浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习（一）（人教A版必修第一册，必修第二册）

**基本信息** 浙江省湖州市高二开学数学练习，以必修第一、二册为范围，融合高考真题与模拟题，通过向量、立体几何、统计等知识，设置选择、解答等题型，梯度覆盖基础巩固与创新应用，培养数学抽象、推理及数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|向量模、圆柱与球、三角函数图象变换|融入北京、天津高考真题，考查空间观念与运算能力| |多选题|3/18|复数几何意义、统计图表分析|结合保险参保数据图表，培养数据意识与批判性思维| |填空题|3/15|三棱台体积、向量表示、三角函数单调性|分层设问，如向量表示与面积最值结合，体现抽象能力| |解答题|5/77|统计频率分布直方图、解三角形、立体几何证明、函数新定义|第15题统计与概率综合，第19题新定义函数探究，注重数学思维与创新应用|

浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·辽宁大连·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据，，…，的平均数和方差分别为（     ） A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4 5．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面平面 C．平面 D．平面平面 6．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内，若小球下落过程中向左落下的概率为，则小球最终落入④号球槽的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，A，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（2021·山东日照·二模）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例： 用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（    ） A．54周岁以上参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少 C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁以上的人群约占参保人群20% 10．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内z对应点在第四象限 B． C． D． 11．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，且为中点，则 C．不存在与，使得 D．当时，则最小值为 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（22-23高二下·浙江温州·期末）若一个三棱台的上、下底面的面积分别是1和4，体积为，则该三棱台的高为_______． 13．（25-26高三上·天津红桥·期末）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点， 设，试用a，b表示为_____________; 的面积为，则的最小值为______________. 14．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，定义域为___________，的单调增区间为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（25-26高一上·江西景德镇·期末）某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 16．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）的内角的对边分别为，已知A为钝角，，且． (1)证明：．(2)求A． (3)若的中线，求． 17．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，其中为奇函数，为偶函数. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)若对于任意的实数，都有恒成立，求的取值范围. 19．（2026高三下·上海·专题练习）对于定义域为的函数与实数，定义集合. (1)若，求； (2)若，且对任意实数均有，求的取值范围； (3)是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习 （参考答案） 1．D 【难度】0.65 【知识点】向量的模、向量加法法则的几何应用、向量减法的运算律、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量坐标模长公式计算结合绝对值不等式计算求解. 【详解】因为，且 ，则， 所以， 所以当反向时，取最大值为4. 2．B 【难度】0.85 【知识点】组合体的切接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理求出球的半径，进而即可求出球的表面积． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 设球的半径为， 由题意可知，， 则在直角中，，所以球的表面积． 3．D 【难度】0.85 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【详解】由，只需把函数的图象向右平移个单位长度. 4．A 【难度】0.85 【知识点】各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. 5．D 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】【解法一】A项，通过证明四边形是平行四边形，即可证明结论；B项，通过，，即可证明平面；C项，通过证明平面，平面，即可证明结论；D项，假设垂直，得出平面，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论. 【解法二】建立空间直角坐标系，求平面、平面和平面的法向量，利用空间向量判断线、面关系. 【详解】【解法一】由题意，在正方体中， A：，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B：由几何知识得，，，，平面，平面，∴平面，故B正确； C:∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D：假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面，∵平面，∴，连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾，故D错误. 【解法二】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面    ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 可知平面与平面不垂直，故D错误. 6．D 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 7．C 【难度】0.65 【知识点】对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【详解】 设小球最终落入④号球槽为事件A，小球落下要经过5次碰撞， 每次向左、向右落下的概率分别为和，并且相互独立， 最终落入④号球槽需两次向左，三次向右， 所以小球最终落入④号球槽的概率为：． 8．B 【难度】0.15 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【详解】因为，则，即得， 所以中， 所以，所以的范围为. 9．ACD 【难度】0.65 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模 【分析】求出复数在复平面内对应的点可判断A；求出可判断B；求出、共轭复数的模长可判断C；计算可判断D. 【详解】对于选项A：复数在复平面内对应的点为，实部， 虚部，因此位于第四象限，A正确； 对于选项B：共轭复数，则， 与选项中不符，B错误； 对于选项C：复数的模长， 共轭复数的模长与原复数相等，故，C正确； 对于选项D：计算，有理化分母得： ，D正确.故选：ACD 10．AC 【难度】0.85 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】A选项，根据扇形统计图可得A正确；B选项，从扇形统计图和折线统计图计算出54周岁以上人群参保总费用比18～29周岁人群参保总费用低，B错误；C选项，从条形统计图可得C正确；D选项，从扇形统计图可得到D错误. 【详解】设抽查的5个险种参保客户的总人数为， A选项，从扇形图可得到54周岁以上参保人数占比为，人数最少，A正确； B选项，18～29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保总费用高于， 54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为， 由于，故18～29周岁人群参保总费用不是最少的，B错误； C选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为，比其他险种均高，故更受参保人青睐，C正确； D选项，30周岁以上的人群约占参保人群为，D错误.故选：AC 11．ABD 【难度】0.4 【知识点】面面垂直证线面垂直、余弦定理解三角形 【分析】A：运用已知公式直接判断即可； B：根据面面垂直的性质定理，结合勾股定理和逆定理进行运算判断即可. C：运用假设法，结合余弦函数的最值性质进行判断即可； D：根据锐角三角函数定义，结合余弦定理、基本不等式进行求解判断即可. 【详解】A：当时，由已知公式，得 ， 所以，所以本选项说法正确； B：当为中点，取的中点，连接， 因为在矩形中，，所以， 由勾股定理可得，且 ，而， 所以， 所以，于是， 因为，所以平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面，平面， 所以，于是有， 因为， 所以，所以本选项说法正确； C：假设存在与，使得， 因为在矩形中，， 所以， 由已知公式 ， 显然，所以假设成立，因此本选项说法不正确； D：在矩形中，设， 所以， 于是有， 因为， 所以由 ， 由余弦定理可得： ， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 所以由 ，所以本选项说法正确.故选：ABD 12． 【难度】0.85 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】由台体体积公式即可得出. 【详解】设三棱台高为h，则由台体体积公式可得 ，解得.故答案为：. 13．；(第一个空2分，第二个空3分） 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、用基底表示向量、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求出；利用三角形面积公式及数量积的运算律，结合基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，则， 因此，， 由的面积为，得，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 14．； （第一个空2分，第二个空3分） 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先由分母不为零确定定义域，再通过三角恒等变换化简函数，结合正弦函数的单调区间求解后扣除定义域限制的点即可． 【详解】要使函数有意义，需满足分母，解得， 因此的定义域为． 在定义域的条件下，可得 ； 因为正弦函数的单调增区间为， 令，代入得， 解不等式可得； 结合定义域，因此的单调增区间为． 15．(1) (2)（或）， (3) 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得. （2）利用中位数和平均数的定义，结合直方图列式求解. （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）；.........................................2分 （2）；所以中位数在内，设中位数为， （或）．.............................................................................5分 ．.......................................................8分 （3）与的频率之比， 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为，......10分 共10种情况，符合条件的6种情况；．.....................................................................13分 16．(1)略 (2)； (3) 【难度】0.65 【知识点】和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、几何图形中的计算 【分析】（1）利用三角形内角和与余弦和差角公式，结合已知余弦乘积推导，结合角的范围完成证明； （2）联立内角和等式与的关系式，解方程组求得角； （3）通过向量中线公式建立边的方程，结合正弦定理得到两边比例，代入化简求解. 【详解】（1）证明：由三角形内角和定理得，故. 由余弦和角公式展开得，................................................................2分 代入得，解得..............................................3分 则.....................................................................4分 因为钝角，故，，即，因此，得证...........6分 （2）联立，两式相加得，解得................................................9分 （3）由为边上的中线，得， 两边取模长得. 代入，，，， 得，即..............................................................................11分 由正弦定理得，故. 由得，因此. 由得，，， 故，即..............................................................................13分 将代入得， 整理得，解得........................................................15分 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求线面角、证明面面垂直 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，进而利用线面平行判定定理证明； （2）利用等腰三角形性质证明，结合线面垂直性质证明，从而证得平面，进而利用面面垂直判定定理证明； （3）取中点，确定直线与平面所成角为，通过解直角三角形计算正弦值. 【详解】（1）连，设. 因为底面为平行四边形，所以为的中点．.........................................................1分 又因为为的中点，所以． .............................................................................2分 因为平面，平面，所以平面．....................................4分 （2）在中，因为，所以为等腰三角形，故． 所以，即． ..............................................................6分 因为平面，平面， 所以． ..........................................7分 又因为，平面，所以平面．.................................8分 因为平面，所以平面平面．..............................................................9分 （3）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且．因为平面，， 所以平面，且． 则为直线与平面所成的角.......................................................................11分 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以.....................................................................................14分 即直线与平面所成角的正弦值为．...........................................................15分 18．(1)； (2)在上是增函数，证明见解析； (3) 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、求对数函数的定义域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）将中的换，利用奇偶性，得到的另一个等式，将这两个等式相减即得； （2）先求出定义域，在上任取两个数，且，求与0的大小，根据增减函数的定义得解； （3）在上是增函数得到在上是增函数， 由对于任意的实数，都有恒成立，结合定义域得到，设，利用基本不等式结合定义域得解. 【详解】（1），， 为奇函数，，为偶函数，， ，， 联立，解得；..............................................5分 （2）在上是增函数，证明如下：..........................................................................6分 ，，的定义域为，..........................................................7分 在上任取两个数，且， ， ，...........................................................................................................9分 ，，， ，， ， ，， ，，在上是增函数.................................11分 （3）在上是增函数，在上是增函数， 对于任意的实数，都有恒成立， ..................................................................................................12分 ，，，，，................................13分 设，， ，...................................15分 当且仅当，即时，等号成立，而，则等号不成立，...................16分 故，，又，，的取值范围....................................17分 19．(1) (2)； (3)不存在，理由见解析 【难度】0.15 【知识点】函数新定义 【分析】（1）将和代入定义，计算出与 的表达式，代入不等式化简后解出的范围； （2）等价转化为，再根据二次函数性质得到最值，从而得到不等式，解出即可； （3）根据反证法和连续函数的保号性即可得到证明. 【详解】（1）已知函数，， ................................................................1分 首先计算： .................................................2分 代入不等式： 因为，两边同除以得： 利用平方差公式：所以：..................................4分 又，故：因此，........................................................................5分 （2） 即，设，对称轴， 故有最大值，故，即.........................................................11分 （3）假设存在连续函数，使得， ， 由于连续，则也连续， 即， 否则，由保号性可知与矛盾. 同理，由， 可知， 即. 当时，可得，. ， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 同理， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 即， ， 即， 使得， 此时有，这与矛盾.当时，同理可得矛盾. 综上，故不存在连续函数使之成立.................................................................................17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $