周测3 空间向量在立体几何中的应用(二)-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

周测3空间向量在立体几何中的应用（二） 〔时间，40分钟满分，0分) 一，选择题《本题其4个小题，每题得分，具的分，在每小题给出的四个透项中，只有一项是特合驱 目要求的 复1已知究量m,=一2，一2，=(2，)分料为平前。和平国方伯出负量，则平面袋与平雀 的夹角为 A.30 队45 C.0 D120 至知二若直线1的方向向签为=10，一.且/注数1，则点P(-12到的作商为 A.2 队8 C.6 D.8.2 a,知图，将整思纸片AD沿对角线AC折成直二面抛.E.F分湖为 AD,BC的点：0是AC的点，∠A以=兰，则折后平面OEF与平 面AC夹角的余兹值为 a细 C.3 n 尽已知正四楼维S-ABD的侧面和底面的棱长都为，P为楼C上的一个动点.则点P到平面 34D的距离是 c n 节二，多项选择题《本题共2个小题，每题4分，共2分，在每小藤给出的四个选项中，有多项是杆台 题目要求的，全邵选对得6分，部分进对得部分分，循落城多选得0分) i.已知直线的方量为H=(门，0，一1)，A2,1,-3》为直线（上一点，若点P(一1,0，一2为直 线！外一点，圆点P到直馒！上任意一点Q的距离可能为 A.2 品，8 C,2 1 G.知图：在棱长为2的正方体ABCD-A:山，C:D,中，E,F分别为A,B,:AB的 中点，期下列结论正端的是 A.点B到直线AC,的距离为，洞 具有线CF到平面AC,的能高为号 C直线AC,与平面ABC,所线角的余统值为号 n.直线A.C与直线B,F所角的余微直为 范择题苦题栏 纳号 2 答案 三，填空m(本量共2个小题.每题5分，共10分》 7,引江济准是一项大型跨流线到水工程，2022年光试酒航，如阴是某段新开河聚的示意阻，在二直 角a-日的棱上有4，B周点，直线AC,D分别在这个二面角的两个率平面内，且露看直干 AB,已AB-2.AC-3.BD4.CD一行，侧减二自角的大小为 8,若正方体ADA,B:C,D的棱长为4，制平育ABD与半自BD的距离为 回，解苦题（客是共1个小是共4分.解苦应写出文字悦明，证阴过程和清算步翼 9(本小题满分10分) 在四银PA以D电，侧棱PA⊥早面ACD,且平直PAD⊥平面PCD, 1)E明，AD⊥CD: 2若AD/,且C-2AP-gAD-2,起平面C与平面D的夹角为0，当os-亚 5 时，求CD的长度 周测等察屏传悬在立体几利中的院用二) 10,木小思满分13分1 11.〔本小题满分15分)】 如图，在直四接柱ACD-A,BCD中，g面ABD是边长为2的菱形，DD=3,∠AC 如图，在三棱锥P-AC中，PA⊥底面AC,∠AC=.点D.君，N分两为棱PA,PC,BC 至，G为接DD,上一点.G-2过A,G,C三点的平e交B,于点B 的中点，W是线段AD的中点：PA=AC=4:AB=2 (1)求证，MN平面BDE: (1》求点D到平面C,G的F离： (2)求平自Af与平直EMN夹角的象统值： (2求半置AE与平面BFEC屏域悦二配角的余点值. 在旋P队上是音在在点H,使礼直线NH与直线E所成角的象篮值为受？若存在，求线 授AH的长，若不存在，请说明理由 野 风风测数学喜择性必善第一秀出酸 69.解：(1)证明：以DA,DC,DD,所在直线分刷为r物，y轴x轴， 建立如田所示的室问直商坐标系，则根据题念可得， D E(0,0,1),F(1,1,0),B(2,2,2),C(0,2,0) Ei-(1,1.-10,BC-(-20,-2). E求.B,C-1×(-2)+0+(-1)×(-2)=0,即E1B,C. ,EF⊥B,C: (2由知.G(0.号o）-(0-号0) eosE.C花 E萨， 0+1×(-)+0 EFIICG 又EF与CG所成商的范调为(0，受] 小所来角的余获值为侣 10.解：因为PA=PD,且O为AD的中点， 所以PO⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平而PAD∩平面ABCD=AD, POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD, 以O为坐标原点，建主如周所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0),P(0,0,3),B(1.3,0). C(-1,3,0),A(1,0,0). (1)周为PB=(1,3,一3). 所以PB=+9+酒=丽 (2)0i-(0,0.3).0元-(-1.3.0)， 设平面PC的法向量为n一(x,y,e), 1O币.n-0. 则文a-0 *y- 令y=1,荆x=3,之=0，所以n=(8,1,0), 设PE-aP官-a(1.3,-3)(06≤1)，则E(a,3,3-3), 所以AE-(元-上，3A,3-3), 因为AE∥平面PC,所以A正·n=0, 事30-+以-0：解得A-子 所以主-（侵，号） CE·n 设直线CE与平面POC斯成角为d,划in8= ICElIn /30 15 散直线E与年面POC所成角的正被值为 15 11,解：(1)如周所示，以C为原点，分别以C4 CBCC,所在直线为ry:袖建立空网直简 坐标系，则A(2,0.0),B(0,2.0),C1(0,0,1) A,(2,0.1D,B.(0.2,1).C(0.0.0). 因为F,为A,C,的中点， 所以F,(1,0,1). 周周测数学选择性必修第一册B版 ·2 所以CB,-(0,2,1),AF-(-1.0.1).设直线AF,与CB,所 成的角为0， 则os0=1cos(CB.AF1 ICB AF 110 CB,AF,5×反10 中异南直我A,与(B,片成角的会张佳为巴。 (2)圆为在直三棱柱ABCA,B,C,中， BB,⊥平面ABC,ACC平南ABC, 所以BB,⊥AC. 因为∠BCA-90°， 所以BC⊥AC, 图为BC∩BB,=B,BC,BB,C平面BC,B:, 所以AC⊥平面BCC,B, 所以CA-(2,0,0)是平面BCC,B,的一个法向量 设直线AF,与平面BCC,B,所成的角为日， am.-方-专片a-于 所以直线AF,与平面BCC,B,所成的角为下 周测3空间向量在立体几何中的应用（二） 1.C解析，由已知可得引m,1-2E,m:1-2E,n,·m:一一2× 2+0×2+(-2)×0--4. n1·n2 1 所以0m,m,》-,m2E×2万-一乞 设0为平面a与平面3的夹角.则0∈[0°，90门， 又cos0-c0s《mm:)l一交， 所以0一60.故送C. 2.B解析：直线1的方向向黄为m一(10，一1)，且/过点A(1,1,1D, 又点P(-1,2,1), 则A-(-2,1,0), 则A户-5， :产上1+g*@-E 2 “点P(-1,2,1)到1的距离为√5)-(2)7-尽，故选B. 3。A解析：连接OB,OD,国为菱形纸片ABCD沿对角线AC折成 直二面角，所以平面ADC⊥平面ABC,因为原四边形ABCD是 菱彩，O是AC的中点，所以OD⊥AC,OB⊥AC,而平面ADC∩ 平面ABC一AC,ODC平面ADC,所以(OD⊥平面ABC,而 OBC平面ABC,所以()D⊥OB.以O为原点，OB,OC,OD所在 直线分别为工轴y轴，：精，建立如田所示的空间直角些标系 设AB-2,时D00.E(0.）F(侵号.成- (0,）亦-（合号）小说个西0EF的法角量为” 1 (r·y,g),则 m0=0·即 n.0F-0, 取y一1，则 1 2r+2y=0. 工-一尽，e-5,则n-(-尽，15)，易得平面ABC的一个法 向量为O方-(00,1)，所以折后平面OEF与平面ABC夹角的余 按值为 n.o0心1 DI 7故选A L.D解析：由避可知BC∥AD,点P列平面SAD的距高即为点B 到平面SAD的距离，如图建主空间直角坐格系，则A(厚，0,0)， B(02,0).S(0,0.E),D(0.-2,0),所以A5-(-E.0E) AD-(-E,-区，0)，A正-(-巨，巨，0)，设平面SAD的法向 量为i=(x,y,z),由 A5·n=0, 1AD·m-0, 即厂巨+E=0取工-， 一2x-2y=0, B 别”-0一调为有-流-2所以表P胡十 西SAD的距薄为2 -故选D. 5.AB解析：周为A产=(-3，-1.1)，m=1,0,-1). 所以c0m(m,A市=”·A立 一4 2② 1m1APEX厅 11 剥m-√（ 11 除以点P到直线1的班离d一A市|s血(m,A市)一√厅× -A. 所以点P到直线1上任意一点Q的距离大于或等于尽，故 德AB, 6.ABD解析：在棱长为2的正方体ABCD A B,C,D1中，E,F 分别为A,B1+AB的中点， 以D为坐标原点，建立空问直角坐标系，如图所示， 则B(2,2.0)A,(2,0.2),C,(0,2,2), A,i-0.2,-2),A,C-(-2,2,0): D. 则点B到直我A,C,的距离为 d-A,·1 AB·AC A.BA.C 2p√1-（22i 一后，故A正确： 又A(2,0.0).F(2,1,0),E(2,1.2),C(0,2,0), p-(2,-10).A2-0.1,2),A-(-2.2.2).AF-(0.1.0) 设平面AEC,的法向量为a(x,y:） 则0·-y+2:-0. n,AC-2x+2y+2-0.歌-1，得m-(1,2.-1. CF∥平面AEC, 六直线CF到平面A上C,的距离为4-，m_二-E 后-3，故B 正确： 设直线A,C,与平面AEC,所成角为0， 对如-AC■2E A,Cm2·店台，故C正猪： 又B1(2,2,2),B,F=(0,-1,-2), 设直线A,C,与立线B,F所成角为0。 1A,C·B, 2 /10 则c080- 1A,C1B,F22·5 一10，故D正确.故遮 ABCD. 解析：设二面角为a,由Ci-Ci+Ai+BD.得： CD:-(CA+AB+BD)-CA+A+BD+2CA.A+ 2CA·BD+2AB·BD -3+22+4十0-2×3×4owa十0-41， ·29 解得c0e=一立 1 :孩二面角的大小为。一3 故答案为：了 解析：由正方体的使质易得平面AB,D1∥ 平面BDC,则两平面间的距离可转化为 点B到平面AB,D,的距离，连接A,C 呈然A,C⊥平面AB:D,·以D为坐标原 点，分割以DA,DC,DD,所在直线为工 抽，y轴，轴，建立如图所承的空间克角 坐标系，则A(a,0,0),B(a,a,0),A,(a 0,4),C(0,a,0),所以Bi=(0.-4,0), 1 平面AB,D,的一个法向量为n-A,C (一0一u,剥两平面间的距高d-B,m-二一-区 33a 敢答常为34 9.解：(1)证明：如图，过A作AE⊥PD,且毫是为E, :平面PAD⊥平西P(CD,平面PAD∩ 平面PCD一PD, AE⊥平面PCD, 又CDC平面PCD,AE⊥CD, ,PA⊥平面ABCD.CDC平面ABD, PA⊥CD, 文PA∩AE-A,PA,AEC平面PAD, .CD⊥平面PAD, 又ADC平面PAD,:AD⊥CD (2)设BC的中点为F,连接AF, 'AD∥BC,AD-zBC-FC,AD⊥CD. ∴，回边形AFCD为矩形， ∴AD⊥AF, 设CD=1(1>0),以A为原点，AF,AD,AP所在的直裁分别为 上，y+之袖，建主如周所示的空间直角坐标系， 则P00.n0.0.C1.o.B.-1.0.Eo,7） ÷7t-1成-02.0证-o合} 由(1D知，AE⊥平面PD,.平面PCD的一个法向量为n-(0,1,1), m·P心=0 设m一(r,y,)为平面PBC的法向量，剩 m·武-0， ,+y-0…即-令r-1. 2y-0 y=0. 得m=(1,0,f), E×+I ”平面BPC与平面P心D夹角的余孩值为四 51 10 5 解得r=2(合负).∴.1CD|-2. 答案全解全析 10.解：(1)连接AC,BD交于点O, 四边彩ABCD为菱形，AC⊥BD, D. 以O,O成正方向为ry轴正方向，作 轴DD1,可建系如图新示， :AB=iC-2,∠ABC-号 AC-√1+1-8os3 a要-2g,BD-2 .B(0,1,0),D(0,-1,0).C,(-,0,3) G(0,-1,2). Di=(0,2.0).BC=(-.-1,3).i=(0.-2.2). 设平面BC,G的法向量为I一(r,y,), 则n·-x-y十3-0…取n-2.后. m·BG--2y+2:-0. ∴点D到年面BC,G的距商d-D成：m_名@-面 10 5 (2)由直棱柱的然构特征知，平面ADD,A,∥平而BCC,B, 又AGC平面ADDA,+∴，AG∥平面BCC,B,, ,平面AGC,门平面BC℃，B,=CE,AGC平面AGC,, AGC,E,可理可得C,G∥AE, 四边彩AGC,E为平行四边形，∴AG一C,E 又AD-B,C∠ADG-∠C,B,E-号 B,E-DG=2,.BE-1..E(0.1,1), 又A(5,0,0),B(0,1,0).C(-,0,0). A正-(-51,10.i-(原，1.1).BE-(0.0.1). 设平面AEC的法向量为n1一(x1·y), 剥·正-5+×+-0取，-01，-. n,.CE-,十，十，-0. 设平面BEC的法向量为n:一(x:y:,:), 则·成--0 m.cE-x,十y:十1-0. 取：=(1，一尽0. ∴，平面AEC与平面BEC所咸锐二面角的余孩值为|Os(m,m1一 ·n56 n,nE×21 11,解：()证明：如国，以A为原点，A店，心市的方向分别为工轴、 y轴、：输正方向，建立空闭直角坐标系，依题意可得A(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1), N(1.2.0). D ￥B 所以D求=(0.2,0)，Di-(2,0,-2). 设n一(x,y,)为平面BDE的法向景， :82-2。 不好设一1，可得n一(1,0,1) 又MN-(1,2,-1),可得M不·n-0. 周为MNC平面BDE,所以MN∥平面BDE (2)易知H1=(1,0,0)为平面CE1M的一个法向量 设m一)为手西EN的法向量，时·-0 n:MN-0. 周为EM-(0,-2,-1),M不-(1,2，-1D. 片以2 不梦授y,一1，可得n:-(一4,1，一2). 周周测数学选择性必修第一册B版 NN: 4/②1 国光有cos《n:》一nn- 21 设平面CEM与平面MN的夹角为0， 对o-oa-1 (3)低设存在H点，设AH一h(0≤h1),别H(0,0,h), 进而可得Ni-(-1.-2,k).B正-(-2,2,2). 已，得1osN成1-N· 112h-21万 NiBE√+5×2F2I 基理得10w-2山十8-0，每得么一号或-宁 所以在棱PA上存在点H,使得直线NH与直线BE所藏扇的 余法位为牙比时线税AH的长为点 周测4坐标法直线的倾斜角 与斜率直线的方程 1.A解析：三角形的三个顶点A(2,4),B(3,一6)，C(5.2),设BC 中点为D,别D(4,一2)，所以BC边上中线AD的长为 √(1-2)+（一24）-2/10，故这A. 2.A解析：设直线1山：山的惭针角分别为1，：+s,则由题图 知0°<a3<a:<00°<a1<180°，所以tana1<0,thna:>tana1 0,即k1<0,k:>k>0,所以1<k<k:.放选A. .B解桥：目为：件角为150的童我1的针奉女一一后所以所东 直我1的方程为y一5-一停(x十同，牌y-一巨 3 x十4.故 这 4A解折：将两方程化为我苑式山后十之一1山方十之 1.低定，的位置，判斯4,6的正负，从而确定12的位置，知A项 持合， 5.AB解桥：对于直线3x十√y一6=0，当x=3时，得y 一，故该直线经过点(3，一)，故A正确： 国为直线的方程可化为y=一x十2尽，故直线的醉率是 一，故B正确： 由于直线的鲜率为k■一√3，故直线的频斜角为120°，故C错误； 当y一0时，解得工一2，故在x袖上的藏距为2，故D错误.故 这A且 6.ABC解析：与直线经过原，点时，直线的方程为y一一2r,当直线 不经过原点时，设直线的方程为士十y一4或上一y一b.起点 (1.一2)分别代入可得a-一1.b-3,可得直线方程为r十y一 一1，x一y一3，即y一一上一1，y一x一3.综上，满足条件的立线分 别是y=一2r,y=一r一1，y=-3,故选ABC 7./I 解析：B(5,2),测点B关于r特的对称点为B(5,一2)， 5 3 4-3-2-11 -3 ,AP+|PB1的最小值为AB1-√(5-1)+(-2-3)-/石. 故答案为：√们. 8.3 解折：直线AB的方程为方十-1，：P(y)在直线AB上. 则x-8-子“y-3y-÷y-早(-少+y)- [-(y-2+4们<3，即y的最大值是3 故答余为：3. 0