浙江省台州市书生中学2025-2026学年高三上学期8月开学考试数学试题

高三上学期8月开学考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则    A. B. C. D. 2.已知复数z满足，则     A. B. C. D. 3.若椭圆的焦距为，则C的离心率为     A. B. C. D. 4.已知，为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是    A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5.已知，，且，则的最小值是    A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 6.已知正项等比数列的前n项和为，若，，则(    ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7.已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8.已知函数是定义在R上的偶函数，且，恒成立，则     A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则(    ) 价格千元 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数为 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的分位数不超过12 10.已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为CA延长线上一点，的平分线交直线CB于E，若，，，则    A. B. C. 的面积为 D. 11.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于两点，点P满足，且直线BP与x轴平行，直线AP与x轴交于点M，则下列说法正确的是     A. B. 若，则直线l的斜率为或 C. 若Q为C的准线上任意一点，则直线的斜率成等差数列 D. 点M到直线PF的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数在处有极值，则实数          . 13.已知向量满足，，且，则          . 14.已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数的最小正周期为 求的值；求的单调递增区间． 16.本小题15分 如图，四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，点E在棱PA上． 若E为PA的中点，证明：； 若两条异面直线所成角的余弦值为，求的值． 17.本小题15分 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间单位：分钟各分为5组：经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． 根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中 附： 18.本小题17分 已知双曲线经过点，动直线l与E恰有1个公共点，且与E的两条互相垂直的渐近线分别交于点 求E的方程； 已知O为坐标原点，求证：的面积为定值； 过E的右焦点作两条互相垂直的直线，且与E交于两点，与E交于两点，若AB的中点为的中点为Q，求证：直线PQ与y轴垂直. 19.本小题17分 已知函数 若的图象在点处的切线过原点，求实数a的值； 若在上是增函数，求实数a的取值范围； 求证： 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：由题意知，， 则 故选： 2.【答案】A  【解析】解：由，得 故选： 3.【答案】A  【解析】解：由得， 又， 所以，，得， 所以 故选： 4.【答案】C  【解析】解：若，，，则或m，l异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误． 故选： 5.【答案】A  【解析】解：因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是 故选： 6.【答案】A  【解析】解：由题意及等比数列前n项和的性质可得， ，，成等比数列， 则，即， 解得或舍去 故选： 7.【答案】C  【解析】解：由点在圆C外，得，则圆心C到直线l的距离， 因此直线l与圆C相交，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分条件； 由直线l与圆C相交，得圆心C到直线l的距离，则， 因此点在圆C外，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件， 所以“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件. 故选：C 8.【答案】B  【解析】解：因为，恒成立， 令，则恒成立， 即， 所以， 所以， ， ，…， ， 以上各式两边分别相加，得， 在中，令，得， 因为为偶函数，所以，所以， 故，所以， 所以 故选： 9.【答案】AB  【解析】解：A选项，1000名用户购买手机价格的众数落在区间上，中间值为，A正确； B选项，同一组中的数据用该区间的中点值代表， 故平均数为，B正确； C选项，，，故中位数落在中， 中位数为，C错误； D选项，，， 故分位数落在中， 1000名用户购买手机价格的分位数为，D错误． 故选：AB 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 利用正弦定理判断A；利用余弦定理判断B；利用三角形面积判断C；根据正弦定理和余弦定理判断 【解答】 解：因为，，，所以由正弦定理，得，故A正确; 由余弦定理得，，因为，所以，故B错误; 的面积为，故C正确; 由余弦定理，得，因为，所以， 因为，AE是的角平分线，所以， 所以， 在中，由正弦定理，得，解得， 故D错误. 故选： 11.【答案】ACD  【解析】解：由题意知，显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，， 由得，所以， 则，所以，故A正确； 因为，所以，所以，又，解得或，所以或，即直线l的斜率为或，故B错误； 设，则， 所以 ， 即，所以， 则直线的斜率成等差数列，故C正确； 如图所示，过点M作，垂足为H，又，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD    12.【答案】  【解析】解：因为，，在处有极值， 所以，所以，解得 经检验时，， 当或时，；当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减，函数在处有极大值，满足题意． 故答案为： 13.【答案】2  【解析】解：由，得，即， 整理得，解得，或舍去 故答案为： 14.【答案】  【解析】解：因为，所以当时，有， 两式相减得，所以， 所以数列是以m为首项，1为公差的等差数列， 所以，， 则， 所以， 又因为对任意的，等式恒成立，所以， 解得，，所以 故答案为： 15.【答案】解：由题意， 在中， ， 的最小正周期为， ，解得 由题意及得， 在中，， ， 当单调递增时，令，， 解得，， 的单调递增区间为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，所以， 又平面，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，E为PA的中点，所以， 又平面，所以平面PAD， 因为平面PAD，所以 如图，以B为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， 则 设异面直线CD与BE所成角为， 则 ， 整理得，解得或舍去， 所以，所以   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：列联表如下： 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 零假设为：是否喜欢体育运动与性别无关联． 根据列联表可得， 所以，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联． 从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人， 则男生抽取人数为，女生抽取人数为 X的所有可能取值为0，1，2，其中，， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：双曲线的渐近线方程为， 由两条渐近线垂直可得，所以， 将点代入，得，解得， 所以E的方程为； 证明：当动直线l的斜率不存在时， ， 当动直线l的斜率存在时，不妨设直线，    故由，得， 从而，得， 又因为双曲线E的渐近线方程为， 由，得，所以， 同理可得， 所以， 又原点O到直线的距离， 所以，又， 所以， 综上所述，的面积为定值 证明：由题意可得，双曲线E的右焦点为， 当直线与的斜率都存在时， 设直线的方程为， 由，得， 且， 所以， 因为点P是AB的中点，所以， 因为，则直线的斜率， 同理可得， 因为点P与点Q的纵坐标相同，所以直线PQ与y轴垂直， 当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，易得， 当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，易得， 所以直线PQ的方程为，与y轴垂直， 综上所述，直线PQ与y轴垂直.   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：函数的定义域为， 导函数， ， 因为的图象在点处的切线过原点，所以，所以； 令，则对成立， 所以在上是增函数，所以时，， 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，所以， 即a的取值范围是； 证明：要证，只要证， 令， 因为在上是增函数，且， 所以在上存在一个实数m，使得，且在上单调递减，在上单调递增， 于是其极小值点满足， 也即，① 函数的极小值，亦为最小值为， 令，则， 令，因为在上是增函数，所以在上是减函数， ， ， 所以存在唯一一个数，使得，且当时，； 当时，， 于是其极大值点满足，即，② 函数的极大值， 亦为最大值为， 结合①②及函数在上是增函数且知，且， 即的最小值与的最大值相等，所以， 所以成立.   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $