1.1 正数和负数 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦正数和负数的核心知识点，从小学正数概念自然过渡到负数引入，系统梳理正负数定义、相反意义的量表示及0的分界意义，构建从概念辨析到实际应用的完整学习支架。 资料通过重点易错标注、分题型典例解析及分层训练设计，结合温度、时差等真实情境培养数学眼光与模型意识，易错点提示助力发展推理思维，分层练习满足不同学生需求，课中辅助教学高效，课后帮助学生查漏补缺。

初中数学（RJ）七年级上册 1.1 正数和负数 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】结合具体情境体会引入负数的必要性，能用正负数表示具有相反意义的量，理解0的意义。 二、知识梳理 知识点 1 　正数和负数的定义 1.正数的定义：像我们小学学过的1，20，，5.5，120%...这样一些大于0的数叫做正数，可以在前面添加一个正号，即“＋”，也可以省略。 2.负数的定义：在正数前面添加一个负号，即“－”，变成－1，－20，－，－5.5，－120%...这样就变成了一些小于0的数，我们把它们叫做负数。负号不能省略。 总结：大于0的数是正数，小于0的数是负数。 0不是正数，也不是负数。 ★ 重点　正数前面的"＋"可以省略不写，但负数前面的"－"绝对不能省略。去掉负号，数的意义就完全变了。 ⚠ 易错　带负号的数不一定是负数！例如 －，当本身是负数时，－反而是正数。判断正负要看这个数最终的值，不能只看表面有没有负号。 知识点 2 　正数和负数表示具有相反意义的量 ★ 重点　"具有相反意义的量"必须同时满足两点：① 意义相反；② 是同类量且都带有数量。两个条件缺一不可。 ⚠ 易错　"气温升高4℃"与"气温升高10℃"意义相同（都是升高），只是数量不同，不是相反意义的量；"向东走3米"与"向北走5米"方向不同但并不相反，也不是。 知识点 3 　“0”的意义 “0”的意义：由正数和负数的概念可得0既不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界，在实际意义中，0不仅仅表示“没有”。如0℃表示一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度等。 ★ 重点　0 既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点，这是 0 最重要的身份。 ⚠ 易错　不要以为 0 只表示"没有"。0℃ 是一个确定的温度，海拔 0m 是一个确定的高度。另外 0 是自然数、是整数、是偶数、是有理数——这些都成立。 三、即学即练 1.如图，两个圈分别表示负数和整数，请把−1，5，−80%，−7，0，−0.2，，−10这些数填在适当的位置． 2.下列各对量中，不具有相反意义的是（　　） A．胜2局与负3局 B．盈利3万元与亏损3万元 C．气温升高4℃与气温升高10℃ D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 3.月球表面的白天平均温度零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度零下150℃，应记作（　　） A．+150℃　　B．﹣150℃　　C．150℃　　D．﹣126℃ 4.一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”，则下列面粉中合格的是（　　） A．25.30kg　　B．24.80kg　　C．25.51kg　　D．24.70kg 5.下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”； ③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数． A．2　　B．3　　C．4　　D．5 四、典例精析 题型 1 　判断识别正数和负数 考察　正负数的概念辨析——0 既不是正数也不是负数，带“−”号的不一定是负数。 例1　下列四个数中，是负数的是（　　） A．﹣1　　B．0　　C．1　　D．2 【答案】A解：∵﹣1＜0，∴﹣1是负数． 变式1　在数﹣1，8，2.5，−，0，﹣0.01，7.5，﹣4.3中，负数的个数为（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】C解：﹣1＜0，是负数；8＞0，是正数； 变式2　下列各数：0，+5，−3，+3.1，﹣2.4，2020，﹣20%，其中不是负数的有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】C解：在0，+5，−3，+3.1，﹣2.4，2020，﹣20%中，不是负数的有：0，+5，+3.1，2020， 题型 2 　用正数和负数表示具有相反意义的量 考察　相反意义的量的表示——先规定正方向，另一方向即用负数表示。 例2　中国是世界上最早使用负数的国家，若上升17米记作+17米，则﹣5米表示（　　） A．上升5米　　B．下降5米　　C．下降17米　　D．上升17米 【答案】B解：若上升17米记作+17米，则﹣5米表示下降5米， 变式1　如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m，所在的位置记作+5，那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m，所在的位置应记作（　　） A．﹣2　　B．+2　　C．+7　　D．﹣7 【答案】D解：如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m，所在的位置记作+5， 那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m，所在的位置应记作﹣7， 变式2　《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．“意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转45°记作+45°，那么逆时针旋转60°记作（　　） A．﹣45°　　B．45°　　C．﹣60°　　D．60° ⚠ 易错　涉及 0 的判断要记牢：0 既不是正数也不是负数，是正负数的分界；但 0 是自然数、整数、偶数、有理数，且 0℃、海拔 0m 都表示确定的量。 【答案】C解：如果风车顺时针旋转45°记作+45°，那么逆时针旋转60°记作﹣60°， 变式3　《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入60元记作+60元，则﹣20元表示（　　） A．收入20元　　B．收入40元　　C．支出40元　　D．支出20元 ⚠ 易错　涉及 0 的判断要记牢：0 既不是正数也不是负数，是正负数的分界；但 0 是自然数、整数、偶数、有理数，且 0℃、海拔 0m 都表示确定的量。 【答案】D解：∵与收入意义相反的量是支出，∴若收入60元记作+60元，则﹣20元表示支出20元， 题型 3 　用正数和负数表示量的范围 考察　“标准值 ± 偏差”的读法——会由标准值与偏差求最大值、最小值与极差。 例3　2024年巴黎奥运会乒乓球比赛已经圆满落幕，中国乒乓球队再次展现了其王者之师的风采，更以史无前例的壮举——包揽全部五块金牌，为这场体育盛宴划上了最为辉煌的句号．比赛中，所采用的乒乓球的标准尺寸是40mm±0.05mm，下列尺寸的乒乓球中哪一个是不合格的（　　） A．40.06mm　　B．40.02mm　　C．39.97mm　　D．39.95mm ⚠ 易错　"±"型公差标注表示允许的误差范围：合格区间是「标准值−误差」到「标准值+误差」。先算出上下限，再逐项比对，不要只看中间值。 【答案】A解：根据题意可知，乒乓球的合格尺寸在39.95～40.05范围内． 变式1　铁观音，是中国十大名茶之一．铁观音最佳保存的温度为（3±2）℃，以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（　　） A．﹣1℃　　B．1℃　　C．2℃　　D．3℃ ⚠ 易错　"±"型公差标注表示允许的误差范围：合格区间是「标准值−误差」到「标准值+误差」。先算出上下限，再逐项比对，不要只看中间值。 【答案】A解：∵3+2＝5（℃），3﹣2＝1（℃），∴铁观音最佳保存的温度为1℃——5℃， ∴只有﹣1℃不在范围内，A选项符合题意． 变式2　一种大米的质量标记为“（10±0.1）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A．10.08千克　　B．10.09千克　　C．9.98千克　　D．9.89千克 【答案】D解：根据题意得，一袋大米最多为10+0.1＝10.1（千克），最少为10﹣0.1＝9.9（千克）， 所以质量不合格的是9.89千克， 变式3　某零件标明的要求是（单位：mm），这种产品合格的最大直径是多少？最小直径是多少？直径是50.2mm的产品，是否合格？ 【答案】解：这种产品合格的最大直径是50+0.04＝50.04mm，最小直径是50﹣0.03＝49.97mm， 直径是50.2mm的产品，不合格，因为它不在50.0449.97之间． 题型 4 　正数和负数的其他应用 考察　正负数在记账、盈亏、增减、海拔等实际情境中的建模与解读。 例4　下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差/h ﹣13 ﹣7 +1 2025年元月6日19：00，我国中央广播电视总台综合频道CCTV﹣1《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） A．纽约是2025年元月6日6：00 B．巴黎是2025年元月6日11：00 C．东京是2025年元月6日20：00 D．上海是2025年元月6日19：00 【答案】B解：A、纽约与北京的时差为﹣13h，19﹣13＝6， 故纽约此时时间为：2025年元月6日6：00，故选项A不符合题意； B、巴黎与北京的时差为﹣7h，19﹣7＝12， 故纽约此时时间为巴黎是2025年元月6日12：00，故选项B符合题意； C、东京与北京的时差为+1h，19+1＝20， 故东京此时时间为2025年元月6日20：00，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日19：00，故选项D不符合题意； 变式1　第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）（带“+”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数）： 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 ﹣13 ﹣8 ﹣7 +1 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（　　） A．北京时间7月27日3时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】B解：根据“+”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数，先求出北京时间，再求出其他城市时间如下：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为﹣7，所以，北京时间为7月26日19时30分+7小时，即7月27日2时30分，A选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为﹣8，所以，伦敦时间为7月27日2时30分﹣8小时，即7月26日18时30分，B选项正确； 因为，纽约与北京的时差为﹣13，所以，纽约时间为7月27日2时30分﹣13小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为+1，所以，首尔时间为7月27日2时30分+1小时，即7月27日3时30分，D选项错误； 变式2　埃及与北京的时差为﹣6小时（“+”表示同一时刻埃及时间比北京时间早，“﹣”表示同一时刻埃及时间比北京时间晚），当北京时间是13：00时，埃及时间是 　7：00　 ． 【答案】7：00．解：13﹣6＝7， 即当北京时间是13：00时，埃及时间是7：00， 变式3　下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，请根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟下面表明五个城市的名称． 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马 时差/h ﹣13 +2 ﹣8 ﹣7 【答案】解：由图可得五个时钟显示的时间分别为：8：00，9：00，4：00，3：00，6：00， 当北京时间为8：00时，悉尼时间为8+2＝10，即当日10：00， 五个时钟显示的时间8：00，9：00，4：00，3：00，6：00， ∵图中没有10：00，∴北京时间不是8：00； 当北京时间为9：00时，悉尼时间为9+2＝11，悉尼时间为当日11：00， 五个时钟显示的时间8：00，9：00，4：00，3：00，6：00， ∵图中没有11：00，∴北京时间不是9：00； 当北京时间为4：00时，4+2＝6，悉尼时间为当日6：00，存在； ∵4+（﹣13）＝4﹣13＝﹣9，﹣9+24＝15，∴纽约时间为前一天的15：00，时钟显示为3：00，存在； ∵4+（﹣8）＝4﹣8＝﹣4，24+（﹣4）＝24﹣4＝20，∴伦敦时间为前一天20：00，时钟显示为8：00，存在； ∵4+（﹣7）＝4﹣7＝﹣3，24+（﹣3）＝24﹣3＝21，∴罗马时间为前一天21：00，时钟显示为9：00，存在； 如图，即为所求． 题型 5 　“0”的认识　（共 4 题） 考察　0 的双重身份——既是正负数的分界，又是具有实际意义的基准量。 例5　对﹣0的正确说法是（　　） A．是0　　B．不是0　　C．正数　　D．负数 【答案】A解：﹣0也是0，它既不是正数，也不是负数， 变式1　下列对于0的说法错误的是（　　） A．0是整数 B．0既不是正数也不是负数 C．0的倒数是0 D．0的任何正整数次幂是0 【答案】C解：0是整数，所以A正确；0既不是正数也不是负数，所以B正确；0不能做分母，所以0没有倒数，所以C错误；0的任何正整数次幂是0，所以D正确； 变式2　下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数． A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B解：∵正数大于0，负数小于0，∴0是正数与负数的分界，故①正确；∵0可以表示特定的意义，如0℃，∴0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，故②错误，③正确；④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 变式3　对于“0”的说法：①0℃是一个确定的温度；②0为正数；③0不是负数；④0为自然数．正确的有 　 　 ． 【答案】①③④．解：∵0℃是一个确定的温度，0既不是正数也不是负数，0是最小的自然数， ∴语句①③④判断正确 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　在﹣9，0，﹣2，，+100，﹣0.5中，负数的个数有几个（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 2.　下列具有相反意义的两个量是（　　） A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上25℃和零下25℃ D．支出30元和标价30元 3.　某种食品包装袋上显示净含量：“150±3g”说明这袋饼干的质量是（　　） A．147g　　B．153g　　C．147∼153g　　D．150∼153g B 档 　巩固提升 1.　5、−、0、﹣0.01、7.5、﹣4.3下列个数中负数有（ ）个 A．2　　B．3　　C．4　　D．5 2.　将下列个数分类2，−，，−1，+2.009，﹣108，+，81． 正数： ：负数： ： 3.　已知上周五（周末不开市）股市指数以1900点报收，本周内股市涨跌情况如下（“+”表示比前一天涨，“﹣”表示比前一天跌），则本周三的股市指数为（　　） 星期 一 二 三 四 五 指数变化（点） +50 ﹣30 +10 ﹣20 +50 A．1910点　　B．1930点　　C．1950点　　D．1990点 4.　某用品公司检测排球的质量，超过标准质量的克数记为正数．下列四个球的质量最接近标准质量的是（　　） A．﹣0.6 B．﹣3.5 C．﹣2.5 D．+0.7 5.　已知巴黎时间与北京时间相差﹣6小时（即巴黎时间比北京时间晚6个小时）．巴黎时间2024年8月10日15：00开始进行巴黎奥运会乒乓球女子团体决赛，则比赛开始的时间是北京时间（　　） A．8月10日9：00 B．8月10日21：00 C．8月9日9：00 D．8月9日21：00 6.　《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入200元记作+200元，则支出50元记作 　　 元． C 档 　提高拓展 正数和负数表示具有相反意义的量： 正数和负数可以表示2个具有相反意义的量。 若规定其中一个用正数来表示，则另一个必须用负数来表示。此时，0的意义为表示这两个量的标准（分界线）。 拓展：正数和负数表示一个量的范围：正数与负数可以表示一定的取值范围。表示形式为 ，表示范围是 1.　在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线OA的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（0°～180°），顺时针方向旋转为负角度（0°～﹣180°），特别地，OA的反向延长线所在的方向记为180°．由于OB方向为OA方向绕O点逆时针旋转90°，点B与点O的距离为1km，因此点B可以用有序数对记为（90°，1），类似地，点C可以记为（﹣15°，4）．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点D（4，150°） B．点E（45°，3） C．点F（﹣120°，3） D．点G（60°，2） 2.　一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为198g，则该面包厂家 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 3.　如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示﹣723，则“”所表示的数是 ． 4.　六年级一名男生进行一分钟跳绳锻炼．下面是他对自己一周一分钟跳绳个数的统计．他将150个记为0，超出150个的部分用正数表示，不足150个的部分用负数表示．《国家学生体质健康标准》规定：六年级男生一分钟跳绳个数在147个以上（含147个）记为优秀．该同学这一周 次一分钟跳绳成绩为优秀． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 ﹣10 +5 0 +15 ﹣2 ﹣8 +5 5.　在验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”等等．现有5位同学验光记录如下：“﹣0.50D”，“﹣2.50D”，“﹣1.75D”，“﹣2.25D”，“﹣3.50D”，通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有 位． 6.　读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． 5，−，0，−3.5，1，−0.01，+2.5，−700． D 档 　压轴挑战 1.　“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：﹣5个．下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 ﹣3 ﹣2 +4 （1）从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ （2）小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 2.　现代工业生产中，对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了． 在生产和检验产品时，怎样掌握合格品的尺度呢？ 通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是ϕ时，ϕ表示直径，单位是毫米（mm）．这样标注表示零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是（30+0.03）mm，最小可以是（30﹣0.02）mm，在这个范围内的产品都是合格的．如果生产了一个零件的直径是29.97mm，它合格吗？这里的给出了允许误差的大小．允许误差一般用正负数的形式写出． （1）直径为30.03mm和直径为29.97mm的零件是否合格？为什么？ （2）你知道还有哪些事件可以用正负数表示允许误差吗？请举例说明． 3.　观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，…． （1）请写出这一列数中的第100个数和第2011个数； （2）在前2012个数中，正数和负数分别有多少个？ （3）2013和﹣2013是否都在这一列数中，若在，请指出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 1.1 正数和负数 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】结合具体情境体会引入负数的必要性，能用正负数表示具有相反意义的量，理解0的意义。 二、知识梳理 知识点 1 　正数和负数的定义 1.正数的定义：像我们小学学过的1，20，，5.5，120%...这样一些大于0的数叫做正数，可以在前面添加一个正号，即“＋”，也可以省略。 2.负数的定义：在正数前面添加一个负号，即“－”，变成－1，－20，－，－5.5，－120%...这样就变成了一些小于0的数，我们把它们叫做负数。负号不能省略。 总结：大于0的数是正数，小于0的数是负数。 0不是正数，也不是负数。 ★ 重点　正数前面的"＋"可以省略不写，但负数前面的"－"绝对不能省略。去掉负号，数的意义就完全变了。 ⚠ 易错　带负号的数不一定是负数！例如 －，当本身是负数时，－反而是正数。判断正负要看这个数最终的值，不能只看表面有没有负号。 知识点 2 　正数和负数表示具有相反意义的量 ★ 重点　"具有相反意义的量"必须同时满足两点：① 意义相反；② 是同类量且都带有数量。两个条件缺一不可。 ⚠ 易错　"气温升高4℃"与"气温升高10℃"意义相同（都是升高），只是数量不同，不是相反意义的量；"向东走3米"与"向北走5米"方向不同但并不相反，也不是。 知识点 3 　“0”的意义 “0”的意义：由正数和负数的概念可得0既不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界，在实际意义中，0不仅仅表示“没有”。如0℃表示一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度等。 ★ 重点　0 既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点，这是 0 最重要的身份。 ⚠ 易错　不要以为 0 只表示"没有"。0℃ 是一个确定的温度，海拔 0m 是一个确定的高度。另外 0 是自然数、是整数、是偶数、是有理数——这些都成立。 三、即学即练 1.如图，两个圈分别表示负数和整数，请把−1，5，−80%，−7，0，−0.2，，−10这些数填在适当的位置． 【答案】解：根据整数分为正整数，负整数和零，负数包括负整数和负分数，进行分类如图： 2.下列各对量中，不具有相反意义的是（　　） A．胜2局与负3局 B．盈利3万元与亏损3万元 C．气温升高4℃与气温升高10℃ D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 【答案】C解：因为气温升高和气温升高不具有相反意义，所以气温升高4℃与气温升高10℃不是一对具有相反意义的量． 3.月球表面的白天平均温度零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度零下150℃，应记作（　　） A．+150℃　　B．﹣150℃　　C．150℃　　D．﹣126℃ 【答案】B解：零上温度记为正，则零下温度就记为负， ∴夜间平均温度零下150℃，应记作﹣150℃， 4.一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”，则下列面粉中合格的是（　　） A．25.30kg　　B．24.80kg　　C．25.51kg　　D．24.70kg 【答案】B解：一种面粉的质量标识为“25±0.25kg” 则面粉的质量范围在25﹣0.25＝24.75kg到25+0.25＝25.25kg之间的都合格． 各选项只有选项B，24.80kg在这个范围之内． 5.下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”； ③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数． A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【答案】B解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确；②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误；③可以表示特定的意义，如0℃，故③正确；④0既不是正数，也不是负数，故④错误；⑤0是自然数，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 四、典例精析 题型 1 　判断识别正数和负数 考察　正负数的概念辨析——0 既不是正数也不是负数，带“−”号的不一定是负数。 例1　下列四个数中，是负数的是（　　） A．﹣1　　B．0　　C．1　　D．2 【答案】A解：∵﹣1＜0，∴﹣1是负数． 变式1　在数﹣1，8，2.5，−，0，﹣0.01，7.5，﹣4.3中，负数的个数为（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】C解：﹣1＜0，是负数；8＞0，是正数； 变式2　下列各数：0，+5，−3，+3.1，﹣2.4，2020，﹣20%，其中不是负数的有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】C解：在0，+5，−3，+3.1，﹣2.4，2020，﹣20%中，不是负数的有：0，+5，+3.1，2020， 题型 2 　用正数和负数表示具有相反意义的量 考察　相反意义的量的表示——先规定正方向，另一方向即用负数表示。 例2　中国是世界上最早使用负数的国家，若上升17米记作+17米，则﹣5米表示（　　） A．上升5米　　B．下降5米　　C．下降17米　　D．上升17米 【答案】B解：若上升17米记作+17米，则﹣5米表示下降5米， 变式1　如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m，所在的位置记作+5，那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m，所在的位置应记作（　　） A．﹣2　　B．+2　　C．+7　　D．﹣7 【答案】D解：如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m，所在的位置记作+5， 那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m，所在的位置应记作﹣7， 变式2　《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．“意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转45°记作+45°，那么逆时针旋转60°记作（　　） A．﹣45°　　B．45°　　C．﹣60°　　D．60° ⚠ 易错　涉及 0 的判断要记牢：0 既不是正数也不是负数，是正负数的分界；但 0 是自然数、整数、偶数、有理数，且 0℃、海拔 0m 都表示确定的量。 【答案】C解：如果风车顺时针旋转45°记作+45°，那么逆时针旋转60°记作﹣60°， 变式3　《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入60元记作+60元，则﹣20元表示（　　） A．收入20元　　B．收入40元　　C．支出40元　　D．支出20元 ⚠ 易错　涉及 0 的判断要记牢：0 既不是正数也不是负数，是正负数的分界；但 0 是自然数、整数、偶数、有理数，且 0℃、海拔 0m 都表示确定的量。 【答案】D解：∵与收入意义相反的量是支出，∴若收入60元记作+60元，则﹣20元表示支出20元， 题型 3 　用正数和负数表示量的范围 考察　“标准值 ± 偏差”的读法——会由标准值与偏差求最大值、最小值与极差。 例3　2024年巴黎奥运会乒乓球比赛已经圆满落幕，中国乒乓球队再次展现了其王者之师的风采，更以史无前例的壮举——包揽全部五块金牌，为这场体育盛宴划上了最为辉煌的句号．比赛中，所采用的乒乓球的标准尺寸是40mm±0.05mm，下列尺寸的乒乓球中哪一个是不合格的（　　） A．40.06mm　　B．40.02mm　　C．39.97mm　　D．39.95mm ⚠ 易错　"±"型公差标注表示允许的误差范围：合格区间是「标准值−误差」到「标准值+误差」。先算出上下限，再逐项比对，不要只看中间值。 【答案】A解：根据题意可知，乒乓球的合格尺寸在39.95～40.05范围内． 变式1　铁观音，是中国十大名茶之一．铁观音最佳保存的温度为（3±2）℃，以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（　　） A．﹣1℃　　B．1℃　　C．2℃　　D．3℃ ⚠ 易错　"±"型公差标注表示允许的误差范围：合格区间是「标准值−误差」到「标准值+误差」。先算出上下限，再逐项比对，不要只看中间值。 【答案】A解：∵3+2＝5（℃），3﹣2＝1（℃），∴铁观音最佳保存的温度为1℃——5℃， ∴只有﹣1℃不在范围内，A选项符合题意． 变式2　一种大米的质量标记为“（10±0.1）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A．10.08千克　　B．10.09千克　　C．9.98千克　　D．9.89千克 【答案】D解：根据题意得，一袋大米最多为10+0.1＝10.1（千克），最少为10﹣0.1＝9.9（千克）， 所以质量不合格的是9.89千克， 变式3　某零件标明的要求是（单位：mm），这种产品合格的最大直径是多少？最小直径是多少？直径是50.2mm的产品，是否合格？ 【答案】解：这种产品合格的最大直径是50+0.04＝50.04mm，最小直径是50﹣0.03＝49.97mm， 直径是50.2mm的产品，不合格，因为它不在50.0449.97之间． 题型 4 　正数和负数的其他应用 考察　正负数在记账、盈亏、增减、海拔等实际情境中的建模与解读。 例4　下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差/h ﹣13 ﹣7 +1 2025年元月6日19：00，我国中央广播电视总台综合频道CCTV﹣1《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） A．纽约是2025年元月6日6：00 B．巴黎是2025年元月6日11：00 C．东京是2025年元月6日20：00 D．上海是2025年元月6日19：00 【答案】B解：A、纽约与北京的时差为﹣13h，19﹣13＝6， 故纽约此时时间为：2025年元月6日6：00，故选项A不符合题意； B、巴黎与北京的时差为﹣7h，19﹣7＝12， 故纽约此时时间为巴黎是2025年元月6日12：00，故选项B符合题意； C、东京与北京的时差为+1h，19+1＝20， 故东京此时时间为2025年元月6日20：00，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日19：00，故选项D不符合题意； 变式1　第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）（带“+”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数）： 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 ﹣13 ﹣8 ﹣7 +1 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（　　） A．北京时间7月27日3时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】B解：根据“+”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数，先求出北京时间，再求出其他城市时间如下：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为﹣7，所以，北京时间为7月26日19时30分+7小时，即7月27日2时30分，A选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为﹣8，所以，伦敦时间为7月27日2时30分﹣8小时，即7月26日18时30分，B选项正确； 因为，纽约与北京的时差为﹣13，所以，纽约时间为7月27日2时30分﹣13小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为+1，所以，首尔时间为7月27日2时30分+1小时，即7月27日3时30分，D选项错误； 变式2　埃及与北京的时差为﹣6小时（“+”表示同一时刻埃及时间比北京时间早，“﹣”表示同一时刻埃及时间比北京时间晚），当北京时间是13：00时，埃及时间是 　7：00　 ． 【答案】7：00．解：13﹣6＝7， 即当北京时间是13：00时，埃及时间是7：00， 变式3　下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，请根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟下面表明五个城市的名称． 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马 时差/h ﹣13 +2 ﹣8 ﹣7 【答案】解：由图可得五个时钟显示的时间分别为：8：00，9：00，4：00，3：00，6：00， 当北京时间为8：00时，悉尼时间为8+2＝10，即当日10：00， 五个时钟显示的时间8：00，9：00，4：00，3：00，6：00， ∵图中没有10：00，∴北京时间不是8：00； 当北京时间为9：00时，悉尼时间为9+2＝11，悉尼时间为当日11：00， 五个时钟显示的时间8：00，9：00，4：00，3：00，6：00， ∵图中没有11：00，∴北京时间不是9：00； 当北京时间为4：00时，4+2＝6，悉尼时间为当日6：00，存在； ∵4+（﹣13）＝4﹣13＝﹣9，﹣9+24＝15，∴纽约时间为前一天的15：00，时钟显示为3：00，存在； ∵4+（﹣8）＝4﹣8＝﹣4，24+（﹣4）＝24﹣4＝20，∴伦敦时间为前一天20：00，时钟显示为8：00，存在； ∵4+（﹣7）＝4﹣7＝﹣3，24+（﹣3）＝24﹣3＝21，∴罗马时间为前一天21：00，时钟显示为9：00，存在； 如图，即为所求． 题型 5 　“0”的认识　（共 4 题） 考察　0 的双重身份——既是正负数的分界，又是具有实际意义的基准量。 例5　对﹣0的正确说法是（　　） A．是0　　B．不是0　　C．正数　　D．负数 【答案】A解：﹣0也是0，它既不是正数，也不是负数， 变式1　下列对于0的说法错误的是（　　） A．0是整数 B．0既不是正数也不是负数 C．0的倒数是0 D．0的任何正整数次幂是0 【答案】C解：0是整数，所以A正确；0既不是正数也不是负数，所以B正确；0不能做分母，所以0没有倒数，所以C错误；0的任何正整数次幂是0，所以D正确； 变式2　下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数． A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B解：∵正数大于0，负数小于0，∴0是正数与负数的分界，故①正确；∵0可以表示特定的意义，如0℃，∴0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，故②错误，③正确；④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 变式3　对于“0”的说法：①0℃是一个确定的温度；②0为正数；③0不是负数；④0为自然数．正确的有 　 　 ． 【答案】①③④．解：∵0℃是一个确定的温度，0既不是正数也不是负数，0是最小的自然数， ∴语句①③④判断正确 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　在﹣9，0，﹣2，，+100，﹣0.5中，负数的个数有几个（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】B．解：﹣9＜0，是负数；0既不是正数，也不是负数；﹣2＜0，是负数；＞0，是正数；+100＞0，是正数；﹣0.5＜0，是负数； ∴负数有﹣9，﹣2，﹣0.5，共3个． 2.　下列具有相反意义的两个量是（　　） A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上25℃和零下25℃ D．支出30元和标价30元 【答案】C解：根据相反意义的量逐项分析判断如下： A、向东和向西具有相反意义，错误，不符合题意；B、盈利和亏损具有相反意义，错误，不符合题意； C、零上25℃和零下25℃是具有相反意义的量，正确，符合题意；D、支出和收入具有相反意义，错误，不符合题意； 3.　某种食品包装袋上显示净含量：“150±3g”说明这袋饼干的质量是（　　） A．147g　　B．153g　　C．147∼153g　　D．150∼153g 【答案】C解：根据题意，运用有理数的加减运算可得：150﹣3＝147（g），150+3＝153（g）， ∴这袋饼干的质量是147～153g， B 档 　巩固提升 1.　5、−、0、﹣0.01、7.5、﹣4.3下列个数中负数有（ ）个 A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【答案】C解：5＞0，是正数；−＜0，是负数；0既不是正数，也不是负数；﹣0.01＜0，是负数；7.5＞0，是正数；﹣4.3＜0，是负数； ∴负数有﹣1，−，﹣0.01，﹣4.3，共4个． 2.　将下列个数分类2，−，，−1，+2.009，﹣108，+，81． 正数： ： 负数： ： 【答案】解：正数有：3.2，，+2.009，+，81；负数有：−，−1，一108． 3.　已知上周五（周末不开市）股市指数以1900点报收，本周内股市涨跌情况如下（“+”表示比前一天涨，“﹣”表示比前一天跌），则本周三的股市指数为（　　） 星期 一 二 三 四 五 指数变化（点） +50 ﹣30 +10 ﹣20 +50 A．1910点　　B．1930点　　C．1950点　　D．1990点 【答案】B解：1900+50﹣30+10＝1930（点）． 4.　某用品公司检测排球的质量，超过标准质量的克数记为正数．下列四个球的质量最接近标准质量的是（　　） A．﹣0.6 B．﹣3.5 C．﹣2.5 D．+0.7 【答案】A解：由题意可得各数的绝对值分别为0.6，3.5，2.5，0.7， ∵0.6＜0.7＜2.5＜3.5，∴四个球的质量最接近标准质量的是﹣0.6， 5.　已知巴黎时间与北京时间相差﹣6小时（即巴黎时间比北京时间晚6个小时）．巴黎时间2024年8月10日15：00开始进行巴黎奥运会乒乓球女子团体决赛，则比赛开始的时间是北京时间（　　） A．8月10日9：00 B．8月10日21：00 C．8月9日9：00 D．8月9日21：00 【答案】B解：由题意得：15+6＝21， ∴巴黎时间2024年8月10日15：00开始比赛，则北京时间是8月10日21时， 6.　《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入200元记作+200元，则支出50元记作 　　 元． 【答案】﹣50．解：“正”和“负”相对，所以，若收入200元记作+200元，则支出50元记作﹣50元． 故答案为：﹣50． C 档 　提高拓展 1.　正数和负数表示具有相反意义的量： 正数和负数可以表示2个具有相反意义的量。 若规定其中一个用正数来表示，则另一个必须用负数来表示。此时，0的意义为表示这两个量的标准（分界线）。 拓展：正数和负数表示一个量的范围：正数与负数可以表示一定的取值范围。表示形式为 ，表示范围是 2.　在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线OA的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（0°～180°），顺时针方向旋转为负角度（0°～﹣180°），特别地，OA的反向延长线所在的方向记为180°．由于OB方向为OA方向绕O点逆时针旋转90°，点B与点O的距离为1km，因此点B可以用有序数对记为（90°，1），类似地，点C可以记为（﹣15°，4）．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点D（4，150°） B．点E（45°，3） C．点F（﹣120°，3） D．点G（60°，2） 【答案】D解：由题意可得： A、点D可以记为（150°，4），故不合题意； B、点E（45°，3）表示从OA开始逆时针45°，与O相距3km，与图中位置不符，故不合题意； C、点F（﹣120°，3）表示从OA开始顺时针120°，与O相距3km，与图中位置不符，故不合题意； D、点G（60°，2）表示从OA开始逆时针60°，与O相距2km，与图中位置相符，故符合题意； 3.　一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为198g，则该面包厂家 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 【答案】没有．解：∵总质量（200±3）g， ∴质量在（200+3）g与（200﹣3）g之间都合格，而产品有198g在范围内，故合格， ∴厂家没有欺诈行为． 4.　如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示﹣723，则“”所表示的数是 ． 【答案】﹣652．解：“”所表示的数是﹣652． 故答案为：﹣652． 5.　六年级一名男生进行一分钟跳绳锻炼．下面是他对自己一周一分钟跳绳个数的统计．他将150个记为0，超出150个的部分用正数表示，不足150个的部分用负数表示．《国家学生体质健康标准》规定：六年级男生一分钟跳绳个数在147个以上（含147个）记为优秀．该同学这一周 次一分钟跳绳成绩为优秀． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 ﹣10 +5 0 +15 ﹣2 ﹣8 +5 【答案】5．解：该男生一周的跳绳个数用实际跳绳个数表示为： 星期一跳了140（个），星期二跳了155（个），星期三跳了150（个），星期四跳了165（个），星期五跳了148（个），星期六跳了142（个），星期日跳了155（个）， 因为155＞147，150＞147，165＞147，148＞147，155＞147， 所以该同学这一周有5次一分钟跳绳成绩为优秀， 6.　在验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”等等．现有5位同学验光记录如下：“﹣0.50D”，“﹣2.50D”，“﹣1.75D”，“﹣2.25D”，“﹣3.50D”，通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有 位． 【答案】3．解：由题意可知：记录﹣0.50D的同学近视50°，记录﹣2.50D的同学近视250°，记录﹣1.75D的同学近视175°，记录﹣2.25D的同学近视225°，记录﹣3.50D的同学近视350°， ∵近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，∴在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有3位， 7.　读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． 5，−，0，−3.5，1，−0.01，+2.5，−700． 【答案】解：正数有：5，1，+2.5；负数有：−，﹣3.5，﹣0.01，﹣700． D 档 　压轴挑战 1.　“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：﹣5个．下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 ﹣3 ﹣2 +4 （1）从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ （2）小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【答案】解：（1）从上面的记录中你能看出小李在星期五生产的毛绒玩具个数最，是：50+（+4）＝54（个）； （2）（+3+1﹣3﹣2+4）+50×5＝3+250＝253（个）， 答：小李这周一共生产了253个毛绒玩具． 2.　现代工业生产中，对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了． 在生产和检验产品时，怎样掌握合格品的尺度呢？ 通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是ϕ时，ϕ表示直径，单位是毫米（mm）．这样标注表示零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是（30+0.03）mm，最小可以是（30﹣0.02）mm，在这个范围内的产品都是合格的．如果生产了一个零件的直径是29.97mm，它合格吗？这里的给出了允许误差的大小．允许误差一般用正负数的形式写出． （1）直径为30.03mm和直径为29.97mm的零件是否合格？为什么？ （2）你知道还有哪些事件可以用正负数表示允许误差吗？请举例说明． 【答案】解：（1）根据题意，最大直径：30+0.03＝30.03mm， 最小直径：30﹣0.02＝29.98mm， ∵30.03mm在范围内，29.97mm不在范围内， ∴直径为30.03mm的零件是合适的，直径为29.97mm的零件是不合格的； （2）食品包装，化肥包装，机器零件的尺寸都是用正负数表示允许误差． 3.　观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，…． （1）请写出这一列数中的第100个数和第2011个数； （2）在前2012个数中，正数和负数分别有多少个？ （3）2013和﹣2013是否都在这一列数中，若在，请指出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【答案】解：（1）第100个数是100；第2011个数是﹣2011； （2）在前2012个数中，正数和负数分别有1006个； （3）∵第奇数个数均为负，∴2013不在这一列数中，﹣2013在这一列数中，它是第2013数． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $