2.1有理数的加法与减法（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、加法运算律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加法）及加减混合运算，形成从基础法则到实际应用的递进学习支架。 资料通过“特别提醒”突破符号判断等难点，结合外卖行程、奶茶店盈亏等实例培养数学眼光，运算律简算训练提升运算能力（数学思维），正负数建模问题发展应用意识（数学语言）。课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

第一章 有理数 2.1 有理数的加法与减法 课标要点 1.理解有理数加、减法的意义，掌握有理数加、减法运算法则； 2.能熟练进行有理数加减运算，会运用加法运算律简化计算； 3.理解减法可转化为加法，体会转化思想； 4.能用有理数加减解决简单实际问题，建立数感。 学习重难点 重点： 1.熟记有理数加法法则，能准确判断和的符号，正确计算两数之和；掌握加法交换律、结合律，会分组凑整简便运算。 2.理解减法法则：减去一个数等于加它的相反数，能把减法运算转化为加法运算。 3.会将加减混合算式改写成省略括号、加号的代数和形式，规范完成有理数加减混合计算。 难点： 异号两数相加时，容易混淆符号判断，分不清该相加还是相减绝对值。 减法变加法时容易漏变符号，多重括号化简时正负号反复出错。 灵活运用运算律简算，不会主动凑相反数、凑整数简化多步混合运算。 知识点 有理数的加法法则 有理数加法是指两个或多个有理数进行求和运算的规则，核心是根据两个加数的符号分类确定结果的符号与绝对值： 1. 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+3)+(+5)=+(3+5)=+8；(-2)+(-4)=-(2+4)=-6 2. 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得\boxed{0}。 示例：(+7)+(-4)=+(7-4)=+3；(-9)+(+2)=-(9-2)=-7；(+5)+(-5)=0 3. 一个数与0相加 仍得这个数，即：（a为任意有理数）。 示例：；(+8)+0=+8 特别提醒 不要因为两个数都是负数，就错误认为结果一定是负的绝对值相加，规则本质是符号不变，绝对值做加法运算。 异号相加本质是“大减小定绝对值，看大小定符号”，不要错误做成绝对值相加；遇到互为相反数的情况可以直接得0，不用再计算。 随学随练 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 2．下列各数中比大3的数是（     ） A． B． C．0 D．2 3．与相加得的是（     ） A． B． C． D． 4．计算：（     ） A． B． C． D． 5．比3的相反数大3的数表示为（     ） A． B． C．0 D．6 知识点 有理数加法的运算律 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a 一个负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0 也可以将绝对值的代数意义写成统一形式： 绝对值的性质 非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。例如：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0，这是绝对值非负性最常见的考察形式。 绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；绝对值等于0的数只有一个，就是0；没有绝对值等于负数的数。 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，这里注意0也满足这两种情况，不要遗漏0。 特别提醒 交换加数位置时，一定要连同加数的符号一起交换，不能只交换数字部分不改变符号；常用的简便计算技巧包括：①互为相反数的数先相加（凑0）；②符号相同的数先相加（同号凑整）；③能凑出整数的数先相加（凑整简化计算）。 随学随练 1．下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 2．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 3．下列各式中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 4．计算： (1)； (2)； (3)； 5．计算： (1)； (2) 知识点 有理数的减法法则 有理数减法是加法的逆运算，法则核心是将减法转化为加法进行计算： 减去一个数，等于加上这个数的相反数 特别提醒 减法转加法时，要同时改变两个符号：①把减号变为加号；②把减数本身变为它的相反数，被减数的符号保持不变；不要只改一个符号，比如计算，错误写成，正确转化应为。 随学随练 1．计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 2．计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 3．计算：（ ） A． B． C． D． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 5．计算： 知识点 有理数的减法法则 有理数加减混合运算可以通过减法法则将所有减法统一转化为加法，转化后就变成了几个正数或负数的和（也叫代数和），再按照加法法则和运算律计算： 1. 步骤梳理： ①利用减法法则，把所有减法运算转化为加法； ②省略算式中的加号和括号，写出简化后的代数和形式； ③利用加法交换律和结合律进行简便计算，求出最终结果。 示例：(-9)-(+12)+(-3)-(-10)=(-9)+(-12)+(-3)+(+10)=-9-12-3+10=-14 2. 符号简化规律： 在省略括号和加号的代数和中，数字前面的符号性质可以总结为：正正得正，正负得负，负正得负，负负得正，也就是括号前是正号，括号内数的符号不变，括号前是负号，括号内数的符号全部改变。 特别提醒 交换数的位置时，同样要连同数前面的符号一起交换，不要把符号遗留在原位置，比如不能错写成，符号必须跟着数走；对于式子中第一项是正数的情况，正号可以省略不写，不影响计算结果。 随学随练 1．与相等的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算： (1) (2) 4．计算∶ (1) ； (2) 拓展 有理数加减的实际应用 1. 盈亏与波动问题：通常是“已知每日盈亏，求总盈亏”，拓展后可以变成“决策类问题”： 比如某奶茶店一周的每日盈亏（盈利为正，亏损为负，单位：元）分别是+120、-30、-15、+180、-20、+210、+90，已知奶茶店每月固定成本3000元，按照这一周的平均日盈亏，推算一个月（4周）的总利润，并判断是否能够覆盖固定成本，如果不能，需要日均盈利达到多少才能覆盖？ 解决这个问题，首先需要用有理数加法计算一周总盈亏，再计算日均盈亏，接着计算四周总盈亏，最后和固定成本比较，推导需要的日均盈利， 整个过程不是直接套用公式计算，而是需要自己选择用正负表示盈亏，梳理问题中的数量关系，建立“总盈亏=每日盈亏的和”的模型，最终解决决策问题. 2. 位置与行程问题的拓展：通常是“已知数轴上的移动，求最终位置”，拓展后可以结合实际行程中的油量、费用问题. 比如：一辆出租车在东西走向的街道上营运，规定向东为正，向西为负，一天下午从起点出发，走的行程依次是（单位：千米）：+5、-3、+8、-10、-6、+12、-8。已知出租车每千米耗油0.1升，油价每升7元，起步价8元（3千米以内，含3千米），超过3千米每千米加2元，求这天下午出租车的总油费是多少？总车费收入是多少？最终盈利（收入减油费）是多少？出租车最终在起点的什么位置，距离起点多远？ 这个问题包含多个维度的问题：求最终位置需要用有理数加法计算所有行程的和，看符号和绝对值；求总路程需要计算每个行程的绝对值再相加，才能得到总行驶里程，进而计算油费；计算车费则需要对每一段行程分别判断是否超过起步里程，再计算每一段车费，最后求和得到总收入。解决这个问题，需要区分“位移的和”与“路程的和”，理解为什么位移用带符号的数相加，路程用绝对值相加，梳理不同问题对应的不同建模方法，深化对有理数正负意义的理解，提升复杂问题的拆解和建模素养。 活学活用 1．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 2．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 题型 有理数的加法运算 解题贴士 有理数加法运算分三步：第一步，判断两个加数的符号，确定适用哪一条加法法则；第二步，确定和的符号；第三步，对绝对值进行加或减的运算得到结果。多个有理数相加时，可以灵活运用加法交换律和结合律简化计算：优先将互为相反数的数结合，优先将同分母的分数结合，优先将能凑整的数结合，最后再统一计算。 ▌例1 根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． ▌例2．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．比大4的数是(     ) A．1 B． C． D．9 ▌对点练1-2． _____． ▌对点练1-3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 有理数加法运算律 解题贴士 1. 运用加法交换律，把正数、负数、整数、分数分别归类。 2. 利用结合律，优先凑整、抵消互为相反数的数。 3. 先算能简化的部分，再分别相加正、负两组的结果。 4. 最后用大数减小数，保留绝对值大的数的符号得出答案。 ▌例1 ．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 ▌例2．计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 ▌对点练1-1．运用加法交换律和加法结合律填空：（___________）+（___________）． ▌对点练1-2．计算： (1)； (2)． ▌对点练1-3．计算： (1)； (2) 题型 有理数加法的实际应用 解题贴士 解题时首先要明确题意中的正方向，将实际问题中的数据转化为带符号的有理数，再根据题目要求列出加法算式计算，最终结合实际意义解释计算结果。常见的场景包括身高体重变化、水位变化、货物进出库存、路程位移计算等，注意最终求总变化量直接将所有数据相加，求绝对值和一般是计算总路程或总工作量。 ▌例1某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． ▌例2嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． ▌对点练1-3有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 题型 有理数的减法 解题贴士 有理数减法的核心法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，即，因此所有的减法运算都可以转化为加法运算，解题时要注意符号的变化：减号变加号，减数变成它的相反数，被减数不变。要明确差的符号由被减数和减数的大小关系决定：大数减小数差为正，小数减大数差为负，相等两数差为0。 ▌例1下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 ▌例2计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 ▌对点练1-1计算的结果是（   ） A． B．3 C． D．7 ▌对点练1-2计算：____________． ▌对点练1-3计算： 题型 省略加法和括号的形式 解题贴士 1. 减去一个数，等于加上它的相反数，把减法全部转成加法。 2. 去掉括号和加号，只保留数字前面的正负符号。 3. 同号相加、异号相减，取绝对值大的符号。 4. 看清每个数前面的正负，不要混淆符号。 ▌例1将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． ▌例2将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1按照有理数减法法则，可以转化为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2把写成省略括号的和的形式为_______________． ▌对点练1-3把下面式子写成省略括号和加号的形式 （2）计算． 题型 有理数的加减混合运算 解题贴士 有理数加减混合运算统一步骤：第一步，利用减法法则，把所有的减法运算转化为加法运算，将原式写成省略加号和括号的代数和形式；第二步，利用加法交换律和结合律进行简便运算，优先结合互为相反数、凑整数、同分母的数；第三步，计算最终结果。简便运算的核心是分组，符号相同的数也可以先分组相加，再计算最终的和差。 ▌例1计算的结果是（   ） A．10 B． C．9 D． ▌例2计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．9 ▌对点练1-1_______ ▌对点练1-2_______． ▌对点练1-35．计算： (1) (2) 题型 有理数加减中的简便运算 解题贴士 1. 先把同号的数归类组合，正数放一起、负数放一起。 2. 再把互为相反数、能凑整的数优先结合。 3. 分数和分数、小数和小数分别配对计算。 4. 最后再做加减，减少出错、简化计算。 ▌例1在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． ▌例2能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1计算，正确的是（    ） A． B．5 C．19 D． ▌对点练1-2计算的结果是_________． ▌对点练1-3计算： 题型 有理数加减混合运算的应用 解题贴士 1. 先规定正负方向，把实际问题转化成有理数算式。 2. 依照题意列出加减混合式子。 3. 利用简便算法算出结果。 4. 根据最终正负，写出实际含义作答。 ▌例1乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（    ） A． B． C． D． ▌例2某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置． ▌对点练1-1某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ ▌对点练1-2某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ ▌对点练1-3某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 基础通关 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 3．计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 4．我国地域辽阔，南北方地区的气温差异较大．某天石家庄市的平均气温约为，而哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数，则两地的温差为（     ） A． B． C．0 D． 5．如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 6．计算：___________． 7．___________． 8．计算：________． 9．温度从℃上升了℃后，则温度计上显示的温度是________度． 10．规定表示不超过的最大整数，则______． 11．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 12．计算： (1)． (2)． (3)． 13．计算： 14．一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 15．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 素养提升 1．若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 2．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 3．已知，，且a，b异号，则的值为（    ） A．7 B．或7 C．1或 D．7或 4．与的和的相反数是_________． 5．如图，方格表中每一行、每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值为______． 1 x 0 6．如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个数的和为________． 7．计算：． 8．计算： 9．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 10．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 迁移创新 1．计算： 2．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 2.1 有理数的加法与减法 课标要点 1.理解有理数加、减法的意义，掌握有理数加、减法运算法则； 2.能熟练进行有理数加减运算，会运用加法运算律简化计算； 3.理解减法可转化为加法，体会转化思想； 4.能用有理数加减解决简单实际问题，建立数感。 学习重难点 重点： 1.熟记有理数加法法则，能准确判断和的符号，正确计算两数之和；掌握加法交换律、结合律，会分组凑整简便运算。 2.理解减法法则：减去一个数等于加它的相反数，能把减法运算转化为加法运算。 3.会将加减混合算式改写成省略括号、加号的代数和形式，规范完成有理数加减混合计算。 难点： 异号两数相加时，容易混淆符号判断，分不清该相加还是相减绝对值。 减法变加法时容易漏变符号，多重括号化简时正负号反复出错。 灵活运用运算律简算，不会主动凑相反数、凑整数简化多步混合运算。 知识点 有理数的加法法则 有理数加法是指两个或多个有理数进行求和运算的规则，核心是根据两个加数的符号分类确定结果的符号与绝对值： 1. 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+3)+(+5)=+(3+5)=+8；(-2)+(-4)=-(2+4)=-6 2. 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得\boxed{0}。 示例：(+7)+(-4)=+(7-4)=+3；(-9)+(+2)=-(9-2)=-7；(+5)+(-5)=0 3. 一个数与0相加 仍得这个数，即：（a为任意有理数）。 示例：；(+8)+0=+8 特别提醒 不要因为两个数都是负数，就错误认为结果一定是负的绝对值相加，规则本质是符号不变，绝对值做加法运算。 异号相加本质是“大减小定绝对值，看大小定符号”，不要错误做成绝对值相加；遇到互为相反数的情况可以直接得0，不用再计算。 随学随练 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．下列各数中比大3的数是（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，计算结果后匹配选项即可． 【详解】解：根据题意，要求比大的数，可列式计算得到 ∴所求的数是． 3．与相加得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故． 4．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 5．比3的相反数大3的数表示为（     ） A． B． C．0 D．6 【答案】C 【分析】先根据相反数的定义得到3的相反数，再根据题意列出加法算式计算，即可得到结果． 【详解】解：∵的相反数为， ∴ 比大的数为， 因此符合要求的数是． 知识点 有理数加法的运算律 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a 一个负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0 也可以将绝对值的代数意义写成统一形式： 绝对值的性质 非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。例如：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0，这是绝对值非负性最常见的考察形式。 绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；绝对值等于0的数只有一个，就是0；没有绝对值等于负数的数。 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，这里注意0也满足这两种情况，不要遗漏0。 特别提醒 交换加数位置时，一定要连同加数的符号一起交换，不能只交换数字部分不改变符号；常用的简便计算技巧包括：①互为相反数的数先相加（凑0）；②符号相同的数先相加（同号凑整）；③能凑出整数的数先相加（凑整简化计算）。 随学随练 1．下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 2．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】小明通过重新排列和分组项，简化了计算过程，运用了加法交换律改变项的顺序，并运用加法结合律改变分组． 【详解】解： ， 通过加法交换律，将 与 交换位置， 可得：原式， 再通过加法结合律，分组为 ， 该同学运用了加法交换律和结合律． 故选：C． 3．下列各式中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查加法交换律，熟练掌握加法交换律是解题的关键． 根据加法交换律直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选C． 4．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 5．计算： (1)； (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 有理数的减法法则 有理数减法是加法的逆运算，法则核心是将减法转化为加法进行计算： 减去一个数，等于加上这个数的相反数 特别提醒 减法转加法时，要同时改变两个符号：①把减号变为加号；②把减数本身变为它的相反数，被减数的符号保持不变；不要只改一个符号，比如计算，错误写成，正确转化应为。 随学随练 1．计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： 2．计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则计算即可．有理数减法法则为：减去一个数等于加上这个数的相反数． 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 知识点 有理数的减法法则 有理数加减混合运算可以通过减法法则将所有减法统一转化为加法，转化后就变成了几个正数或负数的和（也叫代数和），再按照加法法则和运算律计算： 1. 步骤梳理： ①利用减法法则，把所有减法运算转化为加法； ②省略算式中的加号和括号，写出简化后的代数和形式； ③利用加法交换律和结合律进行简便计算，求出最终结果。 示例：(-9)-(+12)+(-3)-(-10)=(-9)+(-12)+(-3)+(+10)=-9-12-3+10=-14 2. 符号简化规律： 在省略括号和加号的代数和中，数字前面的符号性质可以总结为：正正得正，正负得负，负正得负，负负得正，也就是括号前是正号，括号内数的符号不变，括号前是负号，括号内数的符号全部改变。 特别提醒 交换数的位置时，同样要连同数前面的符号一起交换，不要把符号遗留在原位置，比如不能错写成，符号必须跟着数走；对于式子中第一项是正数的情况，正号可以省略不写，不影响计算结果。 随学随练 1．与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 拓展 有理数加减的实际应用 1. 盈亏与波动问题：通常是“已知每日盈亏，求总盈亏”，拓展后可以变成“决策类问题”： 比如某奶茶店一周的每日盈亏（盈利为正，亏损为负，单位：元）分别是+120、-30、-15、+180、-20、+210、+90，已知奶茶店每月固定成本3000元，按照这一周的平均日盈亏，推算一个月（4周）的总利润，并判断是否能够覆盖固定成本，如果不能，需要日均盈利达到多少才能覆盖？ 解决这个问题，首先需要用有理数加法计算一周总盈亏，再计算日均盈亏，接着计算四周总盈亏，最后和固定成本比较，推导需要的日均盈利， 整个过程不是直接套用公式计算，而是需要自己选择用正负表示盈亏，梳理问题中的数量关系，建立“总盈亏=每日盈亏的和”的模型，最终解决决策问题. 2. 位置与行程问题的拓展：通常是“已知数轴上的移动，求最终位置”，拓展后可以结合实际行程中的油量、费用问题. 比如：一辆出租车在东西走向的街道上营运，规定向东为正，向西为负，一天下午从起点出发，走的行程依次是（单位：千米）：+5、-3、+8、-10、-6、+12、-8。已知出租车每千米耗油0.1升，油价每升7元，起步价8元（3千米以内，含3千米），超过3千米每千米加2元，求这天下午出租车的总油费是多少？总车费收入是多少？最终盈利（收入减油费）是多少？出租车最终在起点的什么位置，距离起点多远？ 这个问题包含多个维度的问题：求最终位置需要用有理数加法计算所有行程的和，看符号和绝对值；求总路程需要计算每个行程的绝对值再相加，才能得到总行驶里程，进而计算油费；计算车费则需要对每一段行程分别判断是否超过起步里程，再计算每一段车费，最后求和得到总收入。解决这个问题，需要区分“位移的和”与“路程的和”，理解为什么位移用带符号的数相加，路程用绝对值相加，梳理不同问题对应的不同建模方法，深化对有理数正负意义的理解，提升复杂问题的拆解和建模素养。 活学活用 1．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 2．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)小明本周一共收入3585元 【分析】（1）根据最大正数和最小负数的差值得出结论即可； （2）根据所有差值的和的正负来判断即可； （3）根据售价运费得出收入即可． 【详解】（1）解：（斤）； （2）解：（斤）； 本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解：（元）， 答：小明本周一共收入3585元． 题型 有理数的加法运算 解题贴士 有理数加法运算分三步：第一步，判断两个加数的符号，确定适用哪一条加法法则；第二步，确定和的符号；第三步，对绝对值进行加或减的运算得到结果。多个有理数相加时，可以灵活运用加法交换律和结合律简化计算：优先将互为相反数的数结合，优先将同分母的分数结合，优先将能凑整的数结合，最后再统一计算。 ▌例1 根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．先判断两个加数是异号，再判断绝对值大小，根据加法法则解答即可． 【详解】解：∵3与异号，且，，， ∴． ▌例2．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， C正确； 选项D：， D错误． ▌对点练1-1．比大4的数是(     ) A．1 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，再按照有理数加法法则计算结果即可． 【详解】解： ▌对点练1-2． _____． 【答案】4 【分析】根据相反数的意义化简多重符号，根据绝对值的性质化简绝对值，再进行有理数加法运算． 【详解】解：． ▌对点练1-3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； （3）根据有理数的加法法则计算即可； （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型 有理数加法运算律 解题贴士 1. 运用加法交换律，把正数、负数、整数、分数分别归类。 2. 利用结合律，优先凑整、抵消互为相反数的数。 3. 先算能简化的部分，再分别相加正、负两组的结果。 4. 最后用大数减小数，保留绝对值大的数的符号得出答案。 ▌例1 ．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． ▌例2．计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，等式左边到右边的变形涉及加数顺序的调整和分组的改变，因此同时运用了加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：原式先通过加法交换律改变顺序为，再通过加法结合律分组为，故依据是加法交换律和结合律， 故选：D． ▌对点练1-1．运用加法交换律和加法结合律填空：（___________）+（___________）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据有理数的加法交换律和结合律求解即可． 【详解】解：， 故答案为：，． ▌对点练1-2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． ▌对点练1-3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键． （1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可； （2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 有理数加法的实际应用 解题贴士 解题时首先要明确题意中的正方向，将实际问题中的数据转化为带符号的有理数，再根据题目要求列出加法算式计算，最终结合实际意义解释计算结果。常见的场景包括身高体重变化、水位变化、货物进出库存、路程位移计算等，注意最终求总变化量直接将所有数据相加，求绝对值和一般是计算总路程或总工作量。 ▌例1某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ：． ▌例2嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． ▌对点练1-1某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． ▌对点练1-2一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． 【答案】 【分析】根据标注的意义，最大不超过标准长度加上允许的正偏差，计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，加工要求的最大长度为． ▌对点练1-3有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【答案】(1) (2)从左到右依次为，，，，，，， (3)总质量为198千克，平均每筐质量为千克． 【分析】（1）根据包装质量的要求，即可选出基准数． （2）将每个数减去基准数，即可求出每筐质量与基准数的相差数． （3）利用有理数的加法法则即可求出总质量，根据总质量筐数即可求出每筐的质量． 【详解】（1）解：包装质量为每筐26千克， 选取的恰当基准数为26． （2）解：选取的基准数为26千克， ，，，，，，，， 从左往右依次是，，，，，，，． （3）解：， 8筐水果的总质量为（千克）． 平均每筐的质量为（千克）． 题型 有理数的减法 解题贴士 有理数减法的核心法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，即，因此所有的减法运算都可以转化为加法运算，解题时要注意符号的变化：减号变加号，减数变成它的相反数，被减数不变。要明确差的符号由被减数和减数的大小关系决定：大数减小数差为正，小数减大数差为负，相等两数差为0。 ▌例1下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 即符合要求的数是． ▌例2计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： ▌对点练1-1计算的结果是（   ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【详解】解：． ▌对点练1-2计算：____________． 【答案】 【分析】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，计算即可． 【详解】解：． ▌对点练1-3计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型 省略加法和括号的形式 解题贴士 1. 减去一个数，等于加上它的相反数，把减法全部转成加法。 2. 去掉括号和加号，只保留数字前面的正负符号。 3. 同号相加、异号相减，取绝对值大的符号。 4. 看清每个数前面的正负，不要混淆符号。 ▌例1将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． ▌例2将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据去括号规则，负负得正，正负得负， 则，选项符合题意． ▌对点练1-1按照有理数减法法则，可以转化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法法则． 根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数． 【详解】解：∵， ∴可以转化为． 故选：D． ▌对点练1-2把写成省略括号的和的形式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法与减法法则，熟练掌握运算法则是解题关键．根据减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号，由此即可得． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练1-3把下面式子写成省略括号和加号的形式 （2）计算． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查有理数的加减法，把式子写成省略括号和加号的形式，掌握算理的解决问题的关键． （1）根据减法法则将减法转化为加法，然后写成省略括号和加号的形式； （2）将同号两数先相加，再进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ． 题型 有理数的加减混合运算 解题贴士 有理数加减混合运算统一步骤：第一步，利用减法法则，把所有的减法运算转化为加法运算，将原式写成省略加号和括号的代数和形式；第二步，利用加法交换律和结合律进行简便运算，优先结合互为相反数、凑整数、同分母的数；第三步，计算最终结果。简便运算的核心是分组，符号相同的数也可以先分组相加，再计算最终的和差。 ▌例1计算的结果是（   ） A．10 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算．根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：A ▌例2计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算，先把减法化为加法，再根据加法法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：A． ▌对点练1-1_______ 【答案】 【分析】按照从左到右的运算顺序，结合有理数加法法则计算即可． 【详解】解：． ▌对点练1-2_______． 【答案】 【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果． 【详解】解： ． ▌对点练1-35．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型 有理数加减中的简便运算 解题贴士 1. 先把同号的数归类组合，正数放一起、负数放一起。 2. 再把互为相反数、能凑整的数优先结合。 3. 分数和分数、小数和小数分别配对计算。 4. 最后再做加减，减少出错、简化计算。 ▌例1在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键． 寻找能与前两个分数中的一个凑成整数的数，简化运算即可． 【详解】解：原式为 选项A：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项B：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项C：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项D：若■表示的数为，则原式为，能用简便方法进行计算，符合题意； 故选：． ▌例2能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据互为相反数的两个数相加得0即可求出这个数． 【详解】解：∵的相反数是， ∴能与相加得0的是， 故选：A． ▌对点练1-1计算，正确的是（    ） A． B．5 C．19 D． 【答案】A 【分析】根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． ▌对点练1-2计算的结果是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算， 先将分数化成小数，再根据有理数的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式 . ▌对点练1-3计算： 【答案】0 【分析】先去括号，然后根据有理数的加减运算法则计算即可 【详解】解：原式               题型 有理数加减混合运算的应用 解题贴士 1. 先规定正负方向，把实际问题转化成有理数算式。 2. 依照题意列出加减混合式子。 3. 利用简便算法算出结果。 4. 根据最终正负，写出实际含义作答。 ▌例1乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到反弹高度的范围为，再逐项判断即可． 【详解】解：反弹高度在范围内，即反弹高度为，则符合弹性标准，故选项B符合题意． ▌例2某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置． 【答案】水下51米 【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量及有理数加减运算． 解题关键是把水面记为0，用负数表示水下深度、正数表示上升，通过有理数加减计算最终位置．先规定水面为0，下潜为负、上升为正，依次列出各阶段位置变化，再通过有理数加减运算，算出潜水员最终的水下深度． 【详解】解：我们可以把水面看作0米，下潜记为负数，上升记为正数来计算∶ 先潜入水下56米∶ 位置为米，上升21米∶ 位置变为米 再下潜16米∶ 位置变为米 所以，这时潜水员处在水下51米位置． ▌对点练1-1某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． ▌对点练1-2某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． ▌对点练1-3某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 基础通关 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义化简绝对值，再计算各选项的结果，即可判断出正确选项． 【详解】解：A、，故本选项计算错误． B、，故本选项计算错误． C、，故本选项计算错误． D、，故本选项计算正确． 2．如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用最高温度减最低温度即可． 【详解】解：． 3．计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 4．我国地域辽阔，南北方地区的气温差异较大．某天石家庄市的平均气温约为，而哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数，则两地的温差为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义求出哈尔滨市的平均气温，再用较高温度减去较低温度计算温差，即可得到结果． 【详解】解：石家庄市平均气温为，哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数， 哈尔滨市的平均气温为． 两地温差为． 5．如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点与点之间的高度差为：， 6．计算：___________． 【答案】2 【详解】解：原式． 7．___________． 【答案】 【详解】解：． 8．计算：________． 【答案】13 【详解】解：． 9．温度从℃上升了℃后，则温度计上显示的温度是________度． 【答案】 【详解】根据题意，得（℃）． 10．规定表示不超过的最大整数，则______． 【答案】 【详解】解： 11．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 12．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 13．计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 14．一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地南边，相距117千米 (2)这一天共耗油57升 【分析】（1）求出8个记录的代数和，即可得出答案； （2）求出8个记录的绝对值的和，再乘以0.2即可得出答案． 【详解】（1）解：（千米）， ∴地在地南边，相距117千米； （2）解：（千米）， （升）， 答：这一天共耗油57升． 15．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员在球门前处 (2)守门员共跑了 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）将所有数字相加进行计算即可； （2）将所有数字的绝对值相加进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴守门员在球门前处； （2）解：， ∴守门员共跑了． 素养提升 1．若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和有理数的加法运算，先根据绝对值的性质求出a，b的值，再根据，得出所有符合条件的a，b的值，再列出算式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，可取或，均满足；当时，可取或，均不满足， ∴或， ∴或， 故选：C． 2．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 3．已知，，且a，b异号，则的值为（    ） A．7 B．或7 C．1或 D．7或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质与有理数的减法运算，解题的关键是根据绝对值确定、的可能取值，结合异号条件分情况计算． 由绝对值得、的可能值，结合异号分两种情况计算，确定结果． 【详解】解：由得或，由得或， ∵、异号， ∴当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值为或． 故选：D． 4．与的和的相反数是_________． 【答案】16 【详解】解：． 5．如图，方格表中每一行、每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值为______． 1 x 0 【答案】 【分析】先根据第一列的三个数求出和，由第二行即可求出最中间的数，再根据所在的对角线及和即可求出右上角的数，最后由第一行的数及和即可求出x的值． 【详解】解：由图可得，和为， 则最中间的数是， 则右上角的数是， 所以． 6．如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个数的和为________． 【答案】27或33或39 【分析】本题主要考查有理数的加法，由已知可知这六个数中一定含有4、5、6、7，所以可得出这六个数字的所有情况，可求得答案． 【详解】解：∵已知三个面上的数字为4、5、7，且六个面分别标着连续的整数， ∴这六个数中一定含有4、5、6、7， ∴这六个数字可能为2、3、4、5、6、7；或3、4、5、6、7、8；或4、5、6、7、8、9； 当这六个数为2、3、4、5、6、7时，其和为； 当这六个数为3、4、5、6、7、8时，其和为； 当这六个数为4、5、6、7、8、9时，其和为； 故答案为：27或33或39． 7．计算：． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再利用加法交换律与结合律将同分母分数结合，计算即可． 【详解】解： ． 8．计算： 【答案】 【分析】运用加法交换律和结合律，将分母相同的带分数分组计算，简化运算过程． 【详解】解：原式 ． 9．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 10．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2)25米 (3)4次，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【分析】（1）根据有理数加减法的规则进行计算，因为初始位置为球门线，对应数值0，所以只需将所有跑动记录的数值相加，判断和是否为0即可； （2）如果要找离开球门线的最远距离，那么需要依次计算每次跑动后守门员相对于球门线的位置，取最大值； （3）因为需要统计距离超过10m的次数，所以需逐一核对每次跑动后位置，统计其中大于10的次数即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次距离开球门线 （米）； 第三次距离开球门线 （米）； 第四次距离开球门线 （米）； 第五次距离开球门线 （米）； 第六次距离开球门线 （米）； 第七次距离开球门线 （米）； 第八次距离开球门线 （米）． ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）略． 迁移创新 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了带分数的加法运算，计算带分数的和，先分别计算整数部分和分数部分的和，再合并结果，整数部分为5个3相加，分数部分通分后分子相加． 【详解】解：原式 ． 2．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【答案】(1)B (2)6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析 【分析】（1）分别计算向各经销商分配台时的总利润，比较即可得答案； （2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】（1）解：当向经销商分配台设备时， 即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； ， 为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配台设备； （2）解：台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元，理由如下： 当分配给一家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给两家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给三家时，有： ，利润为万元； ，利润为万元； ，利润为万元； 此时，总利润的最大值为，万元； 当分配四家时，总利润的最大值为，万元； ， 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $