专题2.2.1 有理数的乘法（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题2.2.1 有理数的乘法 教学目标 1.理解有理数乘法法则，能准确判断两数相乘的符号。 2.熟练运用法则进行有理数乘法基础运算。 3.体会类比思想，提升数学运算与归纳总结能力。 教学重难点 1.重点 掌握有理数乘法法则，正确进行有理数乘法计算。 2.难点 准确确定多个有理数相乘结果的正负符号。 知识点01 有理数的乘法法则 1、有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 2、有理数乘法的求解步骤: （1）确定积的符号； （2）确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【即学即练】计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 知识点02 倒数 1.倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． 2.方法指引： （1）倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数． 【即学即练】2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 知识点03 多个有理数的乘法 1.几个不等于零的数相乘 （1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． （2）当负因数有奇数个时，积为负； （3）当负因数有偶数个时，积为正． 2.几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. 【即学即练】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 知识点04 有理数的乘法运算律 1、有理数的乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等. 即a b = b a. 2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等. 用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. 3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac 【即学即练】下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 题型01 两个有理数相乘 【典例1】计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 【详解】解：． 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同0相乘，都得0. 【变式1】我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 【变式2】计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 【变式3】规定，求的值为( ) 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型02 多个有理数相乘 【典例1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意． 多个有理数相乘的法则： 1.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 2.几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【变式1】如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 【变式2】下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 【变式3】若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式4】计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型03 倒数的概念及运用 【典例1】下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 1、乘积是 1 的两个数互为倒数． 2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一． 3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置． 【变式1】是2026的（     ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．平方根 【答案】C 【详解】解：，而， ∴是2026的倒数． 【变式2】下列各数中不存在的是（     ） A．绝对值最小的数 B．倒数等于本身的数 C．相反数等于本身的数 D．最小的有理数 【答案】D 【详解】解：∵所有数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是0 ，存在，故A不符合题意； ∵倒数等于本身的数是和，存在，故B不符合题意， ∵相反数等于本身的数是，存在，故C不符合题意； ∵有理数可以无限小，没有最小的有理数，不存在这样的数，故D符合题意. 【变式3】一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 【答案】D 【详解】解：一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于． 【变式4】若，则“”表示的数是____． 【答案】 【分析】根据倒数的定义可得与互为倒数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， ∴“”表示的数是． 题型04 运用乘法运算律进行简便计算 【典例1】下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. （1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示为：ab＝ba. （2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc). （3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac 【变式1】在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 【变式2】算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 【变式3】计算：________． 【答案】236898 【详解】解：原式． 【变式4】简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 1．的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数. ∵， ∴的倒数是． 2．的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】按照定义先求出的相反数，再计算该相反数的倒数即可得到结果． 【详解】解：的相反数为， 的倒数为， ∴的相反数的倒数是． 3．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算，若结果大于等于1则输出，否则将结果重新代入计算． 【详解】解：当输入时，， ， 输出结果为． 4．有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 5．小明准备从A，B两款智能手表中选择一款购买，对这两款智能手表进行测评，得到如下评分（满分5分）： 续航能力 健康监测 外观设计 应用生态 A 1 3 2 3 B 3 2 3 1 根据小明对智能手表的要求，计分规则为总分续航能力健康监测外观设计应用生态，则小明应该购买__________款智能手表．（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】分别计算两款智能手表的加权总分，比较总分大小，选择总分更高的一款即可． 【详解】解：A手表的总分为， B手表的总分为， ∵ ∴小明应该购买B款智能手表． 6．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，． 7．计算： 【答案】 【详解】 8．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可得到答案； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知：，然后根据绝对值的性质和有理数的加减乘除法则对各个选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 所以，，，， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 2．下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵一个数和它的倒数相等，则这个数是， ∴①错误； ∵， ∴， ∴②错误； ∵，且， ∴，同号，且都为负数，即，， ∴， ∴， ∴③正确； 当时，， 当时，， ∴一定是非负数， ∴④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴⑤正确； 综上，正确的结论共有个． 3．有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数； ⑤正有理数和负有理数统称有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的分类，相反数和倒数的定义求解即可． 【详解】解：①一个有理数不是整数就是分数，符合有理数的定义，原说法正确； ②有理数包含正有理数、负有理数和0，原说法错误； ③0没有倒数，0的相反数是0，原说法错误； ④整数分为正整数、0和负整数，符合整数的分类，原说法正确； ⑤有理数包含正有理数、0和负有理数，原说法错误； ∴正确的说法共有2个，故选B． 4．已知，互为相反数，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，互为相反数，，可得，，，再利用有理数的乘法法则和减法法则逐项判断即可． 【详解】解：，互为相反数， ， ， ，，， 故A选项错误； ，， ， 故B选项错误； ， 故C选项正确； ，， ， 故D选项错误． 5．如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【分析】根据题意可知、、、是四个互不相等的整数，乘积为9，据此确定四个数的所有可能取值，再根据要让代数式最大，系数大的变量对应取更大的值，计算最大值即可． 【详解】解：m、n、p、q是互不相等的正整数，， 、、、是互不相等的整数， 只能分解为四个互不相等整数的乘积：， 、、、这四个数就是、1、、3， 解得对应的m、n、p、q为1，3，5，7， 要使取得最大值，需让系数最大的变量取最大的数，系数次大的变量取次大的数， 令、、、，代入得： ， 即所求式子最大值为50． 6．按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 【答案】6 【分析】根据程序规则，将输入的数乘，判断结果符号，若结果为负则重新计算，若结果为正则输出，按照有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意进行计算：， ∵，满足输出条件， ∴输出结果为6． 7．计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 8．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2.1 有理数的乘法 教学目标 1.理解有理数乘法法则，能准确判断两数相乘的符号。 2.熟练运用法则进行有理数乘法基础运算。 3.体会类比思想，提升数学运算与归纳总结能力。 教学重难点 1.重点 掌握有理数乘法法则，正确进行有理数乘法计算。 2.难点 准确确定多个有理数相乘结果的正负符号。 知识点01 有理数的乘法法则 1、有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 2、有理数乘法的求解步骤: （1）确定积的符号； （2）确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【即学即练】计算： ______． 知识点02 倒数 1.倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． 2.方法指引： （1）倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数． 【即学即练】2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 知识点03 多个有理数的乘法 1.几个不等于零的数相乘 （1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． （2）当负因数有奇数个时，积为负； （3）当负因数有偶数个时，积为正． 2.几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. 【即学即练】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 知识点04 有理数的乘法运算律 1、有理数的乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等. 即a b = b a. 2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等. 用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. 3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac 【即学即练】下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 题型01 两个有理数相乘 【典例1】计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同0相乘，都得0. 【变式1】我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【变式3】规定，求的值为( ) 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 多个有理数相乘 【典例1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 多个有理数相乘的法则： 1.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 2.几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【变式1】如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【变式2】下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式3】若规定，则________． 【变式4】计算： 题型03 倒数的概念及运用 【典例1】下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 1、乘积是 1 的两个数互为倒数． 2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一． 3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置． 【变式1】是2026的（     ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．平方根 【变式2】下列各数中不存在的是（     ） A．绝对值最小的数 B．倒数等于本身的数 C．相反数等于本身的数 D．最小的有理数 【变式3】一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 【变式4】若，则“”表示的数是____． 题型04 运用乘法运算律进行简便计算 【典例1】下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. （1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示为：ab＝ba. （2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc). （3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac 【变式1】在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【变式2】算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【变式3】计算：________． 【变式4】简便运算：________． 1．的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 2．的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 3．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．有理数的倒数为_____________． 5．小明准备从A，B两款智能手表中选择一款购买，对这两款智能手表进行测评，得到如下评分（满分5分）： 续航能力 健康监测 外观设计 应用生态 A 1 3 2 3 B 3 2 3 1 根据小明对智能手表的要求，计分规则为总分续航能力健康监测外观设计应用生态，则小明应该购买__________款智能手表．（填“A”或“B”） 6．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 7．计算： 8．计算： (1)． (2)． 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数； ⑤正有理数和负有理数统称有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知，互为相反数，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 6．按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 7．计算的结果是________． 8．计算： 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $