1.2.5 空间中的距离（五大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.2.5 空间中的距离 题型一 点到平面距离的向量求法 1．已知平面α的一个法向量为，点在平面α内，则点到平面α的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出在法向量方向的投影向量的长度即得． 【详解】由题意知，则，， 所以点P到平面α的距离， 故选：C． 2．（多选）如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（   ）    A．若点为线段上的动点，当时， B．若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C．若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，由求出的坐标，然后计算即可得出A选项；设平面的法向量为，根据题意建立方程组求出法向量为的坐标，然后利用向量法求点到面的距离即可得出选项B；对于C，取的中点，连接，结合图形以及已知条件即可分析得出选项C；选项D，根据题意分析，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，结合已知条件分析即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：    则， 对于AB选项，由知： ， 则， ，A正确； ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 故平面的一个法向量为， 又，则点到平面的距离为： ，故B错误； 对于C，取的中点， 连接， 如图所示，      因为正方体的棱长为2， 所以，，， 平面，平面，平面， 所以，， ， 所以，， 所以，， 由可得平面， 所以，所以点的轨迹为线段， 又， 所以面积的最大值: ，故C正确； 对于D，平面，平面， 所以，都是直角三角形. 又， 所以， 因为，所以， 在侧面中以点为坐标原点， 以所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设， 则， 整理得到，圆， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 又因为在侧面（含边界）上运动， 所以点的轨迹是圆上的一段劣弧（分别是圆与的交点）， 因为，， 所以， 则点的轨迹长度为，故D正确， 故选：ACD. 3．如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点 A在平面上，顶点B，D到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为 ．    【答案】 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用向量法求点到面距离. 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如下图，则， 所以， 不妨设平面的法向量为且，分别表示点到平面的距离， 由已知，所以， 则， 所以顶点到平面的距离为. 故答案为：.    4．如图为正四棱锥，O为底面ABCD的中心，，. (1)求点B到平面PCD的距离； (2)若E为PB的中点，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，然后利用点面距的向量公式求解即可； （2）先求出平面PBC的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系. 由，，得， 故，，，，， ，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 取，可得平面PCD的一个法向量为，又， 所以点B到平面PCD的距离为； （2）由E为PB的中点，得. ，，， 设平面PBC的一个法向量为，则， 取，可得平面PBC的一个法向量为. 设直线DE与平面PBC所成角为，则， 故直线DE与平面PBC所成角的正弦值为. 题型二 平行平面距离的向量求法 5．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      6．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 7．如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 8．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 题型三 点到直线距离的向量求法 9．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点坐标得到向量坐标，利用数量积求出向量在上的投影，再利用勾股定理求得点到线的距离. 【详解】已知，，， 则，， 设向量与夹角为， 则在上的投影为， ，． 所以， 点到直线的距离，， 则． 故选：D． 10．（多选）四边形为正方形，平面.（    ） A．平面 B．点到的距离为 C．点到平面的距离为 D．点在线段上（不含端点），则与平面所成角的正弦值的范围为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质、空间点到直线和点到面的距离公式、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】因为四边形为正方形，平面， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， . A：设平面的法向量为， ，，， 所以有， 显然，CE不在平面内，所以平面，因此本选项正确； B：，， 于是， 所以点到的距离为，所以本选项不正确； C：设平面的法向量为， ，，， 所以有， 点到平面的距离为， 所以本选项说法正确； D：，设， ， 设与平面所成角为， ， 设，， 二次函数的对称轴为， 所以当时，有，于是有， 于是有，所以本选项说法正确， 故选：ACD 11．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得到向量，再利用向量投影公式求在上投影向量的模，最后结合勾股定理即可求出. 【详解】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，, ，，， ， 设点D到直线的距离为，则， 故答案为：. 12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若平面与平面交于直线，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1） 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，， 因， 所以 （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设二面角的平面角为，由图知这是锐二面角， 故， 即二面角的余弦值为. 题型四 异面直线距离的向量求法 13．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 14．（多选）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】由题意得在三角形边界及其内部，以为坐标原点建立空间直角坐标系.用空间向量判断平面，即可得与平面的交点符合A选项；方法一：求出点到平面的距离，再根据线面角正弦值的定义即可求出其范围；方法二：用表示出，表示出直线与平面所成角的正弦值，结合的范围与二次函数性质求解即可判断B；用空间向量求解异面直线距离即可判断C；先得出点的轨迹是圆的一部分，再画出三角形求解出对应圆心角即可. 【详解】对A，由题可知，因为点在正方体内部，且，所以在三角形边界及其内部． 以为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系， ， ，，， 则，故平面， 则存在与平面的交点使得平面，故A正确； 对B，方法一：设点到平面的距离为，易知三角形为等边三角形，且边长为， 则，即，解得， 显然由图知点到内部的点（包括边界）距离最大值为，最小值为点到线段的垂线段距离， 则，即. 方法二：，， ，， 由于，则四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面 同理可得平面， 又因为平面，， 所以平面平面， 则取向量与共线为平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 由于在三角形边界及其内部，则， 令， ， 则对称轴，且开口向上，则由二次函数性质可得， 当时，， 则当时， 当时，， 则当时，， 则 ，故B错误； 对C，由题意可知，， 设，使得， ，令，解得， 设异面直线与的距离为， 则，故C正确； 对D，， 当时，，， 此时，即平面，则 ， 则，点的轨迹是为圆心，半径为的圆的部分， 由于，则为三角形的重心， 如图2，正三角形边长为，取中点，可得， 则，则， 则点的轨迹长度为，故D选项正确.    故选：ACD. 15．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 16．如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【详解】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 题型五 空间线段点的存在性问题 17．（多选）已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则三棱锥的体积为1 C．若，则与平面所成角的最大值为 D．若，当最小时，则 【答案】BD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，当时，利用向量的模的公式算出，结合二次函数的性质求出的最大值，从而判断A； 当时，点在正方形内部运动(含边界)，可知点到平面的距离，然后利用三角形面积公式与锥体的体积公式求出三棱锥的体积，从而判断B； 当时，取且，算出此时直线与平面所成角大于，从而判断C； 当时，用，表示出、的坐标，根据、、三点共线时达到最小值，求出点的坐标，再由的坐标计算出的值，即可判断D. 【详解】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系： 则，，，，，， 对于A，当时，，可得， 所以，可知当时，的最大值为3，故A错误； 对于B，当时，点的坐标为，可知点在正方形内部运动(含边界)， 则点到平面的距离等于正方体的棱长，即， 结合 可得三棱锥的体积，故B正确； 对于C，，平面的一个法向量为， 设与平面所成夹角为，则 若，取，，此时， 结合正弦函数在锐角范围内是增函数，可得直线与平面所成角大于，故C错误； 对于，当，则，结合，可得， 因为，所以当点在线段上时，即，共线反向时，达到最小值，由，得，，，解得：，，， 即达到最小值时，的坐标为，此时，可得，故D正确； 故选：BD 18．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，由与共线，可得，进而结合空间两点的距离公式表示出，然后利用函数的性质求出最值即可. 【详解】设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点， ，，则，设，， 由与共线，可得，所以，所以，其中，因为， ， 所以，所以，即是动点到直线的距离， 由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值， 此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点． 故答案为：. 19．如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为. 【分析】（1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行； （2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值； （3）由（2）求出平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置. 【详解】（1）取中点，连接 ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，∴平面. （2）∵，且平面平面，平面平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则 （3）由（2）可知平面的一个法向量为， 设存在，则，， 设平面的一个法向量为， 则，解得，即， 则， ∴，即， 所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.5 空间中的距离 题型一 点到平面距离的向量求法 1．已知平面α的一个法向量为，点在平面α内，则点到平面α的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（多选）如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（   ）    A．若点为线段上的动点，当时， B．若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C．若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长度为 3．如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点 A在平面上，顶点B，D到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为 ．    4．如图为正四棱锥，O为底面ABCD的中心，，. (1)求点B到平面PCD的距离； (2)若E为PB的中点，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. 题型二 平行平面距离的向量求法 5．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 7．如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 8．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 题型三 点到直线距离的向量求法 9．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）四边形为正方形，平面.（    ） A．平面 B．点到的距离为 C．点到平面的距离为 D．点在线段上（不含端点），则与平面所成角的正弦值的范围为 11．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .    12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若平面与平面交于直线，求二面角的余弦值. 题型四 异面直线距离的向量求法 13．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 15．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 16．如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 题型五 空间线段点的存在性问题 17．（多选）已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则三棱锥的体积为1 C．若，则与平面所成角的最大值为 D．若，当最小时，则 18．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则 ． 19．如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $