专题04 不等式性质与基本不等式（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学不等式性质与基本不等式核心内容，以实数大小关系基本事实为起点，系统梳理不等式8条基本性质，衔接算术与几何平均数定义，构建基本不等式“一正二定三相等”使用框架，延伸至积定求和最小、和定求最大两类基础题型，进阶拓展权方和、柯西不等式等工具，形成从基础到培优的学习支架。 该资料通过易错点汇总、易混对比表强化数学思维，设置实际应用题（如垃圾池造价）引导学生用数学眼光抽象现实问题，题型分层覆盖直接法、换元法等，课中助力教师高效授课，课后通过巩固训练帮助学生查漏补缺，提升问题解决与模型构建能力。

专题04 不等式性质与基本不等式 重点目标： 1. 掌握实数大小关系基本事实，熟记不等式 8 条基本性质，能正确进行不等式变形、作差比较代数式大小. 2. 理解算术平均数、几何平均数教材定义，牢记基本不等式，掌握 “一正、二定、三相等” 使用条件. 3. 熟练运用基本不等式解决积定求和最小、和定求最大两类基础最值题型，会简单配凑和、积定值. 4. 会利用不等式性质证明简单整式、分式不等式，能完成作差比较大小基础题型. 5. 掌握基本不等式实际应用，根据面积、成本、用料等情境建立变量关系求解最值. 难点目标： 1. 准确区分不等式乘除符号变化规则，含参数不等式分类讨论正负，避免不等号方向出错. 2. 灵活拆项、换元配凑定值，处理复合型分式、一次组合代数式最值；能识别等号取不到并切换二次函数解法. 3. 掌握负数变量的转化技巧，通过换元转为正数后使用基本不等式，最后还原最值符号. 4. 培优拓展层面，掌握二维权方不等式、二维柯西不等式结构、等号条件，用于快速求解分式最值、证明不等式. 5. 综合不等式性质、基本不等式、权方和不等式、柯西不等式完成多约束条件证明与含参压轴最值题. 1、 重点知识 （一）实数大小与不等式基本性质 1. 实数大小基本事实： ；； 核心方法：作差比较法，用于任意两个代数式比大小. 2. 不等式 8 条基本性质： ① 对称性： ② 传递性： ③ 可加性： ④ 可乘性：； ⑤ 同向可加： ⑥ 同向同正可乘： ⑦ 正数乘方： ⑧ 正数开方： （二）基本不等式 1. 算术平均数、几何平均数 正数，叫做的算术平均数；叫做的几何平均数. 2. 基本不等式：时，，当且仅当时取等. 3. 两大基础最值模型 ① 和定积最大：（定值），，取最大值； ② 积定和最小：（定值），，取最小值. 4. 使用三要素：一正、二定、三相等. 2、 难点知识 （一）不等式性质易错难点 · 乘除符号陷阱：两边同乘负数必须反转不等号；含参乘数分讨论. · 同向不等式只能相加，不能相减：只能推出，无. · 乘方、开方、同向相乘仅对正数成立，负数不适用. （二）基本不等式运算难点 1. 配凑定值技巧：拆系数、换元构造和 / 积定值（例，）. 2. 等号取不到补救：定义域无法满足时，改用二次函数单调性求最值. 3. 负变量处理：，令转化为正数再计算，最后还原最值. （三）拓展两类不等式 1. 二维权方和不等式 · 标准形式：，则 · 等号成立条件：. · 适用场景：分子二次、分母一次的分式求和最小值问题，是常规基本不等式难以配凑题型的快速解法. · 示例：，求最小值，已知，直接套用权方和快速求解. 2. 二维柯西不等式 · 标准形式：，； · 等号成立条件：（两组数对应成比例）. · 适用场景：已知平方和求线性式最值、已知线性式求平方和最小值、多约束不等式证明. · 示例：. 3. 均值不等式链 正数：调和平均几何平均算术平均平方平均； 链内所有不等式等号均在时取得. （四）易混对比汇总 不等式类型 适用范围 核心作用 等号条件 基本不等式 和、积互求常规最值 二维权方和 分式型二次分子求和最小值 二维柯西不等式 全体实数 平方与线性式互求最值 （五）高频失分点汇总 · 不等式两边同乘负数，忘记翻转不等号； · 使用基本不等式忽略变量为负，不做换元转化； · 求出最值不验证等号能否取到，直接写答案； · 配凑定值时系数拆分错误，无法构造和 / 积定值； · 权方和、柯西不等式乱用，忽略正数限制、等号成立条件； · 实际应用题忽略变量正数约束，解不符合题意. 题型01 不等式性质的应用 角度1：利用不等式性质判断命题的真假 【典例】下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【变式】若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 角度2：作差（商）法比较两个数（式）的大小 【典例】（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 【变式】已知，试比较与的大小. 角度3：利用不等式性质求代数式的取值范围 【典例】已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【变式】已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 题型02 · 基本不等式求最值 角度1：直接法求最值 【典例1】下列函数的最值中错误的是（   ） A．已知的最大值是 B．的最大值为5 C．已知的最小值为3 D．的最小值为2 【典例2】已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【变式2】若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 角度2：条件等式求最值（无分式型） 【典例】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【变式】已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 角度3：直乘法求最值（分式型） 【典例1】已知，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【典例2】已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式1】已知，则的最小值为_______. 【变式2】已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 角度4：换元后再用直乘法求最值 【典例1】已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【变式】已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 角度4：齐次化求最值 【典例】已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式】已知，，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．18 D．20 角度5：消元法求最值 【典例】已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式】已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．13 C． D．15 题型03 · 柯西不等式和权方和不等式求最值 【典例1】柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为__. 【典例2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【变式1】（2024·湖北黄冈·模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____. 题型04 · 不等式综合题 【典例1】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【典例2】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式1】设正实数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是（   ） A．8 B．6 C． D． 【变式2】某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【巩固训练】 1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 2. 对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3. 若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5. （多选）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6. （多选）已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 7. 若，则的最小值为____________． 8. 若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． 9. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为___________ 10. 某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【强化训练】 1. 若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2. 已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 4. 已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 5. 已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6. （多选）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 7. 已知，且，则的最小值为__________. 8. 求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 9. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 10. 当已知变量满足某个常数等式时，将目标表达式中的常数替换，构造出可使用基本不等式的形式，进而求解最值，是解决最值问题时常用的一种方法． 例：已知，且，求的最小值． 解：，当且仅当，即时，等号成立． 学习上述解法，解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值； (2)若均为正实数，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求的最大值，并求取得最大值时的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 不等式性质与基本不等式 重点目标： 1. 掌握实数大小关系基本事实，熟记不等式 8 条基本性质，能正确进行不等式变形、作差比较代数式大小. 2. 理解算术平均数、几何平均数教材定义，牢记基本不等式，掌握 “一正、二定、三相等” 使用条件. 3. 熟练运用基本不等式解决积定求和最小、和定求最大两类基础最值题型，会简单配凑和、积定值. 4. 会利用不等式性质证明简单整式、分式不等式，能完成作差比较大小基础题型. 5. 掌握基本不等式实际应用，根据面积、成本、用料等情境建立变量关系求解最值. 难点目标： 1. 准确区分不等式乘除符号变化规则，含参数不等式分类讨论正负，避免不等号方向出错. 2. 灵活拆项、换元配凑定值，处理复合型分式、一次组合代数式最值；能识别等号取不到并切换二次函数解法. 3. 掌握负数变量的转化技巧，通过换元转为正数后使用基本不等式，最后还原最值符号. 4. 培优拓展层面，掌握二维权方不等式、二维柯西不等式结构、等号条件，用于快速求解分式最值、证明不等式. 5. 综合不等式性质、基本不等式、权方和不等式、柯西不等式完成多约束条件证明与含参压轴最值题. 1、 重点知识 （一）实数大小与不等式基本性质 1. 实数大小基本事实： ；； 核心方法：作差比较法，用于任意两个代数式比大小. 2. 不等式 8 条基本性质： ① 对称性： ② 传递性： ③ 可加性： ④ 可乘性：； ⑤ 同向可加： ⑥ 同向同正可乘： ⑦ 正数乘方： ⑧ 正数开方： （二）基本不等式 1. 算术平均数、几何平均数 正数，叫做的算术平均数；叫做的几何平均数. 2. 基本不等式：时，，当且仅当时取等. 3. 两大基础最值模型 ① 和定积最大：（定值），，取最大值； ② 积定和最小：（定值），，取最小值. 4. 使用三要素：一正、二定、三相等. 2、 难点知识 （一）不等式性质易错难点 · 乘除符号陷阱：两边同乘负数必须反转不等号；含参乘数分讨论. · 同向不等式只能相加，不能相减：只能推出，无. · 乘方、开方、同向相乘仅对正数成立，负数不适用. （二）基本不等式运算难点 1. 配凑定值技巧：拆系数、换元构造和 / 积定值（例，）. 2. 等号取不到补救：定义域无法满足时，改用二次函数单调性求最值. 3. 负变量处理：，令转化为正数再计算，最后还原最值. （三）拓展两类不等式 1. 二维权方和不等式 · 标准形式：，则 · 等号成立条件：. · 适用场景：分子二次、分母一次的分式求和最小值问题，是常规基本不等式难以配凑题型的快速解法. · 示例：，求最小值，已知，直接套用权方和快速求解. 2. 二维柯西不等式 · 标准形式：，； · 等号成立条件：（两组数对应成比例）. · 适用场景：已知平方和求线性式最值、已知线性式求平方和最小值、多约束不等式证明. · 示例：. 3. 均值不等式链 正数：调和平均几何平均算术平均平方平均； 链内所有不等式等号均在时取得. （四）易混对比汇总 不等式类型 适用范围 核心作用 等号条件 基本不等式 和、积互求常规最值 二维权方和 分式型二次分子求和最小值 二维柯西不等式 全体实数 平方与线性式互求最值 （五）高频失分点汇总 · 不等式两边同乘负数，忘记翻转不等号； · 使用基本不等式忽略变量为负，不做换元转化； · 求出最值不验证等号能否取到，直接写答案； · 配凑定值时系数拆分错误，无法构造和 / 积定值； · 权方和、柯西不等式乱用，忽略正数限制、等号成立条件； · 实际应用题忽略变量正数约束，解不符合题意. 题型01 不等式性质的应用 角度1：利用不等式性质判断命题的真假 【典例】下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 【变式】若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 根据不等式的性质 则，，A、B错误； ，所以，C正确； ，所以，D错误. 故选：C 角度2：作差（商）法比较两个数（式）的大小 【典例】（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）， 所以. （2）证明： 因为，，， 所以，， 所以原式大于0， 即. 【变式】已知，试比较与的大小. 【答案】 【详解】， ，. 两数作商 ， . 角度3：利用不等式性质求代数式的取值范围 【典例】已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 【变式】已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于， 将两不等式相加可得； （2）由，得， 结合，可得， 即； （3）设， 则，解得， 故， 由于，故， 故， 即. 题型02 · 基本不等式求最值 角度1：直接法求最值 【典例1】下列函数的最值中错误的是（   ） A．已知的最大值是 B．的最大值为5 C．已知的最小值为3 D．的最小值为2 【答案】D 【详解】对于A，由，所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以的最大值为，故A正确； 对于B， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，当，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，故D错误； 故选：D. 【典例2】已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 【变式1】设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 【变式2】若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 角度2：条件等式求最值（无分式型） 【典例】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 【变式】已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 角度3：直乘法求最值（分式型） 【典例1】已知，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【典例2】已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】已知，且，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 【变式1】已知，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 【变式2】已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由，所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：C 角度4：换元后再用直乘法求最值 【典例1】已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，所以， 设， 则，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 【变式】已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】令, 因，，满足，则，即 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是. 故选：C 角度4：齐次化求最值 【典例】已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：D. 【变式】已知，，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．18 D．20 【答案】C 【分析】利用常数代换，凑齐次，即可利用基本不等式先求得相关的最小值，再配凑利用基本不等式求得相关的最小值即可. 【详解】因为，，，，所以， 当且仅当，时等号成立， 所以原式， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 角度5：消元法求最值 【典例】已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得. 【详解】由正实数，满足，所以，. ， 当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：C. 【变式】已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．13 C． D．15 【答案】B 【分析】根据基本不等式的性质，以及换元法求出结果即可. 【详解】由可得， 因为，所以，即， 代入得， 根据基本不等式性质得， 当且仅当，即时等式成立，所以的最小值是. 故选：B. 题型03 · 柯西不等式和权方和不等式求最值 【典例1】柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为__. 【答案】 【详解】由，得，即， 由，得， 则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此， 当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 【典例2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【分析】根据权方和不等式求解即可. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 【变式1】（2024·湖北黄冈·模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得： ， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 【变式2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____. 【答案】52 【详解】因为 ， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为：. 题型04 · 不等式综合题 【典例1】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 【典例2】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 【变式1】设正实数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】原问题转化为恒成立，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 故选：D. 【变式2】某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则 ， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得， 对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 【巩固训练】 1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，请工人满足的关系式是， 即. 故选：D 2. 对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，由，取，，，则不成立，故A错误； 对于B，由，取，，则不成立，故B错误； 对于C，当时，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，故，则，故D正确． 故选：D． 3. 若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 4. 若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 5. （多选）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A选项；当时，，即， 而当时，，故A选项不是恒成立； B选项；当，时，则，当且仅当时等号成立， 而当，时，则，，则，故B选项不是恒成立； C选项；当，时，则，当，时，则，，所以，故C选项不恒成立； D选项：因为，则，，由基本不等式，当且仅当 时取等号，故D选项恒成立； 故选：ABC. 6. （多选）已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用求出最小值判断AC；利用二次函数求出最小值判断B；利用一元二次方程判别式求出最大值判断D. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， 则 ，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，因为， 则 ， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，令，则，而，于是， 由关于的一元二次方程有解，得， 解得，则， 即取得最大值，此时，D正确. 故选：AD 7. 若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】 ， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 8. 若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． 【答案】－4 【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】∵当时，恒成立， ∴恒成立， 又当时，，当且仅当x＝2时取等号． ∴， ∴，故a的最小值为－4. 故答案为：. 9. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为___________ 【答案】. 【详解】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 10. 某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9平方米. (2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【分析】（1）由，结合一元二次不等式求解即可； （2）由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【强化训练】 1. 若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 2. 已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由基本不等式证明充分性，取特殊值说明不满足必要性，即可求解. 【详解】当时，，则“”是“”的充分条件； 当，取，则，则“”不是“”的必要条件； 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 4. 已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式得，结合条件求解. 【详解】由，，得， 又，即， 令，上式为，解得或（舍去）， ，即，当且仅当时，等号成立， 所以得最小值为1. 故选：A. 5. 已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 6. （多选）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，.故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 7. 已知，且，则的最小值为__________. 【答案】2 【分析】先对进行通分，再结合已知条件，将式子变形，最后利用基本不等式求解最小值. 【详解】，因为，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 结合可得或， 此时取得最小值2. 8. 求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 9. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 10. 当已知变量满足某个常数等式时，将目标表达式中的常数替换，构造出可使用基本不等式的形式，进而求解最值，是解决最值问题时常用的一种方法． 例：已知，且，求的最小值． 解：，当且仅当，即时，等号成立． 学习上述解法，解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值； (2)若均为正实数，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求的最大值，并求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． (3)当时，取到最大值． 【分析】（1）由得到，再结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解； （3）令，得到，再结合（2）的结论即可求解. 【详解】（1）由，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （2）略 （3）要使有意义， 则，解得． 令，有， 则，所以． ， 即，所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以当时，取得最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $