专题11 圆（5年汇编）（安徽专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 专题聚焦初中数学圆的5年真题1年模拟汇编，覆盖垂径定理等5大考点，真题与模拟题结合，适配安徽中考考情，助力考点突破。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题|正多边形中心角计算（2023真题）、弧长公式应用（2024真题）|结合安徽考情，重点考查基础概念| |填空|6题|切线性质求角度（2025真题）、垂径定理求弦长（2026模拟）|注重定理直接应用，难度适中| |解答|15题|切线判定与性质综合（2022真题）、圆与四边形综合证明（2026模拟）|真题体现高频考点规律，模拟题融入宣扇等文化情境，强调逻辑推理与综合应用|

专题11 圆 5年真题1年模拟 考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律 考点01垂径定理 2026 2025 2023 2022 高频核心考点，几乎连年考查；多搭配弦、弦心距、半径构造直角三角形，常结合勾股定理计算线段长度； 考点02圆周角定理 2025 2024 热门角度计算工具；重点考查同弧 / 等弧圆周角相等、直径所对圆周角为 90°、圆周角与圆心角倍数关系；常和切线、等腰三角形结合考角度推导。 考点03点、直线、圆的位置关系 2026 2022 重点集中在切线判定与切线性质（本考点重中之重）；常考证明切线、切线长模型，圆综合压轴高频设问；位置关系判断多为基础小题。 考点04正多边形和圆 2023 2022 低频考点；考查正多边形中心角、半径、边心距、边长计算，一般以填空题形式出现，难度偏低。 考点05求弧长 2024 公式应用型考点；考查弧长公式、单独出题频次不高，容易和旋转、圆综合结合。 考点01 垂径定理 1．（2026·安徽·中考真题）如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 4．（2022·安徽·中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ） A． B．4 C． D．5 考点02 圆周角定理 1．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 考点03点、直线、圆的位置关系 1．（2026·安徽·中考真题）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2022·安徽·中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB． 考点04 正多边形和圆 1．（2023·安徽·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则（   ）    A． B． C． D． 2．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点05弧长 11．（2024·安徽·中考真题）若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·安徽安庆·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽滁州·二模）如图，的半径为1，A，B，C是上三点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽芜湖·三模）如图，的直径，点在圆周上，，则的弧长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·三模）2026年春晚合肥分会场上，科创硬核与翰墨书香的文化底蕴完美交融：“天地矩阵”彰显硬核实力，水墨宣纸铺展，笔走龙蛇，在皖美画卷中绘出一个诗意盎然的中国年．宣扇是一种以宣纸为扇面的传统工艺品（如图），当扇形完全打开后，扇面（扇形）的面积为，、的长均为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽阜阳·三模）如图，五边形是的内接正五边形，过点E作交于点F，连接，下列结论错误的是（     ） A． B．F是的中点 C．是的直径 D． 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正六边形中，连接，以点为圆心，长为半径作圆弧，得到，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽芜湖·三模）如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 9．（2026·安徽合肥·三模）如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，则关于的函数图象为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在Rt中，，，，点，分别是上的动点，且满足，则下列结论错误的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为6 11．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 二、填空题 12．（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于以为直径的，延长交于点，连接．若，则阴影部分的面积是___________． 13．（2026·安徽芜湖·三模）是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 14．（2026·安徽芜湖·二模）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 15．（2026·安徽合肥·三模）如图，中，，以为圆心，以长为半径画弧交于，若，则弧的长为______． 16．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，是的弦，于点E．若，，则______． 17．（2026·安徽池州·二模）如图，是圆O的直径，点C在半径上，，，点D、E在半圆上，，，则D到的距离为______． 三、解答题 18．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，以为直径作，与交于点D，与交于点，是的切线． (1)求证：平分； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 19．（2026·安徽阜阳·三模）如图，是等腰三角形的外接圆，，点D是上一点，点E是上一点，，且，连接． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，当的长与的长之比为时，若，求的长． 20．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，点在边上，以点为圆心的分别与边相切于点，与边相切于点，过点作，与交于点． (1)求证：． (2)若的半径为4，，求的长． 21．（2026·安徽淮南·一模）如图，在一张铁皮上有一个的图案，经测量，，．在铁皮上剪下一个圆，使的三个顶点正好在这个圆上． (1)利用尺规作图找出这个圆的圆心，并画出这个圆； (2)求剪下的的半径．（参考数据：） 22．（2026·安徽安庆·三模）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 23．（2026·安徽合肥·三模）如图，内接于的直径交于点，过点作的切线交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知，求的长． 24．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 25．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，是直径，是弦，D为的中点，连接并延长交于点E，为的切线交的延长线于点F．记与的交点为H． (1)求证：． (2)若H为的中点，的半径为4，求的长． 26．（2026·安徽合肥·三模）如图，在直径为4的中，为的中点，点在上，交于点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，． (1)求的长； (2)求的长． 27．（2026·安徽宿州·模拟预测）在中，，点为上一点，连接，过点作交于点，以为直径作，圆心为点． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)如图2，与存在另一个交点，且，若，求的值． 28．（2026·安徽滁州·三模）如图，，是的直径，是弦，，过点的切线分别交，的延长线于点，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 29．（2026·安徽芜湖·三模）菱形中，为的外接圆，是的切线． (1)如图1，求证：为等边三角形． (2)如图2．点E为边的中点，点F在上，连接交于G，若，，求的长． 30．（2026·安徽合肥·三模）如图，是直径，弦于点，过点作的垂线，交的延长线于点，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 31．（2026·安徽六安·二模）如图，在中，，为边上一点，以为直径的分别与，交于点，．连接，，且平分． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的直径． 32．（2026·安徽·二模）点A，点B是两个距离为的小区．现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的速度沿着不同的路线从A走到B． (1)如图1，甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是____．如图2，图①、图②、图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着的折线路线行走，则乙同学运动的路线长为______． (2)如图3，图①、图②、图③、…、图是n个等边三角形，丙同学沿着的折线路线行走；如图4，图①、图②、图③…、图是m个半圆，丁同学沿着的曲线路线行走，则丙同学与丁同学谁先到达点B．请通过计算说明理由．（） (3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境．政府决定在A，B两个小区附近的空地修建公园（长方形），并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物．已知图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大，请求图④的面积. 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 圆 5年真题1年模拟 考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律 考点01垂径定理 2026 2025 2023 2022 高频核心考点，几乎连年考查；多搭配弦、弦心距、半径构造直角三角形，常结合勾股定理计算线段长度； 考点02圆周角定理 2025 2024 热门角度计算工具；重点考查同弧 / 等弧圆周角相等、直径所对圆周角为 90°、圆周角与圆心角倍数关系；常和切线、等腰三角形结合考角度推导。 考点03点、直线、圆的位置关系 2026 2022 重点集中在切线判定与切线性质（本考点重中之重）；常考证明切线、切线长模型，圆综合压轴高频设问；位置关系判断多为基础小题。 考点04正多边形和圆 2023 2022 低频考点；考查正多边形中心角、半径、边心距、边长计算，一般以填空题形式出现，难度偏低。 考点05求弧长 2024 公式应用型考点；考查弧长公式、单独出题频次不高，容易和旋转、圆综合结合。 考点01 垂径定理 1．（2026·安徽·中考真题）如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是正方形、利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据平行四边形的性质得到，再由圆的切线的性质证明即可； （2）过点作于点，由垂径定理得，然后求出， 再证明四边形是矩形，则，，再由勾股定理求解，最后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，则， ∵经过圆心， ∴， ∵在中，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴． (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 3．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 【答案】(1)证明：∵对角线是的直径， ∴， ∴， ∴平分． (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． (2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）∵对角线是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 4．（2022·安徽·中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， 则，， ∵PA＝4，PB＝6， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键． 考点02 圆周角定理 1．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 【答案】20 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 考点03点、直线、圆的位置关系 1．（2026·安徽·中考真题）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积 【分析】设与交于点，先得出所在的圆为以点为圆心、长为半径的，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵正方形的各边与所在的圆分别相切于点， ∴所在的圆为以点为圆心、长为半径的， ∴图中阴影部分的面积为 ． 2．（2022·安徽·中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长； （2）根据切线的性质可得OCCD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30 ∴CD=2⋅ OC=2 ∴ ∴ （2）证明：∵DC与⊙O相切 ∴OCCD 即∠ACD+∠OCA=90 ∵OC= OA ∴∠OCA=∠OAC ∵∠ACD=∠ACE ∴∠OAC+∠ACE=90 ∴∠AEC=90 ∴CEAB 【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键． 考点04 正多边形和圆 1．（2023·安徽·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形的内角问题、正多边形和圆的综合 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 2．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、求正多边形的中心角 【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解． 【详解】解：如图， ，， ∴ = = = ==， ∴， 设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为， 则， ， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ， ∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上， ∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值， 过O作OE⊥BC于E， ∴， ∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC ∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE ∵， ∴， 解得OE=， ∴OC=， ∴OP=CP-OC=． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键． 考点05弧长 11．（2024·安徽·中考真题）若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，的长为, 故选：C． 一、单选题 1．（2026·安徽安庆·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】如图，在圆上取点，连接，，由圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算得到答案． 【详解】解：如图，在圆上取点，连接，， ，四边形是的内接四边形， ， ， 的长为：． 2．（2026·安徽滁州·二模）如图，的半径为1，A，B，C是上三点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据菱形的性质与判定求面积、求其他不规则图形的面积 【分析】连接，交于点，证明四边形为菱形，则，，得为等边三角形和，则，进而根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，则， 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形， ， ∴，为等边三角形， ， 阴影部分的面积． 3．（2026·安徽芜湖·三模）如图，的直径，点在圆周上，，则的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求弧长 【分析】利用直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由圆周角定理可得，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， 为直径， ， ， ， ， 的直径， 的半径， 的弧长为． 4．（2026·安徽合肥·三模）2026年春晚合肥分会场上，科创硬核与翰墨书香的文化底蕴完美交融：“天地矩阵”彰显硬核实力，水墨宣纸铺展，笔走龙蛇，在皖美画卷中绘出一个诗意盎然的中国年．宣扇是一种以宣纸为扇面的传统工艺品（如图），当扇形完全打开后，扇面（扇形）的面积为，、的长均为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求扇形面积 【分析】设，根据扇形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设， 由题意得， 解得， 即． 5．（2026·安徽阜阳·三模）如图，五边形是的内接正五边形，过点E作交于点F，连接，下列结论错误的是（     ） A． B．F是的中点 C．是的直径 D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、正多边形和圆的综合 【分析】连接，首先求出，求出，得到，即可判断C；求出，然后利用圆周角定理求出，即可判断A；求出，得到，即可判断B；由直径得到，求出即可判断D． 【详解】解：如图，连接 ∵五边形是的内接正五边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的直径，故C正确； ∴ ∴，故A正确； ∴ ∴ ∴F是的中点，故B正确； ∵是的直径， ∴ ∵ ∴． 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正六边形中，连接，以点为圆心，长为半径作圆弧，得到，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长 【分析】先求出正六边形的每一个内角，求出度数，再根据弧长公式计算即可； 【详解】解：正六边形， 正六边形的每一个内角是，， ，， ， ， ． 7．（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 8．（2026·安徽芜湖·三模）如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】过作交直线于，过作于，以为斜边作等腰直角三角形，过作于，则四边形为平行四边形，得到，根据平行线得到，，即可得到，根据对角对等边得到点、、在以为圆心，为半径的圆上，得到，据此求四边形面积的最大值即可． 【详解】解：如图，过作交直线于，过作于， ∵，， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰直角三角形，过作于， ∵， ∴，， ∵， ∴点、、在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 9．（2026·安徽合肥·三模）如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，则关于的函数图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、y=a（x-h）²+k的图象和性质、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】由为边的中点，，可知点、、、在以点为圆心，长度为半径的圆上，可得，从而可得，点是的中点，所以有，，根据勾股定理可得：，整理可得：，所以可知函数图象是一条开口向下、顶点坐标是的抛物线上自变量取值范围为的一段． 【详解】解：如下图所示， 为边的中点，， ， 点、、、在以点为圆心，长度为半径的圆上， ， ， ，，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在和中，，， ， ， 整理得：， 化为顶点坐标式可得：， ， 函数图象是一条开口向下、顶点坐标是的抛物线上自变量取值范围为的一段． 10．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在Rt中，，，，点，分别是上的动点，且满足，则下列结论错误的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为6 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】先求解，，，结合垂线段最短可得当时，最小，证明，作的外接圆，连接，记的交点为，再进一步分析即可. 【详解】解：如图，∵，，， ∴，，， 当时，最小， ∴，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，记的交点为， 当的面积最大，则， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴的最大面积为，故A正确，不符合题意； 如图，当共线时，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：；故B正确，不符合题意； ∵的运动轨迹是， ∴当重合时，最大，最大值为，故C错误，符合题意. 11．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、点与圆上一点的最值问题 【分析】先由、得，确定E在以B为圆心4为半径、F在以B为圆心1为半径的圆上；分别用圆上点到定点距离最值判断A、B、C选项均错；取小圆与交点G，由证明得，转化为，根据两点之间线段最短，D、E、G共线时取最小值斜边，故D正确． 【详解】解：点E和正方形在同一平面内，， 点E在以B为圆心，为半径的圆上，点F在以B为圆心，为半径的圆上， 如图1， ，， 当D，E，B三点共线时，取得最小值， 在中，， 的最小值为，故A错误； ，，， 当A，F，B三点共线时，取得最小值， 的最小值为，故B错误； 由题意可知， 当取得最大值时，即可取得最大值， 如图2， 当D，E，B三点共线时，取得最大值，最大值为， 的最大值为，故C错误； 如图3，点F所在的圆与交于点G，连接， ， 在与中， ， ， ， ， ， 当D，E，G三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为5，故D正确． 二、填空题 12．（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于以为直径的，延长交于点，连接．若，则阴影部分的面积是___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度、求其他不规则图形的面积 【分析】根据勾股定理求出，得到，再进一步求出，得到，利用求解即可． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 13．（2026·安徽芜湖·三模）是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2026·安徽芜湖·二模）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】过点作交于点，延长交于点，连接，根据题意可得，，，，先求出，再根据勾股定理求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，延长交于点，连接，如图： 则，，，， ∴， 在中，， ∴． 即截面圆中弦的长为． 15．（2026·安徽合肥·三模）如图，中，，以为圆心，以长为半径画弧交于，若，则弧的长为______． 【答案】 【知识点】等边对等角、求弧长 【分析】先利用等腰三角形性质设角，求出，套用弧长公式计算弧长． 【详解】解：设， ， ， ， ， ，， 又， ， 在中，内角和：， 解得， ， 弧的长． 16．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，是的弦，于点E．若，，则______． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】由垂径定理，得到，由，得到，设的半径为r，则，推导出，连接，由勾股定理，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是的直径，， ∴． ∵， ∴． 设的半径为r，则， ∴． ∴． 连接，如图所示． 在中，， 即． ∴， 解得或(不符合题意，舍去)． ∴． 17．（2026·安徽池州·二模）如图，是圆O的直径，点C在半径上，，，点D、E在半圆上，，，则D到的距离为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】如图所示，过点E作于点F，过点D作于点G，过点E作于点K，过点C作于点H，连接，连接，则四边形和四边形都是矩形，设，则；证明，得到，则，，由勾股定理可得方程组，解方程组可推出，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于点F，过点D作于点G，过点E作于点K，过点C作于点H，连接，连接，则四边形和四边形都是矩形， ∴； 设，则； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D到的距离为． 三、解答题 18．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，以为直径作，与交于点D，与交于点，是的切线． (1)求证：平分； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）根据切线的性质，可得，再由是直径，可得，再由，可得，可得，即可求证； （2）连接交于点M，连接，证明是等腰直角三角形，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点M，连接， ∵是直径， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 19．（2026·安徽阜阳·三模）如图，是等腰三角形的外接圆，，点D是上一点，点E是上一点，，且，连接． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，当的长与的长之比为时，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长 【分析】（1）由平行线的性质得到，则，证明得到，则可证明得到，据此可证明是等边三角形，则．    （2）连接，设的半径为r．根据弧长公式可证明，由圆周角定理可得，则，由勾股定理可得，再由弧长公式可得答案． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴．    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：如图2，连接，设的半径为r． ∵的长与的长之比为， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴的长为． 20．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，点在边上，以点为圆心的分别与边相切于点，与边相切于点，过点作，与交于点． (1)求证：． (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，，证明平分，即，再证明∥，推出，即可得到结论； （2）利用切线长定理得到，设，利用勾股定理求出，证明，得到，求出． 【详解】（1）证明：如图， 连接，， 与边相切于点，与边相切于点， ，， 平分，即， 又， ∥， ， ， ． （2）解：，均为的切线， ． 设． 在中，，即， 解得， ． ，， ， ， ， 解得． 21．（2026·安徽淮南·一模）如图，在一张铁皮上有一个的图案，经测量，，．在铁皮上剪下一个圆，使的三个顶点正好在这个圆上． (1)利用尺规作图找出这个圆的圆心，并画出这个圆； (2)求剪下的的半径．（参考数据：） 【答案】(1) 点和即为所求． (2)剪下的的半径约为 【知识点】圆周角定理、画圆(尺规作图)、确定圆心(尺规作图)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）作的线段垂直平分线，交于点，再以点为圆心、长为半径画圆；则点和即为所求； （2）作的直径，连接．先求出的度数，再在中，解直角三角形即可． 【详解】（1）解：作的线段垂直平分线，交于点，再以点为圆心、长为半径画圆；则点和即为所求． （2）解：如图，作的直径，连接． 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴剪下的的半径为． 22．（2026·安徽安庆·三模）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 23．（2026·安徽合肥·三模）如图，内接于的直径交于点，过点作的切线交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明：是的切线， ，即 ∴ ∵是直径 ∴，即 ∴ ∴； (2) 【知识点】垂径定理的推论、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据圆的切线的性质以及垂径定理的推论即可证明，即可得到平行； （2）证明，根据相似三角形的性质可求出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后证明，根据三角形相似的性质，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ∵是直径， ， ， ， ， ， ∵， ∴ ， △△， ， 即：， ， ． 24．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明； （2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，则， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴． 25．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，是直径，是弦，D为的中点，连接并延长交于点E，为的切线交的延长线于点F．记与的交点为H． (1)求证：． (2)若H为的中点，的半径为4，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是 的中点，是的弦， ，， ，且， ， 是的切线， ， 为直径， ， ， ， ． (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用垂径定理求值、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】（1）利用垂径定理由为中点得及，从而；同时，故，再由为切线得，直径所对圆周角得，因此，进而得； （2）由（1）知且，结合为中点可证，得，再利用为中点、为中点得，设，则，代入解得． 【详解】（1）略 （2）如图，连接 由（1）得，，且H为的中点， 在和中， ， ， ， 是中点，D为的中点， ， ， 的半径为4，即， 设，则, ，解得， 的长为． 26．（2026·安徽合肥·三模）如图，在直径为4的中，为的中点，点在上，交于点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据圆的直径为4，可得到，再由勾股定理可得，即可求解； （2）由（1）得：，，可得到，，证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵的直径为4， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 27．（2026·安徽宿州·模拟预测）在中，，点为上一点，连接，过点作交于点，以为直径作，圆心为点． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)如图2，与存在另一个交点，且，若，求的值． 【答案】(1)证明：如图1，连接， ， ， 点在上， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得到，即可得到，即可得证； （2）过点作，交于点，连接，，，根据已知条件得到，求出，的度数，得出，利用勾股定理求出，进而求出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， 点在上， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． （2）如答图2，过点作，交于点，连接，，， 为的直径， ， ，， ， ，即， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ． 28．（2026·安徽滁州·三模）如图，，是的直径，是弦，，过点的切线分别交，的延长线于点，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴ (2) 【知识点】根据等角对等边证明边相等、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证．由圆周角定理得出，则； （2）连接，先证．得出．则． 可得． 可求的长，即的半径长． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ， ． ． ， 是的切线，是直径， ． ． ． ． ， ． ， ，即的半径长． 29．（2026·安徽芜湖·三模）菱形中，为的外接圆，是的切线． (1)如图1，求证：为等边三角形． (2)如图2．点E为边的中点，点F在上，连接交于G，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图1，连接，连接并延长交于E，连接， ∵为的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 为等边三角形； (2)9 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，连接并延长交于E，连接，由切线的性质和直径所对的圆周角是直角可证明，则可证明，由菱形的性质得到，，则可证明，进而可证明，则为等边三角形； （2）设交于H，证明，得到，再证明，得到，则可得到． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于H， 由（1）得为等边三角形， ∴，； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 30．（2026·安徽合肥·三模）如图，是直径，弦于点，过点作的垂线，交的延长线于点，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， 由圆周角定理，， ， ． (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）要证两条线段相等，转化为证明它们所对的角相等，即证；结合垂径定理、圆周角性质、直角三角形互余的角推导角度等量关系； （2）设圆半径为，利用垂径定理求出长度，设，在列勾股方程，再结合、等腰三角形三线合一得到，建立线段长度等式联立求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，设的半径为．则， ，， ，， ， 在中， ， ， 解得（舍），， 的半径为． 31．（2026·安徽六安·二模）如图，在中，，为边上一点，以为直径的分别与，交于点，．连接，，且平分． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据角平分线的定义结合等边对等角可得，即可证明结论； （2）利用圆周角定理和切线的性质可证 ，进而证明 ，即可证明结论； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得，，求出，设，则，，由勾股定理求出，，由（2），得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）证明：由（1）可知，与相切于点， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，如图： 在中，， 平分， ，， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， ∴， 由（2）， ∴， 的直径． 32．（2026·安徽·二模）点A，点B是两个距离为的小区．现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的速度沿着不同的路线从A走到B． (1)如图1，甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是____．如图2，图①、图②、图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着的折线路线行走，则乙同学运动的路线长为______． (2)如图3，图①、图②、图③、…、图是n个等边三角形，丙同学沿着的折线路线行走；如图4，图①、图②、图③…、图是m个半圆，丁同学沿着的曲线路线行走，则丙同学与丁同学谁先到达点B．请通过计算说明理由．（） (3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境．政府决定在A，B两个小区附近的空地修建公园（长方形），并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物．已知图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大，请求图④的面积． 【答案】(1)两点之间，线段最短；600 (2)丁同学先到达点B，理由如下： 计算丙同学的路程：丙同学的折线由段构成，每段长度等于三角形边长，n个等边三角形的底边长度之和为， 故丙同学走的折线总长度为， 计算丁同学的路程：个半圆的直径之和为，每个半圆弧长为， 故总弧长为总直径，个半圆的直径长度之和为， 故丁同学走的曲线总长度为， ∵，且丙同学和丁同学的速度相同， ∴丁同学先到达点B． (3) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、两点之间线段最短、等边三角形的性质、圆的基本概念辨析 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”即可解答；根据等边三角形的性质即可求出乙同学运动的路线长； （2）分别求出丙同学和丁同学行走的路程，再比较二者的大小即可得出结论； （3）根据长方形与三角形之间的面积关系得到，再结合“图③的面积比图④的面积大”列出方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是“两点之间，线段最短”； 三个等边三角形的底边长度之和刚好等于的长度， 等边三角形的三条边长度相等，乙走的折线每一段都等于对应等边三角形的边长， 所以总长度是长度，即， 所以乙同学运动的路线长为． （2）略 （3）解：如图5， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大， ∴， ∴， 即图④的面积为. 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $