专题04 空间中的点、直线、平面与空间向量八大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题04 空间中的点、直线、平面与空间向量八大题型 题型一：平面的法向量及其求法 题型二：异面直线所成角 题型三：利用向量方法证明线面平行 题型四：利用向量方法证明面面平行 题型五：用向量方法证明线线垂直 题型六：利用向量方法证明线面垂直 题型七：用向量方法证明面面垂直 题型八：空间向量中的平行，垂直动点问题 题型一：平面的法向量及其求法 1．在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 2．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 3．已知向量，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设平面的一个法向量为，结合法向量的定义得出应满足的条件，进而判断即可. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，即，即， 所以满足上述条件的只有A符合. 故选：A. 4．已知点，则平面的法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出、，设，利用法向量与平面垂直的坐标表示即可求解. 【详解】根据已知有，，设， 因为，，所以，设，则，， 所以. 故选：A 5．已知，写出平面的一个法向量 . 【答案】（答案不唯一，与共线的非零向量） 【分析】设出向量的坐标，再利用平面法向量的意义列式计算即得. 【详解】设，则， 故，取，得， 所以平面的一个法向量. 故答案为：. 题型二：异面直线所成角 1．在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为2，则， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 2．直三棱柱中，，，则与所成角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算和向量夹角公式，即可求解. 【详解】根据题意，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，令， 则，，，，所以，， 设与所成角为，则，所以与所成角为. 故选：C. 3．在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以，，， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 4．如图，在正方体中，点分别是的一个四等分点，且，求与夹角的余弦值． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则， 所以．， ，． 所以． 因此与夹角的余弦值是． 5．如图，三棱柱中，为中点，．设，，． (1)试用表示向量；； (2)若，，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）结合图形，根据空间向量的加减数乘运算，即可求解； （2）由题知，进而根据向量模的公式得，，进而得，即可求解. 【详解】（1）因为D为中点， 所以， 因为，所以， 所以， . （2）因为，， 所以，，， 所以， 又因为， 所以， ， 所以， 所以异面直线AE与所成角的余弦值为． 题型三：利用向量方法证明线面平行 6．如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）如图所示，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，解得，，则平面的一个法向量为， 则，得， 又直线不在平面内，则直线平面． 7．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 8．如图，平面，，，，，.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，因为，， ､平面，所以平面， 可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴､轴､轴正方向的空间直角坐标系如图，    可得，，，，. 设，则. 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线不在平面，所以平面. 9．如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； 题型四：利用向量方法证明面面平行 10．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 11．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 12．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足. (1)证明：直线平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系. . . 设平面的法向量为， 则由，取得. 因为，所以 解得. 所以，且平面，所以平面 题型五：用向量方法证明线线垂直 13．在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形的边长，结合勾股定理可建立空间直角坐标系，理由向量证明线面垂直即可求证， 【详解】如图， 由可得， 由于，故， 又，故， 可得： 故，故， 结合底面为矩形，故， 故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ，， 由， 又， 两式联立解得：， 所以 则， 故， 因此平面， 故平面， 平面， 故 14．如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】法一：利用面面垂直的性质及线面垂直的判断和性质定理即可证明；法二：利用空间向量即可证明；法三：利用三余弦定理法证明. 【详解】法一：几何证法 作交于，连接， 因为平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，而平面，即有， 因为，所以，所以， 在中， ， 即有，所以， 由棱台的定义可知，，所以， 又平面，而平面，则有，， 而，平面，平面， 所以平面，而平面，所以. 法二：空间向量坐标系方法 作交于， 因为平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设OC=1，因为，， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以，即， 又因为棱台中，所以. 法三：三余弦定理法 因为平面平面， 所以， 所以，又因为， 所以， 所以，所以，即， 又因为，所以. 15．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：. 【答案】证明见解析 【分析】方法一：几何法，根据线面垂直的判定定理和性质定理证明；方法二：空间向量法，利用向量垂直的坐标表示证明；方法三：利用向量的四则运算和数量积的运算律证明. 【详解】方法一：几何法 因为，，所以， 又因为，，所以平面， 又因为，构造正方体，如图所示， 过作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为分别为和的中点，所以是的中点， 由于，故≌，则, 又因为，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. 方法二：空间向量法 因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面， 所以， 因为，，所以， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 所以，， 由题设（）， 因为， 所以，所以，则. 方法三：利用向量四则运算和数量积的运算律求解 因为，，所以， 故，， 所以 ， 所以，则． 16．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，为的中点，应用空间向量方法求解下列问题．    (1)求证：； (2)求与所成的角的余弦值； 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用正方体三条相互垂直直线建立空间直角坐标系，写出点的坐标即可得到向量坐标，利用向量的数量积为0时，向量垂直即得证； （2）利用点的坐标求出向量坐标，由向量数量积与向量模长求得向量夹角的余弦值. 【详解】（1）如图：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    ∴，，， ∵分别是的中点 ∴ ∴， ∴ ∴ （2）∵，∴， ∴ 由（1）知：， 设与所成的角为 ∴ ∴与所成的角的余弦值为 题型六：利用向量方法证明线面垂直 17．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设与交于点．连接，则可证明四边形为平行四边形，于是，故而平面； （2）以为原点建立空间坐标系，求出，，的坐标，通过计算，得出，，故而平面． 【详解】（1）设与交于点，连接，如图所示．    因为，且，， 即， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为正方形和四边形所在的平面互相垂直，两平面的交线为，且，所以平面． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，． 所以，，． 所以，， 所以，， 即，． 又，且平面，平面， 所以平面． 18．已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． 19．如图在平行六面体中，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，，则为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得出，，，再根据向量的数量积运算得出，，从而得出，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线平面； （2）根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，即可求出直线和夹角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 则为空间的一个基底，且，，， 因为，， 则，， 可得，， 即，且，平面， 所以平面. （2）由（1）得， 则， ，即， 则，即， 设与的夹角为，则， 所以直线和夹角的余弦值为. 20．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量证明即可. （2）用线线角的向量求解公式处理即可. 【详解】（1）如图以为原点，建立空间直角坐标系， 易得，,,,,,,，设面的法向量，连接，则，，令，解得，，故，，则与平行，可得平面. （2）易知，，，，故，，设异面直线与所成角为，故 题型七：利用向量方法证明面面垂直 21．如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，利用坐标结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）利用空间向量的坐标运算可得为平面的一个法向量，又,且平面，即可证明. 【详解】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 22．如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意直接分解向量即可. （2）由向量的数量积公式得，结合菱形性质线面、面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）. （2）∵ ∴， 又∵， ∴，即， ∵底面菱形中，，且，平面. 所以平面． 又平面． ∴平面平面． 23．在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，G是的重心，E，F分别为上的点，且．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，由向量法证明直线平行，再结合线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明． 【详解】如图，以三棱锥的顶点P为原点，以所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令， 则 于是，，故，∴. ∵平面， ∴平面，∴平面. 又平面， ∴平面平面. 24．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面.的法向量，计算二者的数量积，即可证明结论. 【详解】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则， 故, 设平面的法向量为，则, 令，则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则， 则， 故平面平面. 题型八：空间向量中的平行，垂直动点问题 25．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【分析】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 26．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 27．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【详解】（1）取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 28．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 29．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，为的四等分点（靠近）. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，设出点的坐标，利用线面平行的向量表示求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，令， 于是， 因此，即， 所以. （2）由（1）知，，假定存在点满足条件， 设，， 设平面的法向量为，则，令，得， 要平面，显然平面，则只需，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面，点为靠近点的线段的四等分点. 30．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由平面，平面ABCD，所以，因为，所以四边形MDBN为平行四边形，所以可证明结论. （2）建系，设，由平面AMN，解出，再由向量的模长公式计算长度. 【详解】（1）证明：连接BD，如图(1).    因为平面，平面ABCD， 所以. 因为， 所以四边形MDBN为平行四边形. 所以. 又平面，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）由题意知DM，DC，DA两两垂直. 以点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)的空间直角坐标系，    则，，，，， 假设在线段AN上存在点S，使得平面AMN，连接AE. 易知，，. 设，， 则. 由平面AMN，得即 解得. 此时，所以. 故在线段AN上存在点S，使得平面AMN，此时线段AS的长度为. 31．如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，在的延长线上，且 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据共线求证， （2）根据法向量与直线的方向向量垂直即可求解. 【详解】（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 平面． （2）存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 32．三棱锥中，平面，，，并且是直角． (1)求二面角所成角的余弦值； (2)若，，上各取一点，，设()，当为何值时，平面平面． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得二面角的平面角，由余弦定理求出结果； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由面面垂直的等价条件求出结果. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，， 又平面平面,且平面,平面 所以即为二面角的平面角， 设，因为是直角，所以， 因为，所以，所以， 因为， 所以在中，由余弦定理知, 又， 所以二面角所成角的余弦值为. （2）设，因为，，， 所以与全等，故， 又因为，所以为等边三角形，所以， 则，所以 分别以，，为轴，轴，轴建立直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，，所以 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，，所以， 若平面平面，则，即，解得， 所以当时平面平面. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 空间中的点、直线、平面与空间向量八大题型 题型一：平面的法向量及其求法 题型二：异面直线所成角 题型三：利用向量方法证明线面平行 题型四：利用向量方法证明面面平行 题型五：用向量方法证明线线垂直 题型六：利用向量方法证明线面垂直 题型七：用向量方法证明面面垂直 题型八：空间向量中的平行，垂直动点问题 题型一：平面的法向量及其求法 1．在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 2．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 3．已知向量，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 4．已知点，则平面的法向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知，写出平面的一个法向量 . 题型二：异面直线所成角 1．在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．直三棱柱中，，，则与所成角为 （    ） A． B． C． D． 3．在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，点分别是的一个四等分点，且，求与夹角的余弦值． 5．如图，三棱柱中，为中点，．设，，． (1)试用表示向量；； (2)若，，求异面直线与所成角的余弦值． 题型三：利用向量方法证明线面平行 6．如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； 7．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 8．如图，平面，，，，，.    (1)求证：平面； 9．如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； 题型四：利用向量方法证明面面平行 10．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 11．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 12．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足. (1)证明：直线平面； 题型五：用向量方法证明线线垂直 13．在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 14．如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 15．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，， 证明：. 16．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，为的中点，应用空间向量方法求解下列问题．    (1)求证：； (2)求与所成的角的余弦值； 题型六：利用向量方法证明线面垂直 17．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 18．已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； 19．如图在平行六面体中，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值． 20．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型七：利用向量方法证明面面垂直 21．如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 22．如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 23．在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，G是的重心，E，F分别为上的点，且．求证：平面平面. 24．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 题型八：空间向量中的平行，垂直动点问题 25．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 26．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 27．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 28．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 29．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 30．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 31．如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 32．三棱锥中，平面，，，并且是直角． (1)求二面角所成角的余弦值； (2)若，，上各取一点，，设()，当为何值时，平面平面． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$