浙江省湖州市2026-2027学年高二上学期数学开学考阶段练习（二）

**基本信息** 浙江省湖州市高二数学开学考阶段练习，以必修第一、二册为范围，融合高考真题与模拟题，通过秦九韶公式应用、麦田分割等情境，考查数学建模、数据分析等核心素养，知识覆盖全面且梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数运算、向量垂直、集合运算、线面关系等|整合2024全国甲卷等高考真题，基础题占比62.5%（5题）| |多选题|3/18|函数概念、锥体体积、解三角形|结合秦九韶公式考查文化传承，选项分层设错| |填空题|3/15|概率计算、解三角形、外接球表面积|第14题动态几何求最值，体现空间观念| |解答题|5/77|复数应用、解三角形、统计案例、立体几何、实际应用题|第19题以麦田分割为情境，融合余弦定理与二次函数求最值，考查数学建模|

浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学考阶段练习 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京海淀·月考）已知两条不重合的直线与两个不重合的平面，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2026·天津东丽·一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 6．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 7．（25-26高一下·北京海淀·期中）若函数在区间内恰有两个最值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 10．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·浙江嘉兴·月考）我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（    ） A．三个内角A，B，C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与AC交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 13．（25-26高二上·河北·月考）已知锐角的内角的对边分别为，且，则角______；若，则周长的取值范围为______. 14．（23-24高三上·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 17．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 19．（24-25高一下·广西梧州·期末）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．    (1)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学考阶段练习 （参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．A 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则.故选：A 2．D 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故，故选：D. 3．C 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】由，则， 而，则，若，则，，此时，不满足题意，故，同理可得，又，则. 4．A 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面关系，面面关系，线面垂直的性质，线面平行的判定，逐一判断每个选项即可. 【详解】A选项，若，的位置关系不确定，可能，还可能，或相交但不垂直，A选项错误；B选项，若，垂直于同一条直线的两平面平行，即，B选项正确；C选项，根据线面垂直的性质可知，，C选项正确；D选项，若，根据线面平行的判定可知，，D选项正确.故选：A 5．D 【难度】0.65 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】利用频率分布直方图与数字特征的关系，逐个求解判断即可. 【详解】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程，解得，.正确. 对于选项B，成绩在的频率为：， 所以频数为，正确. 对于选项C，前3个小长方形的面积和为， 而的频率是.所以前4个小长方形面积和大于. 即中位数一定出现在内，正确. 对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和， 即.所以D不正确. 6．B 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 7．B 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】按照的正负分类讨论，根据正弦函数的图象和性质列不等式求解即可. 【详解】当时，，则， 根据在的图象可知， 无法使得在区间内恰有两个最值点和三个零点，所以不能为正； 当时，，则， 由函数在区间内恰有两个最值点和三个零点， 故根据在的图象可知，需满足， 解得. 8．C 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【详解】方法一：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立.故选：C 方法二：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C． 方法三：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增， ，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．ACD 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、判断两个函数是否相等、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【详解】因为，定义域为， 所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 当时，可得，则必有，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 10．CD 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可. 【详解】 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则， 则，， ，则，，， 则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD. 11．ABD 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】对A，利用正弦定理得出三边关系，结合余弦定理可判定；对B，由三角形面积公式计算可得三边长，从而判定；对C，利用三角形面积公式结合已知条件求解；对D，设，利用正弦定理表示出，由数量积定义求出，利用正弦函数性质求解最值. 【详解】对于A，由，得， 设，由余弦定理，，又，所以，则，故A正确； 对于B，由，解得， 所以，则其周长为，故B正确； 对于C，由， 所以，解得，故C错误； 对于D，当E在优弧AC上时，设，，则， 在中，， 由正弦定理，， ，因为，所以， 当，即时，，即取得最大值； 当E在劣弧AC上时，若相同时，此时小于E在优弧AC上； 综上，的最大值为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．；/ 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，．故答案为：；． 13．； 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合可得出关于角的三角等式，进而可求得的值，即可；利用正弦定理以及三角恒等变换思想得出，根据为锐角三角形求得角的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围.即可求解. 【详解】因为， 又正弦定理得 整理可得， ，，可得，，. 又是锐角三角形，，解得， 由正弦定理得， ， ，，，. 又，所以周长的取值范围为 14． 【难度】0.15 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值． 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是， 则，∴， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，， 又平面，所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以，在直角中，，， ，，∴， ，令，则， ， 当且仅当，时等号成立，所以的最小值是． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数、共轭复数概念及计算、利用数量积求参数 【分析】（1）利用共轭复数性质和韦达定理求解方程参数； （2）将复数转化为向量，利用向量夹角为钝角的条件（数量积为负且不共线）求参数范围． 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，，由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 16．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得，又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即，又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，，又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，，又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得，故的周长为 17．(1)，； (2)，最小值为． 【难度】0.65 【知识点】频率分布直方图的实际应用、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出； （2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：，． （2）当时， ； 当时， , 故，所以在区间的最小值为． 18．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 19．(1)验证见解析， (2) (3)， 【难度】0.4 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理表示出，再化简即可. （2）根据三角形的面积公式以及（1）结论，利用二次函数的最值求解. （3）根据题意列出解析式，再根据（1）（2）问的结论化简，利用二次函数的最值求解. 【详解】（1）在△ABD中，由余弦定理得， 即. 在△BCD中，由余弦定理得， 即，所以， 即，所以无论BD多长，． （2），， 则， 由（1）知，，即，代入上式， 得， 配方得，当时，取到最大值为． （3）设，净收益为y，则， 由（1）知，，则. 由（2）知， 所以， 令，则， 所以，即当时，净收益最大，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $