1)4652是“平方和数”，5747不是“平方和数” (2)满足条件的M为2868,5550,8268 14.a,号 (2)D (3)12 15.(1)29 (2)a=-2 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)存在，m=1,n=-2 9/9学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章有理数全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1：正数与负数 题型2：正负数的实际应用 题型3：有理数的概念与分类 题型4：数轴的三要素及其表示 题型5：数轴上两点之间的距离 题型6：利用数轴比较有理数的大小 题型7：数轴上的整点覆盖问题 题型8：求绝对值 题型9：绝对值的非负性 题型10：绝对值的化简 题型11：相反数 目核心提升：重难题型归纳 题型1：有理数的四则运算 题型2：有理数的筒便运算 题型3：有理数的实际应用 题型4：有理数的乘方运算 题型5：程序流程图 题型6：算24点 题型7：科学记数法 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1正数与负数 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作+50元，那么付款24元，可记作 元 3 2.在数-2,0.5，+3,0，-4中，负数有（）个， A.1 B.2 C.3 D.4 3.我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献.若高于海平面100米可记作 +100米，则低于海平面75米可记作() A.-75米 B.-25米 C.+25米 D.+75米 4.我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”I型浮空艇最高升空至 海拔9050米.若将海平面以下10907米记作-10907米，则海平面以上9050米记作() A.-9050米 B.+9050米 c.+10907米 D.-10907米 5.下面各选项中的两个量不具有相反意义的是() A.妈妈每月收入4000元，支出2500元 B.生产了5000个产品，其中有20个不合格 C.超市运进饮料100箱，卖出80箱 ◆题型2正负数的实际应用 6.在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1~9的算筹表示如表所示.表示多位数时，个位用 纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负 数，如26可以用算筹表示为“一不”，则士” 表示的数是 数字形式12 3456 7 8 9 纵式 T 横式 7.以聪聪的身高152cm为标准，高于152cm的记作正，低于152cm的记作负，城城的身高记为+2cm, 芳芳的身高记为-5cm,则三个小朋友的平均身高是()cm. A.152 B.154 C.147 D.151 8.某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产950 吨，用正数、负数和0表示每月超额完成计划的吨数， 9.笑笑在一袋食用糖的包装纸上看到这样的文字：质量240g±5g,意思是这袋食用糖的质量合格范围是 g至g. 10.如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是40mm±0.05mm,这表示乒乓球的标准直径是 2/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40mm,允许偏差是±0.05mm.那么下列选项中的乒乓球直径合格的是() 乒乓球 型号 3星级 颜色 黄色 质量 2.74g+0.02g 直径 40 mm+0.05 mm 包装规格 10只/盒 A.39.88mm B.40.01mm c.40.10mm D.41.00mm ◆题型3有理数的概念与分类 11.下列属于正有理数的是() A.-14 B.π C.54 D.X 12.将下列各数填入适当的括号内： +6,3,28.9,2分，34,0.30,0.0101001 正数集合：{ } 整数集合：{ } 负有理数集合：{ 正分数集合：{ 22 13.在4，号，0,2314159,6%，010101001.（每相邻两个1之间依次多-个0）中，有理数共 有()个 A.2 B.3 C.4 D.5 14.在下列选项中，既是分数，又是负数的是() A.4 B.5 C.-8 D.-0.5 15.将下列各数填入适当的括号内： 2 ,533,89,19,号3.14,0 有理数集：{ .); 整数集：{ }: 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 非正数集：{ …} ◆题型4数轴的三要素及其表示 16.如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为() 0 A.0 B.2 c.-1 D.-2 17.观察数轴，按要求完成： B 0 (1)点A表示的数写成分数是. (2)点C到O的距离和点B到O的距离相等，但方向相反，请标出C点，并将C点表示的数字写出来. 3)在数轴上标出表示25和-2的点。 18.下列数轴上A点所表示的数是( ),B点所表示的数是( ),C点所表示的数是( 010>0 B方0上C 3 6 19.在数轴上面出下列各点，它们分别表示：+3,0,3子，片-3，-1.25 20.在数轴上方空格里填上适当的整数或分数. ◆题型5数轴上两点之间的距离 21.如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 AO B C D 0 22.在数轴上，表示一4的点到原点的距离为（） 1 1 A.4 B.-4 C.4 D.-4 23.如图，若数轴上A,B两点之间的距离是6，则点B表示的数是() 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 A.1 B.-1 C.0 D.-2 24.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-2，那么点B表示的数是() A B A.-1 B.0 C.1 D.2 25.在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P,且P到A、B的距离 和是10，则点P表示的数是() A.10 B.9 C.8 D.7 ◆题型6利用数轴比较有理数的大小 26.在数轴上表示下列各数，并比较这些数的大小. 21.35,20 27.画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“<”连接起来： 4-245,50 28.实数a,b在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是() b A.a<b B.a<0 C.a>b D.b>0 29.在数轴上位于-4左侧的数是() A.0 B.-2 C.-3 30.如图，数轴上点A,B,C表示的数是分别是a,b,c,下列判断错误的是() A.C>1 B.b<c C.a>b D.c>a ◆题型7数轴上的整点覆盖问题 31.如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值.判断墨迹盖住的整数个数是· -6.3 3.1 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 ( )个 0 A.4 B.5 C.6 D.7 33.如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有 个 -6.5 -10 45 34.如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的 和是() -6.3 4156 A.-8 B.-9 c.-10 D.-11 35.如图，在数轴上，点A,B所表示的数分别为-3.3,2.15，则A,B两点之间表示整数的点一共有 个 3.3 0 2.15 ◆题型8求绝对值 36. 37.绝对值不大于1的整数有 38. 、1 2026 的绝对值是( 1 A.2026 B. 2026 C.-2026 D.2026 39.若x=-2,则x= 40.若-x=--8,则x= ◆题型9绝对值的非负性 41.代数式a-3的最小值是， a+3的最小值是. 42.判断对错 (1)-a一定是非负数： (2)a一定是非负数： 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若m=n,则m=n; (4)若m=-n,则m=n. 43.如果x=-x,那么x的值可以是() A.3 B.2 c.-1 D.1 44.己知a-2+b-3=0, (1)求a+b的值 (2)画数轴，并在数轴上标出到b两数距离之和为4的数 45.设x、六、z为整数且满足x-y2021+y-z2=1,则代数式x-y3+y-z3+l2-x3的值为 ◆题型10绝对值的化筒 46.满足x+2+x-3=7的整数x= 47.如图，数轴上的三个点A,B,C分别表示有理数a,b,c,化简a-b-c-a+b-c= a 为A 0B 48.如图，数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,点C表示的数为c,其中b是最大的负整数，c 是最小的正整数， a b AB C (1)b=_,c=-: (2)在数轴上标出原点的大致位置： (3)用“<”将a,a,-c,c连接起来： 49.如图，点A,B,C在数轴上，若B,C两点表示的数互为相反数，点A表示的数为a,则a-1的结 果为()· BA C a A.-a-1 B.a-1 c.-a+1 D.a+1 50.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a-ca-2bc-2b|的结果是() b a0 c A.0 B.4b-2a c.-2a-2c D.2a-4b ◆题型11相反数 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 51.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b,a、b互为相反数且它们之间的距离为6，则点A表示的数 A 52.代数式4x-3与2x-9的值互为相反数，则x的值为() A.-3 B.2 C.3 D.6 53.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 +b+cd= +b+c 54.下列各数中，与--3互为相反数的是(). A.3 B.-3 1 C.3 D 55.己知x-y=2,且x与y互为相反数，则x= 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1有理数的四则运算 56.简便运算： 1)-3.2+12.5+-16.8--2.5. 84号a (3)-1.25×-5×3×-8. 57. -×84+20 58.计算. (1)-3+-4--11--9 (2)-1.7--5.7+-6 (3)12× 15×写 ④引4 59.计算： (1)-(-4)+(-1)-(+5) 8/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 喝 ④-1+5-8+27=-3×号 60.计算 0422)((-3)(+52): +-1w ◆题型2有理数的筒便运算 61.计算 @时号2号 (2)-0.8+1.2-0.7-2.1+0.8+3.5-2.5 子-9612 -1291-61 o623(-2灯 62.计算：10299+8-713+65 4 20304256 63.用简便方法计算： ①19×2-0.4×-18+2×1-19 5 5 @0125-32-3}175 4.计算下面各题，能简算的要简算. +号 1+1 12=3*6 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o115是9 65.下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算 )计算：0.365×640+3号×36.5+365×0.01： (2)计算：2010-2009-2008+2007+2006-2005-2004+2003+..+6-5-4+3+2-1. ◆题型3有理数的实际应用 66.某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制 秦腔脸谱.他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于 乡村图书馆建设.则他们绘制的秦腔脸谱的个数为 67.打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成.现在，甲、乙两人轮流 工作.甲工作1小时，乙工作2小时：甲工作2小时，乙工作1小时：甲工作1小时，乙工作2小时…如 此交替下去，打印这部书稿共要 小时. 68.介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表. (上车人数记为正) 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 +9 +7 +6 0 +5 +1 下车人数 -3 0 -4 -3 -5 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是 无人下车的站是 (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有()名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有()名乘客. (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，己经收入多少钱？ 69.王奶奶看一集45分钟的电视剧，孙女用1.5倍速（即孙女的速度是奶奶速度的1.5倍）快进看完了. 那孙女看完这集电视剧花了多少时间？ 70.生活部对六年级6个班的卫生情况打分，60分及以上为达标.若将60分记0分，61分记“+1”分，59 分记“-1”分，则六年级6个班的卫生成绩如下表所示. 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 卫生成绩 +7 -3 0 +17 +6 -6 1分 (1)5班和6班的卫生成绩相差多少分？ 10/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)六年级的整体卫生情况达标了吗？请说明理由. ◆题型4有理数的乘方运算 71.计算： 1)-23: (2)--3: 72.计算题： 0的 - 73.计算： (1)16+-28--10] (2)-12--23÷4+-2 74.阅读材料：求1+2+22+23+24+·2014的值. 解：设S=1+2+22+23+24+·20140, 将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+·2014+22015②， 再将②-①得：S=22015-1, 即1+2+22+23+24+·2X014=22015-1. 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：1+6+62+63+·62023 75.计算： 1)-32: (2)-32 (3)-33: 4-1.7: ◆题型5程序流程图 76.图是一个计算程序. 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32 4 -61 (1)按照顺序计算并填写其中的“”，并在下面横线上列出综合算式： 综合算式： (仅列算式无需计算)： ②计算：-5-84×-2。 77.按下列程序进行计算：第一次输入的数是20，如果结果不大于100，就把结果作为输入的数再进行第 二次计算，直到符合要求为止.请把每次计算的结果填在下面的表中， >100 是翰出→ 否 计算次序 1 2 4 计算结果 计算次序 1 2 3 计算结果 -40 80 -160 320 78. 如图是一个数值转换机，当输入的数字n是-5时，按照图中的程序计算，求输出的答案. 输入n→+(3卫→÷(-2)→×(-5)→输出答案 79.下图是一个流程图 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x （3) (3) 结果是整数吗？ 结果 0)己知输入的x的值为1后 求出最后输出结果； (②)己知输入的×的值为一12求出最后输出结果。 80.小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：a*b=ab+5. (①)求-3*2的值： (2)求3*5*-5的值. ◆题型6算24点 81.计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： -5 -2 0 +3 +6 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果： ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_： ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_： (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算.（可加括号）， 使其运算结果为24，写出算式及运算过程.（写出两种即可） 82.如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： -63410 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是_； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“+，一，×，÷”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一 次)，请设计1个算式，并写出计算过程 83.在学习了有理数的混合运算后，小明玩“24点”游戏.游戏规则：从一副扑克牌（去掉大、小王） 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算（每张牌必须用一次且只能用一 次，可以加括号)，使得运算结果为24或-24.其中黑色扑克牌代表正数，红色扑克牌代表负数，A,J, Q,K分别代表1,11,12,13.小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃4，红桃2，红桃8，可以列出运 算结果为24的算式是·（写出一个即可） 84.“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号)，将这四个数 列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24. 例如：①2、3、4、8：4+2-3×8=24；②2、4、-4、-4：2×4+-4×-4=24. (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算. ①1、2、3、6：②-1、-3、4、4. (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如 2、3、4、4可以这样计算：3×4×4-2=24也可以这样计算：23+4×4=24.请利用上述运算规则列式完 成2、-3、-4、5的“24点”计算，要求用2种方法。 85.有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正， 黑桃、梅花牌为负.任取4张牌（可使用括号），每个数用且只用一次，使其结果等于24. 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：-4÷-2×4×3=24， (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24： (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q,请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24： (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程， 验证结果为24. ◆题型7科学记数法 86.根据人民网报道，2025年宣城市生产总值突破2148亿元，按不变价格计算，同比增长6%，则2148 亿用科学记数法表示为() A.2148×108B.2.148×1010 C.2.148×101 D.2.148×102 87.2026年滇超联赛热度空前，5月23日文山VS临沧的比赛在文山盘龙体育馆进行，本场比赛吸引了线 上线下观众约350000人，数据“350000用科学记数法表示为() A.0.35×106B.3.5×105 C.3.5×106 D.35×104 88.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014-2018年，中央财政累计投入“全 面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”，专项补助资金1692亿元，将1692亿用科学记数法表 示应为() A.0.1692×1012B.1.692×102 c.1.692×1011 D.16.92×1010 14/18 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 89.贵州简称“贵”或“黔”，地处中国西南腹地，总面积约为176000平方千米.数据176000用科学 记数法可以表示为() A.176×103 B.17.6×104 C.1.76×105 D.0.176×10 90.根据第七次人口普查数据统计，涟水县常住人口约为829000人，将数829000用科学记数法表示为 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.(25-26七年级上·贵州铜仁阶段检测)若a+6与b-2互为相反数，则a'的值是() A.-12 B.36 C.18 D.-25 2.(2022九年级·香港·竞赛)杂货商有12种不同整数重量的砝码，从1kg到12kg.她将它们分成三组， 每组四个砝码.第一组的总重量是41kg,第二组的总重量是26kg.以下哪个重量的砝码和9kg重的砝码 在同一组？() 8B△A 41 26 A.3kg B.5kg C.7kg D.8kg E.10kg 3.(2022九年级·香港·竞赛)兔子和刺猬在一条550米长的圆形跑道上比赛.它们都以恒定的速度奔跑 兔子的速度是每秒10米，而刺猬的速度是每秒1米.它们同时从同地出发.然而，刺猬跑的方向与兔子的 方向相反.当它们相遇时，刺猬立即转身，追着兔子跑.问刺猬比兔子晚多少秒到达出发的地点？() A.45 B.50 C.55 D.100 E.505 4.（25-26七年级上·辽宁沈阳期末)定义一种对正整数n的“P运算：①当n为奇数时，结果为3n+5: n ②当n为偶数时， 结果为)，其中k取使)为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取n=26时， 26 F② F① F② 13 44 11 n=49 则有： 第一次 第二次 第三次 ,将 进行2025次“F运 算”的结果是( ) A.19 B.31 C.62 D.98 5.(25-26七年级上浙江杭州期末)在“☐204口6o8010加12a14口16的“口”中填上“+”或“-”号， 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若运算结果为n,则称数n是“可被表示的数”.例如，-2+4+6+8+10-12-14+16=16，则称16是“可被 表示的数”.下列各数中是“可被表示的数”的是() A.-30 B.-10 C.30 D.60 6.(25-26七年级上山东济南·期末)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，下列各式：①+b+c<0: ②abc>0,③6 =1,④la+c=-a-c,其中错误的有（） a b -10 1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(25-26七年级上·北京海淀·期末)对于一个正整数A,计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再 计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整 数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”，关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”： ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”： ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8.(25-26七年级上广东广州·期中)下列说法中，不正确的是() A.若x=-10,则x=±10；若-x=-10,则x=±10 B.若m是有理数，则m+-m不可能是负数 c.若x+y=0(y0)，则y D.己知a,b,c均为非零有理数，若a+b+c<0,则 a)b)lc)abc) a b c abc 的值为4或-4 二、填空题 9.(21-22七年级上·浙江宁波·期中)一只青蛙在数轴上从表示1的点出发，每次跳动的距离都是整数， 如果它只能在表示1,2,3.，2020的点上跳动，经过2020次跳动后又回到出发点，那么青蛙所跳过的 全部路径的最大长度是一· 10.(2026浙江·模拟预测)阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即2,22， 2等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和2+2+2+…+2”1+2时，我们可以假设这个求和的结 果为： 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S=2+22+23+.+2-1+2" 我们将每一项都乘以2，就可以得到2S=2+23+2++2”+21,我们将两个数相减就可以得到 S=2+1-2.现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向 右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点 11.(24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试)M=7.7+7.97+7.997+7.9997+7.99997,则M的整数部分是( ),M的小数部分是( ) 12.(25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测)从-1，-2，-3…，-11，-12这12个数中取若干个数，使得任意两 个数之和既不等于-12也不等于-13，则这若干数字和的绝对值最大值为 三、解答题 13.(22-23八年级下·重庆江北阶段检测)对于任意的一个四位数M,其百位数字与千位数字的平方和恰 好为M的十位和个位组成的两位数，则这个四位数M为“平方和数”. 例如：M=2753,.22+7=53,∴.275是“平方和数”； 又如：M=3546,.3+5=34,34≠46，.3546不是“平方和数”. (1)判断4652,5747是否为“平方和数”，并说明理由： (②一个“平方和数”M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,记GM=b, 10 P(M)=10c+d-5ab) 当GM、PM均是整数时，求出所有满足条件的M. 14.（26-27七年级：江苏·小升初衔接)【概念学习】现规定：求若千个相同的有理数（均不等于0）的商 的运算叫做除方，比如222，-3÷-3÷-3÷-3等，类比有理数的乘方，我们 -3÷-3÷-3÷-3写作-3②，读作“-3的圈4次方”，一般地把 ÷a÷a÷·a ⑦ (a≠0)写作a n个a 读作“a的圈n次方”. 【初步探究】 (①)直接写出计算结果：2②=；-3= (2)下列关于除方说法中，不正确的是()· A.任何非零数的圈2次方都等于1： B.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数： c.-2>-4@ D.1和-1的圈n次方都等于它本身， (3)算一算：-2022 -4=-21@ 15.(24-25七年级上·云南昆明·期末)探究规律，完成相关题目. 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义“”运算： (+2)*(+4)=+22+421:(4)*(-7)=+(-4)2+(-7)2月 (-2)*(+4)=(-2)2+(+4)21:(+5)*(-7)=(+5)2+(-7)21: 0米 (5:(+3)* （+时. 0*0=02+02=0. (1)(-5)*(-2)=: (2)已知：(+1)*al,其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m,2,使得(m-1)*(n+2)=0,若存在，求出，n的值，若不存在，说明理由. 18/18 第1章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1：正数与负数 题型2：正负数的实际应用 题型3：有理数的概念与分类 题型4：数轴的三要素及其表示 题型5：数轴上两点之间的距离 题型6：利用数轴比较有理数的大小 题型7：数轴上的整点覆盖问题 题型8：求绝对值 题型9：绝对值的非负性 题型10：绝对值的化简 题型11：相反数 核心提升：重难题型归纳 题型1：有理数的四则运算 题型2：有理数的简便运算 题型3：有理数的实际应用 题型4：有理数的乘方运算 题型5：程序流程图 题型6：算24点 题型7：科学记数法 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 正数与负数 1．微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作___________元． 【答案】 【详解】解：由题意，规定收款元记作元，即收款用正数表示， ∴ 与收款意义相反的付款应用负数表示， ∴ 付款元记作元． 2．在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“小于0的数是负数”逐个判断所给数，统计负数个数即可得到结果． 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，不是负数， 既不是正数也不是负数， ，是负数， 所以负数共有2个． 3．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若高于海平面米可记作米，则低于海平面米可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵高于海平面米记作米， ∴低于海平面米记作米． 4．我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：根据正数和负数表示具有相反意义的量，可知海平面以上9050米记作米． 5．下面各选项中的两个量不具有相反意义的是（     ） A．妈妈每月收入4000元，支出2500元 B．生产了5000个产品，其中有20个不合格 C．超市运进饮料100箱，卖出80箱 【答案】B 【分析】根据具有相反意义的量的定义可得答案． 【详解】解：收入和支出具有相反意义；运进和卖出具有相反意义；产品中有不合格产品不具有相反意义． ◆题型2 正负数的实际应用 6．在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 【答案】 【分析】对照表格，从左到右，找到每个算筹对应的数，再注意个位数上的斜放的算筹即可． 【详解】 解：由“”对照表格可得，从左到右，依次对应的数为、、， 又∵个位数上斜放了一筹，表示负数， ∴“”表示的数是． 7．以聪聪的身高为标准，高于的记作正，低于的记作负，城城的身高记为，芳芳的身高记为，则三个小朋友的平均身高是（     ）． A．152 B．154 C．147 D．151 【答案】D 【分析】明确正负数表示与标准身高的差值，计算两人实际身高后求三人平均身高． 【详解】解：城城的身高为，芳芳的身高为， 三人平均身高为． 8．某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产950吨，用正数、负数和0表示每月超额完成计划的吨数． 【答案】一月份超额完成计划吨，二月份超额完成计划吨，三月份超额完成计划吨． 【分析】用每月实际生产的数量减去计划每月生产的数量可得答案． 【详解】解：吨，吨，吨， 即一月份超额完成计划吨，二月份超额完成计划吨，三月份超额完成计划吨． 9．笑笑在一袋食用糖的包装纸上看到这样的文字：质量，意思是这袋食用糖的质量合格范围是______至______． 【答案】 【详解】解：根据正负数的意义可得，表示合格质量的最小值为，合格质量的最大值为，因此这袋食用糖的质量合格范围是至． 10．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 所以满足题意的范围是， 观察各选项，只有B符合题意．． ◆题型3 有理数的概念与分类 11．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 12．将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 【答案】 正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 【详解】略 13．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 14．在下列选项中，既是分数，又是负数的是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据分数和负数的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解： A、4是正整数，既不是分数，也不是负数，不符合题意； B、5是正整数，既不是分数，也不是负数，不符合题意； C、是负整数，是负数但不是分数，不符合题意； D、是有限小数，属于分数，同时是负数，符合题意． 15．将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）； 整数集：{                  …}； 非正数集：{                       …}． 【答案】 5，，，8.9，19，，，0；5，，19，0；，，，0 【分析】本题考查有理数的定义及分类，根据有理数的分类，即可解答． 【详解】解：有理数集：{5，，，8.9，19，，，0…} 整数集：{5，，19，0…} 非正数集：{，，，0…}． ◆题型4 数轴的三要素及其表示 16．如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：数轴上原点右边的数表示正数， 所以数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为2． 17．观察数轴，按要求完成： (1)点A表示的数写成分数是． (2)点C到O的距离和点B到O的距离相等，但方向相反，请标出C点，并将C点表示的数字写出来． (3)在数轴上标出表示2.5和的点． 【答案】(1) (2)如图，点C即为所求； (3)数轴表示如图所示． 【详解】（1）解：点A表示的数写成分数是； （2）略 （3）略 18．下列数轴上A点所表示的数是( )，B点所表示的数是( )，C点所表示的数是( )． 【答案】 【分析】确定每一个数轴的单位长度，然后解答． 【详解】解：①∵两个单位长度表示的数为， ∴个单位长度为， 点在原点左侧，且距离原点个单位长度， ∴点表示的数为； ②个单位长度表示的数为万， ∴个单位长度为， 点在原点的右侧，且距离原点3个单位长度， ∴点表示的数为； ③表示的点到表示的点有3个单位长度， ∴个单位长度为， 点在原点的右侧，且与表示的点相距个单位长度， ∴点表示的数为． 19．在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 【答案】如图即为所求． 【分析】根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】略 20．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 【答案】如图所示： 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】略 ◆题型5 数轴上两点之间的距离 21．如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 ______． 【答案】 【分析】观察数轴可知，原点到点之间平均分成5份，已知点表示，可求出每份的长度，再根据点在原点左侧份处，即可确定点表示的数． 【详解】解：由数轴可知，原点到点之间平均分成5份， 因为点表示的数是， 所以每份的长度为， 因为点在原点左侧，且距离原点份， 所以点表示的数为． 22．在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】A 【详解】解：∵数轴上，表示数的点到原点的距离等于， ∴表示的点到原点的距离为． 23．如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：点表示的数为， ∵两点间的距离是， 从开始往左数个单位长度即为点表示的数， ∴点表示的数是． 24．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置关系，通过点A表示的数以及A、B两点间的距离来确定点B表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴从数轴上可以看出点A到点B的距离是4个单位长度， ∵点B在点A右侧， ∴点B表示的数比点A表示的数大4，即． 25．在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设点表示的数为，根据在点右侧，分在、之间和在右侧两种情况，利用数轴上两点间距离的性质列方程求解即可. 【详解】解：设点表示的数为， ∵点在点右侧， ∴， ①当点在、之间，即时， 由数轴上点的位置关系可得，，， ∵， ∴该情况不符合题意； ②当点在点右侧，即时， 可得，， ∴， 解得，符合题意； 综上，点表示的数为. ◆题型6 利用数轴比较有理数的大小 26．在数轴上表示下列各数，并比较这些数的大小． ，1，，3.5，，0 【答案】 ， 【详解】解：用数轴表示如下： ∴各数从小到大顺序排列为： 27．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 【答案】，． 【详解】略． 28．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的分布特征，原点右侧表示正数，左侧表示负数，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，据此判断即可． 【详解】解：由数轴图示可知： ． ． 对比各选项，只有 C 选项成立． 29．在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的性质，数轴上位于某个数左侧的数小于这个数，因此本题只需找出小于的数即可. 【详解】解：∵ ，，， ∴ 在左侧，符合要求. 30．如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知： 错误． ◆题型7 数轴上的整点覆盖问题 31．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 32．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 33．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 34．如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 35．如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，正确理解题意是解题的关键．根据有理数大小比较的方法确定出、分别介于哪两个整数之间，进而即可得出A、B两点之间表示整数的点个数． 【详解】解：，， ∴所以大于并且小于的整数有、、、0、1、2共6个． 故答案为：6． ◆题型8 求绝对值 36．___________． 【答案】 【详解】解：． 37．绝对值不大于1的整数有____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，明确绝对值不大于1即为绝对值小于或等于1，找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：设这个整数为，根据题意可得： ， 去绝对值得， 又因为是整数，因此满足条件的整数为． 38．的绝对值是（ ） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】解：． 39．若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 40．若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． ◆题型9 绝对值的非负性 41．代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 42．判断对错 (1)一定是非负数； (2)一定是非负数； (3)若，则； (4)若，则． 【答案】(1)错误 (2)正确 (3)错误 (4)正确 【详解】（1）解：∵一定是非负数 ∴一定是非正数， ∴（1）“错误”； （2）解：∵一定是非负数， ∴（2）“正确”； （3）解：∵，则或， 所以（3）“错误”； （4）解：∵， ∴m、n互为相反数， ∴， ∴（4）“正确”． 43．如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． 44．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 45．设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 【答案】2 【分析】由整数满足：，得出一个为0，一个为1，从而分情况求解后代值求解即可得到答案，将题中条件转化为解方程问题是解决问题的关键． 【详解】整数满足：， 一个为0，一个为1， ①当，即， 则， 则， ； ②当，即， 则， 则， ； 综上，代数式的值为2． ◆题型10 绝对值的化简 46．满足的整数____________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义，确定绝对值的零点为和，分三种区间讨论去掉绝对值符号，解一元一次方程后筛选出符合条件的整数解即可． 【详解】解：令，解得；令，解得， 分三种情况讨论：当时，原方程可化为， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为得， ，且是整数，符合要求； 当时，原方程可化为 ， 化简得，等式不成立，此区间无解； 当时，原方程可化为， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为得， ，且是整数，符合要求； 综上所述，整数 或． 47．如图，数轴上的三个点分别表示有理数，化简_____． 【答案】 【分析】根据数轴所示三个点所在位置，可得，进而得到，根据绝对值的运算法则化简后即可得到答案. 【详解】解：由题中数轴所示，可得， ∴， ∴原式． 48．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，其中b是最大的负整数，c是最小的正整数． (1)b＝ ，c＝ ； (2)在数轴上标出原点的大致位置； (3)用“＜”将a，，，c连接起来； 【答案】(1)；1 (2) (3) 【分析】（1）根据“最大的负整数”和“最小的正整数”的定义，确定b和c的取值； （2）根据数轴上右边的数大于左边的数，且已知b、c的值，则原点在表示数0的位置，位于点B和点C之间，据此标出原点大致位置； （3）先根据数轴判断a的正负性，再求出和的值，再根据数轴上数的大小比较规则，将a，，，c按从小到大排序即可． 【详解】（1）解：b是最大的负整数，c是最小的正整数， 、； （2）略； （3）解：由数轴可知：在的左侧， ， ， ， 、， ． 49．如图，点在数轴上，若两点表示的数互为相反数，点表示的数为，则的结果为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义可得的中点即为原点，由图可知，即，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵点两点表示的数互为相反数， ∴的中点即为原点， 由图可知，在原点左侧，即， ∴， ∴． 50．已知，，在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可得，， ， ． ◆题型11 相反数 51．如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】利用互为相反数的定义进行求解． 【详解】解：∵、互为相反数且它们之间的距离为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 52．代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到的值. 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . 53．若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 【答案】 【分析】由、互为相反数，、互为倒数，得，整体代入求值即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数， ， 原式． 54．下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 的相反数是． 55．已知，且与互为相反数，则______． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ，即， 将代入得， 合并同类项得， 系数化为得， ◆题型1 有理数的四则运算 56．简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 57． 【答案】41 【详解】解： ． 58．计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 59．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 60．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ◆题型2 有理数的简便运算 61．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 62．计算： 【答案】（或） 【分析】先把原式所有带分数拆分为整数部分与分数部分分别计算，先算出整数部分，再对分数部分进行化简，拆成两个分数相加的形式，去括号后正负分数相互抵消，最后和整数部分合并即可得到解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 63．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分数化为小数，再逆用乘法的分配律即可； （2）将小数统一化为分数，再将同分母结合即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 64．计算下面各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2)24 (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 65．下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ◆题型3 有理数的实际应用 66．某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【答案】 【分析】根据“数量（成本利润）单价”列式求解即可． 【详解】解：， ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 67．打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替下去，打印这部书稿共要________小时． 【答案】 【分析】先计算出甲、乙每小时的工作效率，再根据给定的交替工作规律，计算多轮交替后完成的工作量，再对剩余工作量按顺序计算所需时间，最后求和得到总工作时间； 【详解】解：甲每小时打印页数：（页）， 乙每小时打印页数：（页）， 交替工作以“甲工作1小时，乙工作2小时，甲工作2小时，乙工作1小时”为一个完整周期，一个周期总时长为（小时）， 一个周期完成的工作量：（页）， 两个周期总时长为（小时），完成工作量（页）， 剩余工作量：（页）， 按顺序接下来轮到甲工作1小时，甲完成（页），剩余工作量：（页），剩余工作由乙完成，所需时间：（小时）， 总时间为：（小时）， 答：打印这部书稿共要小时． 68．介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表．（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢6 0 下车人数 ﹣ 0 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是__________，无人下车的站是__________． (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有（    ）名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有（   ）名乘客． (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 【答案】(1)介休三中；政务中心． (2)15；13 (3)28元 【分析】（1）正数与负数表示意义相反的两种量，规定上车人数记为正，则和它意义相反的下车人数就为负，无人上车和下车记为0； （2）用火车站北、定阳饭店、政务中心、介休三中的上车人数，减去下车的人数即可知道这辆公交车从介休三中站开出时，车上的乘客人数；同理计算出从北坛公园东站开出时，车上的乘客人数； （3）计算出从火车站北到北坛公园东站所有的上车总人数，再乘1（票价为1元），即可求出收入总钱数． 【详解】（1）解：从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是介休三中，无人下车的站是政务中心． （2）解：（人）； （人）； 这辆公交车从介休三中站开出时，车上有15名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有13名乘客． （3）解： （元）． 答：已经收入28元． 69．王奶奶看一集45分钟的电视剧，孙女用1.5倍速（即孙女的速度是奶奶速度的1.5倍）快进看完了．那孙女看完这集电视剧花了多少时间？ 【答案】 30分钟 【分析】将奶奶的速度看作单位“”，得到孙女的速度为，利用时间电视剧总时长速度求解． 【详解】解：将奶奶的速度看作单位“”， 则孙女的速度为， 所以孙女看完这集电视剧花了（分钟）， 答：孙女看完这集电视剧花了分钟． 70．生活部对六年级个班的卫生情况打分，分及以上为达标．若将分记分，分记“”分，分记“”分，则六年级个班的卫生成绩如下表所示． 班级 班 班 班 班 班 班 卫生成绩/分 (1)班和班的卫生成绩相差多少分？ (2)六年级的整体卫生情况达标了吗？请说明理由． 【答案】(1)分 (2)达标，理由如下： 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 六个班的平均分：（分）， ， 故六年级的整体卫生情况达标． 【分析】（1）先求出班、班的实际分数，用高分减去低分算出分差； （2）算出每个班真实分数，求和除以班级数得到平均分，与分比较判断整体是否达标． 【详解】（1）解：班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 相差：（分）， 故班和班的卫生成绩相差分． （2）略 ◆题型4 有理数的乘方运算 71．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 72．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 73．计算： (1) (2) 【答案】(1)－2 (2)3 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． (1)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算； (2)根据乘方的定义、绝对值的定义把算式中的各部分分别计算出来，可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 74．阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 75．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算： （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． ◆题型5 程序流程图 76．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 77．按下列程序进行计算：第一次输入的数是20，如果结果不大于100，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求为止．请把每次计算的结果填在下面的表中． 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 … 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据题中给出的运算程序分别计算即可． 【详解】解：第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 80 320 … 78．如图是一个数值转换机，当输入的数字是时，按照图中的程序计算，求输出的答案． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先将代入程序，然后按照程序图计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 当时，原式． 79．下图是一个流程图． (1)已知输入的的值为，求出最后输出结果； (2)已知输入的的值为，求出最后输出结果． 【答案】(1)． (2)． 【分析】此题考查了程序的流程图及有理数的混合运算，弄清题中的程序流程列出算式进行计算是解题的关键． （1）根据题中的程序流程图，将 代入计算得到结果为，不是整数，输出结果即可． （2）根据题中的程序流程图将 代入计算得到结果为9，是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为不是整数，输出结果即可． 【详解】（1）解：把代入程序中得：， 不是整数，     输出结果为：． （2）解：把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 不是整数， 输出结果为：． 80．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题为新定义运算问题，考查了有理数的运算等知识，理解新定义的运算程序，转化为有理数的运算是解题关键． （1）根据运算程序将化为，再进行计算即可求解； （2）先计算得20，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型6 算24点 81．计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)①；②；③； (2) 由题意得：； ； ． 【分析】（1）由题意易得，则有①要使两张卡片上数字之和最大，应选择最大的两个数字进行相加即可；②要使这两张卡片上数字之差最小，应选择最小的数减去最大的数即可；③要使这两张卡片上数字之积最大，应选择同号的两张，并且是最大或最小的两张进行相乘即可； （2）根据有理数的运算进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果为； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，则有，，所以最大的为； 故答案为，，； （2）略 82．如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，算24点，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算即可； （2）根据运算法则和运算顺序，设计出一个算式即可． 【详解】（1）解：乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算，故最小值是； （2）解：（答案不唯一）． 83．在学习了有理数的混合运算后，小明玩“点”游戏．游戏规则：从一副扑克牌去掉大、小王中任意抽取张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．其中黑色扑克牌代表正数，红色扑克牌代表负数，，，，分别代表，，．小明抽到的四张牌分别是黑桃，黑桃，红桃2，红桃8，可以列出运算结果为的算式是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，用数字，，列出算式计算结果为，即可求解． 【详解】解：小明抽到的四张牌分别是黑桃，黑桃，红桃2，红桃8，则表示数字，可以列出运算结果为的算式是； 故答案为：（答案不唯一）． 84．“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 85．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【详解】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． ◆题型7 科学记数法 86．根据人民网报道，2025年宣城市生产总值突破2148亿元，按不变价格计算，同比增长6%，则2148亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：2148亿． 87．2026年滇超联赛热度空前，5月23日文山VS临沧的比赛在文山盘龙体育馆进行，本场比赛吸引了线上线下观众约350000人，数据“350000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：350000用科学记数法表示为. 88．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014-2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”，专项补助资金亿元，将亿用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】亿用科学记数法表示为． 89．贵州简称“贵”或“黔”，地处中国西南腹地，总面积约为平方千米．数据用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数据用科学记数法可以表示为． 90．根据第七次人口普查数据统计，涟水县常住人口约为829000人，将数829000用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需确定和的值即可； 【详解】解：． 一、单选题 1．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数和有理数的乘方运算，利用两个绝对值互为相反数，且绝对值非负，则两数均为0是解题的关键． 首先根据两个绝对值互为相反数，且绝对值非负的已知条件，得到两数均为0，进而解出a和b的值，最后计算的值即可． 【详解】∵与互为相反数，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（2022九年级·香港·竞赛）杂货商有12种不同整数重量的砝码，从到．她将它们分成三组，每组四个砝码．第一组的总重量是，第二组的总重量是．以下哪个重量的砝码和重的砝码在同一组？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】先求出第三组的总重量为，根据最轻的四个砝码的重量是判断出第三组的砝码；根据最重的四个砝码的重量是判断出第一组的砝码，从而判断出第二组的砝码，即可求解． 【详解】解：所有砝码的重量为， 又第一组的总重量是，第二组的总重量是， ∴第三组的总重量为， ∵最轻的四个砝码的重量是， ∴第三组四个砝码为，，，，总重量为， ∵最重的四个砝码的重量是， ∴第一组四个砝码为，，，，总重量为， ∴第二组四个砝码为，，，，总重量为， ∴各选项中与重的砝码在同一组是． 3．（2022九年级·香港·竞赛）兔子和刺猬在一条550米长的圆形跑道上比赛．它们都以恒定的速度奔跑．兔子的速度是每秒10米，而刺猬的速度是每秒1米．它们同时从同地出发．然而，刺猬跑的方向与兔子的方向相反．当它们相遇时，刺猬立即转身，追着兔子跑．问刺猬比兔子晚多少秒到达出发的地点？（） A．45 B．50 C．55 D．100 E．505 【答案】A 【分析】本题为环形行程问题，兔子方向保持不变，先计算兔子到达出发点的总时间，再计算第一次相遇的时间和位置，进而得到刺猬到达出发点的总时间，最后计算时间差即可． 【详解】解：∵兔子方向不变，跑道长550米，兔子速度为10米每秒， ∴兔子到达出发点的总时间为秒， ∵出发时二者反向，速度和为米每秒，相遇时路程和为一圈550米， ∴第一次相遇时间秒， 相遇时兔子跑了的路程为米，此时距离出发点还剩米，刺猬转身后与兔子同向，因此刺猬也需要跑50米才能到达出发点， ∵刺猬速度为1米每秒，转身之后不会再相遇（兔子速度更快，距离不断拉大），无需再次转身， ∴刺猬从相遇点到出发点的时间秒， ∴刺猬总时间秒， ∴时间差为秒． 4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，整除．先计算所有数的总和，再根据符号变化对结果的影响，推导可被表示的数的特征，进而判断选项． 【详解】解：∵， 设被改为“”号的数的和为，则运算结果， ∵所有数均为偶数，偶数的和为偶数，即为偶数， ∴是的倍数，又是的倍数， ∴必为的倍数， A．不是的倍数，不符合要求， B．不是的倍数，不符合要求， C．不是的倍数，不符合要求， D．是的倍数，符合条件， 故选：D． 6．（25-26七年级上·山东济南·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，下列各式：①；②；③；④，其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算；由数轴可知，，，，然后依次进行排除选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 则①，正确； ②，正确； ③，原结论错误； ④因为，所以，正确． 因此错误的有1个． 故选：A． 7．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及新定义，能够读懂定义是解题关键；根据“快乐数”的定义逐一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ，，， ∴2026是“快乐数”，故①正确； ②设A是“快乐数”，B是A的数字重排序（最高位非0）， ∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等， ∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样， 若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1， ∴也是“快乐数”，故②正确； ③设正整数为，各位数字的平方和为， 对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作， ∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”． ∴①②③正确． 故选：D． 8．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则；若，则 B．若是有理数，则不可能是负数 C．若（），则 D．已知，，均为非零有理数，若，则的值为4或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值与有理数的性质．根据绝对值的性质，结合已知条件，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵对于A：，；同理，，，故A正确． 对于B：，当时为，当时为，故不可能为负数，B正确． 对于C：由且，得，，，故C正确． 对于D：设 （每个值为），（值为）． 当时： 若两正一负，则，，； 若一正两负，则，，； 若三负，则，，． 该式子的值可能为或，故D不正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．（21-22七年级上·浙江宁波·期中）一只青蛙在数轴上从表示1的点出发，每次跳动的距离都是整数，如果它只能在表示1，2，3......，2020的点上跳动，经过2020次跳动后又回到出发点，那么青蛙所跳过的全部路径的最大长度是______． 【答案】2040200 【分析】设青蛙依次到达的点为，，，……，，跳过的和为S，得出，确定当从1011到2020这1010个数取“”，从1到1010这1010个数取“”号时，S最大，然后求解即可． 【详解】解：设青蛙依次到达的点为，，，……，，跳过的和为S， ∴ 到在上式中均出现2次，且每一个被加项在展开时，大者取“”号，小者取“”号， ∴整个式子展开计算时，取“”号和取“”号的点各有2020个， 当取“”的数最大，取“”的数最小时，S取得最大值， 当从1011到2020这1010个数取“”，从1到1010这1010个数取“”号时，S最大， ∴ ∴青蛙跳过的最大路径是． 10．（2026·浙江·模拟预测）阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离. 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），则M的整数部分是( )，M的小数部分是( )． 【答案】 【分析】将原式转化为，进行计算即可． 【详解】解： ， ， M的整数部分为，小数部分为． 12．（25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测）从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 【答案】 【分析】因为所有数均为负数，若干个数和的绝对值等于取出各数的绝对值之和，要使和的绝对值最大，需使取出各数的绝对值之和最大，同时满足任意两个数之和既不为也不为，将数按和为分组，每组最多选取一个数，因此最多选取个数，再选择每组中绝对值更大的数计算即可． 【详解】解：将这个数按两数和为分为组： 由题意，任意两个数之和不能为，因此每组最多只能选取个数，即最多选取个数． 因为所有数都是负数，要使取出数和的绝对值最大，只需每组中选取绝对值更大的数，即选取． 验证：任意两个选中数的和最小为，不存在和为或的两个数，符合条件． ∴这若干数字和的绝对值最大值为． 三、解答题 13．（22-23八年级下·重庆江北·阶段检测）对于任意的一个四位数，其百位数字与千位数字的平方和恰好为的十位和个位组成的两位数，则这个四位数为“平方和数”． 例如：，，是“平方和数”； 又如：，，，不是“平方和数”． (1)判断4652，5747是否为“平方和数”，并说明理由； (2)一个“平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，当、均是整数时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)4652是“平方和数”，5747不是“平方和数” (2)满足条件的为2868，5550，8268 【分析】（1）根据定义计算解答即可； （2）根据题意，得一定是10的倍数，根据的千位数字为，百位数字为，得到，根据是整数，分类计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“平方和数”； ，， 不是“平方和数”； （2）解：一个“平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ， ， ，是整数， 一定是10的倍数， 的千位数字为，百位数字为， ， ， ， 当时，，，不是整数，不符合要求； 当时，，，是整数，符合要求，此时“平方和数”； 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，是整数，符合要求，此时“平方和数”； 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，是整数，符合要求，此时“平方和数”； 当时，，，不是整数，不符合要求； 综上所述，满足条件的为，，． 14．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 15．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $