2026年高三数学秋季开学学情自测卷01（浙江专用）

**基本信息** 2026年高三开学学情自测卷，覆盖人教A版2019高考全部范围，通过集合、函数、概率等基础题与导数、椭圆综合题，检测数学眼光、思维与语言能力，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、三角函数、数列、向量、概率等|第6题以吸烟调查情境考随机化回答，体现数学语言表达现实| |填空题|3题/15分|圆柱与球体积、不等式、椭圆离心率|第14题结合椭圆几何性质与等比数列，考查数学思维| |解答题|5题/77分|数列证明与求和、立体几何证明与夹角、椭圆综合、概率统计、导数证明|第19题导数极值点证明与不等式论证，注重数学思维的逻辑性；第18题分球入袋模型，体现数学眼光观察现实|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019全部高考范围 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 3．设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 5．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 7．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 8．已知函数，在定义域上恒有，求的取值范围（        ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（        ） A．独立性检验方法不适用于普查数据 B．数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8 C．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则 D．已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm 10．设复数满足，则（    ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 11．已知数列中，，，数列的前项和为，则（   ） A． B．是递增数列 C．， D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 13．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 14．设离心率为的椭圆的左焦点为，右顶点为.以为直径的圆与该椭圆相交于点（异于点），过点作轴的垂线，设垂足为，记的面积分别为，若为以为公比的等比数列，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和． 16．（15分）如图，四棱锥中，底面，，平面，，． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知椭圆的焦距为2，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，直线过点（直线不与轴重合），交椭圆于，两点．直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，连接交轴于． （ⅰ）求的值；（ⅱ）求点到直线距离的取值范围． 18．（17分）现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. (1)若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； (2)若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷 数学 .: (考试时间：120分钟试卷满分：150分) .: 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教A版2019全部高考范围 O : 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : 要求的。 : 1.已知集合A=xx2-3x≤0，B={-1,0,5},则(CA)OB=() A.☑ B.{-1,5} c.{-1,0,5} D.{0,1} .: ·: : 2.已知函数f(x)=cos2x-2 3 则其图象离直线x=兀最近的一条对称轴的方程是() : A.x B.x=27 C.=4 D.x= 5π 3 6 : 3.设a>0,b>0,lg√2是lg4“与lg2的等差中项，则2a+b的值为() .: 1 A. D.2 4 8.月 C.1 然 4.已知点P为6BC所在平面内一点，若APB+Ac,则= 4 : A.3 c 5.某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为() : : x-1 A B.x2-1 D.(x2-1e : c品 试题第1页（共6页） 可学科网·上好课 6.某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查， 调查中使用了两个问题，问题A:你的手机尾号是否是偶数？问题B:你是否经常吸烟？调查者设计了一 个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机 从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A,摸到红球的学生如实回答问 题B,每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题.已知手机尾号为偶数的概率为05， 若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为() A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.3 7.已知直线！与焦点为P的抛物线C:2=4相交于M,V两点，且∠N-号，线段W的中点A到抛 物线C的准线的距离为d,则N的最小值为() A.1 B.√2 C.3 D.2 8.己知函数f(x)=e-x+l,g(x)=nr,h(x)=k-k,在定义域上恒有f(x)≥h(x)2g(x),求k的取值范 围() A.「0，e2-1] B.(0,e2-1 c.(0,e-1] D.[0,e-1] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是() A.x独立性检验方法不适用于普查数据 B.数据1,2,2,3,3,4,4,5,8,9的上四分位数是8 C.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则R=1 D.已知父亲身高为172cm,儿子身高的观测值为176cm,儿子身高预测值为173cm,则儿子身高的残 差为3cm 10.设复数z满足z-2+z+2=4V2,则() A.≥2 B.存在复数z,使得z2为纯虚数 C.存在t∈R,关于z的方程z=t+2i有解 D.若复数w满足w-1=1,则2-"的最小值为2√2-2 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 1 11.己知数列{a}中，4=4,4H=+4,数列 的前n项和为S,则() 42+1 A.4=18 B.{a}是递增数列 C.n∈N，log2a1>2+H 11 0.S=4a 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后， 水未溢出容器，则水面升高了cm. 13.已知实数a,b满足b+5=3a+2b,且a>2,则a+b的最小值为· 4.设离心率为e的椭圆。十龙1α>b>0的左焦点为P,石顶点为4.以AP为直径的圆与该椭圆相交 于点B(异于点A),过点B作x轴的垂线，设垂足为D,记△FBD,△ABD,△FBA的面积分别为S,S,S, 若S,S2,S3为以9为公比的等比数列，则9e=」 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分)已知数列{a}中，4=0,2a1-a=2n+3. (1)令b.=a.-2n+1,求证：数列b,}是等比数列：(2)求数列{a}的前n项和Sm. 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥BC,AD/平面PBC,PA=1,AC=2. B-- A---- (1)证明：AD⊥PB: (2)若点B到平面ACP的距离为1，求平面ACP与平面BCP夹角的余弦值. 17.（45分)已知椭圆C+茶-10a>b>0的焦距为2，且离心幸为区 2 试题第3页（共6页） (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知P(-2,0),直线1过点O(1,0)(直线1不与x轴重合)，交椭圆于A,B两点.直线PA交椭圆于另一 兵 点C,直线PB交椭圆于另一点D,连接CD交x轴于T. 里的值，(i)求点7到直线距离的取值范围。 (i)求k知 张 18.(17分)现将+1个黑球与n个白球分装入甲、乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则 从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. 河 (1)若=4，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； 游 (2)若>5且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， 游 ()操作5次时，求取出白球个数的数学期望； (i)设事件A为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求P(A). 19.己知函数f(x)=e-hx. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程： S (2)设函数g(x)=x+(1-x)nx, ⑧ (i)设6为8国的极值点，证明：1<g) 性 (i)证明：对于任意正实数，n,都有f(m)-g(n)≥1. 试题第4页（共6页） 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019全部高考范围 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 3．设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 5．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 7．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 8．已知函数，在定义域上恒有，求的取值范围（        ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（        ） A．独立性检验方法不适用于普查数据 B．数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8 C．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则 D．已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm 10．设复数满足，则（    ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 11．已知数列中，，，数列的前项和为，则（   ） A． B．是递增数列 C．， D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 13．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 14．设离心率为的椭圆的左焦点为，右顶点为.以为直径的圆与该椭圆相交于点（异于点），过点作轴的垂线，设垂足为，记的面积分别为，若为以为公比的等比数列，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和． 16．（15分）如图，四棱锥中，底面，，平面，，． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知椭圆的焦距为2，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，直线过点（直线不与轴重合），交椭圆于，两点．直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，连接交轴于． （ⅰ）求的值；（ⅱ）求点到直线距离的取值范围． 18．（17分）现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. (1)若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； (2)若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据元素与集合的关系求解. 【详解】由可得， 结合，由于,故 故 2．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 3．设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 4．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 5．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D； 【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时，，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】C 【分析】先确定回答“是”的150人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为 ， 回答A问题“是”的学生人数为人， 所以回答B问题“是”的学生人数为人， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 7．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解． 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 8．已知函数，在定义域上恒有，求的取值范围（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作差得，又，可得，作差得，再分，，结合参变分离求范围即可． 【详解】， 令，，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ，即，则， ， 又时，，，即，， 时，，即， 令，，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ，则， 综上，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（        ） A．独立性检验方法不适用于普查数据 B．数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8 C．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则 D．已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm 【答案】ACD 【详解】A项：在普查中，已掌握了总体的全部信息，变量之间的关系是确定的， 无需进行假设检验，A正确； B项：10个数据 ，则取第8位的数字5就是上四分位数，B错； C项：此时线性关系完美，预测值与观测值完全一致，，C对； D项：残差观测值预测值，D对． 10．设复数满足，则（    ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】ABC 【详解】设，则，即， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，，，故，则椭圆方程为；， 对A，，故A正确， 对B，，要使得为纯虚数，则且， 则，解得，有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，即有，解得， 则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则椭圆上的点到该圆圆心的距离为：， 则的最小值为，故D错误. 11．已知数列中，，，数列的前项和为，则（   ） A． B．是递增数列 C．， D． 【答案】BCD 【分析】对于A，代入递推公式计算即可； 对于B，判断的正负即可； 对于C，由累乘法计算可得； 对于D，裂项相消法计算即可. 【详解】对于A，，，可得，故A错误； 对于B，因为，，所以，则， 所以是递增数列，故B正确： 对于C，因为， 所以，所以， 由累乘法可得，故C正确： 对于D，因为， 所以， 所以， 所以 ，故D正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 13．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【详解】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 14．设离心率为的椭圆的左焦点为，右顶点为.以为直径的圆与该椭圆相交于点（异于点），过点作轴的垂线，设垂足为，记的面积分别为，若为以为公比的等比数列，则__________. 【答案】1 【分析】利用所给条件，求出B点坐标，代入椭圆方程，化为关于的一元二次方程，求出，计算即可. 【详解】如图， 因为，且为以为公比的等比数列， 则，解得或（舍去）， 由，可得，得， 又， 则 将点的坐标代入椭圆方程，得到， 即， 可得， 即， 由于，可得， 化简可得，即， 由可得，代入可得， 所以，， 解得或（舍去）， 所以，则. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，，所以， 再由， 因为，所以，代入上式得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； (2) 【分析】（1）首先求首项，再根据等比数列的定义证明为常数； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再根据等差和等比数列的前项和公式，利用分组转化法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：， 则 16．（15分）如图，四棱锥中，底面，，平面，，． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为 平面，平面，平面平面， 所以 因为 底面，平面，所以 ， 因为 ，，所以， 又因为 ，平面， 所以平面 ，因为 平面 ， 所以 ． (2) 【分析】（1）根据线面垂直性质可知 ，再由线面垂直判定定理可证明平面 ，结合线面垂直定义可得结论； （2）方法1：过点B作 ，可知 平面，由条件可得，建立空间直角坐标系，再求出两平面的法向量，可求出其夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴， 轴，建立如图所示坐标系． 过点作 ，交于点 ，因为 底面， 平面 ，所以， 因为 ，所以 平面，又点到平面的距离为，所以， 在 中， ，由可得； 设，则，即，解得； 因此 为的中点，，所以． 可得，，，，， 所以，． 设是平面的法向量， 则， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为 平面，所以是平面的一个法向量． 设平面 与平面 的夹角为 ， 则， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为． 17．（15分）已知椭圆的焦距为2，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，直线过点（直线不与轴重合），交椭圆于，两点．直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，连接交轴于． （ⅰ）求的值；（ⅱ）求点到直线距离的取值范围． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（ⅰ）设与椭圆方程联立，设，，联立直线和椭圆的方程，得出坐标，再利用斜率公式以及韦达定理化简； （ⅱ）根据，，三点共线，得出坐标关系化简求出即可求出. 【详解】（1）由题意易知：，，，故，， 因此椭圆； （2）（ⅰ）若直线斜率不存在，则由对称性可知，此时直线斜率均不存在， 故设，设，， 由，可得， 所以，， 记，则直线， 由，可得， 所以， 故， 代入直线，可得， 同理：， 因此 ， 故有； （ⅱ）设，则，． 由于，，三点共线， 故， 进而， 化简可得：，因此，即， 则， 当A，C重合时，，或（舍去）， 不妨取，此时，即， 此时到AB的距离为； 同理，当B，D重合时，到AB的距离也为； 故点到直线距离的取值范围为. 18．（17分）现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. (1)若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； (2)若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先确定每个袋子的装球情况，再结合全概率公式求解即可. （2）（i）先确定取出白球的个数服从二项分布，再结合二项分布的期望公式求解即可，（ii）结合题意得到掷骰子至多次就出现了次偶数，进而得到，再利用二项分布的对称性得到，最后求出即可. 【详解】（1）当时，由题意得甲袋中2黑2白，乙袋中3黑2白. 则由全概率公式得. （2）（i）由题意得取到白球等价于选中乙袋， 设取出白球个数为，则， 由二项分布的期望公式得. （ii）由题意得事件等价于前次操作中就已经摸出所有白球， 即掷骰子至多次就出现了次偶数， 不妨设掷骰子掷满次，用表示其中掷出偶数的次数， 则，由题意得， 因为，所以解得， 故. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 【答案】(1) (2)（ⅰ），显然单调递减， ∵，， ∴存在，使得，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴为的极大值点，， ∵函数在区间上单调递增，∴， ∴； （ⅱ），易知单调递增， 令，即，即， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且， 由于函数为增函数，∴， 对于任意正实数，，都有 ， ∵，∴，， ∴， ∴对于任意正实数，，都有. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C B B C C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13．7 14．1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【答案】(1)证明：因为，，所以， 再由， 因为，所以，代入上式得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列；（6分） （2）由（1）可得：， 则 （7分） 16．（15分）【答案】(1)因为 平面，平面，平面平面， 所以 因为 底面，平面，所以 ， 因为 ，，所以， 又因为 ，平面， 所以平面 ，因为 平面 ， 所以 ．（7分） （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴， 轴，建立如图所示坐标系． 过点作 ，交于点 ，因为 底面， 平面 ，所以， 因为 ，所以 平面，又点到平面的距离为，所以， 在 中， ，由可得； 设，则，即，解得； 因此 为的中点，，所以． 可得，，，，， 所以，． 设是平面的法向量， 则， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为 平面，所以是平面的一个法向量． 设平面 与平面 的夹角为 ， 则， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为．（8分） 17．（15分）【答案】(1)；(2)（ⅰ）（ⅱ） 【详解】（1）由题意易知：，，，故，， 因此椭圆；（3分） （2）（ⅰ）若直线斜率不存在，则由对称性可知，此时直线斜率均不存在， 故设，设，， 由，可得， 所以，， 记，则直线， 由，可得， 所以， 故， 代入直线，可得， 同理：， 因此 ， 故有；（7分） （ⅱ）设，则，． 由于，，三点共线， 故， 进而， 化简可得：，因此，即， 则， 当A，C重合时，，或（舍去）， 不妨取，此时，即， 此时到AB的距离为； 同理，当B，D重合时，到AB的距离也为； 故点到直线距离的取值范围为.（5分） 18．（17分）【答案】(1)(2)； 【详解】（1）当时，由题意得甲袋中2黑2白，乙袋中3黑2白. 则由全概率公式得.（3分） （2）（i）由题意得取到白球等价于选中乙袋， 设取出白球个数为，则， 由二项分布的期望公式得.（5分） （ii）由题意得事件等价于前次操作中就已经摸出所有白球， 即掷骰子至多次就出现了次偶数， 不妨设掷骰子掷满次，用表示其中掷出偶数的次数， 则，由题意得， 因为，所以解得， 故.（9分） 19．【答案】(1) （3分） (2)（ⅰ），显然单调递减， ∵，， ∴存在，使得，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴为的极大值点，， ∵函数在区间上单调递增，∴， ∴；（6分） （ⅱ），易知单调递增， 令，即，即， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且， 由于函数为增函数，∴， 对于任意正实数，，都有 ， ∵，∴，， ∴， ∴对于任意正实数，，都有.（8分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 6-------=------------2 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5,正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) 1 [A][B]IC]ID] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][BI[C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 日 12 13 14. 剂 请在各题目棘奢题！内体，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) P B以- D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) P 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (道9并)道S熊点谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海习璐品阴目酷号平巢 (女LI)·8I :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）