第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选择性必修第一册）

第04讲 空间向量及运算的坐标表示 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间直角坐标系及点的坐标 知识点02：空间向量的坐标 知识点03：空间向量运算的坐标表示 知识点04：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 知识点05：夹角和距离的计算 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：空间向量的坐标运算 题型02：空间向量模长的坐标表示 题型03：空间向量平行的坐标表示 题型04：空间向量垂直的坐标表示 题型05：空间向量夹角余弦的坐标表示 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3．在空间直角坐标系Oxyz中， i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 注意点： (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 【例1】写出空间直角坐标系中，点在平面、点在轴上，已知，，求的值。 解：根据空间坐标特征：平面内所有点竖坐标，故； 轴上所有点横坐标、纵坐标均为0，竖坐标任意，故可取任意实数； 答案：， 【知识点02】空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 【例2】已知空间两点，，求向量与的坐标。 解：由空间向量坐标公式：终点坐标减起点坐标 反向向量坐标互为相反数： 答案：， 【知识点03】空间向量运算的坐标表示 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 【例3】已知，，求、、。 解： 答案：，， 【知识点04】空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0. 【例4】已知向量，，(1)若，求；(2)若，求。 解：(1) 两向量平行 由共线坐标关系：，解得 (2) 两向量垂直 由垂直数量积为0： 化简：，解得 答案：平行时；垂直时 【知识点05】夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝ . 2．空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 【例5】已知，，求向量的模长，以及与夹角的余弦值。 解：求： 计算数量积与： 求夹角余弦： 答案：，（两向量互相垂直） 【题型01】空间向量的坐标运算 【典例1-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 【典例1-2】（25-26高二上·广西玉林·期末）已知点，，若，则点的坐标是______. 【答案】 【分析】利用空间向量坐标运算求解即可. 【详解】由点，，得，则， 所以点的坐标是. 故答案为： 【典例1-3】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 【变式1-1】（多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量的坐标表示一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 【变式1-2】已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 【变式1-3】（25-26高二上·浙江·期中）已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得 ，再由数量积得不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 得 （2） 因为，所以. 解得：或. 【题型02】空间向量模长的坐标表示 【典例2-1】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的模长公式运算求解即可. 【详解】因为空间向量，所以. 故选：B. 【典例2-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知_______ 【答案】5 【分析】根据向量坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】， 则. 故答案为：5. 【典例2-3】（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）(多选)已知向量，，，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】BC 【分析】由向量坐标，写出坐标，由向量模长公式建立等式，求得的值. 【详解】∵，，∴. ∵， ∴.∴，解得或. 故选：BC. 【变式2-2】已知点，若，求. 【答案】 【分析】先求得的坐标，然后求得. 【详解】设是空间坐标原点， 所以， 所以， 所以， 所以. 【变式2-3】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||. 【答案】 【分析】利用空间向量法求向量的模长得到结果. 【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点， 则有 ，，，，，，，， . 【题型03】空间向量平行的坐标表示 【典例3-1】（25-26高二上·广西玉林·期末）设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可. 【详解】向量，，由，得，解得， 所以. 故选：C 【典例3-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______． 【答案】2 【详解】由直线，得，解得，所以． 【典例3-3】（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 【变式3-1】（多选）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 【变式3-2】（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）已知空间中三点，设，求证：向量与向量平行. 【答案】证明见解析. 【分析】应用向量的坐标表示写出的坐标，再判断它们的线性关系，即可证明. 【详解】由 所以，故向量与向量平行，得证. 【变式3-3】已知空间三点.设，，若向量与互相平行，求k的值． 【答案】±1 【分析】根据空间向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】根据题意可得：， ∴. ∵向量与互相平行，， ∴， 即. ∴， ∴或. ∴k的值为1或-1． 【题型04】空间向量垂直的坐标表示 【典例4-1】（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 【典例4-2】（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 【典例4-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 【答案】6 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算可求得实数k的值. 【详解】由题可知，. 因为，所以，所以，解得． 故答案为：. 【变式4-1】已知平面与平面平行，平面的一个法向量为为内的一条直线，则的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由向量垂直的数量积为零计算即可； 【详解】由题意，平面与平面平行，所以平面的一个法向量也是平面的法向量， 又为内的一条直线，所以法向量与指向的方向向量垂直， 对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确； 故选：BD. 【变式4-2】（25-26高二上·全国·随堂练习）已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得. （2）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 【变式4-3】（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）已知空间中三点，设． (1)求以为一组邻边的平行四边形的面积． (2)若与互相垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得向量，夹角的余弦，进而求得其正弦，根据三角形面积公式求得答案. （2）利用（1）求得与的坐标，利用向量的数量积可求得实数的值． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 所以； （2）由（1）可得， ， 因为与互相垂直，所以， 整理得，解得. 【题型05】空间向量夹角余弦的坐标表示 【典例5-1】（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求______． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【详解】由题意得，， 所以. 故答案为： 【典例5-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是______. 【答案】 【分析】根据与不共线，且数量积小于0列式求解. 【详解】若，则 ； 由 . 所以与夹角是钝角，可得. 故答案为： 【典例5-3】（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   【变式5-1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    【变式5-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，，． (1)若，求； (2)求． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标运算列方程求解即可； （2）根据向量夹角坐标公式直接求解即可. 【详解】（1）因为向量，，且， 所以，解得，. （2）由向量，， 得. 【变式5-3】（25-26高二上·广东清远·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)求的坐标； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算求解； （2）根据空间向量的夹角公式求解. 【详解】（1）因为空间中三点，， 所以，， 所以. （2）. 知识点01 空间直角坐标系及点的坐标 1. 坐标系构成 在空间中，以原点为公共顶点，作三条两两垂直、单位长度相同的数轴轴、轴、轴，遵循右手螺旋定则，构成空间直角坐标系。 2. 空间点的坐标 空间内任意一点，对应唯一有序实数组，记作。 3. 特殊位置点坐标规律（必背） 平面： 平面： 平面： 轴： 轴： 轴： 原点： 知识点02 空间向量的坐标 1. 向量坐标基底 取与坐标轴同向的单位正交基底：，任意空间向量可表示为： 2. 空间向量坐标计算公式（核心） 已知空间两点，，则向量坐标： 口诀：终点坐标 减 起点坐标 3. 特殊向量坐标 零向量： 相反向量：若，则 知识点03 空间向量运算的坐标表示 设向量，，，所有坐标运算公式如下： 向量加法： 向量减法： 数乘向量： 向量数量积： 关键提醒：向量加减、数乘结果依旧是向量；数量积运算结果为实数，不是向量 知识点04 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设非零空间向量， 1. 向量平行（共线） 坐标等价关系： （分母不为0，分母为0时对应分子也为0） 2. 向量垂直 坐标等价关系： 知识点05 夹角和距离的计算 1. 向量模长公式 2. 空间向量夹角公式 设两向量夹角为，范围： 3. 空间两点间距离公式 已知，，则两点距离： 本节核心易混易错点（考前必看） 1.向量坐标务必终点减起点，切勿写反 2.空间向量夹角范围，区别于异面直线夹角范围 3.向量平行坐标比例式，出现分母为0时，必须对应分子也为0，不可直接约分 4.数量积是实数，不能和向量直接进行加减运算 5.平面向量坐标运算规则可直接迁移到空间向量，仅多一组坐标 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若，则（   ） A．5 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【详解】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 4．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 5．（25-26高二上·吉林·期中）已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 6．（25-26高二上·广东广州·期中）已知空间三点，，.则以，为邻边的平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标表示及运算结合三角形面积公式计算即可. 【详解】易知, 所以，则， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：C 7．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 8．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量线性运算，垂直，平行，数量积坐标表示可判断各选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若，则存在实数，使，则，方程无解，从而与不平行，故B错误； 对于C，,，则，又,均不是零向量，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 10．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 11. （25-26高二上·浙江杭州·期中）如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】建系，确定各个向量坐标，结合向量模长公式，相等向量和相反向量、向量坐标运算逐个判断即可. 【详解】 以为原点，分别以为轴建系，如图： 则， 对于A： ，模长，A正确. 对于B： ，是相等向量，B正确. 对于C： ， 而 ，C错误. 对于D： ，，因此， D正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，若，则______. 【答案】 【详解】由题设，则，可得，可得. 13．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 14．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 四、解答题 15．（23-24高二上·山东聊城·阶段检测）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【答案】. 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    16．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由空间向量的坐标表示中加减法的运算即可求得向量的坐标，再使用模长计算公式即可求得； （2）同（1）中的加减法运算，先分别计算和的坐标，由可得，再使用空间向量的坐标表示中数量积的运算即可求得的值. 【详解】（1）已知，． 设，则， 则有，解得，即， 则. 故，. （2）由（1）得，又，， 则，， 由得， 即，解得， 故的值为. 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积公式计算得到答案； （2）计算出的坐标，进而得到模长； （3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得，. （2），则. （3），则. 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 19．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【分析】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【详解】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间向量及运算的坐标表示 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间直角坐标系及点的坐标 知识点02：空间向量的坐标 知识点03：空间向量运算的坐标表示 知识点04：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 知识点05：夹角和距离的计算 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：空间向量的坐标运算 题型02：空间向量模长的坐标表示 题型03：空间向量平行的坐标表示 题型04：空间向量垂直的坐标表示 题型05：空间向量夹角余弦的坐标表示 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3．在空间直角坐标系Oxyz中， i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 注意点： (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 【例1】写出空间直角坐标系中，点在平面、点在轴上，已知，，求的值。 【知识点02】空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 【例2】已知空间两点，，求向量与的坐标。 【知识点03】空间向量运算的坐标表示 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 【例3】已知，，求、、。 【知识点04】空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0. 【例4】已知向量，，(1)若，求；(2)若，求。 【知识点05】夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝ . 2．空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 【例5】已知，，求向量的模长，以及与夹角的余弦值。 【题型01】空间向量的坐标运算 【典例1-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高二上·广西玉林·期末）已知点，，若，则点的坐标是______. 【典例1-3】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，. (1)求的值； (2). 【变式1-3】（25-26高二上·浙江·期中）已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【题型02】空间向量模长的坐标表示 【典例2-1】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D．4 【典例2-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知_______ 【典例2-3】（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）(多选)已知向量，，，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2-2】已知点，若，求. 【变式2-3】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||. 【题型03】空间向量平行的坐标表示 【典例3-1】（25-26高二上·广西玉林·期末）设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【典例3-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______． 【典例3-3】（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）已知空间中三点，设，求证：向量与向量平行. 【变式3-3】已知空间三点.设，，若向量与互相平行，求k的值． 【题型04】空间向量垂直的坐标表示 【典例4-1】（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【典例4-2】（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【典例4-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 【变式4-1】已知平面与平面平行，平面的一个法向量为为内的一条直线，则的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·全国·随堂练习）已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 【变式4-3】（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）已知空间中三点，设． (1)求以为一组邻边的平行四边形的面积． (2)若与互相垂直，求实数的值． 【题型05】空间向量夹角余弦的坐标表示 【典例5-1】（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求______． 【典例5-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是______. 【典例5-3】（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，，． (1)若，求； (2)求． 【变式5-3】（25-26高二上·广东清远·阶段检测）已知空间中三点，，. (1)求的坐标； (2)求的值. 知识点01 空间直角坐标系及点的坐标 1. 坐标系构成 在空间中，以原点为公共顶点，作三条两两垂直、单位长度相同的数轴轴、轴、轴，遵循右手螺旋定则，构成空间直角坐标系。 2. 空间点的坐标 空间内任意一点，对应唯一有序实数组，记作。 3. 特殊位置点坐标规律（必背） 平面： 平面： 平面： 轴： 轴： 轴： 原点： 知识点02 空间向量的坐标 1. 向量坐标基底 取与坐标轴同向的单位正交基底：，任意空间向量可表示为： 2. 空间向量坐标计算公式（核心） 已知空间两点，，则向量坐标： 口诀：终点坐标 减 起点坐标 3. 特殊向量坐标 零向量： 相反向量：若，则 知识点03 空间向量运算的坐标表示 设向量，，，所有坐标运算公式如下： 向量加法： 向量减法： 数乘向量： 向量数量积： 关键提醒：向量加减、数乘结果依旧是向量；数量积运算结果为实数，不是向量 知识点04 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设非零空间向量， 1. 向量平行（共线） 坐标等价关系： （分母不为0，分母为0时对应分子也为0） 2. 向量垂直 坐标等价关系： 知识点05 夹角和距离的计算 1. 向量模长公式 2. 空间向量夹角公式 设两向量夹角为，范围： 3. 空间两点间距离公式 已知，，则两点距离： 本节核心易混易错点（考前必看） 1.向量坐标务必终点减起点，切勿写反 2.空间向量夹角范围，区别于异面直线夹角范围 3.向量平行坐标比例式，出现分母为0时，必须对应分子也为0，不可直接约分 4.数量积是实数，不能和向量直接进行加减运算 5.平面向量坐标运算规则可直接迁移到空间向量，仅多一组坐标 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若，则（   ） A．5 B．2 C．1 D． 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 5．（25-26高二上·吉林·期中）已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东广州·期中）已知空间三点，，.则以，为邻边的平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 10．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 11. （25-26高二上·浙江杭州·期中）如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，若，则______. 13．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 14．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 四、解答题 15．（23-24高二上·山东聊城·阶段检测）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    16．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 19．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $