第14讲 乘法公式 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第14讲 乘法公式 （2大考点7大题型） 学习目标 1.掌握平方差公式、完全平方公式的形式及推导过程。 2.熟练运用平方差公式和完全平方公式进行运算。(重点） 3.理解并灵活运用平方差公式、完全平方公式解决实际问题.(难点） 考点整理 一、常用公式： 1．平方差公式：； 语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。 2．完全平方公式： 即：； 语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍． 二、拓展公式 1．三元平方公式：； 2．立方和公式：； 3．立方差公式：； 4．立方公式：． 题型归纳 【题型1 运用平方差公式进行运算】 1．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：∵ 根据幂的乘方法则，，∴ A错误； 选项B：∵ 合并同类项可得 ，∴ B错误； 选项C：∵ 根据同底数幂乘法法则，，∴ C错误； 选项D：∵ 根据平方差公式， ，计算正确，∴ D正确． 2．定义，若，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的运算法则，将原式转化为一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴将变形得， 展开多项式得 ， 化简得 ， 移项合并同类项得， 解得． 3．将正方形的一边增加，另一边缩短，则改造后的长方形面积与原来相比（     ） A．减少 B．增加 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】设出原正方形边长，分别表示出改造前后的面积再比较大小． 【详解】解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为， 改造后长方形的宽为，长为， ∴改造后长方形的面积为， ∵， ∴改造后的长方形面积比原来减少． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，，错误； B、根据积的乘方法则：每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，，错误； C、变形后用平方差公式计算，，正确； D、根据同底数幂相除法则：底数不变，指数相减，，错误． 【题型2 平方差公式与几何图形】 5．如图从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形如图，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出第一幅图和第二幅图中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：第一幅图中阴影部分的面积为：， 第二幅图中阴影部分的面积为：， ∵两图中阴影部分的面积相等， ∴． ∴选C． 6．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 7．如图，在边长为的大正方形中挖掉一个边长为的小正方形，再把余下部分剪拼成一个长方形（无重叠无缝隙），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用含a、b的式子分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为， 右边图形中阴影部分的面积为， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 8．小敏用纸片裁剪验证乘法公式，下图中不能验证“平方差公式”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算裁剪前后阴影部分的面积，是否符合平方差公式即可． 【详解】解：．将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形， 阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，能验证，故该选项不符合题意； ．左图阴影面积为，右图拼成的长方形长为，宽为，面积为，能验证 ，故该选项不符合题意； ．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，能验证，故该选项不符合题意； ．左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，符合题意． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 9．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用合并同类项，平方差公式，完全平方公式，积的乘方逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵合并同类项得，，∴A错误． 选项B：根据平方差公式，得，运算正确，∴B正确． 选项C：∵根据完全平方公式，得，，∴C错误． 选项D：∵根据积的乘方法则，得，，∴D错误． 10．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，与等式右边相等，C正确； 选项D：，D错误． 11．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式乘法中的完全平方公式与平方差公式计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 12．下列运算正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用完全平方公式、合并同类项、同底数幂相乘、积的乘法求解并一一辨别即可． 【详解】选项A，，故不符合题意； 选项B，不是同类项，不可以合并，故不符合题意； 选项C，，故不符合题意； 选项D，，故符合题意． 【题型4 通过对完全平方公式进行变形求值】 13．如图，在长方形中，，，E，F分别为边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为14，则图中两个正方形的面积和为（     ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】设，用含的代数式将表示出来，再根据长方形的面积与完全平方公式的变形求解． 【详解】解：设， ∵，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵两个正方形的面积， ， ∴两个正方形的面积． 14．如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【分析】本题利用换元思想结合完全平方公式的变形求解，无需展开解方程求，可简化计算，用到完全平方公式的变形公式． 【详解】解：设，， 由完全平方公式可得，变形得 ， ， 由题意得 ， 将，代入公式得：， 即． 15．如图1是七年级两个社团的手工创作展示区，图2是从手工创作展示区抽象后的几何模型：两块边长分别为、的正方形，其中重叠部分为公共通道，阴影部分、分别表示两个社团的手工创作展示区面积．若，，则（     ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【分析】先根据，，利用完全平方公式求出的值，得到，根据题意，，求得，最后代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ∴， 根据题意，得，， ． 16．若，，则的值为（    ） A．44 B．42 C．32 D．28 【答案】A 【分析】本题利用完全平方公式变形求解，将所求转化为含已知和的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 17．如图，在由四个面积分别为，，，的小长方形组成的大长方形中，四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，；由、可得、，即，再根据完全平方公式以及实际意义可得、，进而得到，然后求大长方形的面积． 【详解】解：设， 则，； ∵， ∴，即：， ∵， ∴，即：， ∴，， ∴（舍弃负值），（舍弃负值）， ∴联立，解得：， ∴大长方形的面积是． 18．某校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（     ）． A．53 B．51 C．47 D．68 【答案】A 【分析】由题意先得出，，再运用完全平方公式的变形得出，结合图形，得阴影部分面积，展开化简后整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， （负值已舍去）， ∴阴影部分面积 ． 19．在河南方言中，“中”字无疑是最有丰富文化内涵的．小明在布置河南本土文化的黑板报时，设计了如图所示的一个“中”字，他以长方形的四条边为边分别向外作正方形，若“中”字外圈的周长为30，四个正方形的面积之和为18，则长方形的面积为（     ） A．8 B．67 C．12 D． 【答案】A 【分析】根据题意设长方形的边，，则，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：设长方形的边，， ∴“中”字外圈周长为，四个正方形面积之和为， ∴，， 即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为8． 20．如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（     ） A．10 B．20 C．40 D．60 【答案】D 【分析】根据已知条件得出，，再由完全平方公式得出，然后，代入相关数据，由，得出即可得出答案． 【详解】解：∵在直角三角形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6 求完全平方公式中字母系数】 21．若关于x的多项式是一个完全平方式，则常数k的值是（     ） A． B．9 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的多项式是完全平方式， ∴， ∴. 22．已知是完全平方式，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方式的结构特征建立关于的方程，解方程即可求解． 【详解】 是完全平方式，且，完全平方公式为， ， ， 即或， 解得或． 23．若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（    ） A． B．5 C．5或 D．或3 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构，对比题目式子对应系数，列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式，且， 根据完全平方式的结构，可得一次项系数满足， 当时，解得； 当时，解得； ∴常数的值是或． 24．若是一个完全平方式，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的形式即可求出的值． 【详解】解：∵是完全平方式， 对应公式可得，， 即， ∴中间项， 对比系数可得． 【题型7 整式的混合运算】 25．对代数式中的式子1，，，，，以它们为底数，添加指数1或者2，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“增幂操作”． 例如：，下列说法： ①不存在任何“增幂操作”，使其运算结果为关于x的三次整式； ②至少存在一种“增幂操作”，使其运算结果为； ③所有运算结果为常数的“增幂操作”之和为26； 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】①式子添加的指数1或者2，则其运算结果最多为关于x的二次整式；②找出一个符合题意的即可；③设“增幂操作”的表达式为，要使得运算结果为常数，则必须满足，再枚举求解即可． 【详解】解：①式子添加的指数1或者2， ∴其运算结果最多为关于x的二次整式； ∴不存在任何“增幂操作”，使其运算结果为关于x的三次整式， 故①正确； ② ， ∴至少存在一种“增幂操作”，使其运算结果为，故②正确； ③设“增幂操作”的表达式为， 要使得运算结果为常数，则必须满足， 则，符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； ，符合题意； ，符合题意； ，符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； ∴所有运算结果为常数的“增幂操作”之和为，故③错误； 综上所述，正确的有2个． 26．对于关于的整式，规定：若将此整式减去，则称为一次“A操作”；若将此整式中的替换成，则称为一次“B操作”．对于关于的整式我们可进行多次这样的操作，并把连续次相同的“A操作”用“”表示，连续次相同的“B操作”用“”表示．例如，对于整式依次进行六次操作，这六次操作可简记为“”，六次操作后的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目对A操作和B操作的定义，按照操作顺序逐步利用整式的混合运算法则计算化简即可解答． 【详解】解：∵ 初始整式为 ，操作顺序为，即先进行3次A操作，再进行2次B操作，最后进行1次A操作． ∴ 3次A操作后结果为：， 第一次B操作替换后得：， 第二次B操作，再次替换为得：， 最后进行1次A操作：， 所以最终化简结果为． 27．化简，结果正确的是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式展开式子，再合并同类项即可得到结果. 【详解】解： ． 28．如图，在一个长为、宽为的长方形内部剪掉一个长为b、宽为的小长方形，则余下的部分（图中阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大长方形面积减去小长方形面积可得阴影部分面积解答即可． 【详解】解：根据题意得：图中阴影部分的面积 ． 29．若代数式化简结果为，则的值为（   ） A．11 B．10 C．8 D．2 【答案】A 【分析】将左边代数式展开合并同类项，根据对应同类项系数相等求出a和b的值，进而计算． 【详解】解： ， ∵ 化简后结果为， ∴ 对应同类项系数相等，可得，且， 解得 ，． ∴． 30．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】解：∵☆， ∴☆， ∵， ∴， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 乘法公式 （2大考点7大题型） 学习目标 1.掌握平方差公式、完全平方公式的形式及推导过程。 2.熟练运用平方差公式和完全平方公式进行运算。(重点） 3.理解并灵活运用平方差公式、完全平方公式解决实际问题.(难点） 考点整理 一、常用公式： 1．平方差公式：； 语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。 2．完全平方公式： 即：； 语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍． 二、拓展公式 1．三元平方公式：； 2．立方和公式：； 3．立方差公式：； 4．立方公式：． 题型归纳 【题型1 运用平方差公式进行运算】 1．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．定义，若，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 3．将正方形的一边增加，另一边缩短，则改造后的长方形面积与原来相比（     ） A．减少 B．增加 C．保持不变 D．无法确定 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 平方差公式与几何图形】 5．如图从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形如图，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（     ） A． B． C． D． 6．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为的大正方形中挖掉一个边长为的小正方形，再把余下部分剪拼成一个长方形（无重叠无缝隙），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（     ） A． B． C． D． 8．小敏用纸片裁剪验证乘法公式，下图中不能验证“平方差公式”的是（     ） A． B． C． D． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 9．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 10．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 11．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 12．下列运算正确的是（     ）． A． B． C． D． 【题型4 通过对完全平方公式进行变形求值】 13．如图，在长方形中，，，E，F分别为边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为14，则图中两个正方形的面积和为（     ） A．30 B．32 C．34 D．36 14．如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 15．如图1是七年级两个社团的手工创作展示区，图2是从手工创作展示区抽象后的几何模型：两块边长分别为、的正方形，其中重叠部分为公共通道，阴影部分、分别表示两个社团的手工创作展示区面积．若，，则（     ） A．16 B．15 C．14 D．12 16．若，，则的值为（    ） A．44 B．42 C．32 D．28 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 17．如图，在由四个面积分别为，，，的小长方形组成的大长方形中，四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（     ） A． B． C． D． 18．某校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（     ）． A．53 B．51 C．47 D．68 19．在河南方言中，“中”字无疑是最有丰富文化内涵的．小明在布置河南本土文化的黑板报时，设计了如图所示的一个“中”字，他以长方形的四条边为边分别向外作正方形，若“中”字外圈的周长为30，四个正方形的面积之和为18，则长方形的面积为（     ） A．8 B．67 C．12 D． 20．如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（     ） A．10 B．20 C．40 D．60 【题型6 求完全平方公式中字母系数】 21．若关于x的多项式是一个完全平方式，则常数k的值是（     ） A． B．9 C．3 D． 22．已知是完全平方式，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 23．若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（    ） A． B．5 C．5或 D．或3 24．若是一个完全平方式，则的值是（） A． B． C． D． 【题型7 整式的混合运算】 25．对代数式中的式子1，，，，，以它们为底数，添加指数1或者2，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“增幂操作”． 例如：，下列说法： ①不存在任何“增幂操作”，使其运算结果为关于x的三次整式； ②至少存在一种“增幂操作”，使其运算结果为； ③所有运算结果为常数的“增幂操作”之和为26； 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 26．对于关于的整式，规定：若将此整式减去，则称为一次“A操作”；若将此整式中的替换成，则称为一次“B操作”．对于关于的整式我们可进行多次这样的操作，并把连续次相同的“A操作”用“”表示，连续次相同的“B操作”用“”表示．例如，对于整式依次进行六次操作，这六次操作可简记为“”，六次操作后的化简结果为（   ） A． B． C． D． 27．化简，结果正确的是（    ） A．4 B． C． D． 28．如图，在一个长为、宽为的长方形内部剪掉一个长为b、宽为的小长方形，则余下的部分（图中阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 29．若代数式化简结果为，则的值为（   ） A．11 B．10 C．8 D．2 30．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $