周周测03 1.2.3-1.2.4空间向量中求二面角与空间中的距离（数学人教B版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦空间向量求二面角与距离核心技能，通过正方体、四棱锥等几何体，分层设置动态探究（如动点问题）与综合应用，适配周测巩固与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|法向量求二面角余弦值、点到直线距离|基础巩固，直接考查公式应用| |多选|3/18|空间向量基底、线面角、外接球|辨析性强，融合推理意识| |填空|3/15|平面与坐标面二面角、动态平面夹角|综合几何直观与运算能力| |解答|5/77|长方体二面角、四棱锥体积与距离、动点线面角|分层设计，含证明与探究，发展空间观念与模型观念|

2026-2027学年高二上学期数学周周测03 1.2.3-1.2.4空间向量中求二面角与空间中的距离 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量的夹角公式求两个向量夹角的余弦值，再利用二面角的余弦值与两法向量夹角余弦值的关系即可得. 【详解】设两平面的夹角为，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角计算公式求解即可． 【详解】设平面与平面的夹角为，则． 故选：B． 3．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 4．已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 故选：B 5．已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用点到平面距离的向量求法求解即得. 【详解】依题意，，所以点到平面的距离为. 故选：C 6．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得. 【详解】设，则． 因为E，F分别为的中点，所以， 所以，． 设是平面的法向量， 则即，取，则， 所以平面的一个法向量为． 又因为平面， 所以是平面的一个法向量， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 【答案】CD 【详解】对于A，直线的倾斜角为，A错误； 对于B，因为，故，则或，B错误； 对于C，由题意可知，则与同方向的单位向量为， 则点到直线OA的距离是，C正确； 对于D，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一个基底， 则向量，与任何向量均共面，那么，一定共线，D正确． 8．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．若面的法向量，面的法向量，两面夹角的正弦值为，则________. 【答案】 【解析】设平面的夹角为，利用空间向量夹角公式得：，由已知，知，建立关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】设平面的夹角为，又面的法向量，面的法向量， 则利用空间向量夹角公式得： 由已知得，故 故，即，解得： 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角的大小为(), 10．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为___________.    【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法结合面面角求出，再根据锥体的体积公式即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 因为轴平面， 则可取平面的法向量为， 则，解得或（舍去）， 所以， 故. 故答案为：.      【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1) 连接平行四边形的对角线，交于， 在中，是的中点，是中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)； (3). 【分析】（1）连接平行四边形的对角线，交于，可得，进而可证得平面； （2）根据几何体特征，可得，，，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合空间点到平面的距离公式，即可求解； （3）由（2）建立的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合面面角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由已知，，，， 在中，由余弦定理得， 则，由勾股定理，则， 又底面，平面，则有，， 所以以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图示的空间直角坐标，则，，，，， 的中点，，， 设平面法向量为， 则，取，则，，故， ，则点与平面的距离. （3）由（2）得， ，，设平面的法向量为， 则， 取，则，，则， 平面与平面所成锐二面角余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测03 1.2.3-1.2.4空间向量中求二面角与空间中的距离 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 6．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 8．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．若面的法向量，面的法向量，两面夹角的正弦值为，则________. 10．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为___________.    四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测03 1.2.3-1.2.4空间向量中求二面角与空间中的距离 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量的夹角公式求两个向量夹角的余弦值，再利用二面角的余弦值与两法向量夹角余弦值的关系即可得. 【详解】设两平面的夹角为，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角计算公式求解即可． 【详解】设平面与平面的夹角为，则． 故选：B． 3．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 4．已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 故选：B 5．已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用点到平面距离的向量求法求解即得. 【详解】依题意，，所以点到平面的距离为. 故选：C 6．如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 7．如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．直线与平面平行 C．直线与底面所成角的正切值为 D．平面与底面夹角的正弦值为 【答案】D 【分析】利用空间向量共线来判断线线平行，利用线向量与平面的法向量数量积为零来判断线面平行，利用空间向量法来求线面角和面面角来判断CD. 【详解】在棱长为1的正方体中， 如图，以D为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 对A，，则， 又因为不重合，所以，故A正确； 对B，由 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， 由，则， 因为平面， 所以直线与平面平行，故B正确； 对C，，平面的法向量为， 则， 故直线与底面ABCD所成的角的正弦值为，即， 则，故C正确； 对D，由B知平面的法向量为，， 设平面与底面ABCD的夹角， 则， ，， 所以平面与底面的夹角的正弦值为，故D错误. 故选：D 8．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得. 【详解】设，则． 因为E，F分别为的中点，所以， 所以，． 设是平面的法向量， 则即，取，则， 所以平面的一个法向量为． 又因为平面， 所以是平面的一个法向量， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 【答案】CD 【详解】对于A，直线的倾斜角为，A错误； 对于B，因为，故，则或，B错误； 对于C，由题意可知，则与同方向的单位向量为， 则点到直线OA的距离是，C正确； 对于D，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一个基底， 则向量，与任何向量均共面，那么，一定共线，D正确． 10．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，且，则（    ） A． B．直线BD与平面PCD所成的角为 C．二面角的大小为 D．四棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】以点A为原点建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的坐标运算，以及求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，再由球的表面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 可得，，，， 则，所以，所以A正确． 设平面PCD的法向量为，则， 令，可得，所以， 则，故直线BD与平面PCD所成的角为， 所以B正确． 设平面BCP的法向量为，则 令，可得，则， 由图可知，二面角B-PC-D的大小为钝角， 则二面角的大小为，所以C不正确． ，所以，同理， 取的中点，分别在直角，可得， 即为四棱锥的外接球的直径， 所以四棱锥的外接球的半径为， 故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为，所以D正确． 故选：ABD. 11．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为______． 【答案】 【分析】先求出平面ABC与平面xOy的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 平面xOy的一个法向量为， 所以， 所以平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为. 故答案为： 13．若面的法向量，面的法向量，两面夹角的正弦值为，则________. 【答案】 【解析】设平面的夹角为，利用空间向量夹角公式得：，由已知，知，建立关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】设平面的夹角为，又面的法向量，面的法向量， 则利用空间向量夹角公式得： 由已知得，故 故，即，解得： 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角的大小为(), 14．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为___________.    【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法结合面面角求出，再根据锥体的体积公式即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 因为轴平面， 则可取平面的法向量为， 则，解得或（舍去）， 所以， 故. 故答案为：.      【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在长方体中，，点E在棱上移动． (1)证明：； (2)当为何值时，使得二面角的大小为 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判定即可； （2）建立空间直角坐标系，设坐标，利用空间向量研究面面角即可. 【详解】（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，设，则， 即，显然， 所以； （2）由上，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，即， 易知底面的一个法向量为， 则， 由点E在棱上移动，所以. 16．如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形以及梯形面积公式即可求解， （2）建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量法求解即可. 【详解】（1）由，,所以, , 所以,, 故四棱锥的表面积为 （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,4,， ,4,，，其中， 则， 设平面的法向量为，则， 即令，则平面的法向量， 设到平面的距离为，， 由于，解得， 故， 点到直线的距离为． 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面底面，点M在线段PD上且.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值. 【答案】(1) ∵，平面平面，平面， 平面平面， 平面， 又平面，， 又， 由余弦定理得， 则，， 又平面， 平面； (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质证明平面，则有，再利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）过作，交于点，利用面面垂直的性质证明平面，再根据棱锥的体积公式即可得解； （3）过作交于点，则即为二面角的平面角，再解即可. 【详解】（1）略 （2）过作，交于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则， 所以； （3）过作交于点，连接， 因为平面，平面， 所以， 则即为二面角的平面角， 在中，，所以， 所以二面角的正切值为.    18．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，.    (1)若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； (2)若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】(1) （i）如图，取的中点，连接，    因为为的中点，所以，且， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面， 所以平面； （ii） (2) 【分析】（1）（i）取的中点，通过证明四边形是平行四边形可得，由此证明线面平行；（ii）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出点与平面间的距离； （2）设，利用向量法求解出的最大值即可求解出的值，从而可求得三棱锥的高和底面积，则三棱锥的体积可求. 【详解】（1）（i）略 （ii）取中点，连接， 因为，所以， 因为， 所以四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，可得， 从而，所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，则，，所以， 因为面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以直线与平面间的距离为. （2）由条件知，设， 所以， 取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 当时，； 当时，， 当时，有最大值，此时， 所以到平面的距离为，且， 所以三棱锥的体积为. 19．如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1) 连接平行四边形的对角线，交于， 在中，是的中点，是中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)； (3). 【分析】（1）连接平行四边形的对角线，交于，可得，进而可证得平面； （2）根据几何体特征，可得，，，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合空间点到平面的距离公式，即可求解； （3）由（2）建立的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合面面角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由已知，，，， 在中，由余弦定理得， 则，由勾股定理，则， 又底面，平面，则有，， 所以以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图示的空间直角坐标，则，，，，， 的中点，，， 设平面法向量为， 则，取，则，，故， ，则点与平面的距离. （3）由（2）得， ，，设平面的法向量为， 则， 取，则，，则， 平面与平面所成锐二面角余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测03 1.2.3-1.2.4空间向量中求二面角与空间中的距离 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 6．如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．直线与平面平行 C．直线与底面所成角的正切值为 D．平面与底面夹角的正弦值为 8．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 10．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，且，则（    ） A． B．直线BD与平面PCD所成的角为 C．二面角的大小为 D．四棱锥的外接球的表面积为 11．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为______． 13．若面的法向量，面的法向量，两面夹角的正弦值为，则________. 14．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为___________.    四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在长方体中，，点E在棱上移动． (1)证明：； (2)当为何值时，使得二面角的大小为 16．如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面底面，点M在线段PD上且.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值. 18．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，.    (1)若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； (2)若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 19．如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $