1.4 空间向量的应用讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的应用，系统梳理用空间向量研究直线与平面的位置关系（含平行、垂直判定）及距离、夹角问题，前承空间向量基本运算，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过分层题型（求方向向量、法向量及平行垂直证明等）和跟踪训练，结合正方体、四棱锥等实例，培养学生空间观念（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）与向量表达能力（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点一、空间中点、直线、平面的向量表示 1.点的位置向量 如图所示，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 2.直线的方向向量 （1）用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点. （2）直线的向量表示的形式 点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，则 ①如图所示，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即. ②如图所示，取空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，也可表示为：. 3.空间中平面的向量表示形式 （1）平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使. 我们把该式称为空间平面ABC的向量表示式. （2）平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点二、空间中直线、平面的平行 1.线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2.线面平行的向量表示 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3.面面平行的向量表示 设n1 ，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点三、空间中直线、平面的垂直 1.线线垂直的向量表示 设u1，u2分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2.线面垂直的向量表示 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3.面面垂直的向量表示 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 题型一：求直线的方向向量 例1.（多选）若A（-1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则以下向量可作为直线l的一个方向向量的是（ ） A. B. C. D. 解：因为，，，所以向量都与平行，它们都可以作为直线的一个方向向量. 故选：AB. 例2.已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 解：∵A(0，y，3)和B(－1,2，z)，＝(－1,2－y，z－3), ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ，故设. ∴－1＝2k ,2－y＝－k，z－3＝3k.解得 k＝，y＝z＝.∴y－z＝0. 故选：A. 跟踪训练： 1.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线 BC1 的一个方向向量为 . 解：∵DD1∥AA1，＝(0,0,1)，直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； BC1∥AD1，＝(0，1,1), 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).故答案为：(0,0,1)，(0,1,1). 2.(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 解：∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)，故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量.故答案为：AB. 3.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长＝34，则B点的坐标为(　　) A.(18,17，－17) B. (－14，－19,17) C. D. 解：设B点坐标为 (x，y，z) ，则 ＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12) ，因为＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17. 故选：A. 题型二：求平面的法向量 例1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，分别求平面和平面的一个法向量. 解：因为平面，底面为矩形，所以两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，. 设是平面的法向量，则， 所以，即.所以， 取，则，所以平面的一个法向量为. 因为x轴⊥平面PAD，所以向量m=(1,0,0)即为平面PAD的一个法向量. 跟踪训练： 1.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A.(1,1，－1) B.(1，－1,1) C.(－1,1,1) D.(－1，－1，－1) 解：＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1). 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有, 取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1). 故选：D. 2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量. 解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z). ∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)， ∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0). 则有 ，即, 令z＝1，则x＝y＝3. 故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1). 题型三：利用空间向量研究直线、平面的平行 例1.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点. 求证：. 证明：如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， ，所以，. 例2.如图，在正方体中，、分别为，的中点. 求证：平面. 证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 所以，即. 取，则，所以是平面的一个法向量. 因为，所以.又平面，所以平面. 例3.已知正方体的棱长为2，分别是的中点. 求证：平面. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量，则， 即，得， 令，则，所以可取. 同理，设是平面的一个法向量，由， 得，解得 令，得，所以.因为，即， 所以平面. 跟踪训练： 1.在长方体中，，点在棱上，且，点在上，且，点分别为的中点.求证：. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得. 则分别为的方向向量，所以. 所以，所以，因为，所以. 2.在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，是的中点.证明：. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，是坐标原点，设. 连接，交于点，连接，依题意得. 设平面的法向量为，又， 则有，即， 即. 令，则，所以， 又，所以. 所以，又，所以. 3.已知正方体.求证：平面平面. 证明：设正方体的棱长为1，建立如图1-4-16所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则， 所以为平面的一个法向量. 设平面的法向量为， 则即.令，则， 所以为平面的一个法向量. 因为，所以，故平面平面. 题型四：利用空间向量研究直线、平面的垂直 例1.如图，和所在平面互相垂直，且，，分别为的中点.求证：. 证明：由题意，以点为坐标原点，在平面内过点作垂直于的直线为轴，所在直线为轴. 在平面内过点作垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，，，. 因而，. 所以，. 因此，从而，所以. 例2.如图1-4-19，在正方体中，分别是的中点.求证：平面. 证明：方法1：建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为，则， 所以， ， . 因为, , 所以.又,所以平面.(线面垂直的判定定理) 方法2：由方法2知. 设平面的法向量为, 则, . 取,则,故是平面的一个法向量, 所以. 所以,所以平面. 例3.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，且，是的中点. 求证：平面平面. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，. 方法1：连接，交于点，连接，则. 因为，，所以，所以. 因为底面，所以平面. 又平面，所以平面平面.（面面垂直的判定定理） 方法2：设平面的法向量为. 因为，，，， 所以即 令，则，得是平面的一个法向量. 平面的一个法向量为， 因为，所以，所以平面平面. 跟踪训练： 1.如图，在直三棱柱中，点在棱上，分别是的中点，，. 求证：. 证明：在直三棱柱中，有. 又因为，，所以平面. 因为平面，所以. 所以，，. 分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图， 则.,. 设，则，， 所以，所以，所以. 2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，求证：平面. 证明：由题意得，两两垂直. 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，. 所以，，. 设，. 因为，所以，即①. 又因为，可设，所以②. 由①②可知，.所以. 方法1：因为. :所以，所以. 因为，又，平面.所以平面. 方法二设为平面的法向量， 则，，所以，取，则. 所以，所以平面. 3.在正方体中，分别是的中点.求证：平面平面. 证明：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为，则. . 设平面的一个法向量为， 由，得，令，得. 同理，平面的一个法向量为. ，，平面平面. 1.若A( －1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A.(2,1,3) B.(1,3,2) C.(1,2,3) D.(3,2,1) 解：因为＝(2,4,6) ，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量.故选：C. 2.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2 ，则(　　) A.x＝6，y＝ B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝15 解：由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝.故选：A. 3.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A.－4 B.4 C.－5 D.5 解：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.故选：C. 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程(　　) A.z－1＝0 B.2y－z－1＝0 C.2y－z－2＝0 D.y－z＝0 解：E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，所以＝(－1,0，－2)，＝(－2，y－2，z)， 因为CF⊥B1E，所以·＝0，即2－2z＝0，即z＝1.故选：A. 5.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A.a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) 解：若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选：B. 6.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 . 解：由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0. 故答案为：x＋2y－3z＝0. 7.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)则实数m的值是 . 解：∵l∥平面ABC， ∴存在实数x，y，使a＝，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴(2，m，1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)， ∴，∴m＝－3.故答案为：－3. 8.在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直 .(填“是”“否”) 解：如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz， 则由AC＝2，BC＝，SB＝，得B(－，2,0)，S(0,0，2)，C(0,2,0)， ＝(0,2，－2)，＝(－，0,0).因为·＝0，所以SC⊥BC.故答案为：是. 1.已知向量a＝(2, －1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A.1 B.－1 C.－3 D.1或－1 解：由题意得a∥b，所以，解得x＝－1.故选：B. 2.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　) A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥ 解：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD. 故选项B成立，选项A和D显然成立.故选：B. 3.已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A.l⊥α B.l∥α C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α 解：因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l⊂α.故选：D. 4.已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A.(－1,0,2) B.(1,0,2) C.(1,0，－2) D.(2,0，－1) 解析　由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0.① ·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，② 联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2).故选：A. 5.如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　　) A.异面直线 B.平行直线 C.垂直不相交 D.垂直且相交 解：设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后，＝(1,0,1), ＝(－1,1,0)， 设＝(a，b，c)，则，取＝(1,1，－1)， ∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－ ，∴∥，∴PQ∥BD1.故选：B. 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A.EF⊥A1D，EF⊥AC B.EF至多与A1D，AC中的一个垂直 C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，∴，， ＝，＝(－1，－1,1)，∴＝－，·＝0，·＝0， 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选：A. 7.已知平面ABC，且A(1,2，－1)，B(2,0，－1)，C(3，－2,1)，则平面ABC的一个法向量为 . 解：＝(1，－2,0)，＝(2，－4,2)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则，令y＝1，得x＝2，z＝0， 故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0).故答案为：(2,1,0)(答案不唯一). 8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论： ①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是 .(填序号) 解：＝＝(0,0,1)，故①正确；＝＝(0,1,1)，故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)，故③正确；向量的坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，∴④错. 故答案为：①②③. 9.若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝ . 解：由题意，知，即，解得：. 所以a＝.故答案为：. 10.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为 . 解：据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2). 设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，∴， 即,可得. ∵|n|＝，∴，解得y＝4或y＝－4. 当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1. 故答案为：(－2,4,1)或(2，－4，－1). 11.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是 . 解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，E，F， ∴＝，设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则. 取y＝1，则z＝1，平面PBC的法向量n＝(0,1,1)，∵＝n，∴∥n， ∴EF⊥平面PBC.故答案为：垂直. 12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 . 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)， ∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，∴＝(－1,0,1). 又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)， ∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴⊥n.故答案为：平行. 13.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量. 解：以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则＝，＝ 向量＝是平面SAB的一个法向量. 设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量， 则解得：. 取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1). 14.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点.求证：平面A1EF∥平面B1MC. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)， 则＝(－1,1,0), ＝(－1,0，－1), ＝(1,0,1), ＝(0，－1，－1)， 设＝λ，＝μ，＝v(λ，μ，v∈R，且均不为0). 设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量， 可得，可得, 即 ,所以可取n1＝(1,1, －1). 由，可得, 即 , 可取n2＝(1,1，－1)， 所以n1＝n2，所以n1∥n2， 所以平面A1EF∥平面B1MC. 15.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°， 求证：平面ADE⊥平面ABE. 证明：取BE的中点O，连接OC，又AB⊥平面BCE， 所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示). 则有C(1,0,0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1,0,1)，A(0，，2). 于是＝(0，－2，－2)，＝(－1，，1). 设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)， 则n·＝(a，b，c)·(0，－2，－2)＝－2b－2c＝0， n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0. 令b＝1，则a＝0，c＝－， 所以n＝(0,1，－). 又AB⊥平面BCE，OC⊂平面BCE， 所以AB⊥OC. 因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABE， 所以OC⊥平面ABE. 所以平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0). 因为n·m＝(0,1，－)·(1,0,0)＝0，所以n⊥m， 所以平面ADE⊥平面ABE. 16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点. (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置. 解：(1)证明：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为a，则 A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a). 设E(0，a，b)(0≤b≤a)， ＝(－a，a，b－a)， ＝(－a，－a，0)， ·＝a2－a2＋(b－a)·0＝0， ∴⊥，即A1E⊥BD. (2)解　设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2). ∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，b)， ∴，即. ，即. x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，) . 由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2， ∴2－＝0，即b＝. ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 知识点一、用空间向量研究距离问题 1.点到直线的距离 （1）直线l外一点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的 定点，P是直线l外一点.设，向量在直线l上投影向量. 在RT△APQ中，有勾股定理，得点P到直线l的距离：. （2）两条平行直线l，m的距离 在直线m上仍取一点P，则该点到另一条直线l的距离即两条平行直线l，m的距离. 2.点到平面的距离 （1）点到平面的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． （2）平行的直线与平面的距离 如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，P，A分别是l和α内的点，则直线l 和平面α之间的距离可转化为点P到平面α的距离，公式为(如图1所示)． 图1 图2 （3）两个平行平面的距离 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，n也是平面β的一个法向量，P，A分 别为平面α和β内的点，则平面α和β之间的距离可转化为点P到平面α的距离，公式为(如图2所示)． 知识点二、用空间向量研究角度问题 1.两条异面直线所成的角：设两异面直线l1，l2所成的角为θ（θ∈（0，]），其方向向量分 别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 2.直线与平面所成的角：设直线AB与平面α所成的角为θ（θ∈[0，]），直线AB的方向向 量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝. 3.平面与平面的夹角：设平面α与平面β的夹角为θ（θ∈[0，]），平面α，β的法向量分别为 n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 题型一：用空间向量研究距离问题 例1.如图，在空间直角坐标系中有长方体，，求点到直线的距离. 解：因为，所以， 所以直线的方向向量. 又， 所以在上的投影长为. 所以点到直线的距离. 例2.如图所示，已知四棱柱是底面边长为的正四棱柱.若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 解设四棱柱的高为，建立如图所示的空间直角坐标系， 有， 则. 设平面的法向量为，则，即， 取，得，所以点到平面的距离为. 解得.故正四棱柱的高为. 跟踪训练： 1.已知在正方体中，分别是的中点，求点到的距离. 解：以点为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图， 设，则，则. ， 在上的投影长为.所以点到的距离. 2.如图，在长方体中，为上一点，已知，，，. （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离. 解：(1)以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，、、的方向为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，，，， 设平面的法向量，由，取，可得， 点到平面的距离. 题型二：用空间向量研究角度问题 例1.如图，在三棱柱中，平面平面，，，且，，求异面直线与所成角的余弦值. 解：以为坐标原点，、的方向为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. ，. . 异面直线与所成角的余弦值为. 例2.如图所示，三棱锥中，平面，，，为上一点，，分别为的中点. (1)证明：； (2)求与平面所成角的大小. 解：(1)证明设，以为原点，射线分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系(如图). 则，，.又，分别为的中点. ，，. ，. . .因此. (2)解：由(1)知，. 设为平面的一个法向量. ，.则， 取，得. 设与平面所成的角为.. 与平面所成角为. 例3.如图，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. (1)证明因为四边形和四边形均为矩形，所以，，又，所以，. 因为， 平面， 所以平面. (2)解因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形为菱形，，又平面，所以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 设棱长为2，因为，所以，，所以，，. 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为. 由，，得，. 取，则，， 所以. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 跟踪训练： 1.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点． (1)求直线A1C与DE所成角的余弦值； (2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值； (3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值． 解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz. (1)A1(0,0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E(a，，0)， ∴＝(a，a，－a)，＝(a，，0)， ∴cos〈，〉＝,故A1C与DE所成角的余弦值为. (2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF， ∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上． 又四边形B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线， 故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1. 由A(0,0,0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)， 得＝(0，－a，0)，＝(a，－a，a)， ∴cos〈，〉＝, 故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为. (3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，E(a，，0)， 则＝(-a，，0)，＝(0，，a)， 平面ABCD的一个法向量为m＝＝(0,0，a)． 设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，由，得. ∴n＝(1,2,1)，∴cos〈n，m〉＝. ∴平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值为. 1.已知,,,则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 解：,,, ,,点到直线的距离为 .故选：A. 2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且满足，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 解：分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则,,.可以求得平面的一个法向量为， 则.故选：C. 3.已知棱长为的正方体，则平面与平面之间的距离为 （ ） A. B. C. D. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,， 所以,,， 设平面的一个法向量为，则即， 解得，故， 显然平面平面，所以平面与平面之间的距离. 故选：D. 4.已知正方体的棱长为，分别是的中点，则点到平面的距离为 . 解：建系如图， 则,,,，所以，,， 设是平面的法向量， 点到平面的距离为，则，所以，所以，令， 此时，所以，即点到平面的距离为.故答案为：. 5.已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 解：设与所成的角为，且，则，. 故选：B. 6.直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解：如图所示，以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则,,,， 故,，所以. 故选：C. 7.正方体中，与平面所成角的正弦值为 . 解：设正方体的棱长为，建立直角坐标系如图， 则,,.平面的一个法向量为. 又，则.故答案为：. 8.若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解：设与所成的角为，则， 故直线与所成角的余弦值为.故选：D. 1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则平面外一点P(－2,1,4)到α的距离为(　 ) A．10 B．3 C. D. 解：＝(1,2，－4)，则点P到α的距离d＝.故选：D. 2.已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解：∵＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)， ∴cos〈，〉＝, ∴直线AB，CD所成角的余弦值为.故选：A. 3.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是(　　) A.a B.a C.a D.a 解：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图． 则＝(a，a，a)，＝(0，a，a)， 由于AC1⊥平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离d＝a.故选：D. 4.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解：如图所示，建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)，取PD的中点E，则E， ∴＝，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量， ∴cos〈，〉＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.故选：C. 5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A. B. C. D. 解：建立空间直角坐标系如图所示， 则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)，设∠ABE＝θ，则cos θ＝， sin θ＝.故A到直线BE的距离d＝||sin θ＝2×＝.故选：C. 6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解：不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，则＝(－2,2,1)，＝(0，－2,1)， 所以cos〈，〉＝＝ ＝－.所以所求角的余弦值为. 故选：D. 7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为(　　) A. B. C. D. 解：如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B1(2,2,4)， ∴＝(－2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2，－2,0)． 设平面AD1C的法向量为n＝(x，y，z)， 则，即，取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2,2,1)， 所以点B1到平面AD1C的距离为，故选A. 8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为 ． 解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2,1)， 所以，||＝，所以点D1到直线GF的距离为. 故答案为：. 9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ． 解：如图所示，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)， ∴＝(－2,0,1)．连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D， ∴平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2,2,0)． ∴所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝.故答案为：. 10.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为 ． 解：以AB的中点O为坐标原点，分别以OE，OB所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2).＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)， 设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则，即, 令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝. 故答案为：. 11.在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为 ． 解：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，则＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)． 设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则，即. 取a＝1，得n＝(1,0,1)，又＝(2,0,0)，所以d＝＝.故答案为：. 12.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若BB1＝，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为 ． 解：取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1,0)，B1(，0,2)，C(0,1,0)，所以＝(，1,2)， ＝(0，－2,0)．∴·＝－2， ∴在上的投影的长度为， 所以点C到直线AB1的距离d＝.故答案为：. 13.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为 ． 解：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝1，则A，B，D. 所以＝，＝，＝ 由于＝平面BCD的一个法向量． 设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)， 则，即. 取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)， 所以cos〈n，〉＝.故答案为：. 14.如图，正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， (1)证明：平面AMN∥平面EFBD； (2)求平面AMN与平面EFBD间的距离． 解：（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)． 从而＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)， 所以＝，＝，所以EF∥MN，AM∥BF. 因为EF∩BF＝F，MN∩AM＝M， 所以平面AMN∥平面EFBD. （2）解：设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而，即. 取z＝1，得x=2，y=－2，得n＝(2，－2,1)，由于＝(0,4,0)， 所以两平行平面间的距离d＝ . 15.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点； （1）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （2）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 解：（1）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， ∴（2，0，﹣4），（0，2，4）， ∴cos， ∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：； （2）由（I）知，（2，0，﹣4），（1，1，0）， 设平面C1AD的法向量为（x，y，z）， 则可得，即，取x＝1可得（1，﹣1，）， 设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ＝|cos，| ∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：． 16.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D． （1）求证：A1C⊥平面AEF； （2）当AD＝3，AB＝4，AA1＝5时，求平面AEF与平面D1B1BD的夹角的余弦值． 解：（1）证明：因为， 所以A1C⊥AE， 因为， 所以A1C⊥AF， 又AE∩AF＝A，故A1C⊥平面AEF； （2）以点D为原点，分别以直线DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面DBB1D1的法向量为， 则， 解得z＝0， 令x＝4，则y＝﹣3，所以， 由（1）知是平面AEF的一个法向量，所以，设平面AEF和平面D1B1BD的夹角为θ， 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点一、空间中点、直线、平面的向量表示 1.点的位置向量 如图所示，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 2.直线的方向向量 （1）用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点. （2）直线的向量表示的形式 点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，则 ①如图所示，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即. ②如图所示，取空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，也可表示为：. 3.空间中平面的向量表示形式 （1）平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使. 我们把该式称为空间平面ABC的向量表示式. （2）平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点二、空间中直线、平面的平行 1.线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2.线面平行的向量表示 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3.面面平行的向量表示 设n1 ，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点三、空间中直线、平面的垂直 1.线线垂直的向量表示 设u1，u2分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2.线面垂直的向量表示 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3.面面垂直的向量表示 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 题型一：求直线的方向向量 例1.（多选）若A（-1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则以下向量可作为直线l的一个方向向量的是（ ） A. B. C. D. 例2.已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 跟踪训练： 1.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线 BC1 的一个方向向量为 . 2.(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 3.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长＝34，则B点的坐标为(　　) A.(18,17，－17) B. (－14，－19,17) C. D. 题型二：求平面的法向量 例1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，分别求平面和平面的一个法向量. 跟踪训练： 1.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A.(1,1，－1) B.(1，－1,1) C.(－1,1,1) D.(－1，－1，－1) 2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量. 题型三：利用空间向量研究直线、平面的平行 例1.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点. 求证：. 例2.如图，在正方体中，、分别为，的中点. 求证：平面. 例3.已知正方体的棱长为2，分别是的中点. 求证：平面. 跟踪训练： 1.在长方体中，，点在棱上，且，点在上，且，点分别为的中点.求证：. 2.在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，是的中点.证明：. 3.已知正方体.求证：平面平面. 题型四：利用空间向量研究直线、平面的垂直 例1.如图，和所在平面互相垂直，且，，分别为的中点.求证：. 例2.如图1-4-19，在正方体中，分别是的中点.求证：平面. 例3.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，且，是的中点. 求证：平面平面. 跟踪训练： 1.如图，在直三棱柱中，点在棱上，分别是的中点，，. 求证：. 2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，求证：平面. 3.在正方体中，分别是的中点.求证：平面平面. 1.若A( －1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A.(2,1,3) B.(1,3,2) C.(1,2,3) D.(3,2,1) 2.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2 ，则(　　) A.x＝6，y＝ B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝15 3.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A.－4 B.4 C.－5 D.5 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程(　　) A.z－1＝0 B.2y－z－1＝0 C.2y－z－2＝0 D.y－z＝0 5.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A.a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) 6.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 . 7.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)则实数m的值是 . 8.在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直 .(填“是”“否”) 1.已知向量a＝(2, －1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A.1 B.－1 C.－3 D.1或－1 2.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　) A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥ 3.已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A.l⊥α B.l∥α C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α 4.已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A.(－1,0,2) B.(1,0,2) C.(1,0，－2) D.(2,0，－1) 5.如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　　) A.异面直线 B.平行直线 C.垂直不相交 D.垂直且相交 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A.EF⊥A1D，EF⊥AC B.EF至多与A1D，AC中的一个垂直 C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 7.已知平面ABC，且A(1,2，－1)，B(2,0，－1)，C(3，－2,1)，则平面ABC的一个法向量为 . 8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论： ①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是 .(填序号) 9.若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝ . 10.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为 . 11.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是 . 12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 . 13.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量. 14.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点.求证：平面A1EF∥平面B1MC. 15.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°， 求证：平面ADE⊥平面ABE. 16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点. (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置. 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 知识点一、用空间向量研究距离问题 1.点到直线的距离 （1）直线l外一点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的 定点，P是直线l外一点.设，向量在直线l上投影向量. 在RT△APQ中，有勾股定理，得点P到直线l的距离：. （2）两条平行直线l，m的距离 在直线m上仍取一点P，则该点到另一条直线l的距离即两条平行直线l，m的距离. 2.点到平面的距离 （1）点到平面的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． （2）平行的直线与平面的距离 如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，P，A分别是l和α内的点，则直线l 和平面α之间的距离可转化为点P到平面α的距离，公式为(如图1所示)． 图1 图2 （3）两个平行平面的距离 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，n也是平面β的一个法向量，P，A分 别为平面α和β内的点，则平面α和β之间的距离可转化为点P到平面α的距离，公式为(如图2所示)． 知识点二、用空间向量研究角度问题 1.两条异面直线所成的角：设两异面直线l1，l2所成的角为θ（θ∈（0，]），其方向向量分 别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 2.直线与平面所成的角：设直线AB与平面α所成的角为θ（θ∈[0，]），直线AB的方向向 量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝. 3.平面与平面的夹角：设平面α与平面β的夹角为θ（θ∈[0，]），平面α，β的法向量分别为 n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 题型一：用空间向量研究距离问题 例1.如图，在空间直角坐标系中有长方体，，求点到直线的距离. 例2.如图所示，已知四棱柱是底面边长为的正四棱柱.若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 跟踪训练： 1.已知在正方体中，分别是的中点，求点到的距离. 2.如图，在长方体中，为上一点，已知，，，. （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离. 题型二：用空间向量研究角度问题 例1.如图，在三棱柱中，平面平面，，，且，，求异面直线与所成角的余弦值. 例2.如图所示，三棱锥中，平面，，，为上一点，，分别为的中点. (1)证明：； (2)求与平面所成角的大小. 例3.如图，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 跟踪训练： 1.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点． (1)求直线A1C与DE所成角的余弦值； (2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值； (3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值． 1.已知,,,则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且满足，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 3.已知棱长为的正方体，则平面与平面之间的距离为 （ ） A. B. C. D. 4.已知正方体的棱长为，分别是的中点，则点到平面的距离为 . 5.已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6.直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7.正方体中，与平面所成角的正弦值为 . 8.若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则平面外一点P(－2,1,4)到α的距离为(　 ) A．10 B．3 C. D. 2.已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 3.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是(　　) A.a B.a C.a D.a 4.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A. B. C. D. 6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为(　　) A. B. C. D. 8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为 ． 9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ． 10.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为 ． 11.在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为 ． 12.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若BB1＝，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为 ． 13.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为 ． 14.如图，正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， (1)证明：平面AMN∥平面EFBD； (2)求平面AMN与平面EFBD间的距离． 15.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点； （1）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （2）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 16.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D． （1）求证：A1C⊥平面AEF； （2）当AD＝3，AB＝4，AA1＝5时，求平面AEF与平面D1B1BD的夹角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $