第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习（12题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习 题型一 空间向量的有关概念理解 1．（23-24高二上·贵州黔西·月考）（多选）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）以下关于向量的说法正确的有（    ） A．若空间向量，，满足，则 B．若空间向量，，满足，则 C．若空间向量，满足，，则 D．若空间向量，满足，，则 3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空). 4．（23-24高二上·山西临汾·月考）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中． (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 题型二 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西运城·月考）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于    （    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期中）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 题型三 空间向量的线性表示 1．（23-24高二上·四川德阳·期中）在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 题型四 空间向量基本定理及应用 1．（23-24高二上·重庆·月考）在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24高二上·河北邢台·月考）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东临沂·月考）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）给出下列命题，其中正确命题有（    ） A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N共面 D．已知向量是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 题型五 空间向量的共线问题 1．（23-24高二上·江西·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 2．（23-24高二上·辽宁·月考）已知向量，，且，那么实数（ ） A．3 B． C．9 D． 3．（23-24高二上·福建泉州·月考）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23高二上·安徽阜阳·月考）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 题型六 空间向量的共面问题 1．（23-24高二上·贵州遵义·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 3．（23-24高二下·上海·月考）已知，若三向量共面，则实数等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24高二上·湖北·开学考试）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面 B．向量，，共面，即它们所在的直线共面 C．设，，是三个空间向量，则 D．若与共面，与共面，则任意，与共面 题型七 空间向量的数量积问题 1．（23-24高二下·江苏连云港·月考）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知向量，向量， (1)求向量，，的坐标； (2)求与所成角的余弦值. 4．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 题型八 空间向量的对称问题 1．（23-24高二上·广东东莞·月考）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·宁夏银川·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（    ） A．点P关于坐标原点对称点的坐标为 B．点P在x轴上的射影点的坐标为 C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为 D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为 题型九 利用空间向量证明平行垂直 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 2．（23-24高二上·山东·月考）如图，在长方体中，，，分别的中点．    (1)求证：平面； (2)判断与平面是否垂直，并说明理由． 3．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点. (1)证明：直线∥平面； (2)证明：. 4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，. 求证： (1)平面； (2)平面⊥平面. 题型十 利用空间向量计算空间角 1．（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 3．（23-24高二下·江苏盐城·月考）（多选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（    ） A．点A到平面的距离为1 B．与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 4．（23-24高二下·江苏徐州·月考）已知，分别是正方体的棱和的中点，求： (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正弦值； (3)二面角的余弦值． 题型十一 利用空间向量计算空间距离 1．（23-24高二上·河北·月考）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北·月考）如图，在平行六面体中，，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广西玉林·月考）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面积为，E为PD的中点． (1)证明：平面PAB； (2)求直线CE与平面PAB间的距离． 题型十二 利用空间向量探究动点存在 1．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点． (1)求证：平面； (2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由． 2．（23-24高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点 (1)是否存在点，使得平面？若存在，试求；若不存在，请说明理由； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，试求二面角的平面角的余弦值. 3．（23-24高二上·湖北黄冈·月考）如图，在长方体中，E，M分别是，的中点，，. (1)若在线段上存在一点，使∥平面，试确定N的位置； (2)在（1）的条件下，试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长. 4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点． (1)求证：上存在一点，使得与总垂直； (2)当平面时，求的值； (3)当时，求平面与平面所成角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习 题型一 空间向量的有关概念理解 1．（23-24高二上·贵州黔西·月考）（多选）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【解析】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确.故选：ABD. 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）以下关于向量的说法正确的有（    ） A．若空间向量，，满足，则 B．若空间向量，，满足，则 C．若空间向量，满足，，则 D．若空间向量，满足，，则 【答案】BD 【解析】A：若，显然满足，但是不满足，因此本选项不正确； B：两个空间向量相等，它们的模显然相等，因此本选项正确； C：若，且三向量不共面时，不一定成立，因此本选项不正确； D：由相等向量的定义可知，如果，，一定有，因此本选项正确，故选：BD 3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空). 【答案】相等；相反 【解析】在三棱柱中，四边形是平行四边形， 则，即与是相等向量； 四边形是平行四边形，，即与是互为相反向量. 故答案为：相等；相反 4．（23-24高二上·山西临汾·月考）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中． (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，与相等有； （2）由题意，的相反向量有. 题型二 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 因为E为棱BC的中点， 所以,故选：C 2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长交于，如图，则是中点，， ，故选：C． 3．（23-24高二上·山西运城·月考）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于    （    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵M，G分别是BC，CD的中点，∴，． ∴．故选：C 4．（23-24高二上·天津·期中）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，.故选：A. 题型三 空间向量的线性表示 1．（23-24高二上·四川德阳·期中）在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， ，故选:D. 2．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，是的中点，， ， .故选：B 3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 .故选：D. 4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为, 所以. 故选：B. 题型四 空间向量基本定理及应用 1．（23-24高二上·重庆·月考）在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】因为向量，，不共面， 所以可以作为空间向量的一组基，而其它三组向量都共面，故选：C. 2．（23-24高二上·河北邢台·月考）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】不存在，使得，所以不共面， 是空间的另一个基底，A正确． 因为，所以共面， 不是空间的另一个基底，B错误． 不存在，使得，所以不共面， 是空间的另一个基底，C正确． 因为，所以共面， 不是空间的另一个基底，D错误．故选：AC. 3．（23-24高二上·山东临沂·月考）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，，不能构成空间的一个基底， 所以、、共面，故存在实数、使得， 即， 因为是空间的一个基底，则，解得.故选：D. 4．（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）给出下列命题，其中正确命题有（    ） A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N共面 D．已知向量是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 【答案】ABCD 【解析】选项A中，根据空间向量的基底的概念， 可得任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基，所以A正确； 选项B中，根据空间的基底的概念，可得B正确； 选项C中，由不能构成空间的一组基底，可得共面， 又由过相同点B，可得A，B，M，N四点共面，所以C正确； 选项D中，由是空间的一组基底，则基向量与向量一定不共面， 所以可以构成空间的另一组基底，所以D正确.故选：ABCD 题型五 空间向量的共线问题 1．（23-24高二上·江西·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【答案】B 【解析】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得，解得．故选：B. 2．（23-24高二上·辽宁·月考）已知向量，，且，那么实数（ ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【解析】，则，即，解得，故.故选：A 3．（23-24高二上·福建泉州·月考）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由，，得， 因为A，C，D三点共线，所以， 则存在唯一实数，使得， 则，解得.故选：C. 4．（22-23高二上·安徽阜阳·月考）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线． 题型六 空间向量的共面问题 1．（23-24高二上·贵州遵义·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】对于因为，故三个向量共面； 对于    假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立， 即，，不共面； 对于,，故三个向量共面； 对于，故三个向量共面，故选： 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【答案】A 【解析】, 则， 所以，则，故四点共面.故选：A 3．（23-24高二下·上海·月考）已知，若三向量共面，则实数等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为三向量共面，设， 所以，即，解得，故选：C. 4．（23-24高二上·湖北·开学考试）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面 B．向量，，共面，即它们所在的直线共面 C．设，，是三个空间向量，则 D．若与共面，与共面，则任意，与共面 【答案】CD 【解析】对于选项A：例如非零向量，，是三棱锥三条侧棱所在的向量， 显然满足与共面，与共面，与共面，但向量，，不共面，故A错误； 对于选项B：因为向量可以平移，但直线不能平移， 可知：若向量，，共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误； 对于选项C：根据数量积的分配律可知：，故C正确； 对于选项D：对任意，可知与、共面， 若、与共面，所以与共面，故D正确；故选：CD. 题型七 空间向量的数量积问题 1．（23-24高二下·江苏连云港·月考）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，，，所以， 所以，故选：C． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，二面角等于，即， 所以，， 所以， ， 因此，.故选：C. 3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知向量，向量， (1)求向量，，的坐标； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为向量，所以，解得：，， 则，， 又因为，则，解得，所以 （2）由（1）知， 所以，， 则，，， 即与所成角的余弦值 4．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 题型八 空间向量的对称问题 1．（23-24高二上·广东东莞·月考）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于点的对称点的坐标为， 则可得解得, 所以对称点得坐标为.故选：C. 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于z轴对称时，z不变，x与y变为相反数， 所以点关于z轴的对称点的坐标为.故选：C. 3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为， 可得点关于平面的对称点的坐标为.故选： B． 4．（23-24高二上·宁夏银川·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（    ） A．点P关于坐标原点对称点的坐标为 B．点P在x轴上的射影点的坐标为 C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为 D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为 【答案】C 【解析】点关于原点的对称点为.故选项A正确； 点在x轴上的射影即为过点作x轴的垂线所得垂足，其坐标为.故选项B正确； 点关于Oyz平面的对称点与点横标互为相反数， 纵坐标与竖坐标保持不变.故选项C错误； 点在平面Oyz上的射影即为过点作平面Oyz的垂线所得垂足， 其坐标为.故选项D正确.故选：C. 题型九 利用空间向量证明平行垂直 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）. （2）∵ ∴， 又∵， ∴，即， ∵底面菱形中，，且，平面. 所以平面． 又平面． ∴平面平面． 2．（23-24高二上·山东·月考）如图，在长方体中，，，分别的中点．    (1)求证：平面； (2)判断与平面是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)不垂直，理由见解析. 【解析】（1）在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，分别的中点，得， ，显然平面的一个法向量， 则，于是，有平面，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，，则有，而， 于是向量与向量不垂直，即直线与不垂直，而平面， 所以与平面不垂直. 3．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点. (1)证明：直线∥平面； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在的直线，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得，可知， 则∥，且平面，平面，所以∥平面. （2）设，则，可得， 由（1）可知：， 因为，所以. 4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，. 求证： (1)平面； (2)平面⊥平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，,，，， ∴，，， ，，，. ，， 即，又⊂平面，平面， ∴平面. （2）， ， ∴，即 又平面，平面， ∴平面. ∵平面， ∴平面⊥平面. 题型十 利用空间向量计算空间角 1．（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， ， 则异面直线与所成角的余弦值为.故选：B. 2．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【解析】因为点在底面的射影为中点H，则平面， 又因为四边形为正方形， 以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为平面，平面，则， 因为，，则， 则、、、， 所以， 易知平面的一个法向量为， ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：. 3．（23-24高二下·江苏盐城·月考）（多选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（    ） A．点A到平面的距离为1 B．与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】AC 【解析】首先由题目条件知，，故 ， 同时注意到，故，. 由于，而在平面内，所以， 而，和都在平面内且相交于，故垂直于平面， 从而点到平面的距离为，故A正确； 由于垂直于平面，平行于，故垂直于平面， 而和在平面内，所以，. 而和都在平面内，故与平面的夹角等于与的夹角， 又由于，而在平面内， 所以，从而有，故B错误； 由于平行于，故直线与所成角等于直线与所成角. 又因为，而在平面内， 所以，这就说明，故C正确； 已证两两垂直. 如图，以为原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系： 则有，而，，，故. 从而，，， 设，分别为平面和的法向量， 则，， 令，解得， 故可取，. 注意到和分别是平面和向二面角内部朝向的法向量， 故钝二面角的余弦值为 ，故D错误.故选：AC. 4．（23-24高二下·江苏徐州·月考）已知，分别是正方体的棱和的中点，求： (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正弦值； (3)二面角的余弦值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 因为，，所以，，， 由，又因为， 故向量与夹角为，因此与所成角的大小为． （2）由（1）知，，， 易知是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，故， 故与平面所成角的正弦值为. （3）设平面的一个法向量为，则， 即，取，则，，故. 易知平面，故平面的一个法向量为， 则， 又因为二面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 题型十一 利用空间向量计算空间距离 1．（23-24高二上·河北·月考）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， ， 所以到直线的距离为．故选：D 2．（23-24高二上·湖北·月考）如图，在平行六面体中，，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因为， 所以， ，， 因为， 所以， 因此， 所以点到直线的距离为，故选：D 3．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意易知直线面， 所以到面的距离即为直线到平面的距离. 建立如图所示坐标系，则： ，，，，, 所以 设面的法向量，则： ，即 取，则，所以 所以到面的距离.故选：D 4．（23-24高二上·广西玉林·月考）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面积为，E为PD的中点． (1)证明：平面PAB； (2)求直线CE与平面PAB间的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）记的中点为，连接， 因为，所以底面ABCD为直角梯形， 又底面ABCD的面积为，， 所以，得，所以， 所以且，所以为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为O，E分别为AD，PD的中点，所以， 又平面，平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面PAB. （2）因为是以AD为斜边的等腰直角三角形，， 所以，， 由（1）可知，，所以 又因为平面平面ABCD，所以，故两两垂直， 以所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 所以点C到平面的距离为， 由（1）知，平面PAB，所以直线CE与平面PAB间的距离即为. 题型十二 利用空间向量探究动点存在 1．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点． (1)求证：平面； (2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）依题意，所以， 所以、是等边三角形， 所以，所以四边形是菱形，所以， 由于平面，平面，所以平面. 由于是的中点，是的中点，所以， 由于平面，平面，所以平面. 由于，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）设的中点为，连接，则， 由于四边形是菱形，所以，则， 由于平面平面且交线为，平面， 所以平面，又平面，则， 以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 因为，则， 则， 故， 设平面的法向量为，则， 取，则，故， 易知圆的方程为，设， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 则，则，所以，， 故在弧上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时点到平面的距离为. 2．（23-24高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点 (1)是否存在点，使得平面？若存在，试求；若不存在，请说明理由； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，试求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)存在，；(2) 【解析】（1）存在，，证明如下： 如题图，取的中点为， 由于侧面底面，且两平面交线为平面，, 所以平面，平面，所以， 由于三角形是正三角形，且是的中点，所以, 平面，故平面，得证. （2）以为坐标原点，以为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 设则，故, 由于直线与直线所成角的余弦值为， 所以，而 所以，从而，, 平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，取，则， 所以， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为 3．（23-24高二上·湖北黄冈·月考）如图，在长方体中，E，M分别是，的中点，，. (1)若在线段上存在一点，使∥平面，试确定N的位置； (2)在（1）的条件下，试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长. 【答案】(1)N为的中点；(2)F是棱上靠近点B的一个三等分点， 【解析】（1）如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，. 设， 则， ， 由题意知是平面的一个法向量，所以，即，解得. 因为平面，所以当N为的中点时，∥平面. （2）由已知，得点F在直线上，因为直线与z轴平行，可设，， 又点F在平面内，所以存在实数，，使得， 即，整理得， 所以，解得， 所以，故F是棱上靠近点B的一个三等分点，. 4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点． (1)求证：上存在一点，使得与总垂直； (2)当平面时，求的值； (3)当时，求平面与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解答；(2)；(3) 【解析】（1）取的中点，连接，因为为正三角形，所以， 又因为侧面底面，且侧面底面，， 所以侧面，又侧面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以上存在一点，使得与总垂直； （2）连接交于点，连接， 因为当平面，平面，平面平面， 所以，所以， 在梯形中，，所以； （3），所以， 所以，所以是的中点， 取的中点，连接，则， 又侧面底面，侧面底面， 所以底面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 取平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的大小为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$