1.2 有理数的概念与数轴（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的概念与数轴核心知识点，系统梳理有理数的定义及两种分类方式，明确数轴三要素及数与点的对应关系，构建从数的抽象到形的直观的学习支架。 资料通过随学随练即时巩固、题型分类精准突破、拓展探究培养思维，助力学生发展抽象能力、几何直观与推理意识，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺强化理解。

第一章 有理数 1.2 有理数的概念与数轴（讲义） 课标要点 1. 掌握有理数定义与两种分类方式，明确有限、无限循环小数属于有理数。 2. 数轴核心：牢记原点、正方向、单位长度三要素，实现有理数与数轴上点的互画互读。 3.依托实例与数轴建立数感、几何直观，初步掌握数形结合的数学思想。 学习重难点 重点： 理解负数的实际意义，掌握有理数定义、两种分类标准，能准确辨别各类有理数。 熟记数轴三要素，熟练完成有理数与数轴上点的互标、互读。 难点： 区分 “非正数、非负数、非负整数” 等易混淆概念，理清 0 的特殊属性。 建立数形结合思维，运用数轴求解两点距离、分析数的关系。 知识点 有理数的定义与分类 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。 整数：正整数、0、负整数统称为整数，例如1、0、-5都是整数。 分数：正分数、负分数统称为分数，例如、都是分数，这里的分数包括可以化为分数的有限小数和无限循环小数。 特别提醒：无限不循环小数（例如）不能化为分数，因此它不是有理数。 有理数常见的分类方式有两种： 1. 按定义分类： 2. 按性质符号分类： 特别提醒 1.分类的时候要做到不重复、不遗漏，例如按性质分类的时候，不能漏掉0； 2.非负数指的是正数和0，非正数指的是负数和0，非正整数指的是负整数和0，非负整数指的是正整数和0。 随学随练 1．下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【详解】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 2．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 3．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 4．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【详解】是分数，是整数，其中5是正整数，0既不属于正数也不属于负数，是负整数． 5．下列各数中，是正分数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：是负分数，不符合题意； 对于选项B：是负整数，不符合题意； 对于选项C：既不是正数，也不是负数，且是整数，不符合题意； 对于选项D：是正分数，符合题意． 知识点 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴满足以下三个要素： 1. 原点：在直线上取一个点表示(0)，这个点叫做原点，原点是数轴的基准点； 2. 正方向：通常规定直线向右（或向上）为正方向，向左（或向下）为负方向，用箭头标出； 3. 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须统一，不能出现不同的单位长度。 。特别提醒 数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，三个要素缺一不可；单位长度是指“一个单位的长度”，不是长度单位，二者意义不同。 随学随练 1．下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查数轴的定义，有理数与数轴，根据数轴的定义，以及用数轴表示有理数逐一进行判断即可． 【详解】解：规定了原点、单位长度，正方向的直线是数轴；故①说法错误； 数轴上两个不同的点不能表示同一个有理数；故②说法错误； 有理数在数轴上能表示出来；故③说法错误； 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点；故④说法正确； 故选A． 2．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 3．数轴是一条规定了______、______和单位长度的______． 【答案】 原点 正方向 直线 【分析】根据数轴定义回答即可． 本题考查数轴，解题关键是熟知数轴的定义． 【详解】解：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 故答案为：原点、正方向、直线． 4．下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有__________个． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 5．画一条水平_____，在直线上取一点，表示____（叫做______），选取某一适当长度为____，规定直线上向___的方向为____，就得到一条数轴． 【答案】 直线 O 原点 单位长度 右 正方向 【知识点】数轴的三要素及其画法 知识点 数轴的画法 画数轴的步骤一般为： 1. 画一条水平直线； 2. 在直线上选取一点作为原点，标注出(0)； 3. 确定正方向，在原点的右端画上箭头表示正方向； 4. 选取合适的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次标注；从原点向左每隔一个单位长度取一个点，依次标注。 特别提醒 标注数字的时候，要保证数字对应到对应点的下方（水平数轴），不要出现点和数字不对应的错误，原点处的0不能遗漏。 随学随练 1．下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：数轴负半轴数的顺序错误，故A选项画法错误； B选项：数轴的单位长度不统一，故B选项画法错误； C选项：数轴的原点、正方向、单位长度表示正确，故C选项画法正确； D选项：数轴的正方向错误，故D选项画法错误． 2．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据数轴定义，负数位于原点的左侧，正数位于原点的右侧， ∴选项A和选项C错误； 选项B单位长度错误，间隔不相等； 选项D正确． 4．如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图中缺少原点和正方向，故A错误； B、具备原点、正方向和单位长度，且数字排列顺序正确，故B正确； C、原点左侧负数排列顺序错误，应在的右侧，故C错误； D、到0的距离与0到1的距离不相等，即单位长度不统一，故D错误． 5．如图，是数轴的有____个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 【答案】1 【分析】根据数轴的定义和三要素逐一判断即可． 【详解】解：①不是数轴，没有正方向； ②不是数轴，没有单位长度； ③不是数轴，-1，-2，-3的位置错误； ④不是数轴，没有原点； ⑤不是直线； ⑥是数轴； 所以只有⑥是数轴，有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义和三要素，熟练掌握数周的定义，以及三要素——原点、单位长度、正方向是解题的关键． 知识点 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此我们可以直接根据点的位置比较数的大小： · 正数大于(0)，(0)大于负数，正数大于一切负数； · 两个负数比较，在数轴上，离原点越远的负数对应的点越靠左，因此越靠左的负数越小，也就是绝对值大的负数反而小。 特别提醒 比较多个数的大小时，可以先把所有数对应到数轴上的点，再根据位置从左到右排列，即可得到从小到大的顺序 随学随练 1．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：根据数轴可得 故比数轴上的 小的数是 2．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点． 3．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的分布特征，原点右侧表示正数，左侧表示负数，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，据此判断即可． 【详解】解：由数轴图示可知： ． ． 对比各选项，只有 C 选项成立． 4．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断的取值范围，进而确定的取值范围，再与比较大小． 【详解】解：由数轴可知，， 根据相反数的性质，负数的相反数为正数，且绝对值相等，可得： ， 又由数轴得：， 因此． 5．如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 【答案】左 【详解】解：∵， ∴表示的点在A点的左边． 拓展 有理数分类的逻辑思辨——分类标准 1 所有分类都必须遵循“标准统一、不重不漏”的逻辑，同一问题切换分类标准时，要重新梳理每个元素的归属； ② 判断一个数是不是有理数，不要看形式，要看本质：能否写成（p,q为整数，q≠0）是判断的唯一依据；③ 零是有理数中最特殊的元素，它是整数，是非正非负的中性数，是正负数的分界，任何有理数分类都不能缺少零这个类别。 活学活用 1．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 2．现有一组数：，，，，，，，，． (1)请你把上述各数填入下列表示它所在的数集的圈里； (2)判断正误：有理数可分为分数、正整数、负整数．___________（填“正确”或“错误”） 【答案】(1) ，，， ，， ，， 分数 正整数 负整数 (2)错误 【分析】本题主要查了有理数的知识，熟练掌握其分类及定义是解题的关键． （1）根据有理数的分类及分数，正整数，负整数定义即可求得答案． （2）根据有理数还包括0，然后即可求解； 【详解】（1）解：分数：，，，； 正整数：，； 负整数：，，； 故答案为： ，，， ，， ，， 分数 正整数 负整数 ； （2）解：分数，正整数，负整数和0才是全体有理数， ∴ “有理数可分为分数、正整数、负整数．”这句话错误， 故答案为：错误； 拓展 数轴的规律探究 当点沿数轴运动时，若点初始对应数为，以速度v沿正方向运动t个单位后对应数为，沿负方向运动则对应数为，结合运动方向与时间可推导出任意时刻点的坐标规律 对于循环移动类问题，点每完成n次移动会回到初始位置或形成固定周期，只需计算总移动次数除以周期的余数，即可快速推导出最终点的对应数 活学活用 1．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 2．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 题型 有理数的分类 解题贴士 1. 先明确有理数的两种分类标准：按正负性分为正有理数、零、负有理数；按定义分为整数和分数，其中整数包括正整数、零、负整数，分数包括正分数、负分数。 2. 注意几个容易错的数：无限不循环小数π不是有理数，因此π不属于分数；有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，都属于分数范畴；带负号的数不一定是负数，比如是正数；0既不是正数也不是负数，属于整数，是有理数。 3. 分类时要做到不重复、不遗漏，尤其不要遗漏0这个特殊数。 ▌例1 在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查负数的基本概念，根据负数的定义，逐一判断各数是否为负数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：负数的定义为小于0的数，0既不是正数也不是负数． ∵，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ∴负数一共有4个． ▌例2．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．7 【答案】C 【详解】解：A．是负分数，不符合题意； B．既不是正数也不是负数，不符合题意； C．是负整数，符合题意； D．是正整数，不符合题意． ▌对点练1-1．下列各数中，是正有理数的是（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据正有理数的定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：有理数包含整数和分数，正有理数是大于0的有理数，无限不循环小数是无理数， A 、是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求； B、 是正整数，属于正有理数，符合要求； C、 既不是正数也不是负数，不符合要求； D 、是负整数，不符合要求． 故选B． ▌对点练1-2．下列实数中，正整数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正整数的概念，根据正整数是大于0的整数的定义，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A、是大于的整数，符合题意； B、是无理数，不是整数，不符合题意； C、是负整数，不是正整数，不符合题意； D、是分数，不是整数，不符合题意． ▌对点练1-3．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【答案】6 【分析】根据非负数的定义，找出题目中符合要求的数，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：非负数为：，，，，，，共有个． ▌对点练1-4．在，0，，，，中，负分数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分数，掌握好有理数的概念是关键． 负分数是小于0的分数，需判断每个数是否为负且为分数形式． 【详解】解：在数，0，，，3.15，中， 是负分数；0不是负数；化为假分数为，是负分数；是正分数；3.15可化为，是正分数；化为分数为，是负分数． ∴负分数一共有3个． 故答案为：3． 题型 0的意义 解题贴士 判断正负题型：看到 “非负 / 非正”，一定要包含 0；非负数 = 正数 + 0，非正数 = 负数 + 0。 整数分类题：区分自然数（0、正整数），0 不是正整数、也不是负整数。 陷阱提醒：0 可以做被除数，但绝对不能做除数；比较大小时，负数＜0＜正数。 ▌例1下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． ▌例2某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【详解】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． ▌对点练1-1关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D ▌对点练1-2下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【答案】2 【分析】本题考查了正数和负数、0的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键． 根据0的意义逐项判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个． 故答案为：2． ▌对点练1-3有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是_____． 【答案】数轴上的原点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查“0”的意义，熟练掌握“0”的意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是表示数轴上的原点； 故答案为数轴上的原点（答案不唯一）． 题型 数轴的概念理解 解题贴士 牢记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。常见的错误画法有：没有标注正方向、原点缺失、单位长度不统一、负数标的顺序错误（从原点向左应该依次是，不会出现越往左数越大的情况）。 ▌例1下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． ▌例2判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴的三要素是正确解答此题的关键．根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐个判断即可． 【详解】解：（1）中没有原点，故错误； （2）符合数轴的三要素，故正确； （3）原点左边的数字、位置不对，故错误； （4）中单位长度不相等，故错误， 故选：B． ▌对点练1-1以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴包括原点，正方向，单位长度，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方向不对，不符合题意； B、原点，正方向，单位长度均符合数轴特点，符合题意； C、没有正方向，单位长度也不对，不符合题意； D、单位长度不一致，不符合题意； 故选：B ． ▌对点练1-2规定了原点、______和______的直线叫做数轴． 【答案】 正方向 单位长度 【分析】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．根据数轴的定义即可解答． 【详解】解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 故答案为：正方向；单位长度． ▌对点练1-3下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 题型 在数轴上表示数 解题贴士 先正确画出数轴，补全三要素，再根据数的正负确定位置，标注点和对应的数。对于分数和小数，要找准在两个整数之间的位置。 ▌例1如图，数轴上表示的点是（     ） A．M B．N C．O D．P 【答案】A 【详解】解：由图可知，数轴上表示的点是M． ▌例2如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可． 【详解】数轴上点位于原点右侧一个单位距离， 点表示的数是， 由图可知：小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点， 小蘑菇所在点表示的数可能为． ▌对点练1-1如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据数轴上各点的位置，确定各点表示的数的范围，进而找到表示的点． 【详解】解：， 表示的点应在和之间， 观察数轴可知：点在和之间，点在和之间，点在和之间，点在和之间， 数轴上表示的点可能是点． ▌对点练1-2如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 【答案】左 【详解】解：∵， ∴表示的点在A点的左边． ▌对点练1-3点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由数轴可知，设点A表示的数为x，则， 则点A表示的数可能是． 题型 利用数轴求整点个数 解题贴士 先确定两个端点之间的范围，再依次列举出范围内的所有整数，最后计数。如果端点是整数，要注意题目是否包含端点：包含端点的话端点的整数要算进去，不包含就不算。 ▌例1如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． ▌例2如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． ▌对点练1-1如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． ▌对点练1-2在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的整数个数，通过找出所有大于且小于1.5的整数求解即可． 【详解】解：数轴上表示与1.5的点之间的整数有，0，1，共3个． 故答案为：3 ▌对点练1-3如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，正确理解题意是解题的关键．根据有理数大小比较的方法确定出、分别介于哪两个整数之间，进而即可得出A、B两点之间表示整数的点个数． 【详解】解：，， ∴所以大于并且小于的整数有、、、0、1、2共6个． 故答案为：6． 题型 利用数轴比较有理数大小 解题贴士 1. 数轴通用规则：数轴右侧的数永远大于左侧的数，直接通过点的左右位置判断大小。 2. 正负快速判断：原点右侧全为正数，左侧全为负数，因此正数＞0＞负数。 3. 负数比较技巧：两个负数在数轴上，离原点越远（越靠左），数值越小。 4. 做题步骤固定：先把数字全部标在数轴上，再按从左到右顺序从小到大排列，避免出错。 ▌例1在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的性质，数轴上位于某个数左侧的数小于这个数，因此本题只需找出小于的数即可. 【详解】解：∵ ，，， ∴ 在左侧，符合要求. ▌例2如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知： 错误． ▌对点练1-1点在数轴上的位置如图所示，则下列一定比点表示的数大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴上的数，右边的数总比左边的数大，从图中可知：点 在和之间，逐一判断即可． 【详解】从图中可知：点 在和之间，即， 选项A：，比小，不符合题意； 选项B：，比小，不符合题意； 选项C ：，比小，不符合题意； 选项D ：，比大，符合题意． ▌对点练1-2如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了数轴的概念和实数与数轴上点的对应关系，熟练掌握数轴上左边的数总比右边的数小这一性质是解题的关键． 先根据数轴上点的位置关系，判断出数与的大小关系，再写出一个满足该关系的数即可． 【详解】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴． 取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． ▌对点练1-32有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么a________b．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】本题主要考查的是数轴以及有理数大小比较．数轴上的有理数的大小关系为：数轴上原点左边的数都小于0，右边的数都大于0，右边的数总大于左边的数．根据数轴以及有理数大小比较的规律即可求解，即数轴上的有理数的大小关系为：数轴上右边的数总大于左边的数． 【详解】解：因为数轴上右边表示的数总比左边的数大，故． 故答案为：<． 题型 数轴上的动点问题 解题贴士 先确定动点初始位置表示的数，再根据移动规则计算：向右移动，数增加，用加法；向左移动，数减少，用减法。即：初始数向右移动的单位长度向左移动的单位长度最终点表示的数。 ▌例1如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． ▌例2如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． ▌对点练1-1如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是1，向左移动2个单位对应的数是，只有B正确． ▌对点练1-2在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． ▌对点练1-3数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 【答案】9或 【分析】本题考查数轴上点的移动．根据题意分两种情况求解即可． 【详解】解：点M表示的数是4，向右移动5个单位长度，点N表示的数为； 向左移动5个单位长度，点N表示的数为． 故答案为：9或． 题型 数轴上两点之间的距离 解题贴士 1. 先分清两个点的左右位置，右边数字更大，左边数字更小。 2. 已知一个点和两点距离，求另一个点要分两种情况：往右边加距离、往左边减距离，不能漏掉任意一种。 3. 距离代表线段长度，结果只能是0或正数，不会出现负数。 ▌例1如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． ▌例2如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． ▌对点练1-1在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】A 【详解】 表示的点到原点的距离为． ▌对点练1-2如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：点表示的数为， ∵两点间的距离是， 从开始往左数个单位长度即为点表示的数， ∴点表示的数是． ▌对点练1-3已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 题型 数轴上的规律探究 解题贴士 1. 定位找点先排序：把题目给出的数字按从小到大排好，再对应标到数轴上，方便观察间隔、移动规律。 2. 分段找间隔差：相邻两个点的差值固定不变时，直接用首数+间隔×个数快速推出目标位置数字。 3.周期规律圈循环：遇到重复交替的数字排列，先找出一组循环有几个数，用除法算余数判断目标位置对应数字。 ▌例1正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． ▌例2边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． ▌对点练1-1正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键． 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， ， 数轴上所对应的顶点是． 故选：C． ▌对点练1-2如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示的点重合的数字起，每个单位长度即为一个周期，计算到数轴上表示的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【详解】解：如图所示，每个单位长度即为一个周期， ∵数字的点与数轴上表示的点重合， ∴数字的点与数轴上表示的点重合， ∵， ∴为从数字0和数轴上表示的点重合起，第个周期后的第一个数， 即． 故答案为：． 基础通关 1．在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可． 【详解】解： ，，二者为负数，不符合要求． ，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数． 非负数共有个． 2．在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义逐个判断六个数即可得到结果． 【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数， 逐个判断得： 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，不是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数. 故有理数共5个，故选C． 3．在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先明确非负整数的定义，即大于等于0的整数，再逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负分数，不符合要求； 是分数，不符合要求； 是非负整数，符合要求； 是非负整数，符合要求； 是负整数，不符合要求； ∴符合条件的非负整数共个． 4．既是负数又是分数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题根据负数和分数的定义，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A、是负数，但属于整数，不是分数，不符合要求； 选项B、是分数，但它是正数，不是负数，不符合要求； 选项C、，是负数，且，属于分数，同时满足两个条件，符合要求； 选项D、既不是正数也不是负数，也不是分数，不符合要求． 5．下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 6．下列关于数轴的图示，画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、单位长度不统一，故选项错误； B、正方向不符合习惯，故本选项错误； C、没有正方向，故本选项错误； D、画法正确，故本选项正确． 7．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，点位于和之间， ∴ ∵，而，，， ∴ 点表示的数可能是． 8．若在数轴上点表示的数为，点在点的正方向上，距离点3个单位，则点表示的数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在点正方向个单位处， ∴点表示的数为． 9．小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了数轴，理解整数的概念，能够结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件求解是解答本题的关键．结合数轴，知道墨迹盖住的范围有两部分，即大于小于，大于小于，写出其中的整数即可． 【详解】解：结合数轴得，第一部分盖住的整数有：，，，，， 第二部分盖住的整数有：，，，， 两部分一共盖住个整数， 故选：D． 10．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 【答案】 见解析 【分析】根据整数，正分数，非负整数，有理数的定义进行分类，需注意是无限不循环小数，不属于有理数，解题时先化简各待分类的数，再根据定义分类． 【详解】解：先化简各数，可得 ，，， 因此按定义分类如下： 负整数集合{，……}， 整数集合{，，，，……}， 正分数集合{，……}， 非负整数集合{，，……}， 有理数集合{，，，，，，，……}． 11．直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 【答案】 【分析】先理解题意，观察观察数轴，分析数轴的信息得点表示的数是，再列式计算得出点表示的数，即可作答． 【详解】解：观察数轴得出直线上点表示的数是， 依题意，得， ∴点表示的数是，点表示的数是． 12．数轴上点对应的数是，将点沿数轴向左移动3个单位至点，则点对应的数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上的点的移动规律：左减右加，向左移动则减去移动的单位数即可解答． 【详解】解：点A对应的数是，向左移动3个单位， 则点B对应的数为， 故答案为． 13．已知数轴上的部分点被墨迹遮盖了，则被遮盖住的点中表示整数的点有_______ 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴可知墨迹遮盖了到2之间的整数，求出到2之间的整数个数即可得到答案． 【详解】解：由题意墨迹遮盖了到2之间的整数， ∵到2之间的整数有， ∴被遮盖住的点中表示整数的点有6个， 故答案为：6． 14．在数轴上表示出下列各数，并用“”连起来，，，，． 【答案】， 【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示见答案， 由数轴可得． 素养提升 1．所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数分类，正确把握相关定义是解题关键．直接利用负分数的定义分析得出答案． 【详解】解：阴影部分表示负分数，选项中只有C符合题意． 故选：C． 2．如图所示的数轴单位长度为1，点，，，分别表示数，，，．若的值为6，则的值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 根据数轴可知，之间的距离为4，则，由此可以得出，的值，再根据数轴上，的位置，可以得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知，之间的距离为4，则， 又，    ， ，． ，． ． 故选：A． 3.如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐， ∴数轴上1个单位长度表示， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：D． 4．在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 5．数轴上与表示的点距离个单位长度的点所表示的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的知识；解题的关键是熟练掌握数轴的性质． 根据数轴上点的距离意义，与定点距离为定长的点有两个，分别位于定点的左侧和右侧． 【详解】解：所求点到距离为个单位长度， 则所求点表示的数为或， 故答案为：或． 6．有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数：___________． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出，所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：结合数轴找出，所在位置，如下图所示： 利用数轴特点可知，， 故答案为：． 7.在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为_____． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为_____． 【答案】 0 【分析】本题考查有理数的加法与乘法，数轴上的平移； ①根据这三个数的和与其中的一个数相等可得另外两个数的和为0，即可求解； ②由平移表示出、，再结合必有俩数和为0和三个数乘积为负数求解即可． 【详解】解：①∵这三个数的和与其中的一个数相等， ∴另外两个数的和为0，即必有俩数和为0； 故答案为：0； ②将点向左移动2个单位得到点，则， 点向左移动4个单位得到点，则， ∵、、三个数的乘积为负数， ∴、、三个数中有一个负数或者3个负数， ∵必有俩数和为0， ∴只能一个负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 8．如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查有理数大小比较，数轴， （1）根据点表示的数是．点表示的数是判断原点的位置即可； （2）根据数轴上数的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上右边的数总比左边的数大得出比较结果； 熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原点位置如图， ； （2）把各数表示在数轴上，如下： ∴． 迁移创新 1．如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字_________的点重合． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的数字规律问题，找出圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律是解决此类题目的关键．根据圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律可知，每四个数2，3，0，1一个循环，再根据即可得解． 【详解】解：由题意知，圆周上表示数字2的点与数轴上表示1的点重合， 圆周上表示数字3的点与数轴上表示2的点重合， 圆周上表示数字0的点与数轴上表示3的点重合， 圆周上表示数字1的点与数轴上表示4的点重合， 圆周上表示数字2的点与数轴上表示5的点重合， ， 每四个数2，3，0，1一个循环， ， 数轴上表示2025的点与循环数中第一个数2的点重合， 故答案为：2． 2．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推．    (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为， ①点表示的数为_____， ②若边长为4的正方形的边在数轴上，点与点重合，此时点，点在数轴上所表示的数相同，将长方形和正方形都沿数轴无滑动向右翻滚，当点，点在数轴上所表示的数再次相同时，求此时点表示的数？当点第14次落回到数轴上时，点，点在数轴上所表示的数最多有几次相同？    【答案】(1) (2)①；②当点A第14次落在数轴上时，点E，点A在数轴上所表示的数最多有3次相同 【分析】（1）根据题意，由图可知，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，从而得到答案； （2）①由（1）可知，若点表示的数为，每一次点第一次落回到数轴上，就相当于向右移动个单位长度，设点第次落回数轴，根据规律即可得到点所表示的数；②根据题意得到点所表示的数为，点在所表示的数为，当点与点表示的数相同时，得到，分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为， 故答案为：； （2）解：①由（1）可知，若点表示的数为，每一次点第一次落回到数轴上，就相当于向右移动个单位长度， 设点第次落回数轴，则点所表示的数为， 故答案为：； ②当点第次落回数轴，则在所表示的数为， 当点与点表示的数相同时，则，即； 当，点与点在数轴上所表示的数相同； 当时，点与点在数轴上所表示的数相同； 当时点与点在数轴上所表示的数相同； 当时点与点在数轴上所表示的数相同； …… ， 当点A第14次落在数轴上时，点与点在数轴上所表示的数最多有3次相同． 【点睛】本题考查数轴上点表示数的规律、数轴表示数、分类讨论等知识，读懂题意，数形结合找出规律求解是解决问题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.2 有理数的概念与数轴（讲义） 课标要点 1. 掌握有理数定义与两种分类方式，明确有限、无限循环小数属于有理数。 2. 数轴核心：牢记原点、正方向、单位长度三要素，实现有理数与数轴上点的互画互读。 3.依托实例与数轴建立数感、几何直观，初步掌握数形结合的数学思想。 学习重难点 重点： 理解负数的实际意义，掌握有理数定义、两种分类标准，能准确辨别各类有理数。 熟记数轴三要素，熟练完成有理数与数轴上点的互标、互读。 难点： 区分 “非正数、非负数、非负整数” 等易混淆概念，理清 0 的特殊属性。 建立数形结合思维，运用数轴求解两点距离、分析数的关系。 知识点 有理数的定义与分类 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。 整数：正整数、0、负整数统称为整数，例如1、0、-5都是整数。 分数：正分数、负分数统称为分数，例如、都是分数，这里的分数包括可以化为分数的有限小数和无限循环小数。 特别提醒：无限不循环小数（例如）不能化为分数，因此它不是有理数。 有理数常见的分类方式有两种： 1. 按定义分类： 2. 按性质符号分类： 特别提醒 1.分类的时候要做到不重复、不遗漏，例如按性质分类的时候，不能漏掉0； 2.非负数指的是正数和0，非正数指的是负数和0，非正整数指的是负整数和0，非负整数指的是正整数和0。 随学随练 1．下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 3．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．5 5．下列各数中，是正分数的是（   ）． A． B． C． D． 知识点 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴满足以下三个要素： 1. 原点：在直线上取一个点表示(0)，这个点叫做原点，原点是数轴的基准点； 2. 正方向：通常规定直线向右（或向上）为正方向，向左（或向下）为负方向，用箭头标出； 3. 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须统一，不能出现不同的单位长度。 。特别提醒 数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，三个要素缺一不可；单位长度是指“一个单位的长度”，不是长度单位，二者意义不同。 随学随练 1．下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 2．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 3．数轴是一条规定了______、______和单位长度的______． 4．下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有__________个． 5．画一条水平_____，在直线上取一点，表示____（叫做______），选取某一适当长度为____，规定直线上向___的方向为____，就得到一条数轴． 知识点 数轴的画法 画数轴的步骤一般为： 1. 画一条水平直线； 2. 在直线上选取一点作为原点，标注出(0)； 3. 确定正方向，在原点的右端画上箭头表示正方向； 4. 选取合适的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次标注；从原点向左每隔一个单位长度取一个点，依次标注。 特别提醒 标注数字的时候，要保证数字对应到对应点的下方（水平数轴），不要出现点和数字不对应的错误，原点处的0不能遗漏。 随学随练 1．下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是数轴的有____个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 知识点 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此我们可以直接根据点的位置比较数的大小： · 正数大于(0)，(0)大于负数，正数大于一切负数； · 两个负数比较，在数轴上，离原点越远的负数对应的点越靠左，因此越靠左的负数越小，也就是绝对值大的负数反而小。 特别提醒 比较多个数的大小时，可以先把所有数对应到数轴上的点，再根据位置从左到右排列，即可得到从小到大的顺序 随学随练 1．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 5．如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 拓展 有理数分类的逻辑思辨——分类标准 1 所有分类都必须遵循“标准统一、不重不漏”的逻辑，同一问题切换分类标准时，要重新梳理每个元素的归属； ② 判断一个数是不是有理数，不要看形式，要看本质：能否写成（p,q为整数，q≠0）是判断的唯一依据；③ 零是有理数中最特殊的元素，它是整数，是非正非负的中性数，是正负数的分界，任何有理数分类都不能缺少零这个类别。 活学活用 1．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 2．现有一组数：，，，，，，，，． (1)请你把上述各数填入下列表示它所在的数集的圈里； (2)判断正误：有理数可分为分数、正整数、负整数．___________（填“正确”或“错误”） 拓展 数轴的规律探究 当点沿数轴运动时，若点初始对应数为，以速度v沿正方向运动t个单位后对应数为，沿负方向运动则对应数为，结合运动方向与时间可推导出任意时刻点的坐标规律 对于循环移动类问题，点每完成n次移动会回到初始位置或形成固定周期，只需计算总移动次数除以周期的余数，即可快速推导出最终点的对应数 活学活用 1．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 2．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 题型 有理数的分类 解题贴士 1. 先明确有理数的两种分类标准：按正负性分为正有理数、零、负有理数；按定义分为整数和分数，其中整数包括正整数、零、负整数，分数包括正分数、负分数。 2. 注意几个容易错的数：无限不循环小数π不是有理数，因此π不属于分数；有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，都属于分数范畴；带负号的数不一定是负数，比如是正数；0既不是正数也不是负数，属于整数，是有理数。 3. 分类时要做到不重复、不遗漏，尤其不要遗漏0这个特殊数。 ▌例1 在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 ▌例2．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．7 ▌对点练1-1．下列各数中，是正有理数的是（   ） A． B．3 C．0 D． ▌对点练1-2．下列实数中，正整数是（   ） A．2 B． C． D． ▌对点练1-3．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． ▌对点练1-4．在，0，，，，中，负分数有______个． 题型 0的意义 解题贴士 判断正负题型：看到 “非负 / 非正”，一定要包含 0；非负数 = 正数 + 0，非正数 = 负数 + 0。 整数分类题：区分自然数（0、正整数），0 不是正整数、也不是负整数。 陷阱提醒：0 可以做被除数，但绝对不能做除数；比较大小时，负数＜0＜正数。 ▌例1下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 ▌例2某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” ▌对点练1-1关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 ▌对点练1-2下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． ▌对点练1-3有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是_____． 题型 数轴的概念理解 解题贴士 牢记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。常见的错误画法有：没有标注正方向、原点缺失、单位长度不统一、负数标的顺序错误（从原点向左应该依次是，不会出现越往左数越大的情况）。 ▌例1下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． ▌例2判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练1-1以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2规定了原点、______和______的直线叫做数轴． ▌对点练1-3下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 题型 在数轴上表示数 解题贴士 先正确画出数轴，补全三要素，再根据数的正负确定位置，标注点和对应的数。对于分数和小数，要找准在两个整数之间的位置。 ▌例1如图，数轴上表示的点是（     ） A．M B．N C．O D．P ▌例2如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌对点练1-2如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． ▌对点练1-3点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是____________．（写出一个符合题意的数即可） 题型 利用数轴求整点个数 解题贴士 先确定两个端点之间的范围，再依次列举出范围内的所有整数，最后计数。如果端点是整数，要注意题目是否包含端点：包含端点的话端点的整数要算进去，不包含就不算。 ▌例1如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 ▌例2如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 ▌对点练1-1如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 ▌对点练1-2在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． ▌对点练1-3如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有________个． 题型 利用数轴比较有理数大小 解题贴士 1. 数轴通用规则：数轴右侧的数永远大于左侧的数，直接通过点的左右位置判断大小。 2. 正负快速判断：原点右侧全为正数，左侧全为负数，因此正数＞0＞负数。 3. 负数比较技巧：两个负数在数轴上，离原点越远（越靠左），数值越小。 4. 做题步骤固定：先把数字全部标在数轴上，再按从左到右顺序从小到大排列，避免出错。 ▌例1在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． ▌例2如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1点在数轴上的位置如图所示，则下列一定比点表示的数大的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） ▌对点练1-32有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么a________b．（填“>”、“<”或“=”）． 题型 数轴上的动点问题 解题贴士 先确定动点初始位置表示的数，再根据移动规则计算：向右移动，数增加，用加法；向左移动，数减少，用减法。即：初始数向右移动的单位长度向左移动的单位长度最终点表示的数。 ▌例1如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 ▌例2如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 ▌对点练1-1如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 ▌对点练1-2在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． ▌对点练1-3数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 题型 数轴上两点之间的距离 解题贴士 1. 先分清两个点的左右位置，右边数字更大，左边数字更小。 2. 已知一个点和两点距离，求另一个点要分两种情况：往右边加距离、往左边减距离，不能漏掉任意一种。 3. 距离代表线段长度，结果只能是0或正数，不会出现负数。 ▌例1如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． ▌例2如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 ▌对点练1-2如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． ▌对点练1-3已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 题型 数轴上的规律探究 解题贴士 1. 定位找点先排序：把题目给出的数字按从小到大排好，再对应标到数轴上，方便观察间隔、移动规律。 2. 分段找间隔差：相邻两个点的差值固定不变时，直接用首数+间隔×个数快速推出目标位置数字。 3.周期规律圈循环：遇到重复交替的数字排列，先找出一组循环有几个数，用除法算余数判断目标位置对应数字。 ▌例1正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． ▌例2边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O ▌对点练1-1正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D ▌对点练1-2如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 基础通关 1．在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．既是负数又是分数的是（   ） A． B． C． D．0 5．下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 6．下列关于数轴的图示，画法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 8．若在数轴上点表示的数为，点在点的正方向上，距离点3个单位，则点表示的数为（   ）． A． B． C． D． 9．小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数个数为（   ） A． B． C． D． 10．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 11．直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 12．数轴上点对应的数是，将点沿数轴向左移动3个单位至点，则点对应的数是____________． 13．已知数轴上的部分点被墨迹遮盖了，则被遮盖住的点中表示整数的点有_______ 个． 14．在数轴上表示出下列各数，并用“”连起来，，，，． 素养提升 1．所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 2．如图所示的数轴单位长度为1，点，，，分别表示数，，，．若的值为6，则的值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 3.如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 4．在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 5．数轴上与表示的点距离个单位长度的点所表示的数是______． 6．有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数：___________． 7.在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为_____． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为_____． 8．如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 迁移创新 1．如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字_________的点重合． 2．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推．    (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为， ①点表示的数为_____， ②若边长为4的正方形的边在数轴上，点与点重合，此时点，点在数轴上所表示的数相同，将长方形和正方形都沿数轴无滑动向右翻滚，当点，点在数轴上所表示的数再次相同时，求此时点表示的数？当点第14次落回到数轴上时，点，点在数轴上所表示的数最多有几次相同？    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $