1.2.1 有理数的概念 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学有理数的概念这一核心知识点，系统梳理有理数的定义（可写成分数形式的数）及两种分类标准（按整分：整数与分数；按正负：正有理数、0、负有理数），通过重点标注、易错提示和分类方法指导搭建学习支架。 资料设计亮点在于分层训练（A到D档）满足不同学生需求，典例精析结合变式练习提升推理意识，实际情境题目（如跳绳积分、飞行高度）培养应用意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

初中数学（RJ）七年级上册 1.2.1 有理数的概念 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解有理数的意义，能按不同标准对有理数进行分类，做到不重不漏。 二、知识梳理 知识点 1 　有理数的定义 有理数的概念：可以写成分数形式的数叫做有理数 整数包含正整数、负整数、0；分数包含正分数与负分数。 自然数：0与正整数；非负数包含0与正数；非负整数包含正整数和0。 ★ 重点　有理数 = 整数 + 分数。判断一个数是不是有理数，看它能否写成两个整数相除（分母不为 0）的形式。 ⚠ 易错　π 是无限不循环小数，不能写成分数，所以 π 不是有理数；但有限小数（如 0.25）和无限循环小数（如 0.333…）都能化成分数，都是有理数。 知识点 2 　有理数的分类 有理数按整分分类： 有理数按正负分类： ★ 重点　两种分类标准不要混用：按定义分为"整数、分数"；按性质分为"正有理数、0、负有理数"。同一次分类必须做到不重不漏。 ⚠ 易错　最容易漏掉的就是 0——它既不属于正数也不属于负数，但必须单独占一类。另外注意：自然数包含 0，而正整数不包含 0。 ◆ 方法　分类时先在草稿上把所有数按"正、零、负"排成三队，再逐队细分整数与分数，可有效避免遗漏。 三、即学即练 1.　把下列各数填在相应的集合中： 15，−，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，1.6.． 正数集合{　 …}；负分数集合{　 　 …}； 非负整数集合{　 　 …}；有理数集合{　 　 …}． 2.　关于“0”的说法，正确的是（　　） A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数 C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数 3.　在−，，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（　　） A．3　　B．4　　C．6　　D．5 四、典例精析 题型 1 　对有理数相关概念的理解　 考察　整数、分数与有理数的从属关系——有限小数、循环小数都是分数。 例1　下列既不是正数又不是负数的是（　　） A．﹣1　　B．+3　　C．0.12　　D．0 【答案】D解： A、﹣1是负数，故本选项错误；B、+3是正数，故本选项错误 C、0.12是正数，故本选项错误；D、0是正数和负数的分界，数0既不是正数，也不是负数．故本选项正确 变式1　下列各数中，既是分数，又是负数的是（　　） A．2　　B．　　C．﹣6　　D．﹣0.25 【答案】D解：∵分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比为分数，比0小的数为负数， ∴−0.25=−，符合负数和分数定义， 变式2　既不是整数，也不是正数的有理数是（　　） A．0和正分数　　B．负分数　　C．负有理数　　D．0和负分数 【答案】B解：既不是整数，也不是正数的有理数是负分数． 变式3　下列说法正确的个数是（　　） ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的． A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B解：①一个有理数不是整数就是分数，符合题意；②0是有理数，它不是正数，也不是是负数，原说法错误，不符合题意；③0是整数，它不是正数，也不是负数，原说法错误，不符合题意；④一个分数不是正的，就是负的，符合题意． 变式4　下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有限小数和无限循环小数不是有理数；B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．整数和分数统称为有理数；D．非负整数即为正整数 ⚠ 易错　分类填数要做到不重不漏：先按正、零、负分三队，再细分整数与分数。特别注意 0 的归属，以及"正整数"不含 0 而"自然数"含 0。 【答案】C解：有限小数和无限循环小数是有理数，A选项错误；正整数集合与负整数集合、0合在一起就构成整数集合，B选项错误；整数和分数统称为有理数，正确，C选项正确；非负整数即为正整数，错误，还有0，D选项错误． 题型 2 　0的认识 考察　0 在有理数分类中的归属——是整数、是自然数，非正数也非负数。 例2　你对“0”有多少了解？下列关于“0”的说法错误的是（　　） A．任何数与0相乘都得0 B．0是最小的有理数 C．绝对值最小的有理数是0 D．0没有倒数 【答案】B解：A、任何数与0相乘都得0，故A正确；B、没有最小的有理数，故B错误；C、0的绝对值最小，故C正确；D、0没有倒数，故D正确； 变式1　下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．既不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 【答案】B解：（1）0既不是正数，也不是负数，这个说法正确， （2）0不是有理数，是整数，这个说法不正确，0是有理数， （3）0是整数，也是有理数，这个说法正确， （4）0不是负数，是有理数，这个说法正确， 变式2　课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．其中正确的个数是（　　） A．4　　B．3　　C．2　　D．1 【答案】D解：自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确；0既不是正数也不是负数，所以②正确；而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确； 故正确的只有②， 题型 3 　对有理数进行分类　 考察　两种分类标准（按整分／按正负）——做到不重不漏，标准要统一。 例3　在−，，0，﹣1，0.4，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（　　） A．3　　B．2　　C．1　　D．4 【答案】A解：∵有理数为−，，0，﹣1，0.4，2，﹣3，﹣6共8个，∴m＝8， ∵自然数有0，2共2个，∴n＝2， ∵分数有−，，0.4，共3个，∴k＝3，∴m﹣n﹣k＝8﹣2﹣3＝3， 变式1　把下列各数填入相应的大括号里： ﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0， 正数集合：{ 　 }；整数集合：{ 　 　 }； 负数集合：{ 　 　 }；正分数集合：{ 　 　 }． ⚠ 易错　分类填数要做到不重不漏：先按正、零、负分三队，再细分整数与分数。特别注意 0 的归属，以及"正整数"不含 0 而"自然数"含 0。 【答案】解：正数集合：{3.14，80，，}；整数集合：{﹣3，80，0，}；负数集合：{﹣3，﹣0.1，﹣25%，}；正分数集合：{3.14，，}． 变式2　把下列各数填在相应的大括号里： 1，﹣0.10，，﹣789，325，0，﹣20，10.10，1000.1 整数集合：{ 　 　 …}；负整数集合：{ 　 　 …} 正分数集合：{ 　 　 …}；负有理数集合：{ 　 　 …} 【答案】解：整数集合：{1，﹣789，325，0，﹣20…}；负整数集合：{﹣789，﹣20…} 正分数集合：{，10.10，1000.1…}；负有理数集合：{﹣0.10，﹣789，﹣20…} 变式3　把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ﹣3，2.5，1，﹣0.58，0，，0.3，﹣1.01001000⋯． 整数集合：{ 　 ⋯}；分数集合：{ 　 　 ⋯}； 正有理数集合：{ 　 　 ⋯}；负有理数集合：{ 　 ⋯}． 【答案】解：整数集合{﹣3，1，0，…}；分数集合{ 2.5，﹣0.58，，0.3，…}； 正有理数集合{ 2.5，1，，0.3，…}；负有理数集合{﹣3，﹣0.58，…}． 题型 4 　对含有“非”字的有理数的理解　 考察　“非正数 = 负数和 0”“非负数 = 正数和 0”的等价转换。 例4　在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B解：在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是2个：0，2011． 变式1　下列各数中3，﹣7，−，5.6，0，﹣8，15，，非正数有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】D解：由题意可知负数有3个，加上0，非正数有4个， 变式2　在﹣2020，2.3，0，π，﹣4五个数中，非负的有理数共有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 ⚠ 易错　π 是无限不循环小数，既不是有理数也不能写成分数——这是有理数判断题的高频陷阱。 【答案】B解：在“﹣2020，2.3，0，π，﹣4”这五个数中，非负有理数是2.3，0， 变式3　已知有理数：﹣0.2，+3，，﹣5，0，﹣2，2020，其中非负整数有 ． 【答案】解：非负整数有+3，0，2020 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　在下列数π，﹣21，25%，0，，−0.3.中，正有理数有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 2.　下列是数的分类，正确的是（　　） A．有理数包含整数和分数 B．整数包含有理数和分数 C．分数包含整数和有理数 D．有理数包含整数和0 3.　 下列说法中不正确的有（　　） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③一个有理数不是整数就是分数；④0的绝对值是0． A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 4.　下列说法中，不正确的是（　　） A．负分数一定是负有理数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．﹣2025是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 B 档 　巩固提升　 1.　在1，﹣40%，0，﹣3，，−1，2025，0.6中，非负数有（　　）个． A．5个　　B．4个　　C．3个　　D．2个 2.　下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 3.　给出下列说法： ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正整数就是负整数；④一个分数不是正分数就是负分数．其中正确的个数是（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 4.　下列说法正确的是（　　） A．零是整数，又是分数 B．有理数可以分为正数和负数 C．收入200元和支出﹣200元是互为相反意义的量 D．若向南走8m记作+8m，则向北走9记作﹣9m 5.　所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，如图阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数是（　　） A．−　　B．﹣3　　C．0　　D．5.3 6.　把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 −，0.618，﹣3.14，260，﹣2001，，﹣1，﹣53%，0． C 档 　提高拓展　 1.　在下列选项中，所填的数正确的是（　　） A．分数{﹣3，0.3，，…} B．非负数{0，﹣1，﹣2.5，…} C．正数{2，1，5，0，…} D．整数{3，﹣5，…} 2.　在+7，0，−，+，2024，﹣3，0.25，11中，非负整数有 个． 3.　小明在每次周测后，都通过比较和上一次考试的分数变化来记录自己成绩变化，将分数提高记作“+”，降低记作“﹣”．已知小明第2次周测实际分数为142分，记录本上他记录为“﹣3”，请问小明第1次周测实际分数为 分． 4.　给出下列说法： ①0可以表示没有，也可以表示具体的意义；②0是最小的正整数；③0是最小的有理数；④0既是负数又是正数；⑤0是最小的自然数．其中正确说法的序号是 ． D 档 　压轴挑战　（共 6 题） 1.　在3，﹣8，2025，0，﹣5，+13，，﹣6.9，中，有理数有a个，非负整数有b个，分数有c个，则a﹣b﹣c的值为 ． 2.　把下列各数填在相应的大括号里： +8，+，0.275，−|−2|，0，−1.04，，−，﹣（﹣10）． 正整数集合{ 　 …}；整数集合{ 　 　 …}； 非负数集合{ 　 …}；正分数集合{ 　 　 …}． 3.　为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级8班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以1分钟跳180个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组10名同学1分钟跳绳个数记录如下： +2，﹣5，+3，0，﹣10，+7，﹣7，﹣4，+1，﹣7（单位：个）． （1）求这个小组1分钟每人平均跳绳的个数． （2）为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准1个记“+2”分，每不足1个记“﹣1”分，刚好达到标准记“0”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 4.　2023年飞行大会，应我市邀请，俄罗斯特技飞行队在瑶湖风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 上升5.5km 下降3.2km 上升1km 下降1.5km 下降0.8km 记作 +5.5km ﹣3.2km +1km ﹣1.5km ﹣0.8km （1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 5.　2024年4月23日是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”，某校开展了“浸润书香，为人生奠基”读书活动．东东坚持阅读，以每天阅读40分钟为标准，超出时间记为正，不足时间记为负，如表是他一周的阅读时间记录． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准的差（分钟） +8 +10 ﹣5 +7 0 ﹣8 +13 （1）东东这周阅读时间最长的一天比最短的一天多多少分钟？ （2）东东这周的总阅读时间是多少分钟？ 6.　某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 +10 ﹣6 ﹣8 +15 ﹣12 +18 ﹣9 （1）根据记录，求出前三天共生产多少个？ （2）请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ （3）该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这一周的工资总额是多少？ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 1.2.1 有理数的概念 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解有理数的意义，能按不同标准对有理数进行分类，做到不重不漏。 二、知识梳理 知识点 1 　有理数的定义 有理数的概念：可以写成分数形式的数叫做有理数 整数包含正整数、负整数、0；分数包含正分数与负分数。 自然数：0与正整数；非负数包含0与正数；非负整数包含正整数和0。 ★ 重点　有理数 = 整数 + 分数。判断一个数是不是有理数，看它能否写成两个整数相除（分母不为 0）的形式。 ⚠ 易错　π 是无限不循环小数，不能写成分数，所以 π 不是有理数；但有限小数（如 0.25）和无限循环小数（如 0.333…）都能化成分数，都是有理数。 知识点 2 　有理数的分类 有理数按整分分类： 有理数按正负分类： ★ 重点　两种分类标准不要混用：按定义分为"整数、分数"；按性质分为"正有理数、0、负有理数"。同一次分类必须做到不重不漏。 ⚠ 易错　最容易漏掉的就是 0——它既不属于正数也不属于负数，但必须单独占一类。另外注意：自然数包含 0，而正整数不包含 0。 ◆ 方法　分类时先在草稿上把所有数按"正、零、负"排成三队，再逐队细分整数与分数，可有效避免遗漏。 三、即学即练 1.　把下列各数填在相应的集合中： 15，−，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，1.6.． 正数集合{　 …}；负分数集合{　 　 …}； 非负整数集合{　 　 …}；有理数集合{　 　 …}． 【答案】解：正数集合{15，0.81，，171，3.14，π，1.6.⋯}； 负分数集合{−，﹣3.1…}； 非负整数集合{15，171，0…}； 有理数集合{15，−，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，1.6.⋯}． 2.　关于“0”的说法，正确的是（　　） A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数 C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数 【答案】B解：0是整数，属于有理数，但0既不是正数，也不是负数，故选项B符合题意． 3.　在−，，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（　　） A．3　　B．4　　C．6　　D．5 【答案】D解：∵，0.12，14是正有理数，共3个； 0，14是非负整数，共2个； −，，0.12，﹣1.5是分数，共4个， ∴m＝3，n＝2，k＝4， ∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5． 四、典例精析 题型 1 　对有理数相关概念的理解　 考察　整数、分数与有理数的从属关系——有限小数、循环小数都是分数。 例1　下列既不是正数又不是负数的是（　　） A．﹣1　　B．+3　　C．0.12　　D．0 【答案】D解： A、﹣1是负数，故本选项错误；B、+3是正数，故本选项错误 C、0.12是正数，故本选项错误；D、0是正数和负数的分界，数0既不是正数，也不是负数．故本选项正确 变式1　下列各数中，既是分数，又是负数的是（　　） A．2　　B．　　C．﹣6　　D．﹣0.25 【答案】D解：∵分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比为分数，比0小的数为负数， ∴−0.25=−，符合负数和分数定义， 变式2　既不是整数，也不是正数的有理数是（　　） A．0和正分数　　B．负分数　　C．负有理数　　D．0和负分数 【答案】B解：既不是整数，也不是正数的有理数是负分数． 变式3　下列说法正确的个数是（　　） ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的． A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B解：①一个有理数不是整数就是分数，符合题意；②0是有理数，它不是正数，也不是是负数，原说法错误，不符合题意；③0是整数，它不是正数，也不是负数，原说法错误，不符合题意；④一个分数不是正的，就是负的，符合题意． 变式4　下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有限小数和无限循环小数不是有理数；B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．整数和分数统称为有理数；D．非负整数即为正整数 ⚠ 易错　分类填数要做到不重不漏：先按正、零、负分三队，再细分整数与分数。特别注意 0 的归属，以及"正整数"不含 0 而"自然数"含 0。 【答案】C解：有限小数和无限循环小数是有理数，A选项错误；正整数集合与负整数集合、0合在一起就构成整数集合，B选项错误；整数和分数统称为有理数，正确，C选项正确；非负整数即为正整数，错误，还有0，D选项错误． 题型 2 　0的认识 考察　0 在有理数分类中的归属——是整数、是自然数，非正数也非负数。 例2　你对“0”有多少了解？下列关于“0”的说法错误的是（　　） A．任何数与0相乘都得0 B．0是最小的有理数 C．绝对值最小的有理数是0 D．0没有倒数 【答案】B解：A、任何数与0相乘都得0，故A正确；B、没有最小的有理数，故B错误；C、0的绝对值最小，故C正确；D、0没有倒数，故D正确； 变式1　下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．既不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 【答案】B解：（1）0既不是正数，也不是负数，这个说法正确， （2）0不是有理数，是整数，这个说法不正确，0是有理数， （3）0是整数，也是有理数，这个说法正确， （4）0不是负数，是有理数，这个说法正确， 变式2　课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．其中正确的个数是（　　） A．4　　B．3　　C．2　　D．1 【答案】D解：自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确；0既不是正数也不是负数，所以②正确；而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确； 故正确的只有②， 题型 3 　对有理数进行分类　 考察　两种分类标准（按整分／按正负）——做到不重不漏，标准要统一。 例3　在−，，0，﹣1，0.4，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（　　） A．3　　B．2　　C．1　　D．4 【答案】A解：∵有理数为−，，0，﹣1，0.4，2，﹣3，﹣6共8个，∴m＝8， ∵自然数有0，2共2个，∴n＝2， ∵分数有−，，0.4，共3个，∴k＝3，∴m﹣n﹣k＝8﹣2﹣3＝3， 变式1　把下列各数填入相应的大括号里： ﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0， 正数集合：{ 　 }；整数集合：{ 　 　 }； 负数集合：{ 　 　 }；正分数集合：{ 　 　 }． ⚠ 易错　分类填数要做到不重不漏：先按正、零、负分三队，再细分整数与分数。特别注意 0 的归属，以及"正整数"不含 0 而"自然数"含 0。 【答案】解：正数集合：{3.14，80，，}；整数集合：{﹣3，80，0，}；负数集合：{﹣3，﹣0.1，﹣25%，}；正分数集合：{3.14，，}． 变式2　把下列各数填在相应的大括号里： 1，﹣0.10，，﹣789，325，0，﹣20，10.10，1000.1 整数集合：{ 　 　 …}；负整数集合：{ 　 　 …} 正分数集合：{ 　 　 …}；负有理数集合：{ 　 　 …} 【答案】解：整数集合：{1，﹣789，325，0，﹣20…}；负整数集合：{﹣789，﹣20…} 正分数集合：{，10.10，1000.1…}；负有理数集合：{﹣0.10，﹣789，﹣20…} 变式3　把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ﹣3，2.5，1，﹣0.58，0，，0.3，﹣1.01001000⋯． 整数集合：{ 　 ⋯}；分数集合：{ 　 　 ⋯}； 正有理数集合：{ 　 　 ⋯}；负有理数集合：{ 　 ⋯}． 【答案】解：整数集合{﹣3，1，0，…}；分数集合{ 2.5，﹣0.58，，0.3，…}； 正有理数集合{ 2.5，1，，0.3，…}；负有理数集合{﹣3，﹣0.58，…}． 题型 4 　对含有“非”字的有理数的理解　 考察　“非正数 = 负数和 0”“非负数 = 正数和 0”的等价转换。 例4　在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B解：在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是2个：0，2011． 变式1　下列各数中3，﹣7，−，5.6，0，﹣8，15，，非正数有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】D解：由题意可知负数有3个，加上0，非正数有4个， 变式2　在﹣2020，2.3，0，π，﹣4五个数中，非负的有理数共有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 ⚠ 易错　π 是无限不循环小数，既不是有理数也不能写成分数——这是有理数判断题的高频陷阱。 【答案】B解：在“﹣2020，2.3，0，π，﹣4”这五个数中，非负有理数是2.3，0， 变式3　已知有理数：﹣0.2，+3，，﹣5，0，﹣2，2020，其中非负整数有 ． 【答案】解：非负整数有+3，0，2020 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　在下列数π，﹣21，25%，0，，−0.3.中，正有理数有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】A解：正有理数包括正整数和正分数， 在下列数π，﹣21，25%，0，，−0.3.中，正有理数有25%，，共2个， 2.　下列是数的分类，正确的是（　　） A．有理数包含整数和分数 B．整数包含有理数和分数 C．分数包含整数和有理数 D．有理数包含整数和0 【答案】A解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意； 整数可分为：正整数，0，负整数，故B选项错误，不符合题意； 分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意； 有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 3.　 下列说法中不正确的有（　　） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③一个有理数不是整数就是分数；④0的绝对值是0． A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】A解：绝对值最小的数是0，所以①不正确；0既不是正负，也不是负数，所以②正确；整数和分数统称有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，所以③正确；0的绝对值是0，所以④正确； 所以不正确的只有①， 4.　下列说法中，不正确的是（　　） A．负分数一定是负有理数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．﹣2025是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 【答案】C解：A．负分数一定是负有理数，说法正确，故本选项不符合题意；B．可以写成分数形式的数称为有理数，说法正确，故本选项不符合题意；C．﹣2025是负整数，属于是有理数，原说法错误，故本选项符合题意；D．0是正数和负数的分界，说法正确，故本选项不符合题意． B 档 　巩固提升　 1.　在1，﹣40%，0，﹣3，，−1，2025，0.6中，非负数有（　　）个． A．5个　　B．4个　　C．3个　　D．2个 【答案】A解：在1，﹣40%，0，﹣3，，﹣1，2025，0.6中，非负数有在1，0，，2025，0.6，共5个． 2.　下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【答案】D解：A.0不止表示没有的意思，它还常用来表示某些量的基准数，是“正数”与“负数”的分界，正确，不符合题意；B.0既不是正数，也不是负数，这个说法正确，不符合题意；C.0是整数，也是最小的自然数，这个说法正确，不符合题意；D.0是整数，能写成分数的形式，是有理数，这个说法错误，符合题意； 3.　给出下列说法： ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正整数就是负整数；④一个分数不是正分数就是负分数．其中正确的个数是（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】B解：①、一个有理数不是整数就是分数，说法正确，符合题意；②、一个有理数不是正数就是负数或0，说法错误，不符合题意；③、一个整数不是正整数就是负整数或0，说法错误，不符合题意；④、一个分数不是正分数就是负分数，说法正确，符合题意． 4.　下列说法正确的是（　　） A．零是整数，又是分数 B．有理数可以分为正数和负数 C．收入200元和支出﹣200元是互为相反意义的量 D．若向南走8m记作+8m，则向北走9记作﹣9m 【答案】D解：根据有理数的定义、分类以及正负数表示一对具有相反意义的量判断如下：A、零是整数，但不是分数，故原说法错误；B、有理数可分为正有理数、负有理数和0，故原说法错误；C、收入200元和支出﹣200元是互为相同意义的量，故原说法错误；D、若向南走8m记作+8m，则向北走9记作﹣9m，说法正确． 5.　所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，如图阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数是（　　） A．−　　B．﹣3　　C．0　　D．5.3 【答案】B解：由题知，图中的阴影部分表示负整数，显然四个选项中，只有B选项符合题意． 6.　把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 −，0.618，﹣3.14，260，﹣2001，，﹣1，﹣53%，0． 【答案】解：如图： C 档 　提高拓展　 1.　在下列选项中，所填的数正确的是（　　） A．分数{﹣3，0.3，，…} B．非负数{0，﹣1，﹣2.5，…} C．正数{2，1，5，0，…} D．整数{3，﹣5，…} 【答案】A解：A．−3，0.3，都是分数，故此选项符合题意；B．﹣1，﹣2.5都是负数，故此选项不符合题意；C．0不是正数，故此选项不符合题意；D．3是分数，不是整数，故此选项不符合题意． 2.　在+7，0，−，+，2024，﹣3，0.25，11中，非负整数有 个． 【答案】4．解：在+7，0，−，+，2024，﹣3，0.25，11中，非负整数有+7，0，2024，11，共有4个， 3.　小明在每次周测后，都通过比较和上一次考试的分数变化来记录自己成绩变化，将分数提高记作“+”，降低记作“﹣”．已知小明第2次周测实际分数为142分，记录本上他记录为“﹣3”，请问小明第1次周测实际分数为 分． 【答案】145．解：小明第1次周测实际分数为：142+3＝145（分）， 4.　给出下列说法： ①0可以表示没有，也可以表示具体的意义；②0是最小的正整数；③0是最小的有理数；④0既是负数又是正数；⑤0是最小的自然数．其中正确说法的序号是 ． 【答案】①⑤．解：①0可以表示没有，也可以表示具体的意义，正确；②0是最小的自然数，错误；③0不是最小的有理数，错误；④0既不是负数也不是正数，错误；⑤0是最小的自然数，正确； 其中正确说法的序号是①⑤． D 档 　压轴挑战　（共 6 题） 1.　在3，﹣8，2025，0，﹣5，+13，，﹣6.9，中，有理数有a个，非负整数有b个，分数有c个，则a﹣b﹣c的值为 ． ⚠ 易错　π 是无限不循环小数，既不是有理数也不能写成分数——这是有理数判断题的高频陷阱。 【答案】2．解：由题意可得：a＝8，非负整数有2025，0，+13，共3个，∴b＝3，分数有3，2025，﹣6.9，共3个，∴a﹣b﹣c＝8﹣3﹣3＝2， 2.　把下列各数填在相应的大括号里： +8，+，0.275，−|−2|，0，−1.04，，−，﹣（﹣10）． 正整数集合{ 　 …}；整数集合{ 　 　 …}； 非负数集合{ 　 …}；正分数集合{ 　 　 …}． 【答案】解：﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣10）＝10， 正整数集合{+8，﹣（﹣10），…}；整数集合{+8，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣10），…}； 非负数集合{+8，+，0.275，0，﹣（﹣10），，…}；正分数集合{+，0.275， …}； 3.　为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级8班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以1分钟跳180个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组10名同学1分钟跳绳个数记录如下： +2，﹣5，+3，0，﹣10，+7，﹣7，﹣4，+1，﹣7（单位：个）． （1）求这个小组1分钟每人平均跳绳的个数． （2）为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准1个记“+2”分，每不足1个记“﹣1”分，刚好达到标准记“0”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【答案】解：（1）180+（2﹣5+3+0﹣10+7﹣7﹣4+1﹣7）÷10＝180+（﹣20）÷10＝180﹣2＝178（个）， 即这个小组1分钟每人平均跳绳的个数为178个； （2）（2+3+7+1）×2﹣（5+10+7+4+7）×1＝26﹣33＝﹣7（分）， 即这个小组的总积分为﹣（7分）． 4.　2023年飞行大会，应我市邀请，俄罗斯特技飞行队在瑶湖风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 上升5.5km 下降3.2km 上升1km 下降1.5km 下降0.8km 记作 +5.5km ﹣3.2km +1km ﹣1.5km ﹣0.8km （1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】解：（1）5.5﹣3.2+1﹣1.5﹣0.8＝1（km）； 答：此时这架飞机比起飞点高了1千米． （2）（5.5+1）×4+（3.2+1.5+0.8）×2＝6.5×4+5.5×2＝26+11＝37（升）， 答：一共消耗37升燃油． 5.　2024年4月23日是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”，某校开展了“浸润书香，为人生奠基”读书活动．东东坚持阅读，以每天阅读40分钟为标准，超出时间记为正，不足时间记为负，如表是他一周的阅读时间记录． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准的差（分钟） +8 +10 ﹣5 +7 0 ﹣8 +13 （1）东东这周阅读时间最长的一天比最短的一天多多少分钟？ （2）东东这周的总阅读时间是多少分钟？ 【答案】解：（1）因为表格中与标准的差（分钟）的最大值为+13，最小值为﹣8， 所以东东这周阅读时间最长的一天比最短的一天多的时间为13﹣（﹣8）＝21（分钟）． （2）因为8+10﹣5+7+0﹣8+13＝25， 所以东东这周的总阅读时间是25+40×7＝305（分钟）． 6.　某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 +10 ﹣6 ﹣8 +15 ﹣12 +18 ﹣9 （1）根据记录，求出前三天共生产多少个？ （2）请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ （3）该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这一周的工资总额是多少？ 【答案】解：（1）100×3+10﹣6﹣8＝296（个），∴前三天共生产296个； （2）18﹣（﹣12）＝18+12＝30（个），∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产30个； （3）这一周多生产的总个数是10﹣6﹣8+15﹣12+18﹣9＝8（个），10×700+12×8＝7096（元）． 答：该厂工人这一周的工资是7096元． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $