2026年高二数学秋季开学学情自测卷01（浙江专用，人教A版选必一全册：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

**基本信息** 聚焦高二选必一核心内容，通过基础巩固与综合应用梯度设计，有效检测开学学情，解答题融合椭圆、双曲线综合问题，考查数学思维与表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|双曲线离心率、直线垂直、椭圆形状、空间向量等|单选基础辨析，多选综合应用，如第4题充要条件判断| |填空题|3/15|圆的对称、四点共面、抛物线斜率|立足空间向量与解析几何，如第13题四点共面参数计算| |解答题|5/77|直线垂直、空间向量运算、椭圆与双曲线综合|注重逻辑推理与综合应用，如18题椭圆面积最值及定点证明，19题双曲线斜率定值探究|

2026年秋季高二开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】使用双曲线的离心率计算公式求解. 【详解】由题意知，双曲线的离心率为：. 2．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两直线垂直的充要条件求出，进而求出垂足的坐标，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 3．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出各选项中椭圆的离心率后，比较离心率大小，借助离心率越小椭圆越接近于圆判断即可得. 【详解】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. 4．已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线的一个方向向量为，结合向量垂直的坐标表示，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的一个方向向量为， 又由直线的方向向量为，设， 当时，可得，此时， 所以，即充分性成立； 反之：若，可得，所以， 解得，所以必要性成立， 综上可得，“”是“”的充要条件. 5．已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 6．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故， 解得，故． 7．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 8．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 【答案】BD 【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1， 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1． 故与的焦点不同，准线不同，离心率相同，与的焦点到准线的距离相同. 10．已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先由圆上恰有个点到直线的距离为，推出圆心到直线的距离为，再结合直线过点，得出点到圆心的距离不小于，计算各选项点到圆心的距离即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径, 若圆上恰好有个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离， 即直线是圆心为、半径为的小圆的切线， 要存在过点的直线满足条件，需点在该小圆上或小圆外， 即点到的距离. 对于A：点到的距离为，A正确； 对于B：点到的距离为，B正确； 对于C：点到的距离为，C正确； 对于D：点到的距离为，D错误. 11．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 13．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 14．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 【答案】 【分析】将点代入抛物线方程得，则抛物线方程为，根据直线与的倾斜角互补得，化简得，利用两点间斜率求得，即可得解. 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，， 易知直线、直线、直线的斜率存在， 则，， 由题意，可得， 所以， 所以直线的斜率为定值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【答案】(1)垂直；(2)垂直 【详解】（1）由题意得直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以与垂直． （2）而直线的斜率不存在，故与轴垂直， 直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． 16．（15分）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)用、、表示向量，并求；(2)求直线和夹角的余弦值. 【答案】(1)，.(2) 【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解； （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【详解】（1）， 由已知可得，， 因此，. （2）由（1）知， 因为， 所以，所以； 且 ， 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 17．（15分）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 【答案】(1)证明：直线过定点，直线过定点. 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. (2)最大值为，或． 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示及两直线垂直斜率之积为证明即可. （2）设定圆圆心为，结合几何关系求解面积的最大值及取最大值时点的位置，结合两直线垂直求出方程，与定圆方程联立求出点坐标，代入直线即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. 又，则，所以直线：，即． 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， 所以直线为或，即或． 18．（17分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1)(2)2(3) 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 19．（17分）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线与直线交于点P，记直线，，的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）或（ⅱ）为定值2． 【分析】（1）利用点到直线的距离公式结合条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（ⅰ）法一：考虑直线的斜率不存在时，检验直线符合题意；当斜率存在时，设，与双曲线方程联立，写出韦达定理，求出弦长与点到直线的距离，利用列方程求解即得；法二：基本步骤同法一，利用列方程求解；法三：设直线的方程为，与法一同法列方程求解；法四：设直线的方程为，与法二利用列方程求解；（ⅱ）设，与双曲线方程联立，消去，写出韦达定理，分别写出直线，的方程，联立推得，利用斜率公式化简计算即得. 【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，知． 且，则得，又， 故双曲线的标准方程为； （2） （ⅰ） 法一：当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入双曲线方程， 求得，不妨设，，则，又， 故的面积，即直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 将其与双曲线方程联立：，消元可得 则，设，， 则，， 故， 而点到直线的距离， 故的面积为：， 整理得，化简得解得，所以直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 法二：当直线的斜率不存在时，与上同法得到直线符合题意； 当直线的斜率存在时，与上同法得到：， 因， 故的面积，即， 整理得，解得，则得直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 法三：由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设，则，． 故，点到直线的距离， 故的面积， 即，解得或， 所以当时，直线的方程为或． 法四：由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设，，则，． 故的面积， 即，解得或， 所以当时，直线的方程为或． （ⅱ） 由题意知，，故可设，直线与双曲线方程联立得， 又因为直线与双曲线交于两点，则，， 设，，则，， 所以直线，的方程分别为，， 联立得， ， 化简得， 因为，，所以， 所以 ， ， 得，则可设点，故可得，， 所以，所以为定值2． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 6-------=------------2 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5,正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) 1 [A][B]IC]ID] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][BI[C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 日 12 13 14. 剂 请在各题目棘奢题！内体，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (道9并)道S熊点谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海习璐品阴目酷号平巢 (女LI)·8I :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2026年秋季高二开学学情自测卷 数学 ·: (考试时间：120分钟试卷满分：150分) .: 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教A版2019选必一全部 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知双曲线C:: 尽 4=1,则双曲线C的离心率为（) : A.5 B.5 c.35 D.5 2 2.已知直线4x+y-6=0与直线5x-2y+n=0垂直，垂足为(t,1),则n的值为() A.7 B.9 : : C.11 D.-7 : 3.比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是() A.+-1B.+上=1 c.+-1 D. =1 然 364 369 3+36 1236 4.已知直线的倾斜角为45°，直线2的方向向量为(2，k),则“k=-2”是“4⊥12”的() : A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5已知直线y=(+与圆C:(x-+少=4相交于点4，日，ACB=否，则k=() : A.±V5 B.±3 C.±1 D.±3 班 6.已知向量AB=(2,0,-2),AC=(0,2,-2),=(x,2y,2),平面ABC的法向量为a,则xy的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 : 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 7.在四面体OABC中，点M满足OM=3MA,N在BC上，若MN=xAB+yOC,则x-V=() M A0B.}c.D. 8.己知椭圆 京+1(a>b>0)的右焦点为R,过原点的直线I交椭圆于A,8两点，若2B=34, y2 且∠AFB= ,则椭圆的离心率为() A. 3 B.5 c.7 D.V19 5 5 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知抛物线C:x2=y与C:y2=x,则() A.C1与C2的焦点相同 B.C1与C,的离心率相同 C.C1与C,的准线相同 D.C1与C,的焦点到准线的距离相同 10.己知圆C:(x-2)+(y-1)=4,直线1经过点P,且圆C上恰好有3个点到直线1的距离为1，则点P 的坐标可能为() A.(3,3) B.(4,1) C.(2,0) D 11.在空间直角坐标系0-xz中，己知A(1,2,-1),B(0,1,1),下列结论正确的有() A.4B= B.OA.OB=1 C.若i=(4,2,t),且i1AB,则t=3D.若m=(1,1,k)且m∥AB,则k=2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若圆C:(x-1)+(y+2)=9上存在不同两点P、9关于直线x+y-3=0对称，则实数a= 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 13.已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O,满足AD=2OA+(2-3m)OB+mOC.若A,B,C, D四点共面，则m= 14.已知P(1,2)为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，直线l与抛物线C交于A,B两点，点P不在直线1上， 且直线PA与PB的倾斜角互补，则直线I的斜率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分)判断下列两条直线是否垂直. (1)直线4的斜率为-10，直线2经过点A(10,2),B(20,3): (2)直线4经过点A(3,4),B(3,7),直线13经过点P(-2,4),Q(2,4): 16.(15分)如图在平行六面体ABCD-ABC1D中，AB=AD=AA=√2，∠AAB=∠AAD=∠BAD=60° 令AB=a,AD=b,A4=c,以{a,b,c为基底，解决下列问题： D B (1)用a、b、c表示向量AC,并求AC；(2)求直线AC和BC1夹角的余弦值 17.（15分)己知直线4：mx-y=0,12:x+w-m-2=0. (1)求证：对∈R,41与2的交点P在一个定圆上： (2)若与定圆的另一个交点为？，1，与定圆的另一交点为乃，求当m在实数范围内取值时，△PD面积的 最大值及对应的m. 正如椭圆c:。+Qb>0的左、石焦点分别为，，花25.离 2 与y轴垂直的直线I与C交于A,B两点. (1)求C的方程； (2)若直线I经过点耳，求△AB的面积的最大值： 试题第3页（共6页） (3)C的左顶点为D,若AD⊥BD,证明：直线I过定点. 19.(17分)已知双曲线E: 尔=1a>0,6>0)的右焦点F(2,0)到渐近线的距离为1， x y (1)求双曲线E的标准方程： (2)点O为坐标原点，过点F(2,0)的直线l与双曲线E交于M,N两点. ®] (若△0N的面积为25，求直线1的方程， 3 卡 (i)双曲线E的左右顶点分别为A,B,直线AM与直线BN交于点P,记直线AM,BN,PF的斜率分 别为北、专、名：探究专是有为定位，若为定值：求出该定位，若不是完值请说明山 张 江 游 游 时 性 O 试题第4页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D C B B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12．-1 13．2 14．-1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)垂直；(2)垂直 【详解】（1）由题意得直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以与垂直．(6分) （2）而直线的斜率不存在，故与轴垂直， 直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直．(7分) 16．（15分）【答案】(1)，.(2) 【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解； （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【详解】（1）， 由已知可得，， 因此，.(6分) （2）由（1）知， 因为， 所以，所以；(4分) 且 ， 所以. 即直线和夹角的余弦值为.(5分) 17．（15分）【答案】(1)证明：直线过定点，直线过定点. 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. (7分) (2)最大值为，或． （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. 又，则，所以直线：，即． 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， 所以直线为或，即或．(8分) 18．（17分）【答案】(1)(2)2(3) 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为．(4分) （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2．(6分) （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点．(7分) 19．【答案】(1) (2)（ⅰ）或（ⅱ）为定值2． 【分析】（1）利用点到直线的距离公式结合条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（ⅰ）法一：考虑直线的斜率不存在时，检验直线符合题意；当斜率存在时，设，与双曲线方程联立，写出韦达定理，求出弦长与点到直线的距离，利用列方程求解即得；法二：基本步骤同法一，利用列方程求解；法三：设直线的方程为，与法一同法列方程求解；法四：设直线的方程为，与法二利用列方程求解；（ⅱ）设，与双曲线方程联立，消去，写出韦达定理，分别写出直线，的方程，联立推得，利用斜率公式化简计算即得. 【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，知． 且，则得，又， 故双曲线的标准方程为；(3分) （2）（下面任一方法正确均可得该问得满分）(6分) （ⅰ） 法一：当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入双曲线方程， 求得，不妨设，，则，又， 故的面积，即直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 将其与双曲线方程联立：，消元可得 则，设，， 则，， 故， 而点到直线的距离， 故的面积为：， 整理得，化简得解得，所以直线方程为． 综上当时，直线的方程为或．(6分) 法二：当直线的斜率不存在时，与上同法得到直线符合题意； 当直线的斜率存在时，与上同法得到：， 因， 故的面积，即， 整理得，解得，则得直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 法三：由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设，则，． 故，点到直线的距离， 故的面积， 即，解得或， 所以当时，直线的方程为或． 法四：由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设，，则，． 故的面积， 即，解得或， 所以当时，直线的方程为或． （ⅱ） 由题意知，，故可设，直线与双曲线方程联立得， 又因为直线与双曲线交于两点，则，， 设，，则，， 所以直线，的方程分别为，， 联立得， ， 化简得， 因为，，所以， 所以 ， ， 得，则可设点，故可得，， 所以，所以为定值2．(8分) ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019选必一全部 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 2．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 10．已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 11．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 13．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 14．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 16．（15分）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)用、、表示向量，并求；(2)求直线和夹角的余弦值 17．（15分）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 18．（17分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 19．（17分）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线与直线交于点P，记直线，，的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019选必一全部 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 2．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 10．已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 11．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 13．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 14．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 16．（15分）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)用、、表示向量，并求；(2)求直线和夹角的余弦值 17．（15分）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 18．（17分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 19．（17分）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线与直线交于点P，记直线，，的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $