第一章 有理数（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学有理数复习讲义通过分类图示、数轴模型及表格对比系统构建知识体系，梳理正数负数意义、有理数分类、数轴三要素、相反数与绝对值概念，突出绝对值理解及负数比较大小等重难点，呈现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于“典例+变式”分层练习设计，如用温度下降记为负数培养应用意识，通过绝对值双解问题训练推理能力，助力学生发展抽象能力与运算能力。基础题巩固概念，综合题提升思维，支持教师实施精准教学，帮助不同层次学生高效复习。

第一章 有理数复习讲义 教学目标 1.理解正数、负数的意义，会用正负数表示具有相反意义的量；认识有理数，能对有理数进行正确分类。 2.掌握数轴三要素，会画数轴，能在数轴上表示有理数，借助数轴比较有理数大小。 3.理解相反数、绝对值概念，会求一个数的相反数与绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小。 教学重难点 1. 重点 有理数的概念与分类；数轴、相反数、绝对值的概念。 2. 难点 （1）绝对值的理解：尤其是负数的绝对值，已知绝对值求原数（双解问题，分类讨论）。 （2）两个负数比较大小：利用绝对值判断，容易混淆。 知识点01 正数和负数 1. 正数和负数的定义： 大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。 2. 正数和负数的意义： 表示具有相反意义的两个量。 3. 正负号的化简： 同号为正，异号为负。 知识点02 有理数的认识及其分类 1. 有理数的相关概念： 有理数：整数与分数统称为有理数。 整数包含正整数、负整数、0 。 分数包含正分数与负分数。 自然数：0与正整数都是自然数。 非负数包含0 与正数。非负整数包含正整数和0。 2. 有理数按定义分类： 3. 有理数按正负分类： 知识点03 数轴 1. 数轴的定义及三要素： （1）规定了正方向、原点、单位长度的用来表示数的直线叫做数轴。图示如下： （2）数轴的三要素： 原点、正方向 、单位长度 是数轴的三要素，在画数轴的时候三要素缺一不可。一般情况下规定向右为正方向。单位长度视情况选择大小，同一个数轴的单位长度一定要统一。 2. 数轴与有理数的关系： （1）数轴上的点与有理数之间的关系是一一对应关系。即一个有理数在数轴上只能找到 1 个点来表示它。数轴上一个点也只能表示 1个有理数。 （2）表示正数的点在数轴上的位置一定在原点右侧，表示负数的点一定在原点的左侧。数轴上右边的数一定比数轴左边的数大。 知识点04 相反数 1. 相反数的定义： 只有符号不同不同的两个数互为相反数。把其中一个数叫做另一个数的相反数。相反数一定是成对出现，一个数不能说相反数。规定0的相反数是0。 2. 相反数的性质： （1）任何数都有且只有1个相反数。正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；规定0的相反数是0 。 （2）数轴上互为相反数所对应的两个点分别在原点的两侧，且到原点的距离相等。 （3）互为相反数的两个数和为0。即若数和数互为相反数，则。 特别提示：数和数互为相反数还可表示为＝﹣或=﹣。 数和数互为相反数且均不等于0时还可表示为或。 （4）若或＝﹣或=﹣或或，则数和数互为相反数。 3. 求一个数的相反数： 求一个具体数或一个字母或数字与字母的积的相反数时，只需要改变它前面的符号，其他不变即可得到它的相反数。 4. 求一个式子的相反数： 把式子用括号括起来，在前面加“﹣”，然后去括号化简即可得到相反数。 5. 加括号与去括号： （1）加括号：若在“－”后面加括号，则写在括号里面的每一项都需要变符号；若在“＋”后面加括号，则只需要把每一项照写。 （2）去括号：在去掉括号时，若括号前面是“－”，则去掉“－”和括号，把括号内的每一项改变符号，若括号前面是“＋”，则去掉“＋”和括号，把括号内的每一项照写。也可以利用乘法分配率，将括号前的符号与括号内的每一项进行符号化简。 知识点05 绝对值 1. 绝对值的定义： 一般地，数轴上表示数的点到原点的距离就是数的绝对值。记作||。 2. 求一个数的绝对值： 正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 3. 求一个式子的绝对值： 求一个式子的绝对值先判断式子与0的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于它本身，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于它的相反数。即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数大于等于0，解||=，则≥0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数小于等于 0。||=﹣，则 ≤0。 4. 绝对值的非负性： 绝对值是一个非负数，具有非负性。即若||≥0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。 即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有。 5. 绝对值与数轴： 在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就越小，一个数离原点越远，绝对值越大。 6. 绝对值与相反数： （1）数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值相等。即若与互为相反数，则||＝||。 （2）绝对值等于某个正数的数一定有两个 ，它们互为相反数。即若||=，则＝＋ 或﹣。 （3）绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即若||＝||，则有 ＝ 或 ＝﹣ 。 知识点06 有理数的大小比较 1. 定义比较法： 正数大于0，0大于负数。 2. 数轴比较法： 数轴上右边的恒大于数轴上左边的数。 3. 其他比较： 同为负数的两个数比较，绝对值大的反而小。 ，则；，则；，则； 题型01 正数和负数 【典例1】在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如果温度升高记作，那么温度下降应该记作（    ） A． B． C． D． 【变式2】微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作_____元． 【变式3】生物神经细胞存在微弱的电压差，神经静息时膜内为负，记作；兴奋时电位反转，膜内为正，假设某模型中电位反转指绝对值不变，可记为（     ） A． B． C． D． 题型02 带“非”字的有理数 【典例1】下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 【变式2】用适当的符号表示是非负数，则下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 题型03 化简多重符号 【典例1】下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【变式1】有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 【变式2】的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式3】化简下列各数： (1)    ； (2)． 题型04 相反数的应用 【典例1】如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 【变式1】___________时，代数式与代数式的值互为相反数． 【变式2】若m，n互为相反数，则___． 【变式3】若，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型05 绝对值的几何意义 【典例1】的最小值为______． 【变式1】若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 【变式2】已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【变式3】当______时，的最小值是______． 题型06 绝对值的应用 【典例1】与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【变式1】下列各组判断中，正确的是（     ） ①若，则一定有 ②若，则一定有 ③若，则一定有或 ④若，则一定有 A．①③ B．②③ C．④ D．③④ 【变式2】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【变式3】（1）若，则______，_______ （2）若，，且，则___________ 题型07 数轴上两点之间的距离 【典例1】如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 【变式1】如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 【变式3】如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 题型08 数轴上的应用 【典例1】如图，点在数轴上，若两点表示的数互为相反数，点表示的数为，则的结果为（     ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【变式2】如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有_________个． 【变式3】点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 题型09 有理数的大小比较 【典例1】在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 【变式1】与的值最接近的整数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【变式3】绝对值小于3.1的整数有（     ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 1．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 2．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 3．如图所示的数轴，O为原点，且点O，C，B分别为线段中点，若A点表示的数为，则点D表示的数为（     ） A．9 B．6 C．3 D．1 4．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 5．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 6．如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（     ） A． B．20 C． D． 1．哈尔滨市谷雨的白昼时长约为小时03分，哈尔滨市立秋的白昼时长约为小时18分，哈尔滨市白昼时长约为小时20分的节气可能是（     ） A．立春 B．小满 C．秋分 D．冬至 2．下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 3．在，0，3，6这四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．3 D．6 4．在数轴上分别画出点A，B，C，D，并将点A，B，C，D所表示的数用“”连接．点A表示数；点B表示数；点C表示数2；点D表示数 5．已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 6．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数复习讲义 教学目标 1.理解正数、负数的意义，会用正负数表示具有相反意义的量；认识有理数，能对有理数进行正确分类。 2.掌握数轴三要素，会画数轴，能在数轴上表示有理数，借助数轴比较有理数大小。 3.理解相反数、绝对值概念，会求一个数的相反数与绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小。 教学重难点 1. 重点 有理数的概念与分类；数轴、相反数、绝对值的概念。 2. 难点 （1）绝对值的理解：尤其是负数的绝对值，已知绝对值求原数（双解问题，分类讨论）。 （2）两个负数比较大小：利用绝对值判断，容易混淆。 知识点01 正数和负数 1. 正数和负数的定义： 大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。 2. 正数和负数的意义： 表示具有相反意义的两个量。 3. 正负号的化简： 同号为正，异号为负。 知识点02 有理数的认识及其分类 1. 有理数的相关概念： 有理数：整数与分数统称为有理数。 整数包含正整数、负整数、0 。 分数包含正分数与负分数。 自然数：0与正整数都是自然数。 非负数包含0 与正数。非负整数包含正整数和0。 2. 有理数按定义分类： 3. 有理数按正负分类： 知识点03 数轴 1. 数轴的定义及三要素： （1）规定了正方向、原点、单位长度的用来表示数的直线叫做数轴。图示如下： （2）数轴的三要素： 原点、正方向 、单位长度 是数轴的三要素，在画数轴的时候三要素缺一不可。一般情况下规定向右为正方向。单位长度视情况选择大小，同一个数轴的单位长度一定要统一。 2. 数轴与有理数的关系： （1）数轴上的点与有理数之间的关系是一一对应关系。即一个有理数在数轴上只能找到 1 个点来表示它。数轴上一个点也只能表示 1个有理数。 （2）表示正数的点在数轴上的位置一定在原点右侧，表示负数的点一定在原点的左侧。数轴上右边的数一定比数轴左边的数大。 知识点04 相反数 1. 相反数的定义： 只有符号不同不同的两个数互为相反数。把其中一个数叫做另一个数的相反数。相反数一定是成对出现，一个数不能说相反数。规定0的相反数是0。 2. 相反数的性质： （1）任何数都有且只有1个相反数。正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；规定0的相反数是0 。 （2）数轴上互为相反数所对应的两个点分别在原点的两侧，且到原点的距离相等。 （3）互为相反数的两个数和为0。即若数和数互为相反数，则。 特别提示：数和数互为相反数还可表示为＝﹣或=﹣。 数和数互为相反数且均不等于0时还可表示为或。 （4）若或＝﹣或=﹣或或，则数和数互为相反数。 3. 求一个数的相反数： 求一个具体数或一个字母或数字与字母的积的相反数时，只需要改变它前面的符号，其他不变即可得到它的相反数。 4. 求一个式子的相反数： 把式子用括号括起来，在前面加“﹣”，然后去括号化简即可得到相反数。 5. 加括号与去括号： （1）加括号：若在“－”后面加括号，则写在括号里面的每一项都需要变符号；若在“＋”后面加括号，则只需要把每一项照写。 （2）去括号：在去掉括号时，若括号前面是“－”，则去掉“－”和括号，把括号内的每一项改变符号，若括号前面是“＋”，则去掉“＋”和括号，把括号内的每一项照写。也可以利用乘法分配率，将括号前的符号与括号内的每一项进行符号化简。 知识点05 绝对值 1. 绝对值的定义： 一般地，数轴上表示数的点到原点的距离就是数的绝对值。记作||。 2. 求一个数的绝对值： 正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 3. 求一个式子的绝对值： 求一个式子的绝对值先判断式子与0的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于它本身，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于它的相反数。即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数大于等于0，解||=，则≥0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数小于等于 0。||=﹣，则 ≤0。 4. 绝对值的非负性： 绝对值是一个非负数，具有非负性。即若||≥0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。 即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有。 5. 绝对值与数轴： 在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就越小，一个数离原点越远，绝对值越大。 6. 绝对值与相反数： （1）数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值相等。即若与互为相反数，则||＝||。 （2）绝对值等于某个正数的数一定有两个 ，它们互为相反数。即若||=，则＝＋ 或﹣。 （3）绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即若||＝||，则有 ＝ 或 ＝﹣ 。 知识点06 有理数的大小比较 1. 定义比较法： 正数大于0，0大于负数。 2. 数轴比较法： 数轴上右边的恒大于数轴上左边的数。 3. 其他比较： 同为负数的两个数比较，绝对值大的反而小。 ，则；，则；，则； 题型01 正数和负数 【典例1】在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据定义，小于0的数是负数． ∵，，，，既不是正数也不是负数，， ∴ 题目中的负数为，，，一共3个． 【变式1】如果温度升高记作，那么温度下降应该记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵温度升高记作， ∴升高记为正， ∴温度下降记为负， ∴温度下降记作． 【变式2】微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作_____元． 【答案】 【详解】解：由题意，规定收款元记作元，即收款用正数表示， ∴ 与收款意义相反的付款应用负数表示， ∴ 付款元记作元． 【变式3】生物神经细胞存在微弱的电压差，神经静息时膜内为负，记作；兴奋时电位反转，膜内为正，假设某模型中电位反转指绝对值不变，可记为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：静息时膜内电位记作，兴奋时电位反转，符号变为正，绝对值不变，因此可记为． 题型02 带“非”字的有理数 【典例1】下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：∵非负数是指大于等于的数， ∴在给出的数，，，，，，，中，非负数为，，，，，共个． 【变式1】在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 【答案】2 【详解】解：在，，0，这四个有理数中， 非负数有：，0共2个． 【变式2】用适当的符号表示是非负数，则下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵非负数是指大于或等于0的数， ∴用不等式表示是非负数可得， 故选C． 【变式3】下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 【答案】C 【详解】解：A、正有理数，负有理数和零统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、非负数是正数或者零，原说法错误，故此选项不符合题意； C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，原说法正确，故此选项符合题意； D、有理数包括整数和分数，原说法错误，故此选项不符合题意； 题型03 化简多重符号 【典例1】下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 的相反数是． 【变式1】有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 【答案】4 【详解】解：，，， 因此符合条件的数有：，，，，共个． 【变式2】的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 【变式3】化简下列各数： (1)    ； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型04 相反数的应用 【典例1】如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 化简得， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】___________时，代数式与代数式的值互为相反数． 【答案】 【详解】解：∵代数式与代数式的值互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2】若m，n互为相反数，则___． 【答案】3 【详解】解：∵ m，n 互为相反数， ∴ ， ∴ ． 故答案为 3． 【变式3】若，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∴； 故选：C． 题型05 绝对值的几何意义 【典例1】的最小值为______． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴可以理解为表示x的数到3的距离加上表示x的数到的距离加上2倍表示x的数到的距离，如图， ∴由数轴可得，当时，的值最小，最小值为． 【变式1】若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 【答案】或 【详解】解：由题意得，解得， ∴，， ∴当，或，时，； 当，或，时，，综上可知，，两数对应点的距离为或． 【变式2】已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【答案】 【详解】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 【变式3】当______时，的最小值是______． 【答案】 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 题型06 绝对值的应用 【典例1】与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【详解】解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 【变式1】下列各组判断中，正确的是（     ） ①若，则一定有 ②若，则一定有 ③若，则一定有或 ④若，则一定有 A．①③ B．②③ C．④ D．③④ 【答案】D 【详解】解：若，，符合，但，故①错误； 若，，符合，但，故②错误； 若，则一定有或，③正确； 若，则一定有，④正确； 故正确的为③④． 【变式2】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 【变式3】（1）若，则______，_______ （2）若，，且，则___________ 【答案】 或 【详解】解：（1），且根据绝对值的非负性，可得，， ，； （2），， ，． 又， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当，时，，符合条件，此时； 当，时，，符合条件，此时 ， 综上，或． 题型07 数轴上两点之间的距离 【典例1】如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 【答案】 【详解】解：∵、互为相反数且它们之间的距离为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 【变式1】如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 【变式2】如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 【答案】5或2 【详解】解：由数轴得， ①当原点位于点和点之间时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； ②当原点位于点右侧时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； 综上，点所表示的数是5或2． 【变式3】如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 【答案】(1)； (2)点C在数轴上2和3的正中间位置； 点D在和之间，将到的线段平均分为3份，从出发向正方向数1份的位置即为点D． (3) (4)和 【详解】（1）解：从数轴可知：点A表示的数是1， 根据相反数定义，1的相反数是； 点B表示的数是， 根据绝对值定义，负数的绝对值是它的相反数， ∴的绝对值是2． ∴点A表示的数的相反数是，点B表示的数的绝对值是2． （2）略． （3）解：数轴上两点距离等于两数差的绝对值：． （4）解：与点C（表示2.5）相距个单位的点有两个： 在C左侧时为； 在C右侧时为． ∴与点C距离个单位长度的点表示的数是和． 题型08 数轴上的应用 【典例1】如图，点在数轴上，若两点表示的数互为相反数，点表示的数为，则的结果为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点两点表示的数互为相反数， ∴的中点即为原点， 由图可知，在原点左侧，即， ∴， ∴． 【变式1】如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 【变式2】如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有_________个． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴在数和之间的整数有，共有个． 故答案为：． 【变式3】点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，表示， 再向右移动7个单位，表示为， 即点P最终表示的数是6． 题型09 有理数的大小比较 【典例1】在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 【答案】 【详解】解：化简各数得：，， 根据有理数大小比较法则，可得， 即， 因此五个数中最小的数是． 【变式1】与的值最接近的整数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∵， 即 ∴与的值最接近的整数是． 【变式2】比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴． 【变式3】绝对值小于3.1的整数有（     ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D 【详解】解：绝对值小于3.1的整数有，共7个． 1．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 2．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，且，均不满足条件， ∴舍去，即， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 3．如图所示的数轴，O为原点，且点O，C，B分别为线段中点，若A点表示的数为，则点D表示的数为（     ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【详解】解： O为原点，A点表示的数为， ， 点O为线段中点， ，即B点表示的数为6， 点C为线段中点， ，即C点表示的数为3， 点B为线段中点， ， ， 则点D表示的数为9． 4．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 5．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 6．如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（     ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【详解】解：指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦， 正数表示音调偏高，需放松琴弦， 负数表示音调偏低，需拧紧琴弦， 与音准0的距离为，与音准0的距离为，与音准0的距离为， 指针指在0处为标准音，且2最小， 最接近标准音的是． 1．哈尔滨市谷雨的白昼时长约为小时03分，哈尔滨市立秋的白昼时长约为小时18分，哈尔滨市白昼时长约为小时20分的节气可能是（     ） A．立春 B．小满 C．秋分 D．冬至 【答案】B 【详解】解：∵ 哈尔滨位于北半球，一年中夏至日白昼时长最长，谷雨在夏至前，立秋在夏至后，   已知谷雨白昼长小时分，立秋白昼长小时分， 所求白昼长小时分，比两者更长， 说明该节气比谷雨、立秋更靠近夏至， 立春在春分前，白昼短于小时，秋分接近昼夜平分，白昼约小时，冬至白昼最短，均不符合要求； 小满位于谷雨与夏至之间，更靠近夏至，符合白昼长度要求. 2．下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴绝对值最小的数是． 3．在，0，3，6这四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】A 【详解】解：，故最小数为． 4．在数轴上分别画出点A，B，C，D，并将点A，B，C，D所表示的数用“”连接．点A表示数；点B表示数；点C表示数2；点D表示数 【答案】将点，，，按对应数值标注在数轴上，如图， 【详解】略 5．已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 6．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $