专题06 幂的运算与乘法公式暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题06幂的运算与乘法公式暑假预习讲义 1.熟记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方四条运算法则，能正向、逆向灵活运用计算。 2.掌握零指数幂、负整数指数幂定义，会进行含负指数、零指数的化简求值。 3.吃透平方差、完全平方两个乘法公式，分清公式结构特征，直接套用整式计算。 4.学会识别公式变形题型，能对多项式变形后逆用公式简化运算。 5.规范整式运算步骤，区分幂运算法则易混公式，规避符号、指数计算错误。 6.体会整体代换、转化思想，为因式分解、分式计算打好基础。 分层预习要求 基础：熟记幂运算法则与两大乘法公式，完成基础单项式、多项式计算； 提高：逆用幂的公式、乘法公式化简求值，处理含负指数、括号符号题型； 拓展：整体代入求值、配方变形、复杂混合整式综合运算。 预习必备 知识梳理 1.幂的基本认识 2.幂的运算 3.三大核心幂运算对比 4.幂的混合运算 5.乘法公式 高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.同底数幂相乘 2.同底数幂乘法的逆用 3.幂的乘方运算 4.幂的乘方的逆用 5.积的乘方运算 6.积的乘方的逆用 7.幂的混合运算 8.运用平方差公式进行运算 9.平方差公式与几何图形 10.运用完全平方公式进行运算 11.完全平方公式变形求值 12.完全平方公式与几何图形 13.求完全平方式中的字母系数 14.整式的混合运算 强化题型 解答题10题 知识点01:幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 期末最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02:幂的运算 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ✅ 公式:aman=am+n ✅ 拓展：多个相乘也适用，amanap=am+n+p ✅ 逆用：am+n=aman（求值、化简超好用）⚠️ ⚠坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是 1（如a=a1），别漏算！ 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘 ✅ 公式：(am)n=amn （m、n为正整数） ✅ 拓展：多层乘方也能算，[(am)n]p=amnp ✅ 逆用：：amn=(am)n=(an)m ⚠坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个 “指数相乘”，一个 “指数相加” 3. 积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 ✅ 公式：(ab)n=anbn （n为正整数） ✅ 拓展：多个因式也适用，(abc)n=anbncn ✅ 逆用：anbn=(ab)n（遇指数相同，直接合并底数超省事）⚠️ ⚠坑点：每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)32a3b3） 知识点03:三大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点04:幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2.先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3.再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4.处理特殊指数：零指数、负指数化简 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点05.乘法公式 1.必考五大变式（整体代入求值必考） 2.公式使用要点 (1)公式中a、b可代表单项式、多项式，学会整体换元； (2)区分平方差与完全平方，完全平方不要遗漏中间2ab项； (3)既可正向展开化简，也可逆用简化大数计算。 3.补充拓展：补充十字相乘简单拓展（期末选填偶尔涉及） (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 知识点06:整式混合运算运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内；能用乘法公式优先套用公式简化计算。 知识点07:全章超详细易错点汇总表（阅卷扣分点全覆盖） 错误类型 错误写法 正确写法 错因深度解析 同底相乘指数相乘 a2a3=a6 a2a3=a5 混淆乘除与乘方指数规则 幂的乘方指数相加 (a2)3=a5 (a2)3=a6 高级运算指数相乘 积的乘方漏系数 (3a)2=3a2 (3a)2=9a2 因式包含系数，必须整体乘方 底数混淆 -22=4 -22=-4 有无括号，底数完全不同 结果保留负指数 最终式子带负指数 必须化为正指数分式 考试硬性扣分 异底幂乱运算 不同底数指数乱加减 异底先转化，不能直接运算 概念不清晰 题型1.同底数幂相乘 【典例】计算的结果为______． 【跟踪专练1】______． 【跟踪专练2】已知：（为正整数，且），则________． 【跟踪专练3】当为偶数时，与的关系是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．大于 D．无法确定 题型2.同底数幂乘法的逆用 【典例】若，，则的值为__________． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 【跟踪专练2】已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【跟踪专练3】计算：等于（    ） A． B．2 C． D． 题型3.幂的乘方运算 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则x的值是_______． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．12 B．17 C．36 D．72 题型4.幂的乘方的逆用 【典例】若，，则______． 【跟踪专练1】计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值是________． 【跟踪专练3】若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5.积的乘方运算 【典例】计算：_____． 【跟踪专练1】计算： __________． 【跟踪专练2】计算的结果是________． 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 题型6.积的乘方的逆用 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】计算：等于（   ） A．2 B． C． D． 题型7.幂的混合运算 【典例】计算： ______． 【跟踪专练1】定义新运算：，则的运算结果是____________． 【跟踪专练2】计算： ______． 【跟踪专练3】已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型8.运用平方差公式进行运算 【典例】计算______． 【跟踪专练1】已知，则的值_______． 【跟踪专练2】如果，那么_____． 【跟踪专练3】下列不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 题型9.平方差公式与几何图形 【典例】如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 【跟踪专练1】从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【跟踪专练3】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 题型10.运用完全平方公式进行运算 【典例】若，则m的值为_____． 【跟踪专练1】下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，则_________． 【跟踪专练3】已知，，，若，则的值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．27 题型11.完全平方公式变形求值 【典例】已知实数a、b满足，，则______． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【跟踪专练2】已知，，，则代数式的值为________． 【跟踪专练3】如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．40 题型12.完全平方公式与几何图形 【典例】如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 【跟踪专练1】在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 【跟踪专练3】如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 题型13.求完全平方式中的字母系数 【典例】若是一个完全平方式，则______________． 【跟踪专练1】若多项式是一个多项式的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是一个完全平方式，则m的值为________． 【跟踪专练3】若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 题型14.整式的混合运算 【典例】定义，例如．则的结果为___________ 【跟踪专练1】，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则代数式的值是___． 【跟踪专练3】若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算： (1)； (2)． 7．先化简，再求值：，其中． 8．如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 9．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 10．阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06幂的运算与乘法公式暑假预习讲义 1.熟记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方四条运算法则，能正向、逆向灵活运用计算。 2.掌握零指数幂、负整数指数幂定义，会进行含负指数、零指数的化简求值。 3.吃透平方差、完全平方两个乘法公式，分清公式结构特征，直接套用整式计算。 4.学会识别公式变形题型，能对多项式变形后逆用公式简化运算。 5.规范整式运算步骤，区分幂运算法则易混公式，规避符号、指数计算错误。 6.体会整体代换、转化思想，为因式分解、分式计算打好基础。 分层预习要求 基础：熟记幂运算法则与两大乘法公式，完成基础单项式、多项式计算； 提高：逆用幂的公式、乘法公式化简求值，处理含负指数、括号符号题型； 拓展：整体代入求值、配方变形、复杂混合整式综合运算。 预习必备 知识梳理 1.幂的基本认识 2.幂的运算 3.三大核心幂运算对比 4.幂的混合运算 5.乘法公式 高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.同底数幂相乘 2.同底数幂乘法的逆用 3.幂的乘方运算 4.幂的乘方的逆用 5.积的乘方运算 6.积的乘方的逆用 7.幂的混合运算 8.运用平方差公式进行运算 9.平方差公式与几何图形 10.运用完全平方公式进行运算 11.完全平方公式变形求值 12.完全平方公式与几何图形 13.求完全平方式中的字母系数 14.整式的混合运算 强化题型 解答题10题 知识点01:幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 期末最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02:幂的运算 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ✅ 公式:aman=am+n ✅ 拓展：多个相乘也适用，amanap=am+n+p ✅ 逆用：am+n=aman（求值、化简超好用）⚠️ ⚠坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是 1（如a=a1），别漏算！ 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘 ✅ 公式：(am)n=amn （m、n为正整数） ✅ 拓展：多层乘方也能算，[(am)n]p=amnp ✅ 逆用：：amn=(am)n=(an)m ⚠坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个 “指数相乘”，一个 “指数相加” 3. 积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 ✅ 公式：(ab)n=anbn （n为正整数） ✅ 拓展：多个因式也适用，(abc)n=anbncn ✅ 逆用：anbn=(ab)n（遇指数相同，直接合并底数超省事）⚠️ ⚠坑点：每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)32a3b3） 知识点03:三大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点04:幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2.先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3.再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4.处理特殊指数：零指数、负指数化简 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点05.乘法公式 1.必考五大变式（整体代入求值必考） 2.公式使用要点 (1)公式中a、b可代表单项式、多项式，学会整体换元； (2)区分平方差与完全平方，完全平方不要遗漏中间2ab项； (3)既可正向展开化简，也可逆用简化大数计算。 3.补充拓展：补充十字相乘简单拓展（期末选填偶尔涉及） (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 知识点06:整式混合运算运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内；能用乘法公式优先套用公式简化计算。 知识点07:全章超详细易错点汇总表（阅卷扣分点全覆盖） 错误类型 错误写法 正确写法 错因深度解析 同底相乘指数相乘 a2a3=a6 a2a3=a5 混淆乘除与乘方指数规则 幂的乘方指数相加 (a2)3=a5 (a2)3=a6 高级运算指数相乘 积的乘方漏系数 (3a)2=3a2 (3a)2=9a2 因式包含系数，必须整体乘方 底数混淆 -22=4 -22=-4 有无括号，底数完全不同 结果保留负指数 最终式子带负指数 必须化为正指数分式 考试硬性扣分 异底幂乱运算 不同底数指数乱加减 异底先转化，不能直接运算 概念不清晰 题型1.同底数幂相乘 【典例】计算的结果为______． 【答案】 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】解：原式． 【跟踪专练1】______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练2】已知：（为正整数，且），则________． 【答案】6 【分析】先根据合并同类项的意义，将左边化简，再利用同底数幂的乘法法则计算，根据幂相等，底数时指数相等，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：左边为个相加，可得 根据同底数幂的乘法法则，得 已知等式为 因为为正整数，且，所以等式两边底数相等，因此指数相等，即 移项得 合并同类项得 系数化为得． 【跟踪专练3】当为偶数时，与的关系是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．大于 D．无法确定 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法求出，再根据的奇偶性进行判断即可． 【详解】解：由为偶数时，， 为偶数时， 为奇数时， 即当为偶数时，与的关系无法确定． 题型2.同底数幂乘法的逆用 【典例】若，，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 【答案】B 【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形后，再将已知条件代入计算即可． 【详解】解：逆用同底数幂乘法法则可得：， ∵ ，， ∴ ，即选项B符合题意． 【跟踪专练2】已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】计算：等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是幂的运算性质，解题的关键是逆用同底数幂的乘法法则以及使用提取公因式法进行计算． 【详解】解： ． 故选：D． 题型3.幂的乘方运算 【典例】计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据乘法的意义化简括号内a个a相加的和，再利用幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：原式． 【跟踪专练2】若，则x的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方． 逆用积的乘方得到，根据幂的乘方得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．12 B．17 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算法则的应用，利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则将所求式子转化为已知条件的形式，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 题型4.幂的乘方的逆用 【典例】若，，则______． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法和幂的乘方逆运算对所求式子变形，将已知代入计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】已知，则的值是________． 【答案】17 【分析】根据幂的乘方与同底数幂的乘法运算法则，将等式左边化为底数为3的幂，与等式右边对比后即可求得的值． 【详解】解：因为，即， 所以． 【跟踪专练3】若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到的值 【详解】解：∵ ，， ∴ 将代入，可得 ， 由幂的乘方法则得 ， ∵ ，将代入得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 题型5.积的乘方运算 【典例】计算：_____． 【答案】 【分析】先运用积的乘方法则，将系数与字母分别乘方，再运用幂的乘方法则计算字母部分的幂，最后合并得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算： __________． 【答案】 【分析】先依据积的乘方法则计算，再运用同底数幂的乘法法则计算乘法运算，最后合并同类项得出结果． 【详解】解：原式 【跟踪专练2】计算的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，表示，利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 【答案】A 【分析】通过简化指数表达式，利用负数的奇偶次幂性质，并将积的乘方的逆运算合并计算． 本题主要考查了同底数幂乘法的运算，积的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握各种运算的特点． 【详解】解： 原式   故选：A． 题型6.积的乘方的逆用 【典例】计算：________． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方逆运算及负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则及逆用公式简化计算是解题的关键．先利用积的乘方逆运算，将原式变形为同底数幂相乘的形式，再根据幂的运算法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步可变形为，据此求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行简便计算即可. 【详解】解：原式. 【跟踪专练3】计算：等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法和积的乘方逆用，逆向运用积的乘方运算和同底数幂乘法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 题型7.幂的混合运算 【典例】计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】定义新运算：，则的运算结果是____________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键． 根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 【跟踪专练2】计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为: ． 【跟踪专练3】已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 题型8.运用平方差公式进行运算 【典例】计算______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】已知，则的值_______． 【答案】 【分析】运用平方差公式，结合化简求值即可． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练2】如果，那么_____． 【答案】或 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方根的定义解方程．设，将原方程转化为，利用平方差公式求解． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 所以， 因此， 即或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】下列不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的形式逐项判断，如果符合平方差公式的形式，就可以用平方差公式计算，否则不能用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，故A选项不符合题意； B选项：符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，故B选项不符合题意； C选项：不符合平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，故C选项符合题意； D选项：，其中符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，故D选项不符合题意． 故选：C． 题型9.平方差公式与几何图形 【典例】如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， ∵两正方形面积之差为51， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3 【跟踪专练1】从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，利用面积法验证公式是解题的关键．通过观察图到图的图形变化，分别计算出两个图形的面积，再根据图形剪拼前后面积不变的原理，即可推导出平方差公式． 【详解】解：图一的面积可表示为， 图二的面积可表示为， ， 故选：． 【跟踪专练2】如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【分析】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 【跟踪专练3】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 题型10.运用完全平方公式进行运算 【典例】若，则m的值为_____． 【答案】6 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，再根据多项式相等时对应项系数相等求出m的值. 【详解】解：， ∴， ∴. 【跟踪专练1】下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方的非负性，根据完全平方公式和平方的非负性逐一判断即可． 【详解】解：A、，原等式成立，故此选项不符合题意； B、，原等式成立，故此选项不符合题意； C、，且（除非），原等式不成立，符合题意； D、，，且，原等式成立，故此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】若，，则_________． 【答案】1 【分析】将已知两式相减，再利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】已知，，，若，则的值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．27 【答案】D 【分析】由，，，可得, ，代入 即可求解．本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式形式是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 题型11.完全平方公式变形求值 【典例】已知实数a、b满足，，则______． 【答案】27 【分析】完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．设，，则，，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴ ． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，，，则代数式的值为________． 【答案】6 【分析】观察题意可得，，，利用恒等式将所求式子进行变形，再整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴ ． 【跟踪专练3】如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查分割法求阴影部分面积，利用完全平方公式变形求值，根据题意得，求出梯形的面积，和得出阴影部分的面积代数式，将代入计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴梯形的面积为， ，， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， 故选C． 题型12.完全平方公式与几何图形 【典例】如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 【答案】/ 【分析】根据完全平方公式的特征进行计算，即可解答． 【详解】解：用4张甲种纸片、1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形， 这个大正方形的面积， 拼成的大正方形的边长为：． 【跟踪专练1】在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：A 中不存在等量关系，故A不符合题意； 由B可得，故B不符合题意； 由C可得，故C不符合题意； 由D可得，故D符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形A的边长为，正方形B的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形B的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 故选：A． 题型13.求完全平方式中的字母系数 【典例】若是一个完全平方式，则______________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，将原式变形后对应完全平方的展开形式，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且， ， ． 【跟踪专练1】若多项式是一个多项式的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的逆用，掌握完全平方公式是解题关键． 将给定多项式与完全平方公式的结构对应，通过对比系数求出的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 已知多项式是某个多项式的平方，其结构与完全平方公式一致， ∴对应项可得，， ∴，代入得， ∴， ∴． 故选：． 【跟踪专练2】若是一个完全平方式，则m的值为________． 【答案】或13 【分析】先将代数式写成完全平方的形式，然后计算、比较即可解答． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或13． 【跟踪专练3】若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键， 根据完全平方公式的结构对比对应项系数，即可求出a的值． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解， ∴， 展开得， ∴， 则． 题型14.整式的混合运算 【典例】定义，例如．则的结果为___________ 【答案】 【分析】本题考查自定义运算，代数式运算，准确理解并代入新运算公式是解题关键． 根据新定义运算规则，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：根据定义， ， 则， 则． 故答案为：． 【跟踪专练1】，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 先将原式变形为，再利用完全平方公式化简，然后进行合并即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 【跟踪专练2】若，则代数式的值是___． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等，掌握降幂求解是解题的关键． 先将进行化简，再对进行降幂求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算性质并正确应用符号法则． （1）先根据幂的乘方计算，再依据同底数幂乘法计算乘积． （2）分别用幂的乘方计算、积的乘方计算，再通过同底数幂乘法合并结果． （3）分别用幂的乘方计算，再进行同底数幂乘法运算． （4）分别用积的乘方计算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 4．（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， （1）根据即可判断； （2）先逆用乘法分配律将变形为，进而可说明结论成立． 【详解】解：（1） 为整数 能被5整除 （2） 能被8整除，能被8整除 能被8整除 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方、幂的乘方，通过逆用积的乘方、幂的乘方来求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的连续应用，解题的关键是灵活运用平方差公式简化运算； （1）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式； （2）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式． 【详解】（1）解： （2）解： 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 8．如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据分割法和正方形的面积公式作答即可； （2）根据等积法即可得出结果； （3）利用（2）中结论，利用整体代入法进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由上面的结论可知， ，， 原式． 9．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 10．阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)52 【分析】本题考查了完全平方式、完全平方公式、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得□，再结合完全平方式的定义计算即可得出结果； （2）由题意可得□，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （3）由（2）可知，，，由正方形的性质可得，，，，从而得出，，再结合阴影部分的面积为计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可得： □ ， ∵□是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：根据题意可得： □ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $