单元复习讲义：专题07 因数与倍数（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（沪教版·新教材）

该小学数学讲义通过考点梳理系统构建“因数与倍数”知识体系，以框架图呈现自然数、因数与倍数等七大考点，用表格对比2、5、3的倍数特征，突出素数与合数、最大公因数与最小公倍数等重难点，清晰展现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题含典型题与变式训练，如分解素因数短除法、最大公因数实际应用（分饺子），培养运算能力与推理意识。提升练习结合生活情境，如地砖铺设、跑步相遇问题，发展应用意识。资料支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题07 因数与倍数 内容导航 考点梳理 1 考点一、自然数 1 考点二、因数与倍数 1 考点三、2、5、3的倍数 2 考点四、素数与合数 2 考点五、分解素因数 2 考点六、公因数与最大公因数 3 考点七、公倍数与最小公倍数 3 例题讲解 3 题型一、自然数 3 题型二、因数与倍数 3 题型三、2、5、3的倍数特征 4 题型四、素数与合数 4 题型五、分解素因数 4 题型六、公因数与最大公因数 5 题型七、公倍数与最小公倍数 6 提升练习 6 考点梳理 考点一、自然数 1. 定义：用来表示物体个数的数叫自然数。 2. 范围：0, 1, 2, 3, 4, …… (1) 注意：0也是自然数，是最小的自然数。没有最大的自然数。 3. 分类： (1) 按是否是2的倍数分：奇数、偶数。 (2) 按因数个数分：1、素数、合数（0和1既不是素数也不是合数）。 考点二、因数与倍数 1. 前提条件：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。（研究范围通常指非零自然数） 2. 相互依存：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 例： ，可以说3是12的因数，12是3的倍数。 3. 特征： (1) 一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 (2) 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 考点三、2、5、3的倍数 倍数类型 判断特征 示例 2的倍数 个位上是0, 2, 4, 6, 8的数 12, 30, 58 5的倍数 个位上是0或5的数 15, 40, 95 3的倍数 各个数位上的数字之和是3的倍数 123 ( , 6是3的倍数) 1. 偶数：是2的倍数的数（个位是0,2,4,6,8）。 2. 奇数：不是2的倍数的数（个位是1,3,5,7,9）。 3. 同时是2和5的倍数：个位必须是0。 4. 同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字之和是3的倍数（即30的倍数）。 考点四、素数与合数 1. 素数（质数）：只有1和它本身两个因数的自然数。 (1) 最小的素数：2（也是唯一的偶素数）。 (2) 常见素数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... 2. 合数：除了1和它本身还有别的因数的自然数。 (1) 最小的合数：4。 3. 特殊数： (1) 1：只有1个因数，既不是素数也不是合数。 (2) 0：不在讨论范围内（通常指正整数范畴）。 考点五、分解素因数 1. 定义：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来。 2. 方法：短除法。 3. 书写规范： (1) 必须写成连乘形式。 (2) 因数必须是素数。 (3) 错误示例： （6不是素数） (4) 正确示例： 或 考点六、公因数与最大公因数 1. 公因数：几个数公有的因数。 2. 最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个。 3. 求法： (1) 列举法：列出各数因数，找公共部分。 (2) 短除法：用公有的素因数连续去除，直到商互素为止，将除数相乘。 4. 特殊情况： (1) 若两数成倍数关系，最大公因数是较小数。 (2) 若两数互素（公因数只有1），最大公因数是1。 考点七、公倍数与最小公倍数 1. 公倍数：几个数公有的倍数。 2. 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个。 3. 求法： (1) 短除法：用公有的素因数连续去除，直到商互素为止，将所有除数和最后的商相乘。 4. 特殊情况： (1) 若两数成倍数关系，最小公倍数是较大数。 (2) 若两数互素，最小公倍数是两数之积。 例题讲解 题型一、自然数 【典型例题】下面关于自然数的说法中，不正确的是（    ）。 A．自然数的个数是无限的 B．相邻的两个自然数相差1 C．0是最小的自然数 D．0.8是小于1的自然数 举一反三 【变式训练1】0表示什么都没有，0是最小的( )。 【变式训练2】两个连续自然数的和是( )数。（填“奇”或“偶”） 【变式训练3】三个连续的自然数的平均数是27，其中最大一个数是( )，最小一个数是( )。 题型二、因数与倍数 【典型例题】在除法算式32÷4＝8中，4是32的( )，32是4的( )。 举一反三 【变式训练1】既是18的因数，又是18的倍数的数是( )，这个数有( )个因数。 【变式训练2】一个数的最小倍数是36，这个数是( )，这个数的最大因数是( )。 【变式训练3】8的因数有( )，20以内8的倍数有( )。 题型三、2、5、3的倍数特征 【典型例题】在下面各数中，同时能被2、3、5整除的是（    ）。 A．120 B．110 C．100 D．95 举一反三 【变式训练1】一个四位数5□□0，它同时是2、3、5的倍数。这样的四位数中最小是( )，最大是( )。 【变式训练2】202至少减去( )就是3的倍数，至少加上( )就能同时是2、3、5的倍数。 【变式训练3】从四张数字卡片中任选三张组成一个三位数，同时是2，3，5倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。 题型四、素数与合数 【典型例题】在1、2、3、51、9、13、15、87这些数中，质数有( )个，合数有( )个。 举一反三 【变式训练1】下面各数中（    ）是合数。 A．57 B．37 C．17 D．13 【变式训练2】20以内的质数有( )个，分别是( )。 【变式训练3】小美家的电脑密码是一个四位数abcd，a是最小的质数，b是最小的奇数，c是最小的偶数，d是最小的合数。这个密码是( )，这个四位数是( )（填“质数”或“合数”）。 题型五、分解素因数 【典型例题】分解质因数。 57＝     87＝     91＝ 举一反三 【变式训练1】下列式子中，表示分解质因数的是（    ）。 A．18＝3×6 B．18＝2×3×3 C．18＝1×2×3×3 D．2×9＝18 【变式训练2】在括号里填合适的质数。 51＝( )×( )                26＝( )＋( ) 【变式训练3】一个数既是40的因数，又是2的倍数，这个数最大是( )，把它分解质因数是( )。 题型六、公因数与最大公因数 【典型例题】求下面各组数的最大公因数。 4和13         18和27         20和50 举一反三 【变式训练1】已知两个自然数A和B，A＝2×3×5，B＝3×3×5，则A和B的最大公因数是( )。 【变式训练2】求下面各组数的最大公因数。 64和20          48和36          25和35        66和88 【变式训练3】“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”。冬至到了，聪聪一家围坐在一起包饺子，他们一共包了36个韭菜鸡蛋馅的和48个芹菜猪肉馅的饺子。妈妈把这两种馅料的饺子分开放在不同的保鲜袋里，要使每袋里饺子的数量相等，每袋最多放多少个？一共要几个保鲜袋？ 题型七、公倍数与最小公倍数 【典型例题】8和32的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 举一反三 【变式训练1】已知A＝2×3×5，B＝2×3×7，那么A和B的最小公倍数是（    ）。 A．6 B．10 C．15 D．210 【变式训练2】求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 45和25                    16和96                    7和16 【变式训练3】端午节妈妈做了70多块绿豆糕送给长辈。如果每6块装一盒，正好装完；如果每8块装一盒，也正好装完。一共有多少块绿豆糕？ 提升练习 1．已知甲数＝2×3×4，则甲的因数共有（    ）个。 A．3 B．5 C．6 D．8 2．下面四个数都是五位数，其中Q＝0，M是一位非零自然数。那么一定能被3和5整除的数是（    ）。 A．MMQMM B．MQQMQ C．MQMQM D．MQMMQ 3．都是质数的一组是（    ）。 A．2和9 B．1和8 C．2和11 D．15和29 4．下列各数中既是3的倍数又是5的倍数的数是（    ）。 A．705 B．320 C．891 D．635 5．下列说法中，正确的有（    ）个。 ①自然数不是质数就是合数。                    ②所有的偶数都是合数。 ③一个数的倍数一定大于这个数的因数。        ④一个数是6的倍数，则它一定是3的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．在0、15、2、5、26、29、37、41、45这九个数中，偶数有( )，奇数有( )，合数有( )，质数有( )。 7．如果a÷b＝c（a、b、c均为不为0的整数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 8．笑笑的学校组织一场文艺晚会，笑笑所在的班级在40－50人之间，他们所表演的节目前半场刚好可以分为2人一组，后半场刚好可以分为7人一组，笑笑班一共有( )名学生。 9．妈妈的会员卡号是由9位数字组成的5A13B67CD，其中A的最大因数是8，B是唯一的偶质数，C是8和12的最大公因数，D既是奇数也是合数，妈妈的会员卡号是( )。 10．一个数的最小倍数是20，这个数的因数有( )个。 11．两个质数的差是14，积是51，这两个数是( )和( )；两个质数的和是10且积是21，这两个质数是( )和( )。 12．“5□32★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是( )，□所代表的数字最小是( )。 13．已知a＝3×3×5，b＝7×5×3，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 14．一个三位数“4”，既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是( )。这个三位数至少加上( )，就可以成为3的倍数。 15．一个两位数，十位上数字的最大因数是8，个位上是最小的合数，这个数是( )，把它分解质因数是( )。 16．既是2和5的倍数，又含有因数3的最大两位数是( )；分子是16和24的最大公因数，分母是3和5的最小公倍数，这个分数是( )。 17．用短除法把下列各数分解质因数。 32          48          91 18．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 15和18           33和22           28、42和84 19．希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6除本身以外，还有1、2、3三个因数，6＝1＋2＋3，所以6就是“完全数”。那么28是完全数吗？你是怎样判断的。 20．梅沙水族馆饲养了54条小丑鱼，该水族馆计划将它们放在不同的鱼缸中展览，每个鱼缸放的小丑鱼一样多。有几种放法？每种放法各需要几个鱼缸？ 21．明明的卧室长6米，宽3.6米，高3米。要在明明卧室的地面铺正方形地砖，要求用整块的不能切割。下表是3种地砖的型号，请你为明明选一种型号的地砖，算算需要多少块这样的地砖。 型号1 型号2 型号3 22．典典和华华在操场跑步，典典每4分钟跑一圈，华华每6分钟跑一圈，两人同时在同一起点同向而跑，多少分钟后两人第一次在起点相遇？当华华跑完8圈后她与典典在起点相遇了几次？ 23．一排电线杆每相邻两个之间的距离是45米，现在要改成60米。如果起点处的第一根电线杆不需要移动，那么至少多少米又有一根电线杆不需要移动，是原来的第几根？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 因数与倍数 内容导航 考点梳理 1 考点一、自然数 1 考点二、因数与倍数 1 考点三、2、5、3的倍数 2 考点四、素数与合数 2 考点五、分解素因数 2 考点六、公因数与最大公因数 3 考点七、公倍数与最小公倍数 3 例题讲解 3 题型一、自然数 3 题型二、因数与倍数 4 题型三、2、5、3的倍数特征 5 题型四、素数与合数 7 题型五、分解素因数 8 题型六、公因数与最大公因数 9 题型七、公倍数与最小公倍数 11 提升练习 13 考点梳理 考点一、自然数 1. 定义：用来表示物体个数的数叫自然数。 2. 范围：0, 1, 2, 3, 4, …… (1) 注意：0也是自然数，是最小的自然数。没有最大的自然数。 3. 分类： (1) 按是否是2的倍数分：奇数、偶数。 (2) 按因数个数分：1、素数、合数（0和1既不是素数也不是合数）。 考点二、因数与倍数 1. 前提条件：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。（研究范围通常指非零自然数） 2. 相互依存：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 例： ，可以说3是12的因数，12是3的倍数。 3. 特征： (1) 一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 (2) 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 考点三、2、5、3的倍数 倍数类型 判断特征 示例 2的倍数 个位上是0, 2, 4, 6, 8的数 12, 30, 58 5的倍数 个位上是0或5的数 15, 40, 95 3的倍数 各个数位上的数字之和是3的倍数 123 ( , 6是3的倍数) 1. 偶数：是2的倍数的数（个位是0,2,4,6,8）。 2. 奇数：不是2的倍数的数（个位是1,3,5,7,9）。 3. 同时是2和5的倍数：个位必须是0。 4. 同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字之和是3的倍数（即30的倍数）。 考点四、素数与合数 1. 素数（质数）：只有1和它本身两个因数的自然数。 (1) 最小的素数：2（也是唯一的偶素数）。 (2) 常见素数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... 2. 合数：除了1和它本身还有别的因数的自然数。 (1) 最小的合数：4。 3. 特殊数： (1) 1：只有1个因数，既不是素数也不是合数。 (2) 0：不在讨论范围内（通常指正整数范畴）。 考点五、分解素因数 1. 定义：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来。 2. 方法：短除法。 3. 书写规范： (1) 必须写成连乘形式。 (2) 因数必须是素数。 (3) 错误示例： （6不是素数） (4) 正确示例： 或 考点六、公因数与最大公因数 1. 公因数：几个数公有的因数。 2. 最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个。 3. 求法： (1) 列举法：列出各数因数，找公共部分。 (2) 短除法：用公有的素因数连续去除，直到商互素为止，将除数相乘。 4. 特殊情况： (1) 若两数成倍数关系，最大公因数是较小数。 (2) 若两数互素（公因数只有1），最大公因数是1。 考点七、公倍数与最小公倍数 1. 公倍数：几个数公有的倍数。 2. 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个。 3. 求法： (1) 短除法：用公有的素因数连续去除，直到商互素为止，将所有除数和最后的商相乘。 4. 特殊情况： (1) 若两数成倍数关系，最小公倍数是较大数。 (2) 若两数互素，最小公倍数是两数之积。 例题讲解 题型一、自然数 【典型例题】下面关于自然数的说法中，不正确的是（    ）。 A．自然数的个数是无限的 B．相邻的两个自然数相差1 C．0是最小的自然数 D．0.8是小于1的自然数 【答案】D 【分析】表示物体个数的0，1，2，3，4……都是自然数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。最小的自然数是0，没有最大的自然数。 【详解】A．自然数的个数是无限的，原题说法正确， B．相邻的两个自然数相差1，原题说法正确， C．0是最小的自然数，原题说法正确， D．0.8不是自然数，原题说法错误。 故答案为：D 举一反三 【变式训练1】0表示什么都没有，0是最小的( )。 【答案】自然数 【分析】根据自然数的定义，自然数从0开始，依次递增，所以0是最小的自然数。 【详解】0表示什么都没有，0是最小的自然数。 【变式训练2】两个连续自然数的和是( )数。（填“奇”或“偶”） 【答案】奇 【分析】自然数的排列是偶数、奇数、偶数、奇数……与奇数相邻的是偶数，与偶数相邻的是奇数，根据奇数＋偶数＝奇数，填空即可。 【详解】相邻的两个自然数一个是奇数，另一个是偶数，相邻的两个自然数的和一定是奇数； 如1和2：1＋2＝3，3是奇数。 因此两个连续自然数的和是奇数。 【变式训练3】三个连续的自然数的平均数是27，其中最大一个数是( )，最小一个数是( )。 【答案】 28 26 【分析】三个连续的自然数的平均数是27，说明这3个数为：27－1，27，27＋1。算出结果再比较大小即可。 【详解】据分析，这三个连续的自然数是：26、27、28。 其中最大的一个自然数是28，最小的一个自然数是26。 题型二、因数与倍数 【典型例题】在除法算式32÷4＝8中，4是32的( )，32是4的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】根据定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。据此分析32、4、8之间的关系即可。 【详解】在除法算式32÷4＝8中，4是32的因数，32是4的倍数。 举一反三 【变式训练1】既是18的因数，又是18的倍数的数是( )，这个数有( )个因数。 【答案】 18 6 【分析】根据因数与倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；据此解答。 如果两个数（非0自然数）相乘等于这个数，这两个数就都是这个数的因数，据此求出这个数的因数。 【详解】既是18的因数，又是18的倍数的数是18。 1×18＝18，2×9＝18，3×6＝18；因此18的因数有：1，2，3，6，9，18；共6个。 【变式训练2】一个数的最小倍数是36，这个数是( )，这个数的最大因数是( )。 【答案】 【分析】根据因数与倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；据此解答。 【详解】一个数的最小倍数是36，这个数是36，这个数的最大因数是36。 【变式训练3】8的因数有( )，20以内8的倍数有( )。 【答案】 【分析】找能整除8的正整数，从1开始一对一对算：1×8＝8，2×4＝8，所以能把8整除的数就是1、2、4、8，这些就是8的因数。 从8本身开始依次乘1、2、3…，得到8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，24已经超过20了，所以符合要求的只有8和16。 【详解】8的因数有（1、2、4、8），20以内8的倍数有（8、16）。 题型三、2、5、3的倍数特征 【典型例题】在下面各数中，同时能被2、3、5整除的是（    ）。 A．120 B．110 C．100 D．95 【答案】A 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除；各位上的数字之和能被3整除，这个数一定能被3整除；个位上是0或5的数都能被5整除；能同时被2、3整除的数个位上是偶数且各位上的数字之和能被3；能同时被2、5整除的数个位上必须是0；据此解答。 【详解】A．，3能被3整除，120就能被3整除，个位上是0，能同时被2、5整除，所以这个数能被2、3、5整除，符合题意。 B．，2不能被3整除，不符合题意。 C．，1不能被3整除，不符合题意。 D．95个位上的数是5，不能被2整除，不符合题意。 举一反三 【变式训练1】一个四位数5□□0，它同时是2、3、5的倍数。这样的四位数中最小是( )，最大是( )。 【答案】 5010 5970 【分析】根据2和5的倍数特征，个位上是0的数同时是2和5的倍数，题干中四位数个位已是0，满足条件。根据3的倍数特征，各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。要使四位数最小，高位上的数字应尽可能小；要使四位数最大，高位上的数字应尽可能大。 【详解】求最小的四位数：要使数最小，百位上的数字应最小，百位上填0，此时数字之和为，即，十位上的数字最小取1，，6是3的倍数，符合要求，所以最小的四位数是：5010； 求最大的四位数：要使数最大，百位上的数字应最大，百位上填9，此时数字之和为，即，十位上的数字最大取7，，21是3的倍数，符合要求，所以最大的四位数是：5970。 【变式训练2】202至少减去( )就是3的倍数，至少加上( )就能同时是2、3、5的倍数。 【答案】 1 8 【分析】3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【详解】，，3是3的倍数，202至少减去1就是3的倍数。 202至少加上8后，个位是0，加上8后是，，3是3的倍数，202至少加上8就能同时是2、3、5的倍数。 综上所述202至少减去1就是3的倍数，至少加上8就能同时是2、3、5的倍数。 【变式训练3】从四张数字卡片中任选三张组成一个三位数，同时是2，3，5倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。 【答案】 420 240 【分析】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。要想组成的三位数同时是2、3、5的倍数，个位应该是0，还剩下2、4、6这三张卡片，选择2和4，组成的三位数才是3的倍数，那么这个三位数最大时，百位上是4，十位上是2，个位上是0组成的数，这个三位数最小时，百位上是2，十位上是4，个位上是0组成的数， 【详解】从四张数字卡片中任选三张组成一个三位数，同时是2，3，5倍数的最大三位数是420，最小三位数是240。 题型四、素数与合数 【典型例题】在1、2、3、51、9、13、15、87这些数中，质数有( )个，合数有( )个。 【答案】 3 4 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0） 【详解】2、3、13是质数，51、9、15、87是合数，1既不是质数，也不是合数。 在1、2、3、51、9、13、15、87这些数中，质数有3个，合数有4个。 举一反三 【变式训练1】下面各数中（    ）是合数。 A．57 B．37 C．17 D．13 【答案】A 【分析】合数是指大于1的自然数中，除了1和它本身之外还有其他因数的数，只有1和它本身两个因数的数是质数，分别判断各选项即可。 【详解】A．，因数有1、3、19、57，除了1和本身外还有其他因数，是合数。 B．37的因数只有1、37，是质数； C．17的因数只有1、17，是质数； D．13的因数只有1、13，是质数。 【变式训练2】20以内的质数有( )个，分别是( )。 【答案】 8 2，3，5，7，11，13，17，19 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 【详解】20以内的质数有8个，分别是2，3，5，7，11，13，17，19。 【变式训练3】小美家的电脑密码是一个四位数abcd，a是最小的质数，b是最小的奇数，c是最小的偶数，d是最小的合数。这个密码是( )，这个四位数是( )（填“质数”或“合数”）。 【答案】 2104 合数 【分析】偶数：个位数字是0、2、4、6、8的数。奇数：个位数字是1、3、5、7、9的数。质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。 【详解】最小的质数是2，所以a＝2； 最小的奇数是1，所以b＝1； 最小的偶数是0，所以c＝0； 最小的合数是4，所以d＝4。 所以这个密码是2104；2104除了1和它本身两个因数外，还有别的因数例如2、1052……，所以这个四位数是合数。 题型五、分解素因数 【典型例题】分解质因数。 57＝     87＝     91＝ 【答案】57＝3×19；87＝3×29；91＝7×13 【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，据此解答。 【详解】57＝3×19 87＝3×29 91＝7×13 举一反三 【变式训练1】下列式子中，表示分解质因数的是（    ）。 A．18＝3×6 B．18＝2×3×3 C．18＝1×2×3×3 D．2×9＝18 【答案】B 【分析】分解质因数需满足：等号左侧是要分解的合数，右侧全部是质数相乘的形式；1既不是质数也不是合数，右侧不能出现1，也不能出现合数。 【详解】A．等号右边6是合数，不符合要求； B．、3都是质数，18＝2×3×3，符合分解质因数的所有要求； C．等号右边含有因数1，1不是质数，不符合要求； D．等号左右写反，不符合分解质因数的书写形式。 【变式训练2】在括号里填合适的质数。 51＝( )×( )                26＝( )＋( ) 【答案】 3 17 13 13 【分析】质数是指只有1和它本身两个因数的正整数。分解51的质因数得到合适的质数；列出所有小于26的质数找到和为26的质数组合。 【详解】（1）分解51的质因数：51＝3×17，51可以拆成3和17的乘积。因此，51＝3×17，也可以写成51＝17×3。 （2）小于26的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23。寻找和为26的质数组合。因此，26＝13＋13，26＝3＋23，26＝7＋19；后两组也可以写成26＝23＋3，26＝19＋7。 【变式训练3】一个数既是40的因数，又是2的倍数，这个数最大是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 40 40＝2×2×2×5 【分析】40÷2＝20，40和2是倍数关系，所以成倍数关系的两个数，大数是小数的倍数，小数是大数的因数，一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；分解质因数就是每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 【详解】40÷2＝20 40＝2×2×2×5 一个数既是40的因数，又是2的倍数，这个数最大是40，把这个数分解质因数是40＝2×2×2×5。 题型六、公因数与最大公因数 【典型例题】求下面各组数的最大公因数。 4和13         18和27         20和50 【答案】1；9；10 【解析】对每一组的两个数分别分解质因数，两个数的最大公因数是这两个数公共的质因数的乘积。 【详解】4和13互质，4和13的最大公因数是1； ，； 18和27的最大公因数是； ，； 20和50的最大公因数是。 举一反三 【变式训练1】已知两个自然数A和B，A＝2×3×5，B＝3×3×5，则A和B的最大公因数是( )。 【答案】 15 【分析】先找出A和B相同的质因数，把相同的质因数相乘，乘积就是最大公因数。 【详解】A＝2×3×5 B＝3×3×5 公有质因数：3、5 3×5＝15 【变式训练2】求下面各组数的最大公因数。 64和20          48和36          25和35        66和88 【答案】4  12  5  22 【分析】求两个数最大公约数也就是求这两个数的公有质因数的连乘积，据此即可得解。 【详解】64＝2×2×2×2×2×2 20＝2×2×5 所以64和20的最大公因数是2×2＝4。 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2××3×3 所以48和36的最大公因数是2×2×3＝12。 25＝5×5 35＝5×7 所以25和35的最大公因数是5。 66＝2×3×11 88＝2×2×2×11 所以66和88的最大公因数是2×11＝22。 【点睛】本题考查求几个数的最大公因数的方法。 【变式训练3】“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”。冬至到了，聪聪一家围坐在一起包饺子，他们一共包了36个韭菜鸡蛋馅的和48个芹菜猪肉馅的饺子。妈妈把这两种馅料的饺子分开放在不同的保鲜袋里，要使每袋里饺子的数量相等，每袋最多放多少个？一共要几个保鲜袋？ 【答案】 个；个 【分析】要使两种饺子每袋的数量相等且最多，每袋的个数是和的最大公因数；再用两种饺子的数量分别除以每袋个数，求和得到总保鲜袋数。 【详解】 答：每袋最多放个饺子。 （个） （个） （个） 答：一共要个保鲜袋。 题型七、公倍数与最小公倍数 【典型例题】8和32的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 8 32 【分析】32是8的倍数，根据当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，直接得出结果。 【详解】32÷8＝4，即32是8的倍数。 所以8和32的最大公因数是8，最小公倍数是32。 举一反三 【变式训练1】已知A＝2×3×5，B＝2×3×7，那么A和B的最小公倍数是（    ）。 A．6 B．10 C．15 D．210 【答案】D 【分析】求两个数的最小公倍数，需先找出两个数公有的质因数，再找出各自独有的质因数，把这些质因数相乘得到的结果就是最小公倍数。 【详解】A和B公有的质因数是2、3，A独有的质因数是5，B独有的质因数是7。 A和B的最小公倍数是。 【变式训练2】求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 45和25                    16和96                    7和16 【答案】 和：最大公因数，最小公倍数 和：最大公因数，最小公倍数 和：最大公因数，最小公倍数 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，先观察两数之间的关系。若两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；若两数互质，最大公因数是，最小公倍数是两数的乘积；若为一般关系，可通过分解质因数法或短除法进行求解。 【详解】和属于一般关系，采用分解质因数法。 ，。 最大公因数是公共的质因数； 最小公倍数是。 和观察可知，，两数成倍数关系。 最大公因数取较小数，即； 最小公倍数取较大数，即。 和互质，最大公因数是； 最小公倍数是两数的乘积，即。 【变式训练3】端午节妈妈做了70多块绿豆糕送给长辈。如果每6块装一盒，正好装完；如果每8块装一盒，也正好装完。一共有多少块绿豆糕？ 【答案】 72块 【分析】由题意可知绿豆糕总数是6和8的公倍数，只需找出70到80之间的符合条件的公倍数即可。 【详解】每6块或每8块装一盒都正好装完，说明绿豆糕总数是6和8的公倍数。 ①求6和8的最小公倍数： 6的倍数有6、12、18、24、30…… 8的倍数有8、16、24、32…… 6和8的最小公倍数是24。 ②找70到80之间的24的倍数： （块），48小于70，不符合要求； （块），72在70到80之间，符合要求； （块），96大于80，不符合要求。 答：一共有72块绿豆糕。 提升练习 1．已知甲数＝2×3×4，则甲的因数共有（    ）个。 A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先求出甲数的具体数值，再列举出它的全部因数，统计因数个数即可。 【详解】甲＝2×3×4＝24 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。 2．下面四个数都是五位数，其中Q＝0，M是一位非零自然数。那么一定能被3和5整除的数是（    ）。 A．MMQMM B．MQQMQ C．MQMQM D．MQMMQ 【答案】D 【分析】5的倍数的特点是个位上0或5的数，3的倍数特点是各个数位上的数之和能被3整除，先依据5的倍数特征排除个位不是0的选项，再依据3的倍数特征验证剩余选项是否符合要求。 【详解】A．MMQMM个位是M，不一定是5的倍数，排除； B．MQQMQ个位是Q＝0，是5的倍数，各位数字之和为M＋Q＋Q＋M＋Q＝2M，2M不一定是3的倍数，排除； C．MQMQM个位是M，不一定是5的倍数，排除； D．MQMMQ个位是Q＝0，是5的倍数，各位数字之和为M＋Q＋M＋M＋Q＝3M，3M是3的倍数，满足同时被3和5整除。 3．都是质数的一组是（    ）。 A．2和9 B．1和8 C．2和11 D．15和29 【答案】C 【分析】质数是大于1、且只有1和它本身两个因数的自然数，逐一验证各选项即可。 【详解】A．的因数有、、，属于合数，不符合； B．既不是质数也不是合数，的因数有、、、，属于合数，不符合； C．的因数只有和，的因数只有和，两个数都是质数，符合； D．的因数有、、、，属于合数，不符合。 4．下列各数中既是3的倍数又是5的倍数的数是（    ）。 A．705 B．320 C．891 D．635 【答案】A 【分析】5的倍数特征是个位上0或5的数；3的倍数特征是各个数位上的数字之和是3的倍数；同时满足这两个特征的数即为所求。 【详解】A．7＋0＋5＝12，12是3的倍数，即705是3的倍数；705个位上是5，705也是5的倍数，此选项符合题意； B．3＋2＋0＝5，5不是3的倍数，320不是3的倍数，此选项不符合题意； C．891个位上是1，891不是5的倍数，此选项不符合题意； D．6＋3＋5＝14，14不是3的倍数，635不是3的倍数，此选项不符合题意； 5．下列说法中，正确的有（    ）个。 ①自然数不是质数就是合数。                    ②所有的偶数都是合数。 ③一个数的倍数一定大于这个数的因数。        ④一个数是6的倍数，则它一定是3的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】分析①时，因为自然数包含0和1，所以要判断1是否属于质数或合数范畴。 分析②时，因为2是偶数，所以要判断2是否符合合数的定义。 分析③时，因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以要验证是否存在倍数等于因数的情况。 分析④时，因为6是3的倍数，所以如果一个数能被6整除，那么它一定能被3整除，结合倍数的传递性判断正误。 【详解】①1是自然数，1既不是质数也不是合数，该说法错误； ②2是偶数，但2是质数不是合数，该说法错误； ③一个数的最小倍数和最大因数都是它本身，二者相等，该说法错误； ④，6的倍数都含有因数3，一定是3的倍数，该说法正确。 正确的说法共有1个。 6．在0、15、2、5、26、29、37、41、45这九个数中，偶数有( )，奇数有( )，合数有( )，质数有( )。 【答案】 0、2、26 15、5、29、37、41、45 15、26、45 2、5、29、37、41 【分析】偶数：能被2整除的数，个位是0、2、4、6、8；奇数：不能被2整除的数；质数：只有1和它本身两个因数的自然数；合数：除了1和它本身，还有其他因数的自然数。 【详解】偶数：0、2、26 奇数：15、5、29、37、41、45 合数：15、26、45 质数：2、5、29、37、41 7．如果a÷b＝c（a、b、c均为不为0的整数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】如果（、、均为不为的整数），那么和是倍数关系，当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是两数之中较小的数，它们的最小公倍数是两数之中较大的数，据此解答。 【详解】如果（、、均为不为的整数），和的最大公因数是，和的最小公倍数是。 8．笑笑的学校组织一场文艺晚会，笑笑所在的班级在40－50人之间，他们所表演的节目前半场刚好可以分为2人一组，后半场刚好可以分为7人一组，笑笑班一共有( )名学生。 【答案】42 【分析】根据题意，班级人数同时是2和7的公倍数，找出40‑50范围内对应的公倍数。 【详解】2和7的最小公倍数：。14的倍数有：14，28，42，56…… 介于40～50之间的数是42。 9．妈妈的会员卡号是由9位数字组成的5A13B67CD，其中A的最大因数是8，B是唯一的偶质数，C是8和12的最大公因数，D既是奇数也是合数，妈妈的会员卡号是( )。 【答案】 【分析】一个数的最大因数是它本身；自然数中是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数；非零自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数；最大公因数是两个数公有质因数的乘积。据此逐一分析。 【详解】A的最大因数是8，所以A＝8； 质数中唯一的偶数是2，即唯一的偶质数是2，所以B＝2； 8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最大公因数是2×2＝4，所以C＝4； D是会员卡号的一位数字，一位数中的奇数有：1、3、5、7、9，其中9是合数，即既是奇数也是合数的一位数是9，所以D＝9。 综上，妈妈的会员卡号是581326749。 10．一个数的最小倍数是20，这个数的因数有( )个。 【答案】6 【分析】根据因数与倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；据此解答。 如果两个数（非0自然数）相乘等于这个数，这两个数就都是这个数的因数，据此求出这个数的因数。 【详解】一个数的最小倍数是20，这个数就是20； 20＝1×20＝2×10＝4×5；所以20的因数有：1、2、4、5、10、20； 因此这个数的因数有6个。 11．两个质数的差是14，积是51，这两个数是( )和( )；两个质数的和是10且积是21，这两个质数是( )和( )。 【答案】 3 17 3 7 【分析】已知两个质数的积，可以通过找出积的所有因数，筛选出其中的质数，再验证它们的差或和是否符合题意。 【详解】51＝1×51＝3×17，1既不是质数也不是合数，51是合数，3是质数，17 是质数。17－3＝14，所以这两个质数只能是3和17。 21＝1×21＝3×7，1既不是质数也不是合数，21是合数，3是质数，7 是质数。3＋7＝10，所以这两个质数只能是3和7。 12．“5□32★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是( )，□所代表的数字最小是( )。 【答案】 0 2 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8；5的倍数特征：个位上是0或5。同时是2和5的倍数，个位必须是0。3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数。据此解答。 【详解】同时是2和5的倍数，个位必须是0，所以★＝0。 这个五位数现在是5□320， 数字总和：5＋□＋3＋2＋0＝10＋□。 要使10＋□是3的倍数： 10＋0＝10，10不是3的倍数，不满足条件； 10＋1＝11，11不是3的倍数，不满足条件； 10＋2＝12，12是3的倍数，满足条件； 所以□里最小是2。 13．已知a＝3×3×5，b＝7×5×3，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 15 315 【分析】a和b的公有质因数是3和5，最大公因数等于公有质因数的乘积；最小公倍数要把a、b这两个数的公有质因数与独有质因数相乘。 【详解】a＝3×3×5，b＝7×5×3。 a和b的公有质因数是3和5。 3×5＝15 所以a和b的最大公因数是15。 最小公倍数： 3×3×5×7＝315 所以a和b的最小公倍数是315。 14．一个三位数“4”，既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是( )。这个三位数至少加上( )，就可以成为3的倍数。 【答案】 940 2 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。据此解答。 【详解】 一个三位数“4”，既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数的个位一定是0，百位上的数最大，最大是9，所以这个三位数最大是940。 9＋4＋0＝13 13＋1＝14，14不是3的倍数； 13＋2＝15，15是3的倍数。 所以这个三位数至少加上2，就可以成为3的倍数。 15．一个两位数，十位上数字的最大因数是8，个位上是最小的合数，这个数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 84 【分析】根据一个数的最大因数是它本身，可知十位上的数字，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，最小的合数是4，可求个位上的数字；分解质因数就是把数写成几个质数相乘的形式，可以用分解，据此解答。 【详解】十位上数字的最大因数是8，说明十位数字就是8，最小的合数是4，所以个位数字是4，组合得到这个两位数是84。 将84分解质因数：84＝2×2×3×7。 16．既是2和5的倍数，又含有因数3的最大两位数是( )；分子是16和24的最大公因数，分母是3和5的最小公倍数，这个分数是( )。 【答案】 90 【分析】个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，这样的数同时是2、3、5的倍数；先把16和24分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；互质的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。据此解答。 【详解】既是2和5的倍数，又含有因数3的最大两位数是90； 16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 所以16和24的最大公因数是： 2×2×2 ＝4×2 ＝8 3和5互质，所以3和5的最小公倍数是3×5＝15，所以这个分数是。 17．用短除法把下列各数分解质因数。 32          48          91 【答案】32＝2×2×2×2×2；48＝2×2×2×2×3；91＝7×13 【分析】用短除法分解质因数，先用能被它整除的一个最小质数去除，如果得到的商是合数，就按照上面的方法继续除下去。以此类推，除到商是质数为止。最后把除数和最后的商写成连乘的形式。 【详解】                                  32＝2×2×2×2×2              48＝2×2×2×2×3                  91＝7×13 18．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 15和18           33和22           28、42和84 【答案】最大公因数：3；最小公倍数：90 最大公因数：11；最小公倍数：66 最大公因数：14；最小公倍数：84 【分析】可用短除法，那么对两个数同时除以公有质因数直到商互质，最大公因数是所有除数的乘积，最小公倍数是所有除数和最终商的乘积。 如果三个数中，较大数是另外两个数的倍数，那么较大数就是它们的最小公倍数。 【详解】15和18 最大公因数：3；最小公倍数：3×5×6＝90。 33和22 最大公因数：11；最小公倍数：11×3×2＝66。 28、42和84 最大公因数：2×7＝14； 由于84÷28＝3，84÷42＝2，即84是28和42的倍数，那么84是这三个数的最小公倍数。 最小公倍数：84。 19．希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6除本身以外，还有1、2、3三个因数，6＝1＋2＋3，所以6就是“完全数”。那么28是完全数吗？你是怎样判断的。 【答案】28是完全数； 判断方法：28的因数有1、2、4、7、14、28，，所以28是完全数。 【分析】根据题目给出的完全数定义，判断时需先找出该数的所有因数，去掉本身后计算剩余因数的和，再与原数比较，若相等则为完全数。 【详解】，，， 28的因数有：1、2、4、7、14、28，，，因此28是完全数。 20．梅沙水族馆饲养了54条小丑鱼，该水族馆计划将它们放在不同的鱼缸中展览，每个鱼缸放的小丑鱼一样多。有几种放法？每种放法各需要几个鱼缸？ 【答案】7种, 各需要54个、27个、18个、9个、6个、3个、2个鱼缸。 【分析】要让每个鱼缸的鱼数量一样多，每个鱼缸的鱼数必须是54的正因数，鱼缸数×每个鱼缸中鱼的条数＝鱼的总条数，a×b＝c（a、b、c不为0），a和b是c的一对因数，用乘法算式找出54的因数对，每一对因数中一个数是鱼缸数，另一个数就是每个鱼缸中鱼的数量，因为放在不同的鱼缸中，所以排除把所有的鱼放在1个鱼缸中的情况。 【详解】因为1×54＝54 2×27＝54 3×18＝54 6×9＝54 放法： ①每个鱼缸放1条，需要54个鱼缸； ②每个鱼缸放2条，需要27个鱼缸； ③每个鱼缸放3条，需要18个鱼缸； ④每个鱼缸放6条，需要9个鱼缸； ⑤每个鱼缸放9条，需要6个鱼缸； ⑥每个鱼缸放18条，需要3个鱼缸； ⑦每个鱼缸放27条，需要2个鱼缸； 答：有7种放法。各需要54个、27个、18个、9个、6个、3个、2个鱼缸。 21．明明的卧室长6米，宽3.6米，高3米。要在明明卧室的地面铺正方形地砖，要求用整块的不能切割。下表是3种地砖的型号，请你为明明选一种型号的地砖，算算需要多少块这样的地砖。 型号1 型号2 型号3 【答案】选用型号2的地砖；60块 【分析】根据题意，要使整块的地砖不切割，每块正方形地砖的边长应是卧室地面长、和宽的公因数。据此先把6米和3.6米分别换算成以分米为单位的数，再看三种型号的地砖边长是不是它们的公因数即可确定地砖的边长。分别用卧室的长和宽除以每块地砖的边长，求出每行铺的块数和所铺的行数，再把它们相乘即可求出需要地砖的块数。 【详解】6米＝60分米 3.6米＝36分米 60＝2×2×3×5 36＝2×2×3×3 公因数有：2、2×2＝4、2×3＝6、2×2×3＝12 型号1：5不是60和36的公因数；型号2：6是60和36的公因数；型号3：8不是60和36的公因数。所以选用型号2的地砖。 （60÷6）×（36÷6） ＝10×6 ＝60（块） 答：选型号2的地砖，需要60块这样的地砖。 22．典典和华华在操场跑步，典典每4分钟跑一圈，华华每6分钟跑一圈，两人同时在同一起点同向而跑，多少分钟后两人第一次在起点相遇？当华华跑完8圈后她与典典在起点相遇了几次？ 【答案】 12分钟后两人第一次在起点相遇；华华跑完8圈后与典典在起点相遇了4次。 【分析】两人在起点相遇时，所用时间是两人跑一圈时间的公倍数，第一次相遇的时间是4和6的最小公倍数。先算出华华跑8圈的总时长，再用总时长除以最小公倍数，即可得到相遇次数。 【详解】4的倍数：4、8、12、16… 6的倍数：6、12、18… 4和6的最小公倍数是12。 华华跑8圈的总时间：（分钟） 相遇次数（次） 答：12分钟后两人第一次在起点相遇；华华跑完8圈后与典典在起点相遇了4次。 23．一排电线杆每相邻两个之间的距离是45米，现在要改成60米。如果起点处的第一根电线杆不需要移动，那么至少多少米又有一根电线杆不需要移动，是原来的第几根？ 【答案】180米；5根 【分析】不需要移动的电线杆到起点的距离既是45的倍数，也是60的倍数，求至少多少米就是求45和60的最小公倍数；再用最小公倍数除以原来的间距得到间隔数，加1就是对应的原来的电线杆根数。 【详解】45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 45和60的最小公倍数：2 × 2 ×3×3×5＝180 所以至少180米又有一根电线杆不需要移动。 180÷45＝4（个） 4＋1＝5（根） 答：至少180米又有一根电线杆不需要移动，是原来的第5根。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $