1.2.2 数轴 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“数轴”核心知识点，系统梳理数轴的定义及三要素（原点、正方向、单位长度）、数轴与有理数的一一对应关系、距离计算、点的移动及折叠问题，构建从概念理解到应用拓展的学习支架。 资料特色体现在分层训练与分题型突破，通过“即学即练”和“典例精析”强化抽象能力与几何直观（数学眼光），借助距离公式和移动规律培养运算能力（数学思维），折叠问题设计渗透模型意识（数学语言）。课中辅助教师精准教学，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

初中数学（RJ）七年级上册 1.2.2 数轴 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数，能利用数轴比较有理数的大小。 二、知识梳理 知识点 1 　数轴的定义及画法 1.数轴的定义及三要素： （1）规定了正方向、原点、单位长度的用来表示数的直线叫做数轴。图示如下： （2）数轴的三要素： 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，在画数轴的时候三要素缺一不可。一般情况下规定向右为正方向。单位长度视情况选择大小，同一个数轴的单位长度一定要统一。 数轴的画法： ①画直线；②定原点；③定正方向；④取单位长度。 ★ 重点　数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，缺一不可。判断一幅图是不是数轴，就逐一核对这三条。 ⚠ 易错　常见错误图有四类：① 没有原点；② 没有标正方向（箭头）；③ 没有单位长度；④ 单位长度前后不统一（如 0、1、2 之间间距忽大忽小），或数字排列违反"右大左小"。 ◆ 方法　画数轴口诀：一画直线、二定原点、三标方向、四取单位。注意数轴是一条直线（向两端无限延伸），不是射线或线段。 知识点 2 　数轴与有理数的关系 数轴与有理数的关系： ①数轴上的点与有理数之间的关系是一一对应关系。即一个有理数在数轴上只能找到一个 点来表示它。数轴上一个点也只能表示一个有理数。 ②表示正数的点在数轴上的位置一定在原点右侧，表示负数的点一定在原点的左侧。数轴上右边的数一定比数轴左边的数大。 ★ 重点　所有的有理数都可以用数轴上的点表示；数轴上右边的数总比左边的数大，这是比较有理数大小最直观的工具。 ⚠ 易错　比较负数大小时最容易出错：－5 在 －2 的左边，所以 －5 ＜ －2，绝对值大的负数反而更小。 ◆ 方法　数轴上两点间的距离 = 右边的数 － 左边的数，也可写成 |a－b|。求"移动几个单位后到达的数"时，向右移动用加法，向左移动用减法。 三、即学即练 1.　下列关于数轴的说法正确的是（　　） A．规定了原点和正方向的直线 B．规定了单位长度的直线 C．规定了原点和单位长度的直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 2.　下列所画数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 3.　画一条数轴，并在数轴上标出下列各数． ﹣3，2，﹣1.5，0，+3.5，4 4.　如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数． 5.　数轴上表示﹣8的点与原点之间的距离是（　　） A．8　　B．﹣8　　C．　　D．− 6.　点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点B，则点B表示的数是（　　） A．4　　B．3　　C．﹣3　　D．﹣2 7.　若纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣4的点与表示2的点重合，则与表示5的点重合的点表示的数是（　　） A．﹣5　　B．﹣6　　C．﹣7　　D．﹣8 四、典例精析（分题型突破） 题型 1 　数轴的判断　 考察　数轴三要素——原点、正方向、单位长度缺一不可且单位要统一。 例1　图中所画的数轴，正确的是（　　） A． B． C． D． ⚠ 易错　判断或绘制数轴，逐一核对三要素：原点、正方向（箭头）、单位长度，并检查单位长度是否前后统一、数的排列是否满足"右大左小"。 【答案】D解：A、没有正方向，故错误；B、没有原点，故错误；C、单位长度不统一，故错误；D、正确． 变式1　下列所画的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． ⚠ 易错　判断或绘制数轴，逐一核对三要素：原点、正方向（箭头）、单位长度，并检查单位长度是否前后统一、数的排列是否满足"右大左小"。 【答案】B解：A、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误；B、有原点、正方向、单位长度，故本选项正确；C、没有原点，故本小题错误；D、单位长度不统一，故本小题错误． 变式2　下面的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；C、﹣1、﹣2位置错误，故此选项错误，不符合题意；D、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意． 题型 2 　数轴与有理数的关系　 考察　数与点的一一对应——会看点写数、依数描点，注意方向与单位。 例2　如图，数轴上点P表示的数是（　　） A．﹣1　　B．0　　C．1　　D．2 【答案】A解：根据数轴可知，点P表示的数为：﹣1， 变式1　如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A．﹣2.1　　B．﹣1.6　　C．﹣3.4　　D．1.3 【答案】B解：∵﹣2.1＜﹣2，﹣2＜﹣1.6＜﹣1，﹣3.4＜﹣2，1.3＞﹣1， ∴点A表示的数可能是﹣1.6． 变式2　画一条数轴，并画出表示下列各数的点： 0，﹣1，﹣2.1，+0.25，1． 【答案】解： 变式3　（1）在数轴上表示出下列各有理数：﹣2，﹣3，0，−4，； （2）指出如图所示的数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数． 【答案】解：（1）如图所示， （2）由题可得，A表示﹣4，B表示﹣1.5，C表示0.5，D表示3，E表示4.5 题型 3 　数轴上两点之间的距离　 考察　距离公式——“右边的数 − 左边的数”，也可写成两数差的绝对值，结果非负。 例3　下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示2的点与表示8的点之间的距离是10 B．数轴上表示﹣2的点与表示﹣8的点之间的距离是﹣10 C．数轴上表示﹣8的点与表示2的点之间的距离是10 D．数轴上表示﹣8的点与原点之间的距离是﹣8 【答案】C解：选项A：8﹣2＝6，数轴上表示2的点与表示8的点之间的距离是6，而不是10，A不正确； 选项B：﹣2﹣（﹣8）＝﹣2+8＝6，数轴上表示﹣2的点与表示﹣8的点之间的距离是6，且距离不为负数，B不正确； 选项C：2﹣（﹣8）＝2+8＝10，数轴上表示﹣8的点与表示2的点之间的距离是10，是正确的； 选项D，0﹣（﹣8）＝8，数轴上表示﹣8的点与原点之间的距离是8，而不是﹣8，D不正确． 综上，只有C正确． 变式1　点A在数轴上到原点的距离为5，则A点表示的数为（　　） A．5　　B．﹣5　　C．10　　D．5或﹣5 ⚠ 易错　数轴上两点间的距离 =「右边的数 − 左边的数」，也可写成 |a−b|，结果恒为非负数，切勿写成负值。 【答案】D解：点A在数轴上到原点的距离为5，则A点表示的数为5或﹣5， 变式2　M点在数轴上表示﹣4，N点离M的距离是3，那么N点表示的数为（　　） A．﹣1　　B．﹣7　　C．﹣1或﹣7　　D．﹣1或1 ⚠ 易错　数轴上两点间的距离 =「右边的数 − 左边的数」，也可写成 |a−b|，结果恒为非负数，切勿写成负值。 【答案】C解：﹣4+3＝﹣1，﹣4﹣3＝﹣7， 变式3　若数轴上的点A表示的数是﹣2，则与点A相距5个单位长度的点表示的数是（　　） A．±7　　B．±3　　C．3或﹣7　　D．﹣3或7 【答案】C解：在数轴上与﹣2的距离等于5的点表示的数是﹣2+5＝3或﹣2﹣5＝﹣7． 变式4　如图，点A，B在数轴上，点O为原点，OA＝OB．按如图所示方法用圆规在数轴上截取BC＝AB，若点A表示的数是m，则点C表示的数是 ． 【答案】﹣3m．解：∵OA＝OB，点A表示的数是m，∴点B表示的数为﹣m，AB＝﹣2m， ∵BC＝AB，∴点C表示的数是﹣3m， 题型 4 　数轴上点的移动　 考察　平移规律——向左移动用减、向右移动用加，注意起点与移动次数。 例4　已知数轴上点A表示有理数﹣2，若将点A沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的有理数是 ． 【答案】解：∵数轴上点A表示有理数﹣2，∴将点A沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的有理数是﹣2+4＝2； 变式1　在数轴上，一个点从﹣4开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（　　） A．﹣1　　B．1　　C．5　　D．﹣5 【答案】D解：由题意得， ﹣4+2﹣3＝﹣5， 变式2　点M为数轴上表示﹣2的点，将点M沿数轴向右平移5个单位到点N，则点N表示的数是（　　） A．3　　B．5　　C．﹣7　　D．3或﹣7 【答案】A解：由M为数轴上表示﹣2的点，将点M沿数轴向右平移5个单位到点N可列：﹣2+5＝3， 变式3　如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是﹣17和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过 　2或20　 秒，点P、点Q分别与原点的距离相等． ⚠ 易错　动点问题：先标出起点与运动方向，用"起点 ± 速度×时间"表示动点位置；涉及距离或相遇的条件，通常要分"相遇前、相遇后"两种情况讨论。 【答案】解：设运动的时间为t秒， ①当点P在原点的左侧时，有17﹣4t＝3+3t，解得，t＝2， ②当点P也在原点的右侧时，即点P追及到点Q，有4t＝20+3t，解得，t＝20； 变式4　如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴向右滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是2π；若起点A开始时是与﹣1重合的，则向左滚动2周后点A′表示的数是 ． ⚠ 易错　折叠问题：关键是找到折痕对应的对称中心，对称中心表示的数 =（重合两数之和）÷2，再利用对称性求另一点。 【答案】﹣1﹣4π．解：∵圆的半径为1个单位长度，∴此圆的周长＝2π， 若起点A开始时是与﹣1重合的，圆片向左滚动2周时，则A'表示的数是﹣1﹣4π． 题型 5 　数轴的折叠问题　 考察　对称思想——折痕对应的数 =（两重合点表示的数之和）÷2，用中点公式建方程。 例5　如图，纸面上有一数轴若折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ⚠ 易错　折叠问题：关键是找到折痕对应的对称中心，对称中心表示的数 =（重合两数之和）÷2，再利用对称性求另一点。 【答案】﹣3．解：∵表示﹣1的点与表示3的点重合，∴这两点的对称中心对应的数为=1， ∵5﹣1＝4，而1﹣4＝﹣3，∴数轴上表示5的点与表示﹣3的点重合， 变式1　如图，数轴上点M表示的数为﹣1，经过点M折叠这条数轴，使数轴在点M两侧的部分完全重合．若点M右侧的点P与数轴上表示﹣3的点重合，则点P所表示的数为（　　） A．3　　B．2　　C．1　　D．0 【答案】C解：∵﹣1﹣（﹣3）＝2，∴﹣1+2＝1．∴P所表示的数为1． 变式2　在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是﹣18，7，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，则C点表示的数是 ． 【答案】﹣4.5．解：设C点表示的数是x，则AC＝x﹣（﹣18）＝x+18，BC＝7﹣x， ∵以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2， ∴AC﹣BC＝2，∴x+18﹣（7﹣x）＝2， 解得x＝﹣4.5，即C点表示的数是﹣4.5， 变式3　已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 操作一： （1）折叠纸面，使数1表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数﹣2表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使数3表示的点与数﹣1表示的点重合，回答下列问题： ①数5表示的点与数 表示的点重合； ②若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则A点表示的数为 ，B点表示的数为 ． 【答案】解：（1）使数1表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数﹣2表示的点与数2表示的点重合： （2）由表示﹣1的点与表示3的点重合，可确定对称点是表示1的点，则： ①表示5的点与对称点距离为4，则重合点应该是左侧与对称点距离为4的点，即﹣3； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5， ∵对称点是表示1的点， ∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5． 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　如图所画数轴正确的个数为（　　） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 2.　下列一组数：1，4，0，−，﹣3在数轴上表示的点中，不在原点右边的点的个数为（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 3.　在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣3和5，点M是线段AB的中点，则M表示的数为（　　） A．1　　B．2　　C．4　　D．﹣4 B 档 　巩固提升　 1.　下列结论正确的个数是（　　） ①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴；②同一数轴上的单位长度都必须一致； ③有理数都可以表示在数轴上；④数轴上的点都表示有理数． A．0　　B．1　　C．2　　D．3 2.　如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5　　B．﹣0.5　　C．﹣1.5　　D．﹣2.5 3.　如图，在数轴上，点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动a（a＞6）个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（　　） A．0　　B．﹣1　　C．0.5　　D．2 4.　如图，数轴上的点A，B分别表示数﹣3，2，C，D分别是线段AB，AC的中点，则点D表示的数是（　　） A．﹣2　　B．−　　C．−　　D．− 5.　数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2021厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（　　） A．2021　　B．2022　　C．2021或2022　　D．2020或2019 6.　如图，圆的周长为3个单位长度，该圆上的3个点将圆的周长平均分成3份，在3个点处分别标上1，2，3，先让圆周上表示数字1的点与数轴上表示0的点重台，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上重合的点上标的数字为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．无法确定 7.　在数轴上与表示﹣3的点相距5个单位长度的点表示的数是 ． 8.　画出数轴并表示下列有理数： 1.5，﹣2，﹣2.5，0，． C 档 　提高拓展　 1.　在数轴上，点A表示﹣3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（　　） A．﹣7　　B．1　　C．4　　D．﹣7或1 2.　如图是一个不完整的数轴，若数轴上点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是 ． 3.　如果将点B先向右移动4个单位长度，再向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数是﹣6，则点B最初在数轴上表示的数为 ． 4.　若A、B、P是数轴上的三点且点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，点P表示的数为x，当其中一点到另外两点的距离相等时，则x的值为 ． 5.　一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是﹣8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折： ①若A'与B重合，则C点表示的数是 ． ②若点A'落在射线CB上，并且A'B＝4，则C点表示的数是 ． D 档 　压轴挑战　 1.　如图，点A，B，C，D，是数轴上的四个点，点C位于2、3正中间． （1）指出A、B、C、D分别表示的数； （2）C、B两点之间的距离是多少？C、D两点之间的距离是多少？ 2.　如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点A，B之间的距离是3，点B，C之间的距离是2．设点A，B，C所对应的数之和是m． （1）若以点B为原点，点A表示的数是 ，点C表示的数是 ； （2）若以点C为原点，求m的值； （3）若点A表示的数是﹣8，m的值是多少？ 3.　在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　2　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 1.2.2 数轴 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数，能利用数轴比较有理数的大小。 二、知识梳理 知识点 1 　数轴的定义及画法 1.数轴的定义及三要素： （1）规定了正方向、原点、单位长度的用来表示数的直线叫做数轴。图示如下： （2）数轴的三要素： 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，在画数轴的时候三要素缺一不可。一般情况下规定向右为正方向。单位长度视情况选择大小，同一个数轴的单位长度一定要统一。 数轴的画法： ①画直线；②定原点；③定正方向；④取单位长度。 ★ 重点　数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，缺一不可。判断一幅图是不是数轴，就逐一核对这三条。 ⚠ 易错　常见错误图有四类：① 没有原点；② 没有标正方向（箭头）；③ 没有单位长度；④ 单位长度前后不统一（如 0、1、2 之间间距忽大忽小），或数字排列违反"右大左小"。 ◆ 方法　画数轴口诀：一画直线、二定原点、三标方向、四取单位。注意数轴是一条直线（向两端无限延伸），不是射线或线段。 知识点 2 　数轴与有理数的关系 数轴与有理数的关系： ①数轴上的点与有理数之间的关系是一一对应关系。即一个有理数在数轴上只能找到一个 点来表示它。数轴上一个点也只能表示一个有理数。 ②表示正数的点在数轴上的位置一定在原点右侧，表示负数的点一定在原点的左侧。数轴上右边的数一定比数轴左边的数大。 ★ 重点　所有的有理数都可以用数轴上的点表示；数轴上右边的数总比左边的数大，这是比较有理数大小最直观的工具。 ⚠ 易错　比较负数大小时最容易出错：－5 在 －2 的左边，所以 －5 ＜ －2，绝对值大的负数反而更小。 ◆ 方法　数轴上两点间的距离 = 右边的数 － 左边的数，也可写成 |a－b|。求"移动几个单位后到达的数"时，向右移动用加法，向左移动用减法。 三、即学即练 1.　下列关于数轴的说法正确的是（　　） A．规定了原点和正方向的直线 B．规定了单位长度的直线 C．规定了原点和单位长度的直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【答案】D解：数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线． 2.　下列所画数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C解：A、缺少单位长度，不符合题意；B、缺少正方向，不符合题意；C、三要素具备，符合题意；D、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，不符合题意． 3.　画一条数轴，并在数轴上标出下列各数． ﹣3，2，﹣1.5，0，+3.5，4 【答案】解：如图： 4.　如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数． 【答案】解：由数轴可得出：点A表示0，B表示﹣2，C表示1，D表示2.5，E表示﹣3． 5.　数轴上表示﹣8的点与原点之间的距离是（　　） A．8　　B．﹣8　　C．　　D．− 【答案】A解：数轴上表示﹣8的点与原点之间的距离是0﹣（﹣8）＝8． 6.　点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点B，则点B表示的数是（　　） A．4　　B．3　　C．﹣3　　D．﹣2 【答案】D解：由题意可得， ∵点A向左移动3个单位长度得到点B，∴点B代表的数字是：1﹣3＝﹣2， 7.　若纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣4的点与表示2的点重合，则与表示5的点重合的点表示的数是（　　） A．﹣5　　B．﹣6　　C．﹣7　　D．﹣8 【答案】C解：∵表示﹣4的点与表示2的点重合， ∴折痕处所表示的数为：=−1， ∴5表示的点与数﹣1﹣[5﹣（﹣1）]＝﹣7表示的点重合． 四、典例精析（分题型突破） 题型 1 　数轴的判断　 考察　数轴三要素——原点、正方向、单位长度缺一不可且单位要统一。 例1　图中所画的数轴，正确的是（　　） A． B． C． D． ⚠ 易错　判断或绘制数轴，逐一核对三要素：原点、正方向（箭头）、单位长度，并检查单位长度是否前后统一、数的排列是否满足"右大左小"。 【答案】D解：A、没有正方向，故错误；B、没有原点，故错误；C、单位长度不统一，故错误；D、正确． 变式1　下列所画的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． ⚠ 易错　判断或绘制数轴，逐一核对三要素：原点、正方向（箭头）、单位长度，并检查单位长度是否前后统一、数的排列是否满足"右大左小"。 【答案】B解：A、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误；B、有原点、正方向、单位长度，故本选项正确；C、没有原点，故本小题错误；D、单位长度不统一，故本小题错误． 变式2　下面的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；C、﹣1、﹣2位置错误，故此选项错误，不符合题意；D、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意． 题型 2 　数轴与有理数的关系　 考察　数与点的一一对应——会看点写数、依数描点，注意方向与单位。 例2　如图，数轴上点P表示的数是（　　） A．﹣1　　B．0　　C．1　　D．2 【答案】A解：根据数轴可知，点P表示的数为：﹣1， 变式1　如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A．﹣2.1　　B．﹣1.6　　C．﹣3.4　　D．1.3 【答案】B解：∵﹣2.1＜﹣2，﹣2＜﹣1.6＜﹣1，﹣3.4＜﹣2，1.3＞﹣1， ∴点A表示的数可能是﹣1.6． 变式2　画一条数轴，并画出表示下列各数的点： 0，﹣1，﹣2.1，+0.25，1． 【答案】解： 变式3　（1）在数轴上表示出下列各有理数：﹣2，﹣3，0，−4，； （2）指出如图所示的数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数． 【答案】解：（1）如图所示， （2）由题可得，A表示﹣4，B表示﹣1.5，C表示0.5，D表示3，E表示4.5 题型 3 　数轴上两点之间的距离　 考察　距离公式——“右边的数 − 左边的数”，也可写成两数差的绝对值，结果非负。 例3　下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示2的点与表示8的点之间的距离是10 B．数轴上表示﹣2的点与表示﹣8的点之间的距离是﹣10 C．数轴上表示﹣8的点与表示2的点之间的距离是10 D．数轴上表示﹣8的点与原点之间的距离是﹣8 【答案】C解：选项A：8﹣2＝6，数轴上表示2的点与表示8的点之间的距离是6，而不是10，A不正确； 选项B：﹣2﹣（﹣8）＝﹣2+8＝6，数轴上表示﹣2的点与表示﹣8的点之间的距离是6，且距离不为负数，B不正确； 选项C：2﹣（﹣8）＝2+8＝10，数轴上表示﹣8的点与表示2的点之间的距离是10，是正确的； 选项D，0﹣（﹣8）＝8，数轴上表示﹣8的点与原点之间的距离是8，而不是﹣8，D不正确． 综上，只有C正确． 变式1　点A在数轴上到原点的距离为5，则A点表示的数为（　　） A．5　　B．﹣5　　C．10　　D．5或﹣5 ⚠ 易错　数轴上两点间的距离 =「右边的数 − 左边的数」，也可写成 |a−b|，结果恒为非负数，切勿写成负值。 【答案】D解：点A在数轴上到原点的距离为5，则A点表示的数为5或﹣5， 变式2　M点在数轴上表示﹣4，N点离M的距离是3，那么N点表示的数为（　　） A．﹣1　　B．﹣7　　C．﹣1或﹣7　　D．﹣1或1 ⚠ 易错　数轴上两点间的距离 =「右边的数 − 左边的数」，也可写成 |a−b|，结果恒为非负数，切勿写成负值。 【答案】C解：﹣4+3＝﹣1，﹣4﹣3＝﹣7， 变式3　若数轴上的点A表示的数是﹣2，则与点A相距5个单位长度的点表示的数是（　　） A．±7　　B．±3　　C．3或﹣7　　D．﹣3或7 【答案】C解：在数轴上与﹣2的距离等于5的点表示的数是﹣2+5＝3或﹣2﹣5＝﹣7． 变式4　如图，点A，B在数轴上，点O为原点，OA＝OB．按如图所示方法用圆规在数轴上截取BC＝AB，若点A表示的数是m，则点C表示的数是 ． 【答案】﹣3m．解：∵OA＝OB，点A表示的数是m，∴点B表示的数为﹣m，AB＝﹣2m， ∵BC＝AB，∴点C表示的数是﹣3m， 题型 4 　数轴上点的移动　 考察　平移规律——向左移动用减、向右移动用加，注意起点与移动次数。 例4　已知数轴上点A表示有理数﹣2，若将点A沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的有理数是 ． 【答案】解：∵数轴上点A表示有理数﹣2，∴将点A沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的有理数是﹣2+4＝2； 变式1　在数轴上，一个点从﹣4开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（　　） A．﹣1　　B．1　　C．5　　D．﹣5 【答案】D解：由题意得， ﹣4+2﹣3＝﹣5， 变式2　点M为数轴上表示﹣2的点，将点M沿数轴向右平移5个单位到点N，则点N表示的数是（　　） A．3　　B．5　　C．﹣7　　D．3或﹣7 【答案】A解：由M为数轴上表示﹣2的点，将点M沿数轴向右平移5个单位到点N可列：﹣2+5＝3， 变式3　如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是﹣17和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过 　2或20　 秒，点P、点Q分别与原点的距离相等． ⚠ 易错　动点问题：先标出起点与运动方向，用"起点 ± 速度×时间"表示动点位置；涉及距离或相遇的条件，通常要分"相遇前、相遇后"两种情况讨论。 【答案】解：设运动的时间为t秒， ①当点P在原点的左侧时，有17﹣4t＝3+3t，解得，t＝2， ②当点P也在原点的右侧时，即点P追及到点Q，有4t＝20+3t，解得，t＝20； 变式4　如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴向右滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是2π；若起点A开始时是与﹣1重合的，则向左滚动2周后点A′表示的数是 ． ⚠ 易错　折叠问题：关键是找到折痕对应的对称中心，对称中心表示的数 =（重合两数之和）÷2，再利用对称性求另一点。 【答案】﹣1﹣4π．解：∵圆的半径为1个单位长度，∴此圆的周长＝2π， 若起点A开始时是与﹣1重合的，圆片向左滚动2周时，则A'表示的数是﹣1﹣4π． 题型 5 　数轴的折叠问题　 考察　对称思想——折痕对应的数 =（两重合点表示的数之和）÷2，用中点公式建方程。 例5　如图，纸面上有一数轴若折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ⚠ 易错　折叠问题：关键是找到折痕对应的对称中心，对称中心表示的数 =（重合两数之和）÷2，再利用对称性求另一点。 【答案】﹣3．解：∵表示﹣1的点与表示3的点重合，∴这两点的对称中心对应的数为=1， ∵5﹣1＝4，而1﹣4＝﹣3，∴数轴上表示5的点与表示﹣3的点重合， 变式1　如图，数轴上点M表示的数为﹣1，经过点M折叠这条数轴，使数轴在点M两侧的部分完全重合．若点M右侧的点P与数轴上表示﹣3的点重合，则点P所表示的数为（　　） A．3　　B．2　　C．1　　D．0 【答案】C解：∵﹣1﹣（﹣3）＝2，∴﹣1+2＝1．∴P所表示的数为1． 变式2　在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是﹣18，7，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，则C点表示的数是 ． 【答案】﹣4.5．解：设C点表示的数是x，则AC＝x﹣（﹣18）＝x+18，BC＝7﹣x， ∵以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2， ∴AC﹣BC＝2，∴x+18﹣（7﹣x）＝2， 解得x＝﹣4.5，即C点表示的数是﹣4.5， 变式3　已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 操作一： （1）折叠纸面，使数1表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数﹣2表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使数3表示的点与数﹣1表示的点重合，回答下列问题： ①数5表示的点与数 表示的点重合； ②若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则A点表示的数为 ，B点表示的数为 ． 【答案】解：（1）使数1表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数﹣2表示的点与数2表示的点重合： （2）由表示﹣1的点与表示3的点重合，可确定对称点是表示1的点，则： ①表示5的点与对称点距离为4，则重合点应该是左侧与对称点距离为4的点，即﹣3； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5， ∵对称点是表示1的点， ∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5． 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　如图所画数轴正确的个数为（　　） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 【答案】B解：①单位长度不统一，故本小题错误；②不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本小题错误；③不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本小题错误④符合数轴的特点，故本小题正确． 2.　下列一组数：1，4，0，−，﹣3在数轴上表示的点中，不在原点右边的点的个数为（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】B解：1，4是正数在数轴的右边，0在原点，−，﹣3是负数在数轴的左边，所以不在原点右边的点的数是−，﹣3，0，共3个， 3.　在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣3和5，点M是线段AB的中点，则M表示的数为（　　） A．1　　B．2　　C．4　　D．﹣4 【答案】A解：∵点A，B表示的数分别是﹣3和5，∴AB＝5﹣（﹣3）＝8， ∵点M是线段AB的中点，∴BM=AB=4，∴点M表示的数为：5﹣4＝1； B 档 　巩固提升　 1.　下列结论正确的个数是（　　） ①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴；②同一数轴上的单位长度都必须一致； ③有理数都可以表示在数轴上；④数轴上的点都表示有理数． A．0　　B．1　　C．2　　D．3 【答案】D解：①符合数轴的定义，故本小题正确；②同一数轴上的单位长度都必须一致是数轴的特点，故本小题正确；③有理数都可以表示在数轴上，故本小题正确；④数轴上的点都表示实数，故本小题错误． 2.　如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5　　B．﹣0.5　　C．﹣1.5　　D．﹣2.5 【答案】B解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，则表示的数可能是﹣0.5． 3.　如图，在数轴上，点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动a（a＞6）个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（　　） A．0　　B．﹣1　　C．0.5　　D．2 【答案】B解：∵点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动a（a＞6）个单位长度得到点P， ∴点P在原点左边，即点P表示的数为负数． 4.　如图，数轴上的点A，B分别表示数﹣3，2，C，D分别是线段AB，AC的中点，则点D表示的数是（　　） A．﹣2　　B．−　　C．−　　D．− 【答案】B解：∵数轴上的点A，B分别表示数﹣3，2，∴AB＝2﹣（﹣3）＝5， ∵C，D分别是线段AB，AC的中点，∴AC=AB=×5=，AD=AC=×=， ∴点D表示的数为：−3+=−． 5.　数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2021厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（　　） A．2021　　B．2022　　C．2021或2022　　D．2020或2019 【答案】C若线段AB的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若线段AB的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点． ∵2021+1＝2022，∴2021厘米的线段AB盖住2021或2022个整点． 6.　如图，圆的周长为3个单位长度，该圆上的3个点将圆的周长平均分成3份，在3个点处分别标上1，2，3，先让圆周上表示数字1的点与数轴上表示0的点重台，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上重合的点上标的数字为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．无法确定 【答案】C解：2024÷3＝374余2，所以数轴上表示2024的点与圆周上的数字3重合， 7.　在数轴上与表示﹣3的点相距5个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】解：在数轴上与表示﹣3的点相距5个单位长度的点表示的数是：﹣3+5＝2，﹣3﹣5＝﹣8． 8.　画出数轴并表示下列有理数： 1.5，﹣2，﹣2.5，0，． 【答案】解：如图所示； C 档 　提高拓展　 1.　在数轴上，点A表示﹣3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（　　） A．﹣7　　B．1　　C．4　　D．﹣7或1 ⚠ 易错　动点问题：先标出起点与运动方向，用"起点 ± 速度×时间"表示动点位置；涉及距离或相遇的条件，通常要分"相遇前、相遇后"两种情况讨论。 【答案】D解：∵点A表示﹣3，∴从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是﹣3+4＝1；∴从点A出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是﹣3﹣4＝﹣7； ∴点B表示的数是1或﹣7． 2.　如图是一个不完整的数轴，若数轴上点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是 ． 【答案】﹣5．解：根据点A表示的数是﹣1，确定原点的位置， ∴B表示的数是﹣5． 3.　如果将点B先向右移动4个单位长度，再向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数是﹣6，则点B最初在数轴上表示的数为 ． 【答案】解：∵将点B先向右移动4个单位长度，再向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数是﹣6， ∴从﹣6先向左平移4个单位，得到﹣10，再向右平移6个单位得到：﹣4． 4.　若A、B、P是数轴上的三点且点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，点P表示的数为x，当其中一点到另外两点的距离相等时，则x的值为 ． 【答案】解：①当A到B、P的距离相等时，AB＝AP， ∴3＝|x+2|，∴x＝1或x＝﹣5， ∵x＝1时，P与B重合，∴x＝﹣5； ②当B到A、P的距离相等时，AB＝BP，∴3＝|1﹣x|，∴x＝﹣2或x＝4， ∵x＝﹣2时，P点与A点重合，∴x＝4； ③当P到A、B的距离相等时，AP＝BP，∴P是AB的中点，∴x=−； ④当P与A重合时，BP＝AB，则x＝﹣2； ⑤当P与B重合时，AP＝AB，则x＝1．∴x的值为﹣5或4或−或﹣2或1． 5.　一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是﹣8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折： ①若A'与B重合，则C点表示的数是 ． ②若点A'落在射线CB上，并且A'B＝4，则C点表示的数是 ． 【答案】解：①若A'与B重合，则C点表示的数是=−1；故答案为：﹣1； ②设点C表示的数为x，当A′在线段CB的延长线上时， ∵A'B＝4，∴点A′表示的数为6+4＝10， ∵AC＝A′C，∴x﹣（﹣8）＝10﹣x，解得：x＝1； 当A′在线段CB上时， ∵A'B＝4，∴点A′表示的数为6﹣4＝2， ∵AC＝A′C，∴x﹣（﹣8）＝2﹣x，解得：x＝﹣3； ∴C点表示的数是1或﹣3． D 档 　压轴挑战　 1.　如图，点A，B，C，D，是数轴上的四个点，点C位于2、3正中间． （1）指出A、B、C、D分别表示的数； （2）C、B两点之间的距离是多少？C、D两点之间的距离是多少？ 【答案】解：（1）A表示的数是﹣4；B表示的数是﹣1；C表示的数是2.5；D表示的数是6； （2）CB＝2.5﹣（﹣1）＝3.5，CD＝6﹣2.5＝3.5． 2.　如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点A，B之间的距离是3，点B，C之间的距离是2．设点A，B，C所对应的数之和是m． （1）若以点B为原点，点A表示的数是 ，点C表示的数是 ； （2）若以点C为原点，求m的值； （3）若点A表示的数是﹣8，m的值是多少？ ⚠ 易错　中点公式：中点表示的数 =（两端点表示的数之和）÷2。求线段长度时用"右边的数 − 左边的数"，结果为非负。 【答案】解：（1）∵点A，B之间的距离是3，点B，C之间的距离是2， ∴以点B为原点，点A表示的数是﹣3，点C表示的数是2； （2）∵以C为原点，∴点C所对应的数为0， 由图可得点A，B所对应的数分别是﹣5，﹣2，∴m＝﹣5+（﹣2）+0＝﹣7． （3）∵点A表示的数是﹣8，∴点B，C所对应的数分别是﹣5，﹣3， ∴m＝﹣8+（﹣5）+（﹣3）＝﹣16． 3.　在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　2　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 【答案】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合，∴折痕经过原点，∴表示﹣2的点与表示2的点重合． （2）∵表示﹣1的点与表示3的点重合，∴−1+=1，∴折痕经过表示1的点， ①1﹣（5﹣1）＝﹣3，∴点D表示的数为﹣3； ②A：1−=−3.5，B：1+=5.5． ∴A，B两点表示的数分别为﹣3.5，5.5． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $