周周测02 1.2.1-1.2.3空间向量在立体几何中的应用（数学人教B版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦空间向量在立体几何中的应用，通过正方体、四棱锥等模型，考查线面关系、法向量、异面直线成角等核心知识，题型分层设计，强化空间观念与推理能力，适配高二周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|方向向量与法向量关系、平面法向量求法|如第4题结合正方体中点求异面直线成角，体现几何直观| |多选|3/18|空间向量命题判断、基底性质|如第10题考查四点共面与基底判定，强化推理意识| |填空|3/15|线面平行的向量条件、命题真假判断|第14题正四棱柱动态问题，培养创新意识| |解答|5/77|线面垂直证明、体积计算、线面角|第19题四棱锥中综合证明与线面角求解，提升运算能力与模型观念|

2026-2027学年高二上学期数学周周测02 11.2.1-1.2.3空间向量在立体几何中的应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 2．在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出、及，再根据空间异面直线夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】由题意，可得，， ， 设直线所成的夹角为，则， 所以直线所成角的余弦值为. 3．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 4．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 5．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】因为，所以的方向向量与平面的法向量垂直，再根据基本不等式，利用常数代换求解. 【详解】依题意，，即， 所以， 又，所以，，所以， 当且仅当时，即时，取到等号， 所以，故A，B，D错误. 故选：C. 6．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可. 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．下列命题正确的是（    ） A．若空间向量，，满足，，则 B．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．若，是两个单位向量，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量、直线与平面的位置关系以及点关于平面的对称点坐标，逐一分析每个选项. 【详解】对于A选项，当为零向量时，不符合，A错误； 对于B选项，因为，所以，B正确； 对于C选项，点关于平面Oyz对称的点的坐标是，C正确； 对于D选项，，D错误． 故选：BC. 8．正方体中，分别为面对角线与上的点，，则下面结论正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角的正切值为 C． D．直线平面 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，求出平面的一个法向量，判定即可；对于B，直接求出直线与直线所成角的余弦值进而解出正切值即可；对于C，直接证明出即可，对于D，直接用向量证明出，，即可证明直线平面. 【详解】    如图：因为为正方体， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设棱长为.则， ， 设，则， 设，则， ， ，所以， 解得：， 则，， 对于A，平面的一个法向量为， 由，所以不平行平面，所以选项A错误； 对于B，由，设直线与直线所成角为， 则，则，， 所以选项B正确； 对于C，，由， 所以，所以选项C正确； 对于D，因为，，所以， ，， 所以直线平面，所以选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 【答案】④ 【分析】由向量夹角的定义可判断①；由法向量的性质可判断②；当时可得③；由异面直线的方向向量的性质可得④. 【详解】①若，可得或，①错； ②若是同一个平面的两个法向量，则，②错； ③当时，推不出，③错； ④因为异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对. 故答案为：④. 10．如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②③ 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及空间向量的应用，逐项判定，即可求解. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设，则， 因为，所以，即，所以①正确； 由，因为的面积为定值，点到平面的距离也是定值， 所以为定值，所以②正确； 又由 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为，由，解得，所以③正确； 又因为，，则， 所以不存在点，使得平面，所以④错误. 故选：①②③. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值大小. 【答案】(1)证明：连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. (2)证明：连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. (3) 【分析】（1）连接交于，由即可求证； （2）通过勾股定理得到，，即可求证； （3）建系，求得平面法向量，由线面夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3） 取中点记为连接，中，，，则， 又，所以， 则平面，平面，， 又，以为轴建系，如图： 则，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 可得，， 设直线与平面所成角为， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测02 1.2.1-1.2.3空间向量在立体几何中的应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 2．在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 3．在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出、及，再根据空间异面直线夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】由题意，可得，， ， 设直线所成的夹角为，则， 所以直线所成角的余弦值为. 4．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 5．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 6．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面内任意一点，由题意，由此可得，对比选项即可得解. 【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为 所以，整理得， 而，，，， 所以对比选项可知只有在平面内. 故选：C. 7．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】因为，所以的方向向量与平面的法向量垂直，再根据基本不等式，利用常数代换求解. 【详解】依题意，，即， 所以， 又，所以，，所以， 当且仅当时，即时，取到等号， 所以，故A，B，D错误. 故选：C. 8．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可. 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的是（    ） A．若空间向量，，满足，，则 B．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．若，是两个单位向量，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量、直线与平面的位置关系以及点关于平面的对称点坐标，逐一分析每个选项. 【详解】对于A选项，当为零向量时，不符合，A错误； 对于B选项，因为，所以，B正确； 对于C选项，点关于平面Oyz对称的点的坐标是，C正确； 对于D选项，，D错误． 故选：BC. 10．以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据线面位置关系的向量形式判断A；根据共面向量定理的推论判断B；根据基底的概念判断C；结合数量积的坐标运算，利用投影向量公式求解判断D. 【详解】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误； 对于B，因为，， 所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确； 对于C，假设存在实数使得， 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确； 对于D，，， 则在上的投影向量为，故D错误． 11．正方体中，分别为面对角线与上的点，，则下面结论正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角的正切值为 C． D．直线平面 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，求出平面的一个法向量，判定即可；对于B，直接求出直线与直线所成角的余弦值进而解出正切值即可；对于C，直接证明出即可，对于D，直接用向量证明出，，即可证明直线平面. 【详解】    如图：因为为正方体， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设棱长为.则， ， 设，则， 设，则， ， ，所以， 解得：， 则，， 对于A，平面的一个法向量为， 由，所以不平行平面，所以选项A错误； 对于B，由，设直线与直线所成角为， 则，则，， 所以选项B正确； 对于C，，由， 所以，所以选项C正确； 对于D，因为，，所以， ，， 所以直线平面，所以选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 【答案】 【分析】根据直线与平面的位置关系知，当时，直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量共线关系即可求得. 【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，所以，所以，解得. 故答案为：. 13．下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 【答案】④ 【分析】由向量夹角的定义可判断①；由法向量的性质可判断②；当时可得③；由异面直线的方向向量的性质可得④. 【详解】①若，可得或，①错； ②若是同一个平面的两个法向量，则，②错； ③当时，推不出，③错； ④因为异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对. 故答案为：④. 14．如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②③ 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及空间向量的应用，逐项判定，即可求解. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设，则， 因为，所以，即，所以①正确； 由，因为的面积为定值，点到平面的距离也是定值， 所以为定值，所以②正确； 又由 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为，由，解得，所以③正确； 又因为，，则， 所以不存在点，使得平面，所以④错误. 故选：①②③. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 16．在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； (2) 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 17．如图，已知三棱锥中，，且分别是的中点.用空间向量法求解下列问题. (1)求证：； (2)求的长； (3)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1) 设， 则， ， 可得， 又， ， 即. (2) (3) 【分析】（1）以为基底，表示，利用向量数量积的运算律即可求证； （2）由（1）选择的基底，表示出所求向量，根据向量的模长公式以及数量积的运算律，可得答案； （3）由（1）选择的基底，表示出所求向量，结合向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2），， ， ，即的长为. （3）由题意得， ， 则， 即， 又 ， 设异面直线AF和所成角为， 则， ∴异面直线AF和所成角的余弦值为. 18．棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； (2)证明：由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值大小. 【答案】(1)证明：连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. (2)证明：连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. (3) 【分析】（1）连接交于，由即可求证； （2）通过勾股定理得到，，即可求证； （3）建系，求得平面法向量，由线面夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3） 取中点记为连接，中，，，则， 又，所以， 则平面，平面，， 又，以为轴建系，如图： 则，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 可得，， 设直线与平面所成角为， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测02 1.2.1-1.2.3空间向量在立体几何中的应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 2．在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 6．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 8．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的是（    ） A．若空间向量，，满足，，则 B．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．若，是两个单位向量，则 10．以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 11．正方体中，分别为面对角线与上的点，，则下面结论正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角的正切值为 C． D．直线平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 13．下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 14．如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是__________. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 16．在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 17．如图，已知三棱锥中，，且分别是的中点.用空间向量法求解下列问题. (1)求证：； (2)求的长； (3)求异面直线和所成角的余弦值. 18．棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测02 1.2.1-1.2.3空间向量在立体几何中的应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 2．在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 4．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 6．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．下列命题正确的是（    ） A．若空间向量，，满足，，则 B．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．若，是两个单位向量，则 8．正方体中，分别为面对角线与上的点，，则下面结论正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角的正切值为 C． D．直线平面 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 10．如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是__________. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $